Câu 1 [2D1-2.14-3] (Văn Giang Hưng Yên) Cho hàm số
4
2 2
2
x
y = − m x + Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu, đồng thời đường thẳng cùng phương với trục hoành qua điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích bằng
64
15 là
1
; 1 2
± ±
2
; 1 2
± ±
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thị Bích Thanh; Fb: Nguyen Thanh
Chọn A
y ′ = x − m x = x x − m .
Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi m ≠ 0
Khi đó điểm cực đại là A ( ) 0;2 và đường thẳng cùng phương với trục hoành đi qua điểm cực đại là d y : = 2.
Gọi S là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng d và đồ thị
Ta có:
0
2
x
=
= −
Do tính chất đối xứng của đồ thị nên ta có:
2
0
0
m
S = − m x x = − =
∫ Theo đề ra
5
5
64 64 64
15 15 15
m
Câu 2 [2D1-2.14-3] (Cụm 8 trường Chuyên Lần 1) Cho hai hàm số f x x ( ) = − +4 ( m 1 ) x2+ 2 và
( ) 2 4 4 2 3
g x = x − x + m Giả sử đồ thị hàm số f x ( ) có ba điểm cực trị là A, B, C và đồ thị hàm số g x ( ) có ba điểm cực trị là M , N, P Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hai tam giác ABC và MNP đồng dạng với nhau?
Lời giải
Tác giả: Phạm Thị Phương Thúy; Fb: thuypham
Chọn A
Trang 2+) f x x ( ) = − +4 ( m 1 ) x2+ 2 có f x ′ = ( ) 4 x3− 2 ( m + 1 ) x = x x 4 2− 2 ( m + 1 ) .
0
2
x
x
=
=
Hàm số f x x ( ) = − +4 ( m 1 ) x2 + 2 có 3 điểm cực trị⇔ + > ⇔ > − m 1 0 m 1
Khi đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x = ( ) là: A ( ) 0;2 ,
( )2 1 1
m m
( )2
1 1
m m
+
Vì hàm số f x ( ) là hàm bậc bốn trùng phương, có đồ thị hàm số
nhận Oy là trục đối xứng nên ∆ ABC cân tại A
Ta có:
( )2 1 1
;
m m
uuur
,
( )2 1 1
;
m m
AC + − +
uuur
+) g x ( ) = 2 x4− 4 x2+ 3 m có g x ′ = ( ) 8 x3− 8 x.
( ) 0 0
1
x
g x
x
=
′ = ⇔ = ±
Khi đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số y g x = ( ) là: M ( 0;3 m ) , N ( − − + 1; 2 3 m ) ,
( 1; 2 3 )
P − + m Vì hàm số g x ( ) là hàm bậc bốn trùng phương, có đồ thị hàm số nhận Oy là trục đối xứng nên ∆ MNP cân tại M
Ta có: MN uuuur = − − ( 1; 2 ) , MP uuur = − ( ) 1; 2 .
+) ∆ ABC : ∆ MNP ⇔ BAC NMP · = · ⇔ cos · BAC = cos NMP ·
AB AC MN MP
AB AC MN MP
uuur uuur uuuuruuur uuur uuur uuuur uuur
4
4
1 1
3
5 1
1
m m
m m
+ +
− ÷+
+
3
3
5
m m
2 m 1 64
1 32
m
332 1
m
⇔ = − Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn
Trang 3Cách 2: Lưu Thêm (trắc nghiệm).
3
8 cos
8
BAC
+
=
− +) Xét hàm số y f x = ( ) = − + x4 ( m 1 ) x2+ 2.
Đồ thị hàm số y f x = ( ) có ba điểm cực trị A, B, C ( A Oy ∈ ) ⇔ m + > 1 0 ( ) *
Khi đó ∆ ABC cân tại A và
( ) ( ( ) )
cos
BAC
+) Xét hàm số y g x = ( ) = 2 x4− 4 x2+ 3 m
Ta có với mọi m đồ thị hàm số y g x = ( ) có 3 điểm cực trị M , N , P ( M Oy ∈ )
Ta có ∆ MNP cân tại M và
( )
3 3
cos
5
4 16
+) ∆ ABC : ∆ MNP ⇔ BAC NMP · = · ⇔ cos · BAC = cos NMP ·
( ) ( )
3
3
1 8 3
5
1 8
m m
+ −
+ +
( )3
2 m 1 64
1 32
m
⇔ + = ⇔ = m 332 1 − Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn