1 giới hạn hữu hạn – giới hạn vô cực của dãy số

KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÀ CÁC VÍ DỤ I.. Giới hạn hữu hạn của dãy số 1.. Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn, nếu có thì tồn tại duy nhất.. BÀI GIẢNG: GIỚI

Trang 1

"Cácthầytoáncóthểlàm video vềtoán 10 nângcaophầnlượnggiác dc ko ạ"

họcsinhcógửinguyệnvọngđến page

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÀ CÁC VÍ DỤ

I Giới hạn hữu hạn của dãy số

1 Định nghĩa



    với  0 bất kì bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn, nếu có thì tồn tại duy nhất

Ví dụ 1: Xét dãy số  u n với u n 1

n

 Lấy ví dụ và chứng minh rằng: lim n 0

 

Giải:

*) Ví dụ chọn  0,01

0, 01 100 100

n

Như vậy nghĩa là u n 0, 01 kể từ số hạng thứ 101 trở đi

Vậy lim n 0  

*) Phương pháp tổng quát:

0



  nhỏ tùy ý, ta có: u n 1 1

 

Để u n  ta chỉ cần chọn n sao cho 1 n 1

n 



  

Vậy nếu chọn số nguyên dương n0 thỏa mãn n0 1



 thì ta có u n   n n0

BÀI GIẢNG: GIỚI HẠN HỮU HẠN – GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ

CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN MÔN TOÁN: LỚP 11

THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM

Trang 2

Ví dụ 2: Xét dãy số  u n với  

2

1

n

u n



 Lấy ví dụ chứng minh rằng: lim n 0

 

Giải:

Ví dụ chọn  0,0001

 

0, 0001

10000

n

u



    n thỏa mãn n2 10000 hay n100

Như vậy nghĩa là u n 0, 0001 kể từ số hạng thứ 101 trở đi

Ví dụ 3:

a) Xét dãy số  u n với u n 2n 1

n



 Chứng minh rằng: lim n 2

 

b) Xét dãy số  v n với 2

1

n

n v n



 Chứng minh rằng: lim n 0.

 

Giải:

lim n 2 lim 2 lim 0

n u



1

n

Mà lim 1 0

nn 

2 Giới hạn đặc biệt

3

*

1

lim

k

n

k n

c c c const



Chú ý: Ta có thể viết limu n a và tự hiểu là n 

Trang 3

Ví dụ 4: Tìm các giới hạn sau:

a) lim 1

n

n n





2 2

lim

n



c) 2  3 lim

4

n n

n

n

 

d)

3

lim

n





Giải:

a) lim 1 lim 1 1 lim 1 lim 1 1 0 1

n

        

Sử dụng máy tính cầm tay: Dùng chứ năng CALC:

b)

2

lim 2 3 lim lim 2 3.0 0 2

d)

 

2 3

3 Định lý về giới hạn hữu hạn

a) Nếu limu n a, limv n b thì:

lim

n n

n

u v ab

k u ka k const

b

 

 

Chú ý: Không áp dụng định lý trên khi gặp dãy chứ tổng vô hạn và giá trị a b, là 

b) Nếu limu n a thì:

3

lim

n

 Nếu u n  0 n thì a0 ; lim u n  a

Trang 4

c) Nếu u n v n n và limv n 0 thì limu n 0

d) Định lý kẹp (mở rộng)

Nếu w n u n v n n và limw n limv n a thì limu n a

a) lim2 1

2

n n



lim

n



2

lim

3

n

lim 2.3 4





Giải:

a) 1 lim2 1

2

n

I

n







Chia cả tử và mẫu cho n :

1

1 2

2

1

I

n



b) 2 lim 23 2

n I





Chia cả tử và mẫu cho n2:

2

I

n n



c)

2 3

lim

3

I

n





Cách trình bày 1: A A2 B 0

Chia cả tử và mẫu cho :n

2 2

3

2

3

1

2

2 3.0 4.0 2

1

I

n n

n n n



Trang 5

Cách trình bày 2: 2  

0

A  A A

Đặt n với số mũ cao nhất trong tử và mẫu ra ngoài làm thừa số chung

2

3

2

3

1

2

2 3.0 4.0 2

1

n n

I

n n

n n n

 



d) 4 lim 3 4

2.3 4





Chia cả tử và mẫu cho 4 :n

4

3

n

I

  



 

 

a)

4

3

4

27

lim n n

n



b)   2 3

5

1 1 2

n

4 1 3 2 lim

2 3 6 2

  d)

2 2

lim

2

  

 

Giải:

a)

4

3

lim n n lim 27 27 0 3

Sử dụng máy tính cầm tay: Dùng chứ năng CALC:

Trang 6

c)   

4 1 3 2

lim

Chia cả tử và mẫu cho 12n:

d)

2

lim

2

  

 

Đặt 2

n trong căn xong đưa ra ngoài căn:

2

2 2

2

1 1

4 0 0 1 2 1 1 lim

1 1 2

2 1 2.0 1

1 1

n n

n

   

  



 

a) limsinn

n b)

 

2

1 cos lim

1

n

n n



3sin 4 cos

n



sin 5 lim

2n 1

n



Giải:

a) limsinn

n

Ta có: sinn 1 n *

n  n   và lim1 0 limsinn 0

Sử dụng máy tính cầm tay:

b)  

2

1 cos

lim

1

n

n n





Trang 7

Ta có:   *

n



1

 

2

1 cos

1

n

n n



c) lim3sinn 24 cosn

n



Ta có: 3sinn 24 cosn 52 n *



   và lim 52 0

n 

2

3sin 4 cos

n



Cách trình bày thứ 2:

5 3sinn 4cosn 5

n



2

3sin 4 cos

n



d)

sin

5

lim

2n 1

n



sin

1 5

2n 1 2n 1

n



sin

2n 1 2n 1

n

Trang 8

II Giới hạn vô cực của dãy số

1 Định nghĩa



     với M 0 bất kỳ lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

 

 Các dãy số có giới hạn  và  được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực

2 Giới hạn đặc biệt

*

3

lim

lim ; lim

n

k

n



 

  

  

3 Định lý và quy tắc tìm giới hạn vô cực

a) Nếu limu n   thì lim 1 0

n

u 

b) Nếu limu n a và limv n   thì lim n 0

n

u

v  c) Nếu limu n   và limv n   thì limu v n n  

d) Nếu limu n a a0 và limv n   thì limu v n n   a0 hay  a0

e) Nếu limu n a a0 và limv n 0 thì lim n  0

n n

u

a v

v    hay  a v n 0

4 Các dạng vô định

Từ những định lý giới hạn đã học, ta tổng kết được những kinh nghiệm sau (rất quan trọng):

0

hang so hang so

hang so



     

             

Trang 9

Khi tính giới hạn gặp các dạng vô định sau ; 0 ; ; 0.

0

 thì ta không thể áp dụng ngay những định lỹ

giới hạn hữu hạn mà cần phải khử dạng vô định trước bằng các phương pháp thích hợp sau đó mới áp dụng quy tắc tính giới hạn

Việc tính giới hạn phụ thuộc rất quan trọng và dạng vô định, nó sẽ quyết định phương pháp chứ không phụ thuộc hình thức dạng dãy số nào

a)

10 5

lim

3 lim

n



  c)

3 2

2 lim

n

  

4 2

lim

1 2

n



Giải:

a)

6 10

1 1 2

3 4

 

b)

3



c)

3

2

2 lim

L

n

  





Cách 1: Chia cả tử và mẫu cho

2 2

2

1 2

n

n n

n

  





Trang 10

Vì:

2

lim

1

n

n n

L n





3

1

n n



vì:

        

0 n

nn   d)

4 2

lim

1 2

L

n





2

2 2

2

1 2

n

n n

n



Vì: lim 2n2 1 52 ; lim 12 2 2 0

         

2



Vì:

n

     





lim 2n n 4 b)  2 

lim  n 5n2

c) lim 4n45n37n d) 3 3 2 

lim 8n  n n  n 2

Giải:

3

1 4 lim 2n n 4 lim n 2

        

3

1 4 limn ; lim 2 2 0

      

Trang 11

2

5 2 lim n 5n 2 lim n 1

         

2

5 2 limn ; lim 1 1

      

c) lim 4n4 5n3 7n lim n4 4 5 73 limn2 4 5 73

Vì: limn2 ; lim 4 5 73 2 0

n n

3

limn ; lim 8n  n n  n 2  3 0

lim n   n 2 n1

c)

2

1 lim

lim n 3n n

Trang 12

Giải:

2

  

 

n

 

2

   

   

2 2

1 1

1

n



c)

2



2

3

Trang 13

 

2

1 1 1

n

 

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Biết dãy số  u n thỏa mãn: u n 1 13 n

n

   Chứng minh rằng: lim n 1

 

Bài 2: Cho dãy số  u n với 2

1

n

n u n





 Chứng minh rằng: lim n 1.

 

Bài 3: Tìm các giới hạn sau:

a) lim1 2

3

n n



b)

2 2

limn n n

n

lim

4

n n

n

3 2 2

lim n n

n



a)

3

lim

n

 

 

lim

4

1 lim

 

a)

2

lim

1 2

n

 

 b)

2 2

lim

n

 

 c)

lim

n

2

3 3

lim

2

  

 

a) lim 3 1

2.3 4

n



3 2.5 lim



lim



lim 3n

n n



a) limcos 2

1

n

n b)

 

2

1 lim

4

n



sin 3 cos 2 lim

2 1

n

2

sin 4 lim

3n

n

 

 

 

Trang 14

a)

10 5

lim

1 2

 

5 2

lim



2

1 2 lim

4

  

lim 4n n 2 b)  4

lim 1 3n n c)  4 3 2

lim 4n 5n  7 2n

lim  n 2n 4n  n 3

lim n 3n n 1 b) lim n 1 n n

c)

1 lim

lim 8n  n 2n

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	1,01 MB