PHƯƠNG PHÁP VÀ KINH NGHIỆM GIẢI NHANH 1.. BÀI GIẢNG: GIỚI HẠN DÃY SỐ DẠNG CHỨA CĂN THỨC CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN MÔN TOÁN LỚP 11 THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM... Sau khi
Trang 1A PHƯƠNG PHÁP VÀ KINH NGHIỆM GIẢI NHANH
1 Phương pháp làm bài
limP n , ,
Q n
* Nếu giới hạn có dạng vô định
ta chia cả tử và mẫu cho
k
n với k là số mũ lớn nhất rồi đưa vào trong
căn hoặc đặt k
n với bậc cao nhất trong căn làm thừa số chung sau đỏ đẩy ra ngoài căn
3
2
* Nếu giới hạn có dạng vô định 0
0
hoặc với 2 vô cùng lớn tương đương thì ta chuyển hướng sang
nhân biểu thức liên hợp
A B
Tương tự ta suy ra
A B
A B
* Nếu giới hạn có dạng hoặc với 2 vô cùng lớn cùng bậc không tương đương (khác hệ số) thfi
ta đặt k
n với bậc cao nhất trong căn làm thừa số chung sau đó đảy ra ngoài dấu căn
BÀI GIẢNG: GIỚI HẠN DÃY SỐ DẠNG CHỨA CĂN THỨC
CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN MÔN TOÁN LỚP 11 THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM
Trang 2a Sử dụng phương pháp nhẩm nhanh vô cùng lớn ta có:
2
3
3 3
L
n a v n
VD:
2
f n an bn c
g n a n b n c n d
Đưa về dạng phân thức hữu tỉ đã học
Sau khi nhân liên hợp xong ta tiếp tục dùng phương pháp vô cùng lớn để tìm ra giới hạn nhanh chóng
b Kiểm tra kết quả bằng máy tính cầm tay
+ Ta nhập nguyên công thức dãy số trong lim
+ CALC X 1010 hoặc nhỏ hơn
+ Ấn “=” và đọc kết quả
B BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:
a)
2
lim
3
n
4 2
lim
c)
lim
n
lim
n
Hướng dẫn giải
a)
2
lim
3
n
Với 2 vô cùng lớn cùng bậc ta có thể làm 2 cách
Cách 1: Đặt n trong căn làm thừa số chung 2
Trang 32 1 1
3 3
1
2 2
3
1 1
L
n
n n
n
n
n n
Phương pháp vô cùng lớn:
2
0
L
Cách 2: Nhân liên hợp
2
L
4
n
b)
4
2
lim
2
2
2
2
n
n n
3 4
2
2
lim
2
n n
Phương pháp vô cùng lớn:
L
c)
lim
n
Trang 4Cách 1: Đặt 3
n trong căn làm thừa số chung
3
4
L
n
n n
lim
4
n
Phương pháp vô cùng lớn
3 3 3 3
L
Cách 2: Nhân lượng liên hợp
1 1 8
Phương pháp vô cùng lớn
3
4.3 4
n L
d)
3
lim
n
Dưới mẫu là 2 vô cùng lớn cùng bậc
3
3 3
lim
3 2
2 0 lim
lim
n L
n n n
Trang 5
Phương pháp vô cùng lớn:
3
L
Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
a)
2 2
lim
4 3 2
3 2 3 2
2 lim n n n
Hướng dẫn giải
Trên tử và mẫu mỗi dãy số đều có dạng với các vô cùng lớn tương đương nên phải sử dụng liên hợp cho cả tử và mẫu
a)
2
2
lim
4 3 2
Nếu ra làm theo cách chia cả tử và mẫu cho n thì sẽ thế nào:
2
2
1
1 1 0
2 2 0 3
4 3 2
L
n
2
2
2 2 2
3 3
3
n
n
n
n
Phương pháp vô cùng lớn:
2 2
0
2 2 0
4 2
L
là dạng vô định nên cần nhân liên hợp
2 2
1 4 3 2 1 2 2 1 4 2
L
Trang 6b)
3 2 3
2
2
lim n n n
0 0
2
2 2
2
2
2
2
2 3
2 lim
2 lim
1
lim
1
lim
n
n n
n
2 3
1 1 1 3
n
Phương pháp vô cùng lớn 0
0
n n L
n n
là dạng vô định nên cần nhân liên hợp
2
2
2 2 2
2 lim
3
L
n n
L
Bài 3: Tìm các giới hạn sau:
Trang 7a) 2 2
lim n 4n n 1
c)
2
1 lim
1
lim 2n 9n n n 2n
Hướng dẫn giải
limn n 1 n 2
lim
2
Phương pháp vô cùng lớn: 3 3
2
n L
n n
2
2
4
4
2
2
4 4
1
2 4
1
n
n
n
n
n
Phương pháp vô cùng lớn: L 4n 1 2 1 3
n n
c)
2
2 2 2
1 1
Trang 82 1
1
1 1
1
VCL
n
lim 2n 9n n n 2n lim 3n 9n n n 2nn
lim
L
Bài 4: Tìm các giới hạn sau:
lim 4n n 2n 8n
limn n 4n 6 n 6n 6
Hướng dẫn giải
lim n 2n n 2
Trang 9
2
2 2
2
2
2
n
lim 4n n 2n 8n
3
2 1
2
2
1
n
n
2
2
2
2
lim
2 lim
lim
6
n
1 2
lim n 2n2 n 8n 3 n n
Trang 10
3
3
2
1
3 2 3
2
2 3
1 2 3
12 6
1
limn n 4n 6 n 6n 6
3
2 1
3 3 2 2
1 2
1 4 5
2 Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Tính giới hạn
3 3
1 lim
8
n L
n
A 1
2
8
L D L
Hướng dẫn giải
Phương pháp nhẩm nhanh VCL: 1 1
1
L
Chọn B
Câu 2: Tính giới hạn
2
lim
L
n
A L B 3
4
4
L
Trang 11Phương pháp nhẩm nhanh VCL: 3 3
n L
n
Chọn B
Câu 3: Tính giới hạn
2 4
lim
L
n
2
3
3
L
Hướng dẫn giải
Phương pháp nhẩm nhanh VCL:
2 2
3 3 3
n L n
Chọn C
Câu 4: Tính giới hạn lim 2 3 1
n L
n
5
L B Không tồn tại C L 1 D L1
Hướng dẫn giải
Phương pháp nhẩm nhanh VCL: 2 5 0 5
2
Không thỏa mãn điều kiện n Không tồn tại giới hạn
Chọn B
Câu 5: Tính giới hạn lim 1 4
1
n L
2
L D L0
Hướng dẫn giải
Phương pháp nhẩm nhanh VCL: L n 1 0
n n
Chọn D
Trang 12Câu 6: Tính giới hạn
2 2
2 lim
3 1
L
2
L
Hướng dẫn giải
2
n L
Chọn D
Câu 7: Tính giới hạn
2
1 4 2 1 lim
2 3
L
n
4
Hướng dẫn giải
Phương pháp nhẩm nhanh VCL:
2
L
n
Chọn A
Câu 8: Biết kết quả giới hạn sau có dạng:
2 2
2 1
2
a b, Tính giá trị biểu thức
2 2
S a b
A S 5 B S 25 C S 13 D S 17
Hướng dẫn giải
Phương pháp nhẩm nhanh VCL: 2 1 2 3 2 2
L
n
Chọn C
Câu 9: Cho giới hạn
3 3 2
1 lim
4
L
Tìm tất cả các giá trị a nguyên thuộc đoạn 2020;2020 để L hữu
hạn và L0
Trang 13Hướng dẫn giải
Phương pháp nhẩm nhanh VCL:
3 3 2
n a
n n
3
L a a
Theo yêu cầu bài toán: a 2020; 2020 , a a 1; 2; ; 2020
Vậy có 2020 giá trị
Chọn B
Câu 10: Tính giới hạn Llim n 5 n1
A L0 B L1 C L3 D L 5 1
Hướng dẫn giải
L
Chọn A
Câu 11: Tính giới hạn 2
L n n n
2
Hướng dẫn giải
Phương pháp liên hợp – VCL:
2
1
L
n
Chọn A
Câu 12: Tính giới hạn 2 2
A L 1 3 B L0 C L D L
Trang 14Phương pháp VCL: L n 3n 1 3n
Chọn C
Câu 13: Tính giới hạn 2 2
L n n n n
A L2 B L0 C L2 2 D L
Hướng dẫn giải
Phương pháp LH - VCL:
2 2
L
n
Chọn A
Câu 14: Tính giới hạn Llim n n 1 n1
A L 1 B L0 C L1 D L
Hướng dẫn giải
Phương pháp LH - VCL: 1 1 2
1
L
Chọn C
Câu 15: Tính giới hạn 3 3 3 3
L n n
A L3 B L0 C L 1 32 D L
Hướng dẫn giải
Phương pháp LH - VCL:
0 3
L
Chọn B
Câu 16: Có bao nhiêu giá trị của a để L0?
L n a n n a n
Trang 15A 0 B 1 C 2 D 3
Hướng dẫn giải
Phương pháp LH - VCL:
lim
L
n
2
a
a
Chọn C
Câu 17: Cho giới hạn 2 2
L n n n a Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để L0?
Hướng dẫn giải
Phương pháp LH - VCL:
2
2 8
n
L a a
Chọn C
Câu 18: Cho giới hạn 2 2
L n an n Tìm a để L 1?
A a3 B a2 C a 2 D a 3
Hướng dẫn giải
Phương pháp LH - VCL:
Trang 16Để 1 1 2
2
a
L a
Chọn C
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a)
2
lim
n
3 6
2
lim
1 2
n
c)
2
4 lim
3
2
lim
1 2
n
Bài 2: Tính các giới hạn sau:
a)
2
3 3 2
2 4
lim n n n
lim
c)
lim
3
1 lim
Bài 3: Tính các giới hạn sau:
limn n n 1 n n 6
lim 4n n 2 n 4n4n
Bài 4: Tính các giới hạn sau:
lim n 2n 3 n n
limn n 2n 1 n 4n 2 1