Giáo án Toán 12 ban cơ bản : Tên bài dạy : ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN pps

- Nắm được công thức thể tích của một vật thể nói chung - Nắm được công thức thể tích khối tròn xoay, công thức của khối nón, khối nón cụt, khối trụ tròn xoay trong trường hợp vật thể qu

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

I Mục tiêu:

1 Về kiến thức:

- Viết và giải thích được công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số y = f(x) và trục Ox, các đường thẳng x = a, x = b Hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x = b

- Nắm được công thức thể tích của một vật thể nói chung

- Nắm được công thức thể tích khối tròn xoay, công thức của khối nón, khối nón cụt, khối trụ tròn xoay trong trường hợp vật thể quay xung quanh trục Ox

2 Về kỹ năng:

- Áp dụng được công thức tính diện tích hình phẳng, thiết lập được công thức tính thể tích khối chóp, khối nón và khối nón cụt

- Ứng dụng được tích phân để tính được thể tích nói chung và thể tích khối tròn xoay nói riêng

3 Về tư duy, thái độ:

- Thấy được ứng dụng rộng rãi của tích phân trong việc tính diện tích, thể tích

- Học sinh có thái độ tích cực, sáng tạo trong học tập

II Chuẩn bị:

1 Giáo viên: Phiếu học tập, bảng phụ các hình vẽ SGK

2 Học sinh: Làm bài tập và học lý thuyết về tích phân, đọc nội dung bài mới

III Tiến trình bài dạy:

1 Ổn định: Kiểm tra sỉ số, tác phong

2 Kiểm tra bài cũ: Tính     

2

1

2

2

x

3 Bài mới:

Tiết 1:

HĐ1: Tiếp cận công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục hoành

TG Hoạt động của giáo

viên

Hoạt động của học sinh

Ghi bảng

HĐTP 1: Xây dựng

công thức

I Tính diện tích hình phẳng

1 Hình phẳng giới hạn bởi

- Cho học sinh tiến

hành hoạt động 1

SGK

- GV treo bảng phụ

hình vẽ 51, 52 SGK

- GV đặt vấn đề

nghiên cứu cách tính

diện tích hình phẳng

giới hạn bởi đồ thị

hàm số y = f(x), trục

Ox và các đường

thẳng x = a, x = b

- GV giới thiệu 3

trường hợp:

+ Nếu hàm y = f(x)

liên tục và không

âm trên a; b Diện

tích S của hình

- Tiến hành giải hoạt động 1

- Hs suy nghĩ

đường cong và trục hoành

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục, trục Ox và các đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức: 

b

a

dx x f

phẳng giới hạn bởi

đồ thị của f(x), trục

Ox và các đường

thẳng x = a, x = b là:





b

a

dx

x

f

+ Nếu hàm y = f(x)

 0 trên a; b Diện

tích  

b

a

dx x f





b

a

dx

x

f

HĐTP2: Củng cố

công thức

- Gv đưa ra ví dụ 1

SGK, hướng dẫn

học sinh thực hiện

- Gv phát phiếu học

- Giải ví dụ 1 SGK

Ví dụ 1: SGK

Ví dụ 2: Tính diện tích hình

phẳng giới hạn bởi Parabol

2 3 2







Ox

Bài giải

tập số 1

+ Phân nhóm, yêu

cầu Hs thực hiện

- Tiến hành hoạt động nhóm

Hoành độ giao điểm của Parabol y x2  3x 2 và trục hoành Ox là nghiệm của





















2

1 0

2 3

2

1 2

x

x x

2 2

3 3

2 3

2

1

2 3

2

1 2





























 

x x

x

dx x

x S

HĐ2: Tiếp cận công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong

HĐTP 1: Xây dựng

công thức

- GV treo bảng phụ

hình vẽ 54 SGK

- GV đặt vấn đề

nghiên cứu cách tính

diện tích hình phẳng

giới hạn bởi đồ thị

- Theo dõi hình vẽ

- Hs lĩnh hội và ghi nhớ

2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Cho hai hàm số y = f1(x) và y

= f2(x) liên tục trên a; b Gọi

D là hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b trong hình 54 thì diện tích của hình

hàm số y = f1(x), và

y = f2(x) và hai

đường thẳng x = a, x

= b

- Từ công thức tính

diện tích của hình

thang cong suy ra

được diện tích của

hình phẳng trên được

tính bởi công thức



b

a

dx x f x

f

phẳng được tính theo công thức



b

a

dx x f x f

Lưu ý: Để tính S ta thực hiện theo các cách

Cách 1: Chia khoảng, xét dấu biểu thức f1(x) – f2(x) rồi khử dấu trị tuyệt đối

Cách 2: Tìm nghiệm của phương trình f1(x) – f2(x) = 0 Giả sử ptrình có 2 nghiệm c, d (c < d) thuộc a; b thì:

HĐTP2: Củng cố

công thức

- Gv hướng dẫn học

sinh giải vd2, vd3

SGK

- Gv phát phiếu học

tập số 2

+ Phân nhóm, yêu

cầu Hs thực hiện

+ Treo bảng phụ,

trình bày cách giải

bài tập trong phiếu

học tập số 2

- Theo dõi, thực hiện

- Hs tiến hành giải dưới sự định hướng của giáo viên

- Hs thảo luận theo nhóm và tiến hành giải

Hoành độ giao điểm của 2 đường đã cho

là nghiệm của ptrình

x2 + 1 = 3 – x

x2 + x – 2 = 0















2

1

x x





































b

d

d

c

c

a

b

d

d

c a

dx x f x

f

dx x f x

f

dx x f x

f

dx x f x

f

dx x f x

f

dx x f x

f S

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 9

) 2 (

) 3 ( 1

1

2 2 2 2



























dx x

x

x x

S

Tiết 2:

1 Ổn định: Kiểm tra sỉ số, tác phong

2 Kiểm tra bài cũ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) 2

x

y  và y  x

3 Bài mới:

HĐ1: Hướng dẫn học sinh chiếm lĩnh công thức tính thể tích vật thể

TG Hoạt động của giáo

viên

Hoạt động của học sinh

Ghi bảng

- Giáo viên đặt vấn

đề như SGK và

thông báo công thức

tính thể tich vật thể

(treo hình vẽ đã

chuẩn bị lên bảng)

- Hs giải quyết vấn

đề đưa ra dưới sự định hướng của giáo viên

II Tính thể tích

1 Thể tích của vật thể

Một vật thể V giới hạn bởi 2

mp (P) và (Q) Chọn hệ trục toạ độ có Ox vuông góc với (P) và (Q) Gọi a, b (a < b) là

- Hướng dẫn Hs giải

vd4 SGK

- Thực hiện theo sự hướng dẫn của giáo viên

giao điểm của (P) và (Q) với

Ox Gọi một mp tùy ý vuông góc với Ox tại x (xa;b) cắt

V theo thiết diện có diện tích

là S(x) Giả sử S(x) liên tục trên a; b Khi đó thể tích của vật thể V được tính bởi công thức





b

a

dx x S

HĐ2: Hướng dẫn Hs hình thành công thức thể tích khối chóp và khối chóp cụt

- Xét khối nón (khối

chóp) đỉnh A và diện

tích đáy là S, đường

cao AI = h Tính

diện tích S(x) của

thiết diện của khối

2

2 ) (

h

x S x

S 

Do đó, thể tích của khối chóp (khối nón) là:

3

.

0 2

2

h S dx h

x S V

h





2 Thể tích khối chóp và khối chóp cụt

* Thể tích khối chóp:

3

.

0 2

2

h S dx h

x S V

h





* Thể tích khối chóp cụt:

chóp (khối nón) cắt

bởi mp song song

với đáy? Tính tích

phân trên

- Đối với khối chóp

cụt, nón cụt giới hạn

bởi mp đáy có hoành

độ AI0 = h0 và AI1 =

h1 (h0 < h1) Gọi S0

và S1 lần lượt là diện

tích 2 mặt đáy tương

ứng Viết công thức

tính thể tích của khối

chóp cụt này

- Củng cố công thức:

+ Giáo viên phát

phiếu học tập số 3:

Tính thể tích của vật

- Hs tiến hành giải quyết vấn đề đưa ra dưới sự định hướng của giáo viên

Thể tích của khối chóp cụt (nón cụt) là:

h

- Hs giải bài tập dưới

sự định hướng của giáo viên theo nhóm

- Hs tính được diện tích của thiết diện là:

h

thể nằm giữa 2 mp x

= 3 và x = 5, biết

rằng thiết diện của

vật thể bị cắt bởi mp

vuông góc với Ox tại

điểm có hoành độ x

(x 3 ; 5 ) là một hình

chữ nhật có độ dài

các cạnh là 2x,

9

2



x

Yêu cầu Hs làm việc

theo nhóm

- Gv yêu cầu Hs

trình bày

- Đánh giá bài làm

và chính xác hoá kết

9

2 ) (x  x x2 

S

- Do đó thể tích của vật thể là:

3

128

9

2

) (

5

3

2

5

3















dx x

x

dx x S V

- Thực hiện theo yêu cầu của giáo viên

- Các nhóm nhận xét bài làm trên bảng

quả

Tiết 3:

1 Ổn định: Kiểm tra sỉ số, tác phong

2 Bài mới:

HĐ1: Hướng dẫn học sinh chiếm lĩnh công thức tính thể tích khối tròn xoay

TG Hoạt động của giáo

viên

Hoạt động của học sinh

Ghi bảng

- Giáo viên nhắc lại

khái niệm khối tròn

xoay: Một mp quay

quanh một trục nào

đó tạo nên khối tròn

xoay

+ Gv định hướng Hs

tính thể tích khối

tròn xoay (treo bảng

phụ trình bày hình

- Thiết diện khối tròn xoay cắt bởi mp vuông góc với Ox là hình tròn có bán kính y = f(x) nên

III Thể tích khối tròn xoay

1 Thể tích khối tròn xoay





b

a

dx x f

2 Thể tích khối cầu bán kính R

3

3

4

R

vẽ 60SGK) Xét bài

toán cho hàm số y =

f(x) liên tục và

không âm trên a; b

Hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị y = f(x),

trục hoành và đường

thẳng x = a, x = b

quay quanh trục Ox

tạo nên khối tròn

xoay

Tính diện tích S(x)

của thiết diện khối

tròn xoay cắt bởi mp

vuông góc với trục

Ox? Viết công thức

tính thể tích của

khối tròn xoay này

diện tích của thiết diện là:

) ( ) (x f2 x

S 

Suy ra thể tích của khối tròn xoay là:





b

a

dx x f

HĐ2: Củng cố công thức

- Gv hướng dẫn Hs

giải vd5, vd6 SGK

- Chia nhóm học

sinh, yêu cầu Hs làm

việc theo nhóm để

giải vdụ

+ Đối với câu a) Gv

hướng dẫn Hs vẽ

hình cho dễ hình

dung

- Dưới sự định hướng của giáo viên

Hs hình thành công thức tính thể tích khối cầu và giải vd5 SGK

- Tiến hành làm việc theo nhóm

- Đại diện các nhóm

Ví dụ: Tính thể tích vật tròn

xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) xác định bởi các đường sau quanh trục Ox

3

1

x x

y   , y = 0, x = 0 và x

= 3

b) ye x cosx, y = 0, x =

2



, x =



Giải:

35

81 3

2 9

3 1

3

0

4 5 6

3

0

2 2 3















































dx x x x

dx x x V

b)

)

3 ( 8

2 cos 2

2

cos

2

2 2

2

2 2

2 2

























e e

xdx e

dx e

dx x e

V

x x

x



















+ Đánh giá bài làm

và chính xác hoá kết

quả

lên trình bày và nhận xét bài làm của nhóm khác

IV Củng cố:

1 Giáo viên hướng dẫn học sinh ôn lại kiến thức trọng tâm của bài học

2 Nhắc lại công thức tính thể tích của một vật thể nói chung từ đó suy ra công thức của thể tích khối chóp, khối nón

3 Nhắc lại công thức tính thể tích khối tròn xoay

Bài tập về nhà:

- Giải các bài tập SGK

- Bài tập làm thêm:

1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

a) x 0 ,x 1 ,y 0 ,y 5x4  3x2  3

b) y x2  1 ,x y 3

c) y x2  2 ,y 3x

d) y  4xx2,y  0

e) y  lnx,y  0 ,xe

f) x y3,y 1 ,x 8

2 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Parabol y x2  2x 2 tiếp tuyến với nó tại điểm M(3;5) và trục tung

3 Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi nó quay xung quanh trục Ox

a)

4 , 0 , 0 ,







b) y  sin2 x,y  0 ,x 0 ,x

c) y xe2 ,y 0 ,x 0 ,x 1

x