2 giới hạn dãy số dạng phân thức hữu tỷ

PHƯƠNG PHÁP VÀ KINH NGHIỆM GIẢI NHANH GIỚI HẠN DÃY SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ 1.. + Áp dụng các giới hạn đặc biệt đã học... Kiểm tra kết quả bằng máy tính cầm tay + Ta nhập nguyên công thức c

Trang 1

PHƯƠNG PHÁP VÀ KINH NGHIỆM GIẢI NHANH

GIỚI HẠN DÃY SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ

1 Phương pháp làm bài

 

L

+ Nhận ra dạng vô định  

 

  ta chia cả tử và mẫu cho

k

n với k là số mũ cao nhất hoặc đặt n,n ra ngoài làm thừa số chung rồi rút gọn

+ Áp dụng các giới hạn đặc biệt đã học

* Giới hạn đặc biệt (dễ nhớ)

*

1

lim

k

n

  

 

n

  

lim cc cconst

2 Kinh nghiệm giải nhanh

 

L

a Ta có cách giải nhanh bằng phương pháp so sánh bậc tử và bậc mẫu của phân thức đơn giản

+ Nếu bậc P n Q n  L 0

+ Nếu bậc    

'

a

BÀI GIẢNG: DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC HỮU TỶ

CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN MÔN TOÁN LỚP 11

THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM

Trang 2

+ Nếu bậc P n Q n   L

a a    L a a    

b Kiểm tra kết quả bằng máy tính cầm tay

+ Ta nhập nguyên công thức của dãy số

+ CALC X 1010, tùy bài có thể giảm xuống 10 , 10 , chú ý có bài máy sẽ hiện lỗi 6 2

+ Ấn bằng “=”: Một cách tương đối, ta có thể hiểu kết quả 10dương  , -10dương  , 10âm

0

Do

 Các kết quả hữu hạn xấp xỉ, ta làm tròn lên

c Sử dụng phương pháp vô cùng lớn

+ Một phương pháp giải tổng quát thầy Nguyễn Công Chính đã tổng quát đúc kết kinh nghiệm nhiều năm

+ Phương pháp ngắn gọn, dễ hiểu, ra kết quả cực kì nhanh chóng chính xác, áp dụng được cho nhiều bài tính giới hạn, đặc biệt với dạng  

 

 

+ Giải quyết hiệu quả ngay cả với những bài khó, không tính được máy tính hoặc có chúa tham số m

Cơ sở phương pháp

 

L

k

n   được gọi là 1 vô cùng lớn

Ta chỉ giữ lại vô cùng lớn bậc cao nhất của tử và mẫu, gạch bỏ hết các vô cùng lớn bậc thấp hơn Sau đó nhanh chóng so sánh bậc để có kết quả

B BÀI TẬP ÁP DỤNG GIỚI HẠN PHÂN THỨC HỮU TỈ

I Bài tập tự luận

Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

a)

2020 2020

lim

 

lim

n



 

c)

lim

 

3

lim

 

Hướng dẫn giải

Trang 3

a)

2020

lim

 

 



 

 

  Chia cả tử và mẫu cho n2020

3

3 0 0 3 lim

4

L

 

Phương pháp nhẩm nhanh vô cùng lớn do bậc tử = bậc mẫu

3

' 4

a

L

a

 

b)

lim

n



Chia tử và mẫu cho n 3

3

0 0

1

L

 

Nhẩm nhanh VCL do bậc tử < bậc mẫu 23 22

0

n L

c)

lim

 



 

 

 

Cách 1: Chia tử và mẫu cho n 3

3

2

3

n

L

 

         

Trang 4

Nhẩm nhanh vô cùng lớn do bậc tử > bậc mẫu

4

3

n

Cách 2: Chia tử và mẫu cho n 4

2

L

vì lim 2 12 34 2 0, lim 3 22 14 0

        

0 n

nn n  

d)

3

lim

 

Cách 1: Đặt n với bậc lớn nhất ra ngoài

3

2 2

L

n

Vì lim n2  ;

3

2

 

Vậy L 

Cách 2: Phương pháp vô cùng lớn

5

2 3

n



   

Bài 2: Tìm các giới hạn  

 

 

Trang 5

a)    

50

lim

n

lim

c)

lim

  

4

lim

1 2 3n

n

50

lim

n



2 2

3 3

n

n n

             

     

3

3 0

lim

40

2 2

1 1

n

     

c)

lim

  

   

Trang 6

99

1

n

n n

Phương pháp vô cùng lớn

100 99

n

n   

d)

4

lim

1 2 3n

n



4

n

4

1

2

n



4 4

1 1

2 3n 2 3n

n L

lim

n n

1 lim 1

1

n n

   

lim 2 1

n

lim

n n

2

2 0 0

2

  

2 2

1

L

1

n

   

Trang 7

2 2

     

Chia tử và mẫu cho n

2

lim

1

n

L

n

 



vì lim n 2 , lim 1 1 1 0

       

Phương pháp vô cùng lớn bậc tử > bậc mẫu

2

n



    

lim 2 1

n

2

      

Nhẩm nhanh vô cùng lớn

2 2

4 2

8

L

n n 

lim

2002 2003 2005 6010

2000 2004 2006 6010 1

L

Bài 4: Cho hai dãy số  u n và  v n có 2

1

n

n u

n





 và n 2

n v n



 a) Tính L1limu nv n b) Tính L2 limu nv n

c) Tính L3 lim 2 u n3v n1 d) Tính L4 limu v n n

n

u L

v

 

 

Trang 8

a) L1limu n v n limu nlimv n     1 1 0

b) L2 limu nv n limu n limv n      1 1 2

c) L3 lim 2 u n 3v n 1 2 limu n3limv nlim12  1 3.1 1 0

d) L4 u v n n  limu n.limv n   1 1 1

limu n limv n 1 1 2

f) 6 lim n

n

u

L

v

 

 

1

n n

u v



   

   

Bài 5: Cho hai dãy số  u n và  v n có

2

1

n

n u n



 và

2 2

n

n v

n



 a) Tính L1limu nv n b) Tính L2 limv nu n

c) Tính L3 limu v n n d) Tính 4 lim n

n

u L

v

 

 

Ta có limu n  ; limv n 2

a) L1limu n v n limu nlimv n     2

Tuy kết quả đúng nhưng ta chỉ nên hiểu khi làm trắc nghiệm, không trình bày như vậy

1

3

n

n n  

2

Trang 9

3

n

n n



   

2 lim lim

n n

n

3

2 2

n

n n   

2

n n

n

L



Phương pháp vô cùng lớn 2 2 0

n L

n n n

Bài 6: Cho hai dãy số  u n và  v n có

2

2 1

n

n u n



 và

2

1 2 2

n

n v

n





 a) Tính L1limu nv n b) Tính L2 limv nu n

c) Tính L3 limu v n n d) Tính 4 lim n

n

u L

v

 

 

Ta có limu n  ; limv n  

2

2 2

n L

n n 

3

4 4

n

n n   

Trang 10

c) 3   2 2

n n

lim



Phương pháp vô cùng lớn 2 2

2

4

n n



   

d)

2

1 1 2

n n

L

 

2

1 1 2

n n





2 2

2

1 2

n n L

Bài 7: Tính giới hạn 1 2 3 2

L

n

   

L

Đây là cách làm sai Chúng ta chỉ tính lim và áp dụng định lí giới hạn hữu hạn khi có hữu hạn các lim và kết quả các lim đã xác định, không tách lim trong trường hợp có tổng vô hạn hay các giới hạn là vô cực

Ta nhận ra trên tử là tổng n số hạng của một CSC với u n 1,d 1

 

2

1

2

n n

n L



2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Tính giới hạn 2 3

lim

L





 

4

Bậc tử < bậc mẫu nên L0

Chọn C

Câu 2: Tính giới hạn

2 2

lim

L

 



 

Trang 11

A/ L1 B/ L2 C/ L0 D/ L 2

Bậc tử = bậc mẫu nên 2

2 1

L 

Chọn B

2 lim

3

L







3

L 

Bậc tử = bậc mẫu nên 2

3

L

Chọn D

3

lim

L



 

Bậc tử > bậc mẫu nên

4 3

3 3

n

n   

Chọn C

lim

2

L

 



 

Bậc tử > bậc mẫu nên

20

2 18

2

n

Chọn D

Câu 6: Tính giới hạn lim 2 1

n n L

n







Trang 12

A/ 1

3

2

Bậc tử < bậc mẫu nên L n n2 1 0

n  n 

Chọn C

Câu 7: Tính giới hạn   

4

lim

L



2

Bậc tử = bậc mẫu, theo vô cùng lớn

5 5

n L n



 

Chọn C

lim

L



3

Bậc tử = bậc mẫu, theo vô cùng lớn

6 6

n L

n 

Chọn C

Câu 9: Tính giới hạn    

lim

L



3

Bậc tử > bậc mẫu, theo vô cùng lớn

8

2 6

32

n

Trang 13

Chọn A

2

250

2000 4

lim

L



Bậc tử > bậc mẫu, theo vô cùng lớn

3000

n L n



 

Chọn B

2

70

lim

L



A/ L0 B/ L 250 C/ L  D/ Không tồn tại

Theo vô cùng lớn    

   

50

2 2

L



Chọn B

3

lim

L



A/ Không tồn tại B/ L340 C/ L  D/ L 

Theo vô cùng lớn    

20

9

3 3

L

n



Chọn B

Câu 13: Biết giới hạn   

2

lim

L

c

*

a b c

c

 tối giản Tính

P  a b c

Trang 14

A/ P10 B/ P5 C/ P11 D/ P4

2

3

2

L

n



Vậy P      a b c 6 3 2 11

Chọn C

Câu 14: Cho hai dãy số  u n và  v n có 21

1

n

u n



 và 2

1 2

n

v n





 Tính Llimu nv n

lim n n 0 0 0

L u v   

Chọn B

Câu 15: Cho hai dãy số  u n và  v n có

2

1

n

n u n



 và

2

n

n v n



 Tính Llimu nv n

u v

2

Chọn D

Câu 16: Cho hai dãy số  u n và  v n có 1

1

n

u n



 và

2 2

n

v n



 Tính lim

n n

u L

v

2

n

L

Trang 15

Chọn A

Câu 17: Cho dãy số  u n với 4

n

an u n





 a  Để dãy số  u n có giới hạn bằng 2 thì giá trị của a là:

4

n



5

a

L    a

Chọn A

Câu 18: Cho dãy số  u n với 2

n

n b u

n





 b  Để dãy số  u n có giới hạn hữu hạn thì giá trị của b là:

n

n b

n



Chọn A

Câu 19: Cho dãy số  u n với

2

4

n

an u n





 a  Để dãy số  u n có giới hạn vô cực thì giá trị của a là:

4

n



a  L a   L

Chọn B

Câu 20: Cho dãy số  u n với

2 2

5

n

n an u

an

 



 a  Để dãy số  u n có giới hạn bằng 2 thì giá trị của a

là:

Trang 16

2 2

5

n

n an

 

4

a

    

Chọn D

Câu 21: Tìm tất cả các giá trị thực của a để L tồn tại hữu hạn và L0:

 

4

lim

L





   A/ a0, a1 B/ 0 a 1 C/ a0, a1 D/ 0 a 1

lim

L

0 3

1 1

a a

L

a a







      

Chọn C

Câu 22: Cho giới hạn  

3

lim

L



   Tìm số các giá trị nguyên của tham số a  2020; 2020 để L

hữu hạn và L0

 

lim

L



+ a   1 L , loại

+ a    1 L 2 0, loại

1

a

        

Vậy a1, a 1 Theo yêu cầu bài toán a  2020; 2020  a  2020; 0 \  1

Chọn B

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Trang 17

Bài 1: Chứng minh các dãy số sau có giới hạn bằng 0

2

n

u

n





n

u 

c)

2

4 sin 2 cos 2

n

u





2

n

u

n

Bài 2: Chứng minh rằng:

a)

2

4

n





2.3 5





lim 4n 4n2n 1

a)

4

lim

 

  b)

5

3

3 lim

n



2 2

lim

2 1 3n

n

 

 d)

3

n n

n

2 2

lim

20

25

lim

n

2

lim

3

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	753,18 KB