Có bao nhiêu cặp p q ; sao cho khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trên bằng 10?. Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Ngọc Lan; Fb:ngoclan nguyen Chọn A D = ¡.
Trang 1Câu 1 [2D1-2.10-3] (HSG 12 Bắc Giang) Cho hàm số
2 2
( )
1
x px q
f x
x
+ +
=
+ , trong đó
2 2
p ≠ p q + = Có bao nhiêu cặp ( ) p q ; sao cho khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ
thị hàm số trên bằng 10?
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Ngọc Lan; Fb:ngoclan nguyen
Chọn A
D = ¡
( )
2 2
1
y
x
′ =
+
( )
2
2 2
2 1 1
x
=
2
y ′ = ⇔ − px + − q x p + = .
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị ⇔ phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
Do p ≠ 0nên ac = − < p2 0 ⇒ phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt
Ta có phương trình đường đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: 1
2
p y
x
= + .
Gọi 2 nghiệm của phương trình ( ) 1 là
1, 2
x x .
Khi đó hai điểm cực trị là 1 1
;1 2
p
A x
x
+
;1 2
p
B x
x
+
Theo bài ra: AB = 10 ⇔ AB2 = 10 ( )2 2
1 2
1 2
10
x x
1 2
1 2
10 4
p
x x
x x
1 2
4
p
x x
x x
1 2
4
p
x x
Theo định lý Viet ta có:
1 2
1 2
2 1 1
q
x x
p
x x
+ =
Thay vào phương trình (2) ta có
Trang 22 2
1
4
p
2
1
4
p
2
(1 )
q
−
(do p2 = − 1 q2)
2
q
⇔ + ÷ + ÷ =
+
2
q q
+
( )
q q
= −
⇔ = Với q = − ⇒ 5 p2 = − 24 ( vô nghiệm )
Với q = ⇒ 0 p2 = ⇔ = ± 1 p 1
Vậy có 2 cặp số ( ) p q ; thỏa mãn là ( − 1;0 ; 1;0 ) ( ) Chọn A