P3 phương trình đường thẳng

b Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng P... Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng P , biết ∆ đi qua A và vuông góc với d.Bài 51.. Viết p

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Phần 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG OXYZ

Bài 44. Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A ( − 1;2;3 , ) ( B − 2;1;0 , 4;0;1 ) ( C ) và D ( 2; 3;1 − )

Viết phương trình các đường thẳng:

a) d1 đi qua A B ,

b) d2 đi qua A và cắt đoạn thẳng CD tại điểm M sao cho CM = 2 DM .

c) d3 đi qua D và vuông góc với ( ABC ) .

d) d4 đi qua B và song song với CD.

e) d5 đi qua E ( ) 1;1;1 và song song với ( ABC ) và ( ) Oxy .

f) d6 đi qua F ( − − 1; 2;4 ) và vuông góc với AB và CD.

g) d7 đi qua F ( − − 1; 2;4 ) , vuông góc với AB và song song với ( BCD ) .

Bài 45. Cho hai mặt phẳng ( ) P : x − + = 2 y z 0, ( ) Q x y z : + − − = 3 0 cắt nhau theo giao tuyến d.

(a) Viết phương trình đường thẳng d

(b) Viết phương trình đường thẳng d1 đi qua A ( 2; 1;0 − ) và vuông góc với ( ) P .

(c) Viết phương trình đường thẳng d2 đi qua gốc O và song song với cả hai mặt phẳng ( ) P và

(a) Tìm tọa độ giao điểm M của d1 và ( ) P

(b) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua ( ) P

(c) Viết phương trình đường thẳng

(i)∆1 đi qua A , song song với ( ) P và vuông góc với đường thẳng d2

(iii) ∆3 nằm trong mặt phẳng ( ) P , cắt và vuông góc với đường thẳng d1

(iv) ∆4 đi qua A song song với mặt phẳng ( ) P và cắt đường thẳng d2

(v)∆5 đi qua A , cắt đường thẳng d1 và vuông góc d2

(d) Viết phương trình mặt phẳng

(i)( ) Q1 đi qua A và vuông góc d1

(ii) ( ) Q2 đi qua A song song d1và d2

Bài 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 0;0; 3 , 2;0; 1 − ) ( B − ) và mặt phẳng

( ) P :3 8 x − + − = y 7 1 0 z .

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với ( ) P .

b) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng ( ) P .

c) Tìm tọa độ điểm C nằm trên mặt phẳng ( ) P sao cho ∆ ABC là tam giác đều

d) Tìm điểm M có hoành độ bằng 1 sao cho AM BM + đạt giá trị nhỏ nhất

e) Tìm điểm N thuộc mặt phẳng ( ) P sao cho AN BN2+ 2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 48. Cho hai điểm A (1;4;2), ( 1;2;4) B − , đường thẳng

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA MB2+ 2 nhỏ nhất

Bài 49. Cho đường thẳng ∆1 là giao của hai mặt phẳng x − + − = 2 y z 4 0 và x + − + = 2 2 9 0 y z

b Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng( ) P Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng ( ) P , biết ∆ đi qua A và vuông góc với d.

Bài 51. Cho đường thẳng d:

− và điểm A ( 1;0; 1 − ) Viết phương trình mặt phẳng qua A

và vuông góc với d Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên d.

Bài 54. (D2011) Cho đường thẳng

tọa độ M thuộc d sao cho tam giác ABM vuông tại M .

Bài 55. (THPT 2015) Cho mặt phẳng ( ) P x y : − + − = 2 3 0 z và hai điểmA ( 1; 2;1 − ) , B ( 2;1;3 ) Viết

phương trình đường thẳng AB và tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng

Bài 57. Cho điểm A ( 1;2; 1 − ), mặt phẳng ( ) P x y : − + − = 2z 5 0, đường thẳng d : x − − 2 1 = y − − 1 1 = − z 2

a) Viết phương trình đường thẳng d1 đi qua A, cắt và vuông góc với d.b) Viết phương trình đường thẳng d2 đi qua A, cắt d và song song với ( ) P .

c) Viết phương trình đường thẳng d3 đi qua A, cắt d và mặt phẳng ( ) P lần lượt tại M , N

sao cho A là trung điểm đoạn thẳng MN

d) Viết phương trình đường thằng d4 đi qua A, cắt d và mặt phẳng ( ) P lần lượt tại M , N

sao cho 3AM AN =

Bài 58 (B2006) Cho điểm A ( 0;1;2 ) và hai đường thẳng 1

a) Viết phương trình mặt phẳng ( ) P qua A, đồng thời song song với d1 và d2

b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho ba điểm A M N , , thẳng hàng

Bài 59. Cho điểm A ( 1;2;3 ) và đường thẳng d : x 2 + 1 = = 1 y z − 2 3

− Viết phương trình đường thẳng ∆ điqua A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Oz

Bài 60. (D2009) Cho các điểm A ( 2;1;0 , 1;2;2 , 1;1;0 ) ( B ) ( ) C và ( ) : P x y z + + − = 20 0. Xác định tọa

độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng ( ) P

Bài 61. Cho điểm A ( 1; 2;1 − ) và hai đường thẳng 1

a) Viết phương trình đường thẳng d3 đi qua A cắt hai đường thẳng d d1, 2

b) Viết phương trình đường thẳng d4 đi qua A cắt d1 và vuông góc với d2.

Câu 62. Cho điểm A ( - - 4; 2;4 ) và đường thẳng d : x + 2 3 = y - - 1 1 = z + 4 1 Viết phương trình đường thẳng

∆ đi qua A , cắt và vuông góc với d

Câu 63. Cho mặt phẳng ( ) P : 2 x + - - = 3 y z 7 0 và A ( 3;5;0 ) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A

và vuông góc với mặt phẳng ( ) P Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua ( ) P

Bài 64. Cho đường thẳng

Bài 65. Cho mặt phẳng ( ) P x y z : + + − = 1 0 và hai điểm A ( − − − 1; 1; 2 ) , B ( 0;1;1 ) Tìm tọa độ hình

chiếu vuông góc của A trên ( ) P Viết phương trình mặt phẳng đi qua A B , và vuông góc với( ) P .

Bài 66. (D 2009) Cho đường thẳng ∆ :

x + = y − = z

− và mặt phẳng ( ) P : x + − + = 2 3 4 0 y z Viếtphương trình

Câu 67. (A 2008) Cho điểm A ( 2;5;3 ) và đường thẳng d:

Câu 69. Cho đường thẳng

Bài 71 (TN-2014) Cho điểmA ( 1; 1;0 − ) và mặt phẳng ( ) P : 2x-2y+z-1=0 Viết phương trình tham số

của đường thẳng đi qua Avà vuông góc với ( ) P Tìm tọa độ điểm M ∈ ( ) P sao cho AM vuông góc với OA và độ dài đoạnAM bằng ba lần khoảng cách từ A đến ( ) P .

Câu 72. Cho đường thẳng

1 :

Câu 74. (B2009) Cho mặt phẳng ( ) P x y : - 2 + 2 - 5 0 z = và hai điểm A ( − 3;0;1 ) và B ( 1; 1;3 − ) Trong các

đường thẳng đi qua A và song song với ( ) P , hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ

B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất

Câu 75. (B2003) Cho hai điểm A ( 2;0;0 ) , B ( 0;0;8 ) và điểm C sao cho uuur AC = ( 0;6;0 ) Tính khoảng cách từ

trung điểm I của BC đến đường thẳng OA

Bài 76 ( A 2007 ) Cho hai đường thẳng 1 2

a) Chứng minh rằng d d1; 2 chéo nhau.

b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ) P : 7 x y + − = 4 z 0 và cắt hai

b) Mặt phẳng Oxz cắt hai đường thẳng d1 và d2lần lượt tại A B ; Tính diện tích tam giác OAB

Câu 78 (A2010) Cho đường thẳng

Câu 79 (A2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) P x : − + − = 2 y 2 1 0 z và hai đường

GIẢI CHI TIẾT HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Phần 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG OXYZ

Buichithanh1987@gmail.com, chitoannd@gmail.com

Bài 44. Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A ( − 1;2;3 , ) ( B − 2;1;0 , 4;0;1 ) ( C ) và D ( 2; 3;1 − )

Viết phương trình các đường thẳng:

a) d1 đi qua A B ,

b) d2 đi qua A và cắt đoạn thẳng CD tại điểm M sao cho CM = 2 DM .

c) d3 đi qua D và vuông góc với ( ABC ) .

d) d4 đi qua B và song song với CD.

e) d5 đi qua E ( ) 1;1;1 và song song với ( ABC ) và ( ) Oxy .

f) d đi qua F ( − − 1; 2;4 ) và vuông góc với AB và CD.

g) d7 đi qua F ( − − 1; 2;4 ) , vuông góc với AB và song song với ( BCD ) .

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Văn Chí ; Fb: Nguyễn Văn Chí

a) Ta có: uuur AB = − − − ( 1; 1; 3 ) nên d1 có một véc tơ chỉ phương là u r = ( ) 1;1;3

c) Gọi n r

là VTPT của mặt phẳng ( ABC ) , ta có n r =   uuur uuur AB AC ,   = − − ( 4; 17;7 ) = u uur3

Vậy phương trình đường thẳng

d) d4 đi qua Bvà song song với CD nên d4 có VTCP u CD uur uuur4 = = − − ( 2; 3;0 ).

Vậy phương trình đường thẳng

f) Vì d6 đi qua F ( − − 1; 2;4 ) và vuông góc với AB và CDnên d6 có VTCP u6 =   AB CD ,  

uur uuur uuur

Bài 45. Cho hai mặt phẳng ( ) P : x − + = 2 y z 0, ( ) Q x y z : + − − = 3 0 cắt nhau theo giao tuyến d

(a) Viết phương trình đường thẳng d

(b) Viết phương trình đường thẳng d1 đi qua A ( 2; 1;0 − ) và vuông góc với ( ) P .

(c) Viết phương trình đường thẳng d2 đi qua gốc O và song song với cả hai mặt phẳng ( ) P và

( ) Q .

Lời giải

Tác giả:Phạm Thị Hạnh; Fb: hộpthư tri ân.

(a) ( ) P có 1 VTPT là n uurP( 2; 2;1 − ),( ) Q có 1 VTPT là n uurQ( 1;1; 1 − ) .

Vì d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) P và ( ) Q nên dcó 1VTCP là:

(c) Vì đường thẳng d2 song song với cả hai mặt phẳng ( ) P và ( ) Q nên d2 có 1VTCP là:

(a) Tìm tọa độ giao điểm M của d1 và ( ) P

(b) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua ( ) P

(c) Viết phương trình đường thẳng

(i)∆1 đi qua A , song song với ( ) P và vuông góc với đường thẳng d2

(ii) ∆2 nằm trong mặt phẳng ( ) P , cắt hai đường thẳng d1 và d2

(iii) ∆3 nằm trong mặt phẳng ( ) P , cắt và vuông góc với đường thẳng d1

(iv) ∆4 đi qua A song song với mặt phẳng ( ) P và cắt đường thẳng d2

(v)∆5 đi qua A , cắt đường thẳng d1 và vuông góc d2

(d) Viết phương trình mặt phẳng

(i)( ) Q1 đi qua A và vuông góc d1

(ii) ( ) Q2 đi qua A song song d1và d2

Gọi A’ là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) thì H là trung điểm của AA '

(c)Viết phương trình đường thẳng

(i)Vì ∆1 song song với ( ) P và vuông góc với đường thẳng d2 ⇒ u uur∆1 =   uur uur n uP; d2  = − ( 4;0;2 )

Phương trình ∆1 qua A và có véc tơ chỉ phương u uur∆1

là

1 223

∆ nằm trong mặt phẳng ( ) P , cắt và vuông góc với đường thẳng d1 suy ra M ∈∆3 và véc tơ chỉ

phương uuur uur uur u∆3 =   n uP; d1  = − − ( 7; 5;1 )

(v) ∆5 đi qua A , cắt đường thẳng d1 và vuông góc d2

(ii) ( ) Q2 đi qua A song song d1và d2

Do đó véc tơ pháp tuyến của ( ) Q2 là n r =   u u ur uur1; 2  = (15;15; 5) − cùng phương với ( 3;3; 1 − )

Vậy phương trình ( ) Q2 là 3 ( ) x − + 1 3( y − − + = ⇔ + − − = 2) 1( 3) 0 z 3 3 x y z 12 0

Phunghang10ph5s@gmail.com

Bài 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 0;0; 3 , 2;0; 1 − ) ( B − ) và mặt phẳng

( ) P :3 8 x − + − = y 7 1 0 z

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với ( ) P .

b) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng ( ) P .

c) Tìm tọa độ điểm C nằm trên mặt phẳng ( ) P sao cho ∆ ABC là tam giác đều

d) Tìm điểm M có hoành độ bằng 1 sao cho AM BM + đạt giá trị nhỏ nhất

e) Tìm điểm N thuộc mặt phẳng ( ) P sao cho AN BN2+ 2 đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

Tác giả: Phùng Hằng; Fb: Hằng Phùng

a) ( ) P :3 8 x − + − = ⇒ y 7 1 0 z ( ) P có 1 VTPT là n r = − ( 3; 8;7 )

Do d ⊥ ( ) P ⇒ d nhận n r = − ( 3; 8;7 ) làm VTCP

Đường thẳng d đi qua A ( 0;0; 3 − ) , có 1 VTCP là ( 3; 8;7 − ), có phương trình:

38

x t y

Gọi J là trung điểm của AB J ⇒ ( 1;0; 2 − )

Mặt phẳng ( ) Q đi qua J ( 1;0; 2 − ) và có 1 VTPT là n ur1= ( ) 1;0;1 có phương trình là:

Ta thấy: A ( 0;0; 3 − ) và B ( 2;0; 1 − ) nằm ở hai phía so với mặt phẳng ( ) α Khi đó, gọi giao

điểm của đoạn thẳng AB với ( ) α là M0

Ta có: AM BM AB + ≥ , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M trùng M0

⇒ + đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi JN nhỏ nhất

Gọi H là hình chiếu vuông góc của J lên ( ) P Đường thẳng IH có 1 VTCP là ( 3; 8;7 − ), đi

qua J ( 1;0; 2 − ) , có phương trình:

1 38

Tác giả: Trần Trung; Fb: Trung Tran

a) Do G là trọng tâm của tam giác OAB G ⇒ (0;2;2)

Ta có: OA uuur = (1;4;2), OB uuur = − ( 1;2;4) ⇒   OA OB uuur uuur ;   = ( 12; 6;6 − ).

Do đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng

( OAB ) ⇒ đường thẳng d có véctơ chỉ phương là 1 ; ( 2; 1;1 )

Tác giả: Trần Trung; Fb: Trung Tran

a) Do ∆1 là giao của hai mặt phẳng x − + − = 2 y z 4 0 và x + − + = 2 2 9 0 y z

Suy ra

1

52213

44

Do mặt phẳng ( ) P chứa đường thẳng ∆1 và song song với đường thẳng ∆2

Suy ra VTPT của mặt phẳng ( ) P là n uur ur uurP = [ ; ] (2;0; 1) u u1 2 = −

là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d

Vì v n r r ⊥ và v u r r ⊥ nên chọn v r =     n u r r ; = ( 5;0;5 ) cùng phương với véc tơ ( ) 1;0;1

Phương trình tham số đường thẳng ∆ là:

14

Bài 55. Cho đường thẳng d:

Đường thẳng ∆ đi qua A và nhận uuuur AM

làm véc tơ chỉ phương có phương trình là:

Tác giả : Nguyễn Hoàng Hưng , FB: Nguyễn Hưng

Phương trình tham số của đường thẳng d:

22

322

7

; 3; 2

32

d có vectơ chỉ phương u r = − ( 1; 2;3 ) , ( ) P có vectơ pháp tuyến n r = ( 2;1; 2 − ) Gọi n r( )Q

là vectơ pháp tuyến của ( ) Q .

Khi đó:

( ) ( )

Q Q

− và điểm A ( 1;0; 1 − ) Viết phương trình mặt phẳng qua A

và vuông góc với d Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên d.

Lời giải

Tác giả : Nguyễn Hoàng Hưng , FB: Nguyễn Hưng

d có vectơ chỉ phương

u r = ( 2;2; 1 − ) Gọi ( ) P là mặt phẳng qua A và vuông góc với d

( ) P ⊥ d, chọn n u r r = = ( 2;2; 1 − ) là vectơ pháp tuyến của ( ) P .

Bài 54. (D2011) Cho đường thẳng

Lời giải

Tác giả: Đỗ Hải Thu; Fb: Đỗ Hải Thu

+ Điểm M thuộc đường thẳng

Tam giác ABM vuông tại M ⇔ AM BM ⊥ ⇔ uuuuruuuur AM BM = 0

dothu.namtruc@gmail.com

Bài 55. (THPT 2015) Cho mặt phẳng ( ) P x y : − + − = 2 3 0 z và hai điểmA ( 1; 2;1 − ) , B ( 2;1;3 ) Viết

phương trình đường thẳng AB và tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng

(a) Tìm toạ độ điểm A ′ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1.

(b) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Hợp; Fb: Nguyễn Thị Hồng Hợp

(a) Mặt phẳng ( ) α đi quaA ( 1;2;3 ) và vuông góc với d1 có phương trình là:

Vì A ' đối xứng với A qua d1 nên H là trung điểm của AA ′ ⇒ − − A ′ ( 1; 4;1)

(b) Vì ∆ đi qua A vuông góc với d1 và cắt d2, nên ∆ đi qua giao điểm B của d2 và ( ) α .

Toạ độ giao điểm B của d2 và ( ) α là nghiệm của hệ:

Vectơ chỉ phương của ∆ là: u AB r = uuur = − − (1; 3; 5).

Vậy phương trình của ∆ là:

Bài 57. Cho điểm A ( 1;2; 1 − ), mặt phẳng ( ) P x y : − + − = 2z 5 0, đường thẳng d : x − − 2 1 = y − − 1 1 = − z 2

a) Viết phương trình đường thẳng d1 đi qua A, cắt và vuông góc với d

b) Viết phương trình đường thẳng d2 đi qua A, cắt d và song song với ( ) P .

c) Viết phương trình đường thẳng d3 đi qua A, cắt d và mặt phẳng ( ) P lần lượt tại M , N

sao cho A là trung điểm đoạn thẳng MN

d) Viết phương trình đường thằng d4 đi qua A, cắt d và mặt phẳng ( ) P lần lượt tại M , N

sao cho 3AM AN =

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Trung Thành; Fb: Thanh Nguyen

Mặt phẳng ( ) P đi qua K ( 5;0;0 ) và có một vec tơ pháp tuyến là n uurP = − ( 1; 1;2 ) .

Đường thẳng d đi qua E ( 1;1;0 ) và có một vectơ chỉ phương là u r = − − − ( 2; 1; 2 ) .

Đường thẳng d có phương trình tham số là

1 212

cho ra ngay một vec tơ chỉ phương của d1.

b) Viết phương trình đường thẳng d2 đi qua A, cắt d và song song với ( ) P .

Vì d2 đi qua A, cắt đường thẳng d nên d2 ⊂ ( ) Q

Vì d2⊂ ( ) Q và d2P ( ) P nên d2 có một vectơ chỉ phương là u2 =   n nP; Q 

uur uur uur

sao cho A là trung điểm đoạn thẳng MN

Cách 1.

Vì M d = ∩3 d nên tọa độ điểm M có dạng M ( 1 2 ;1 ; 2 − t − − t t )

Vì A là trung điểm của đoạn MN nên

222

2 2

N N N

Vì M d = ∩3 d nên tọa độ điểm M có dạng M ( 1 2 ;1 ; 2 − t − − t t )

Gọi ( ) P′ là mặt phẳng đối xứng với ( ) P qua A

Lấy B x y z ( ; ; ) là điểm tùy ý trên ( ) P , gọi B x y z ′ ′ ′ ′ ( ; ; ) là điểm đối xứng với B qua A.

sao cho 3AM AN =

Vì M d = ∩4 d nên tọa độ điểm M có dạng M ( 1 2 ;1 ; 2 − t − − t t ) ⇒ uuuur AM = − − − − ( 2 ; 1 ;1 2 t t t ) .

Xét hai trường hợp sau:

• Trường hợp 1: 3AM AN uuuur uuur =

a) Viết phương trình mặt phẳng ( ) P qua A, đồng thời song song với d1 và d2.

b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho ba điểm A M N , , thẳng hàng.

Bài 59. Cho điểm A ( 1;2;3 ) và đường thẳng d : x 2 + 1 = = 1 y z − 2 3

− Viết phương trình đường thẳng ∆ điqua A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Oz

Lời giải

Tác giả:Phạm Thị Phương Thúy ; Fb: thuypham