Tự chọ toán 10

Biết vận dụng định lý viét vào việc giải các bài toán về tính chất, mối liên hệ giữa các nghiệm của ph-ơng trình bậc 2, phph-ơng trình bậc 3.. Nội dung : Học sinh đợc học trong 11 tiết g

Chuyên đề : Đa thức (6 TIẾT)

Mục tiêu :

Sau khi học xong chuyên đề này học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về

đa thức với hệ số là những số thực có kỹ năng thành thạo khi thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia đa thức Từ đó vận dụng giải phơng trình đa thức bậc hai, bậc ba trên cơ sở nắm đợc phơng pháp cơ bản phân tích đa thức thành nhân tử Biết vận dụng

định lý viét vào việc giải các bài toán về tính chất, mối liên hệ giữa các nghiệm của

ph-ơng trình bậc 2, phph-ơng trình bậc 3

Nội dung : Học sinh đợc học trong 11 tiết gồm các nội dung sau :

Khái niệm đa thức

Các phép toán đối với đa thức ( Cộng, trừ, nhân, chia )

Định lý viét đối với phơng trình bậc 2

Định lý viét đối với phơng trình bậc 3

Phân tích đa thức thành nhân tử

Trong mỗi bài giảng học sinh đợc tiếp cận các lý thuyết liên quan và đợc làm các ví

dụ vận dụng Sau mỗi bài giảng, với hệ thống bài tập vận dụng theo mức độ từ dễ đến khó học sinh sẽ có điều kiện để phát triển t duy nghiên cứu khoa học

Nội dung của chuyên đề này đợc soạn ở mức độ bám sát và một phần nhỏ ở mức độ nâng cao

b) Nếu f(x) là một đa thức thì hàm số y=f(x) gọi là một hàm đa thức : với mỗi số thực

c f(c) gọi là giá trị của hàm đa thức f(x) tại điểm c

4

2

2 2

−

= +

+

−

x x

x

Giá trị của g(x) tại x=1 là g(1)=12-4=-3

VÝ dô 2: Víi mäi gi¸ trÞ x: x 3 -4x 2 +1=a 3 +bx 2 +cx+d h·y t×m a,b,c,d.

Gi¶i : Tõ tÝnh duy nhÊt cña ®a thøc kh¸c kh«ng, ta suy ra a=1, b=-4, c=0, d=1.

§Þnh nghÜa 2: Cho ®a thøc f(x) kh¸c kh«ng

Mét ®a thøc b»ng 0 khi vµ chØ khi mäi hÖ sè cña nã b»ng 0.

Hai ®a thøc kh¸c 0 lµ b»ng nhau khi vµ chØ khi chóng cã cïng bËc vµ c¸c hÖ sè cña mçi h¹ng tö cïng bËc lµ b»ng nhau

=

x x

7 T×m a,b,c biÕt r»ng víi mäi sè thùc x, ta cã : a(x+2)2+b(x+3)2=cx

8 T×m a,b,c biÕt r»ng víi mäi sè thùc x ta cã :

1 1

3 2

2 2

2

+

+ +

= +

x x

9 T×m a,b,c sao cho : ( −1)2( −2) =( −2)2 + −1+x−2

c x

b x

a x

x x

1 Tổng và hiệu của hai đa thức :

Ví dụ 1: Tìm tổng và hiệu của hai đa thức sau :

1 2 2

) (x = x2 + x+

f

2 4

3 ) (x = − x3 + x2 −x−

−

+ + +

2 4

3

1 2

2 )(

2 3

2

x x x

x

x a

−

+ +

−

2 4

3

1 2

2 )(

2 3

2

x x x

x

x b

f(x)-g(x) = 3x3 − 2x2 + ( 2 + 1 )x+ 3

deg ( f(x)-g(x))=3=deg g(x)

Từ các quy tắc của phép toán đại số ta rút ra kết luận :

Tổng , hiệu của hai đa thức là một đa thức

Phép cộng đa thức có tính chất giao hoán và kết hợp, nghĩa là :

f(x)+g(x)= g(x)+ f(x)f(x)+g(x)+h(x)= f(x)+( g(x)+h(x))Nếu deg f(x)>deg g(x) thì deg (f(x)+g(x) )=deg f(x)

Nếu deg f(x)=deg g(x) thì deg (f(x)+g(x) )≤deg f(x)

Các tính chất trên cho phép ta chọn một cách tính thuận lợi nhất cho tổng, hiệu của nhiều đa thức

2 Tích của hai đa thức

Ví dụ 2 : Cho p(x) = 2x 2 +x+1 và q(x) =x 2 +4 Tìm f(x)=p(x).q(x)

Nh vậy p(x).q(x)=(2x2+x+1)4+(2x2+x+1)x2=2x4+x3+9x2+4 x+4

Deg p(x).q(x)=4=deg p(x)+degq(x)

Từ các quy tắc của phép toán đại số ta suy ra rằng :

Tích của hai đa thức khác không là một đa thức khác đa thức không và bậc của đa thức tích bằng tổng các bậc của mỗi đa thức

Phép nhân đa thức có tính chất giao hoán và kết hợp, nghĩa là :

f(x).g(x)= g(x) f(x)f(x).g(x).h(x)= f(x).( g(x).h(x))

3 Phép thế đa thức:

Ví dụ 3: Cho hai đa thức f(x)=2x 2 +x+1 và g(x) =x+2 Ta thay trong ẩn x bởi g(x) ta

đ-ợc :

f(g(x))=f(x+2)=2(x+2) 2 +(x+2)+1=2x 2 +9x+11.

2 ) 1 ( ) 1 )(

1 ( )

5 Tìm một đa thức f(x) bậc 2 sao cho f(x+1)-f(x)=x

Viết đa thức f(g(x) trong các trờng hợp sau:

Tiết 3 Phép chia đa thức

1 Định lý về phép chia đa thức với d

Định lý 1: Cho hai đa thức f(x) và g(x) khác không Tồn tại duy nhất đa thức q(x) và

r(x) sao cho :

f(x)=g(x)q(x)+r(x)Trong đó r(x)=0 hoặc r(x)≠ 0và deg r(x) < deg g(x)

Đa thức q(x) gọi là thơng và đa thức r(x) gọi là d của phép chia f(x) cho g(x)

Ví dụ 1: Tìm thơng và d của phép chia đa thức f(x) =2x 4 -3x 3 +x+1 cho đa thức

g(x) =-x 2 +2x+2.

Lời giải : Ta thực hiện phép chia f(x) cho g(x) nh trong sơ đồ sau :

3 4

4 4

2

1 3

2

x x

x

x x

x

−

−

+ +

−

x x

x x

r(x)= 15x+ 13

Quá trình chia dừng lại khi ta thu đợc d r(x) có deg r(x) < deg g(x) hạơc r(x) =0 Vậy ta thu đợc thơng q(x) =-2x2 – x -6 và d r(x)=15x+3

2 Chia cho đa thức x-c, sơ đồ hoóc-ne.

Ví dụ 2: Bằng cách chia nh đã trình bày ở trên, ta thu đợc.

67 ) 33 16 8 6 3 )(

2 ( 1 4

0 2

1

0 1 1

c f b b

b c

a a a

a

n n

n n

−

−

−

Bằng sơ đồ hoóc-ne ta thử lại phép chia trong ví dụ 2:

67 33 16 8 6 3 2

1 1 0 4 0

3 −

Ta thu đợc q(x)= 3x4 + 6x3 + 8x2 + 16x+ 33, r(x)=f(2)=67

3 Nghiệm của đa thức.

Nhận xét : Khi chia đa thức f(x) cho x-c ta đợc d r(x) =f(c) là một số thực

Nh vậy ta có : f(c)=0 ⇔f(x) chia hết cho x-c

Điều này có nghĩa : c là một nghiệm của đa thức f(x) khi và chỉ khi f(x) chia hết cho

x-c Sơ đồ Hoóc-ne cho phép ta kiểm tra đợc c có phải là một nghiệm của f(x) hay không Vấn đề đặt ra là chọn những số c nh thế nào để thử ? Ta có một số kết quả quan trọng sau đây :

Cho đa thức f(x)= anxn + an-1xn-1 + + anx+ a0, khi đó :

Nếu a0+a1+ +an=0, thì f(1) =0

2 1 2 4 3

7 Chứng minh rằng với mọi n nguyên dơng, ta có đa thức :

(x+1)2n+1+ xn+2 chia hết cho đa thức x2+x+1

Tiết 4 Định lý vi-ét đối với phơng trình bậc hai

Đa thức bậc hai hay thờng gọi là tam thức bậc hai:

f(x)=ax2+ bx+ c với a,b,c thực và a≠ 0

có thể viết dới dạng chính tắc là :

ac b

a a

b x a x

4

) 2 ( )

Định lý 1: ( Định lý Vi- ét thuận ) Nếu phơng trình bậc hai f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt hoặc trùng nhau thì tổng S và tích P của hai nghiệm này thoả mãn hệ thức;

b S

Định lý 2: ( Định lý Vi-ét đảo ) Hai số thực có tổng bằng S và tích bằng P thì chúng là hai nghiệm của phơng trình bậc 2.

Giải : Vì tổng các hệ số bằng 0 nên phơng trình có một nghiệm bằng 1 Theo định lý

Vi-ét, nghiệm thứ hai là 32

Ví dụ 2: Tìm hai số thực biết tổng của chúng bằng 6 và tích của chúng bằng 1.

Giải : Theo định lý Vi-ét đảo, hai số đó là nghiệm của phơng trình bậc hai x2-6x+1=0 Phơng trình này có biệt thức ∆ = 36 − 4 = 32, do đó phơng trình có hai nghiệm

2 2 3 2

32 6

; 2 2 3 2

32 6

2

1 = − = − x = + = +

x

Đó là hai số thực cần tìm

3 Tính biểu thức đối xứng của hai nghiệm:

Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình bậc hai: f(x)=ax2+bx+c=0

Sn=x1n +x2n; n=0,1,2

Vấn đề đặt ra là cần biểu thị Sn qua a, b, c

Ví dụ 3: Cho x 1 ,x 2 là hai nghiệm của phơng trình x 2 -ax+1=0 Tính S 3

3

2 ax x

Suy ra : S3 =x13+x23 =a(x12 +x22) − (x1 −x2 ) =aS2 −S1

Ta có : S1=a

2 2

2 )

1 2

1

2 2

2 1

2 =x +x =a x +x − = aS − =a −

S

Do đó: S3=a(a2-2)-a=a3-3a

Ví dụ 4: Tìm một đa thức bậc ba có hệ số nguyên nhận a=3 3

2

5 5

0 29 30 10

3 2

5 5

2 3

3

3 3

3 2

3 1 3

⇔

−

= +

=

a a

a a a

a x x S

Phơng trình bậc ba 10x3-30x-29=0 nhận a là nghiệm Đó là phơng trình cần tìm

4 Xét dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai.

Sử dụng định lý Vi-ét ta có thể xét dấu các nghiệm mà không cần giải phơng trình Ta dựa vào kết quả sau:

a

c P a

b S

Hai nghiệm âm phân biệt

a

c P a

b S

Hai nghiệm trái dấu ⇔ = < 0

a

c P

Ví dụ 5: Xét phơng trình x 2 -2(a-1)x+a-3=0

Chứng minh rằng với mọi a phơng trình luôn có nghiệm.

Tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào a.

Tìm a để phơng trình có hai nghiệm trái dấu nhng có giá trị tuyệt đối bằng nhau.

Giải:

4

7 ) 2

3 ( 4 3 )

3 ( ) 1 ( ' = − 2 − − = 2 − + = − 2 + >

x1.x2=a-3Suy ra:

x1+x2-2x1.x2=4

Là một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào a

c.Điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm trái dấu bằng nhau về giá trị tuyệt

8 Cho hai số thực p và q, tìm điều kiện cần và đủ để phơng trình;

x2+ px+ q=0

Có hai nghiệm có hiệu bằng 1

9 a) Cho u,v là hai nghiệm của phơng trình x2-mx+1=0, với m> 2

Hãy tính S7= u7+v7 theo m

b) Tìm một đa thức bậc 5 nhận m= 5 5

2

3 3

11 Cho u,v là hai nghiệm của phơng trình x2-6x+ 1 =0

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n, số Sn= un +vn là một số nguyên không chia hết cho 5

12 Cho u, v là hai nghiệm của phơng trình : x2+2mx+4=0

a Hãy tính các biểu thức sau theo m:

4 4

;B u v v

−

=++

a

d x x x

a

b x x x x x x

a

b x x x

3 2 1

1 3 3 2 2 1

3 2 1

+

= + +

3 3 2 1

2 1 3 3 2 2 1

1 3 2 1

.

.

.

S x x x

S x x x x x x

S x x x

Th× ba sè nµy lµ ba nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc ba :

= + +

1

1

3

z y x

zx yz y x

z y x

Lời giải: Theo định lý Vi-ét đảo x,y,z là x,y,z là ba nghiệm của phơng trình bậc ba:

t3- 3t2 + t + 1 =0Vì tổng các hệ số bằng 0 nếu phơng trình có một nghiệm bằng 1 Vậy hệ phơng trình đã cho có 6 nghiệm, đó là các hoán vị của ba nghiệm của phơng trình bậc ba ở trên Cụ thể là:

) 2 1 , 2 1 , 1 ( + − ; ( 1 , 1 − 2 , 1 + 2 ); ( 1 + 2 , 1 , 1 − 2 )

) 1 , 2 1 , 2 1 ( + − ; ( 1 − 2 , 1 , 1 + 2 ); ( 1 − 2 , 1 + 2 , 1 )

= + +

1

1

3

z y x

zx yz y x

z y x

Giải: Ta có:

9= x 2 +y 2 +z 2 =(x+y+z) 2 -2(xy+yz+zx)=1-2(xy+yz+zx) Suy ra xy+yz+zx=-4

= + +

4

4

1

z y x

zx yz y x

z y x

Theo định lý Vi-ét đảo x,y,x là ba nghiệm của phơng trình

t3-t2-4t+4 =0

⇔ (t-1)(t2-4)=0Phơng trình này có ba nghiệm 1,2,-2; do đó ( x,y,z) gồm sau giá trị đó là các hoán vị của 1,2,-2( giải nh ví dụ 1 )

3 Chứng minh bất đẳng thức;

Ví dụ 3: Cho a,b là những số dơng sao cho phơng trình x 3 -x 2 +3ax-b=0 (1)

Có ba nghiệm phân biệt Chứng minh rằng 3 27 28

3

≥ + b b

a

Giải: Gọi x1, x2, x3 là ba nghiệm của phơng trình (1) Vì a và b dơng nên phơng trình không thể có nghiệm âm hoặc bằng 0 Vậy cả ba nghiệm đều dơng Theo định lý Vi-ét

ta có ;

= + +

b x x x

a x x x x x x

x x x

3 2 1

1 3 3 2 2 1

3 2 1

.

3

1 27 ( 1 27 27 1

27

2 3

3

≥ +

−

−

= +

= +

≥

+

b

b b b

b b b

b

b

a

Từ đó suy ra đpcm

4 Tính giá trị các biểu thức đối xứng với các nghiệm.

Giả sử x1, x2, x3 là các nghiệm của phơng trình bậc ba :

= + +

3

27

33

z y x

zx yz y x

z y x

Tìm x3+y3+z3

Giải: Ta có :

33273

33273 3

)]

( ) )[(

(

1035 27 2 33 ) (

2 ) (

33

3

2 2 2 3

2 2

2 2

− + + +

− + +

= +

yz xy z

y x z

y

x

S

zx yz xy z

y x z y

= +

3

3 3

x

zx yz

=++

=++

1

1111

1

3 3

x

z y x

z y x

+

−

= +

= + +

= + +

6 30 0

3 3 3

5 5 5

z y x

z y x

z y x

5 Tìm điều kiện cần và đủ của số thực m để phơng trình : x3+5x2-8x+m=0

có hai trong ba nghiệm có tổng bằng -1 Giải phơng trình trong trờng hợp này

6 Tìm điều kiện cần và đủ của số thực a để phơng trình : x3-ax+1=0

có ba nghiệm, trong đó có một nghiệm bằng hai lần nghiệm kia

7 Biết rằng phơng trình : ax 3 + bx 2 +cx+d=0 ; a≠ 0

có ba nghiệm thực x1, x2, x3 Chứng minh rằng;

5

2 3 7

Tổng quát, đa thức hai ẩn ax2+bxy+cy2, với a,b,c thực và a,c khác 0 Có thể xem nh

đa thức ẩn x với hệ số thực a, by,cy2 Khi đó nó không phân tích đợc khi và chỉ khi

0 4 ,

0 ) 4 ( 4

) ( 2 − 2 = 2 − 2 < ∀ ⇔ ∆ = 2 − <

=

Định lý 2 Mỗi đa thức với hệ số thực có bậc dơng phân tích đợc thành tích của hữu hạn đa thức không phân tích đợc Các thừa số trong sự phân tích trên là duy nhất sai khác một hằng số thực.

Sau đây ta trình bày một số phơng pháp cơ bản để phân tích đa thức, dựa trên các

định lý 1,2 Ta hiểu việc phân tích đa thức thành nhân tử có nghĩa là ta viết đa thức thành tích những đa thức không phân tích đợc

2 Ph ơng pháp nhóm số hạng.

Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử :

f(x,y)=x 3 + x 2 y+x 2 +xy 2 +y 2 +y 3.

Giải: Nhóm các số hạng của f(x,y) ta đợc

f(x,y)=(x3+xy2)+(x2y+y3)+(x2+y2)

Nội dung của phơng pháp này là nh sau: Để phân tíhc f(x) thành tích những nhân

tử ta đặt f(x)=p(x).q(x) Khai triển tích ở vế phải rồi dựa vào định nghĩa hai đa thức bằng nhau ta đồng nhất các hệ tử cùng bậc ở hai vế Khi đó ta phải giải một hệ phơng trình để tìm ra các hệ số của p9x) và q(x)

Ví dụ 3: Tìm a để đa thức f(x)= 6x4 − 7x3 +ax2 + 3x+ 2 chia hết cho đa thức x 2 -x-1 Với giá trị tìm đợc của a hãy phân tích f(x) thành nhân tử.

Giải: Ta có deg f(x) =4 và deg ( x2-x-1) =2, do đó ta đặt

f(x)= ( x2-x-1)(6x2+bx+c)

Khai triển vế phải ta đợc : 6x4 − 7x3 +ax2 + 3x+ 2= 6x4 + (b− 6 )x3 + (c−b− 6 )x2 + (b+c)x−c

Đồng nhất các hệ số của các hạng tử cùng bậc, ta đợc;

c

c b

a b c b

Suy ra a=-7; b=-1; c=-2 Vật a=-7 là giá trị cần tìm và khi đó ta có :

) 2 6

)(

1 (

2 3 7

7

6x4 − x3 − x2 + x+ = x2 −x− x2 −x−

Chú ý rằng : x 2 -x-1 có biệt thức âm nên không phân tích đợc Đa thức

) 2 3 )(

1 2 ( 2

6x2 −x− = x+ x−

Vậy sự phân tích thành nhân tử của f(x) là :

f(x)= (x2 −x− 1 )( 2x+ 1 )( 3x− 2 )

4 Ph ơng pháp tìm nghiệm rồi dùng l ợc đồ Hoóc-ne.

Ví dụ 4: Phân tích đa thức ra thừa số:

f(x)= − 3x4 + 2x3 + 4x2 + 7x+ 2

Giải: Nghiệm hữu tỷ nếu có của f(x) phải có dạng , (p,q) = 1 , p = ± 1 ; ± 2 ;q= 1 ; 3

q p

Thử thấy : x1=2 và x2=−13 là hai nghiệm Dùng lợc đồ Hoóc –ne, ta có :

f(x)=-3(x-2)(x+ )

3

1(x2+x+1)=-(x-2)(3x+1)(x2+x+1)Các đa thức bậc nhất x-2, 3x+1 không phân tích đợc; da thức x2+x+1 có ∆ = − 3 < 0cũng không phân tích đợc Vậy: f(x)= -(x-2)(3x+1)(x2+x+1) là sự phân tích cần tìm

Ví dụ 5: Phân tích thành nhân tử f(x,y)=x 2 -4xy-12y 2

D được gọi là tập xác định (miền xác định ) X được gọi là biến số độc lập (gọi tắt là biến số ) hay đối số của hàm số f

Định nghĩa đồ thị hàm số:

Cho hàm số y=f(x) với tập xác định D Trong mặt phẳng toạ độ, Tập hợp (G) tất

cả các điểm có toạ độ (x;f(x)) với x∈Dđược gọi là đồ thị của hàm số y=f(x) (đối với hệ trục toạ độ)

Định nghĩa hàm số đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b)⊂ D

H m sà ố f(x) gọi l à đồng bi ến (hay t¨ng) trªn kho¶ng(a;b) nÕu

Đồ thị của hàm số đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng

Nếu hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) thì trên khoảng đó đồ thị của nó đi lên (kể từ trái sang phải) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) thì trên khoảng đó

đồ thị của nó đi xuống (kể từ trái sang phải)

Đị

nh ngh ĩ a h m sà ố ch½n vµ hµm sè lÎ Cho hàm số y=f(x) xác định trên D

f(x) gäi lµ hµm sè ch½n nÕu víi mäi x thuéc D ta cã –x còng thuéc D vµ x)=f(x)

f(-f(x) gäi lµ hµm sè lÎ nÕu víi mäi x thuéc D ta cã –x còng thuéc D vµ f(x)

f x g x

Hàm số y= ⇔ 



f(x) xác định ( )

xác định

g(x)>0 ( )

1 xác định 1 0 1

1 xác định 1 0 1

1 xác định 9 0 3 ặc x<-3 D= - ;-3 3;

x

x

x x

( 1)( 3) xác định 1 x<2 D= - ;-3 1;2 2 :

4 0

x x

x x

x

x x

Bài 4: Tìm điều kiện để các hàm số xác định trên [ ]0;1

1

m x

− +

2

2 3 1

x y

Cho hàm số y=f(x) có tập xác định D Tập hợp tất cả các giá trị (miền giá trị) của hàm số kH là f(X)với f(X)={ f x( ) | ∀ ∈x D}

Phơng pháp: có 2 cách

Cách 1: giả sử y0 là nghiệm của phơng trình f(x)=y↔ f(x)=y0 có nghiệm

∀ ∈x D với y0 là tham số Tìm điều kiên của tham số y0để phơng trình

có vô số nghiệm x từ đó suy ra Tập giá trị của hàm số Cách 2: Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức và của hàm số

x y

1 1

x y

x ; Tập xác định của hàm số D=R; giả sử y0 là nghiệm của phơng trình

−

− +

1 1

y x

y x

+ +

2

2 1 4

x y

x x Tập xác định của hàm số D=R;giả sử y0 là nghiệm của phơng trình

III Bài tập ứng dụng

Tìm tập giá trị của các hàm số sau đây:

3 1

Cho hàm số y=f(x) có tập xác định D để xét tính chẵn, lẻ của hàm số f(x) ta thực hiện các bớc nh sau:

Tìm tập xác định của hàm số Tính f(-x): Nếu f(-x)=f(x) ∀ ∈x Dthì y=f(x) là hàm số chẵn trên D;

b y=x2 trên [−1;1]; i) ∀x x: ∈ −[ 1;1]→ − ∈ −x [ 1;1]; ii) f(-x)=(-x)2=x2=f(x) vậy hàm số y=f(x)=x2 là hàm số chẵn trên [−1;1]

c y=x2 trên D R= ; i) ∀x x R: ∈ → − ∈x R; ii) f(-x)=(-x)2=x2=f(x) vậy hàm số

 Hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng I↔ ∀x x1, 2∈I x: 1<x2→ f x( )1 < f x( )2

 Hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng I

 ∀x x1, 2∈(2; +∞): 2 <x1<x2 →x2−x1>0 vµ 4-( x2+x1) 0 < → f x( )2 −f x( ) 01 < vËy hµm sè nghÞch biÕn trªn (2; +∞)