P3 phương trình đường thẳng

a Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với  P .b Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng  P.. a Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G củ

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Phần 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG OXYZ

Bài 44. Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A1;2;3 , B 2;1;0 , C 4;0;1 và D2; 3;1 

Viết phương trình các đường thẳng:

a) d đi qua 1 A B, .

b) d2 đi qua A và cắt đoạn thẳng CD tại điểm M sao cho CM 2DM .

c) d3 đi qua D và vuông góc với ABC

d) d4 đi qua B và song song với CD.

e) d5 đi qua E1;1;1

và song song với ABC

và Oxy

f) d6 đi qua F 1; 2; 4 và vuông góc với AB và CD.

g) d7 đi qua F 1; 2; 4, vuông góc với AB và song song với BCD

.

Bài 45. Cho hai mặt phẳng  P

: x2y z 0, Q :x y z   3 0 cắt nhau theo giao tuyến d.(a) Viết phương trình đường thẳng d

(b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua 1 A 2; 1;0  và vuông góc với  P

(a) Tìm tọa độ giao điểm M của d1 và  P

(b) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua  P

(c) Viết phương trình đường thẳng

(i)1 đi qua A , song song với  P

và vuông góc với đường thẳng d2

(ii) 2 nằm trong mặt phẳng  P

, cắt hai đường thẳng d1 và d2

(iii) 3 nằm trong mặt phẳng  P

, cắt và vuông góc với đường thẳng d1

(iv) 4 đi qua A song song với mặt phẳng  P

(ii)  Q2

đi qua A song song d1và d2

Bài 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A0;0; 3 ,  B 2;0; 1  và mặt phẳng

 P : 3x8y7z 1 0.

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với  P

.b) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng  P

c) Tìm tọa độ điểm C nằm trên mặt phẳng  P

sao cho ABC là tam giác đều.

d) Tìm điểm M có hoành độ bằng 1 sao cho AM BM đạt giá trị nhỏ nhất

e) Tìm điểm N thuộc mặt phẳng  P

sao cho AN2BN2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 48. Cho hai điểm A(1; 4; 2), ( 1;2;4)B  , đường thẳng :x11 y12 2z

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với

mặt phẳng (OAB)

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho MA2MB2 nhỏ nhất.

Bài 49. Cho đường thẳng  là giao của hai mặt phẳng 1 x2y z  4 0 và x2y2z 9 0.

b Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng ( )P Viết phương trình tham số

của đường thẳng  nằm trong mặt phẳng ( )P , biết  đi qua A và vuông góc với d

Bài 51. Cho đường thẳng d:

x  y z

và m t phẳng ă ( )P : x y   2z 5 0và điểm (1; 1;2)

A  Viết phương trình đường thẳng  cắt dvà ( )P

lần lượt tại M N, sao cho A là

trung điểm của đoạn thẳng MN.

Bài 52. Cho đường thẳng d:

 và điểm A1;0; 1  Viết phương trình mặt phẳng qua A

và vuông góc với d Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên d.

Bài 54. (D2011) Cho đường thẳng

tọa độ M thuộc d sao cho tam giác ABM vuông tại M .

Bài 55. (THPT 2015) Cho mặt phẳng  P : x y 2z 3 0 và hai điểmA1; 2;1  , B2;1;3

Viết phương trình đường thẳng AB và tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng

lần lượt tại M , N sao cho A là trung điểm đoạn thẳng MN

d) Viết phương trình đường thằng d đi qua A , cắt 4 d và mặt phẳng  P

lần lượt tại M , N

sao cho 3AM AN

Bài 58 (B2006) Cho điểm A0;1; 2

 Viết phương trình đường thẳng  đi

qua A , vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Oz

Bài 60. (D2009) Cho các điểm A2;1;0 , 1;2;2 ,  B  C1;1;0

và ( ) :P x y z  20 0. Xác định tọa

độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng ( ).P

Bài 61. Cho điểm A1; 2;1  và hai đường thẳng 1

a) Viết phương trình đường thẳng d3 đi qua A cắt hai đường thẳng d d1, .2

b) Viết phương trình đường thẳng d4 đi qua A cắt d1 và vuông góc với d2

Câu 62. Cho điểm A(- 4; 2; 4- ) và đường thẳng d:x+23 y-11 z+41

- Viết phương trình đường thẳng

∆ đi qua A , cắt và vuông góc với d

 và hai điểm A1; 1;1  , B1; 2;3 Viết phương

trình đường thẳng d đi qua A , vuông góc với hai đường thẳng AB và 

Bài 65. Cho mặt phẳng  P x y z:    1 0 và hai điểm A  1; 1; 2, B0;1;1

Tìm tọa độ hìnhchiếu vuông góc của A trên  P

Viết phương trình mặt phẳng đi qua A B, và vuông góc với

b) Viết phương trình măt phẳng   chứa d sao cho khoảng cách từ A đến   lớn nhất.

Câu 68. (B2011) Cho đường thẳng

Tìm tọa độ điểm M thuộc  P

sao cho MI vuông góc với  và MI 4 14.

Câu 69. Cho đường thẳng

 và hai điểm A2;1;1, B 3; 1; 2 Tìm điểm M

thuộc  sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5

Bài 70. (D2012) Cho đường thẳng

 và hai điểm A1; 1; 2 , B 2; 1;0     Tìm tọa độ

điểm M thuộc đường thẳng  sao cho tam giác AMB vuông tại M.

Bài 71 (TN-2014) Cho điểmA1; 1;0  và mặt phẳng  P : 2x-2y+z-1=0

Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua Avà vuông góc với  P

Tìm tọa độ điểm M� P

sao cho AM vuông

góc với OA và độ dài đoạnAM bằng ba lần khoảng cách từ A đến  P

.

Câu 72. Cho đường thẳng

1:

Câu 73. Cho đường thẳng

Câu 74. (B2009) Cho mặt phẳng  P : - 2x y2 - 5 0z  và hai điểm A3;0;1 và B1; 1;3  Trong các

đường thẳng đi qua A và song song với  P

, hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ

B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất

Câu 75. (B2003) Cho hai điểm A2;0;0

, B0;0;8

và điểm C sao cho uuurAC 0;6;0 Tính khoảng cách từ

trung điểm I của BC đến đường thẳng OA

b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P : 7x y 4z0 và cắt hai

b) Mặt phẳng Oxz cắt hai đường thẳng d và 1 d lần lượt tại 2 A B; Tính diện tích tam giác OAB

Câu 78 (A2010) Cho đường thẳng

điểm của  với ( )P , M là điểm thuộc  Tính khoảng cách từ M đến ( )P biết MC  6.

Câu 79 (A2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P x: 2y2z 1 0 và hai đường

Câu 80. (D2010) Cho hai đường thẳng 1

3:

GIẢI CHI TIẾT HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Phần 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG OXYZ

Buichithanh1987@gmail.com, chitoannd@gmail.com

Bài 44. Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A1;2;3 , B 2;1;0 , C 4;0;1 và D2; 3;1 

Viết phương trình các đường thẳng:

a) d đi qua 1 A B,

b) d2 đi qua A và cắt đoạn thẳng CD tại điểm M sao cho CM 2DM .

c) d3 đi qua D và vuông góc với ABC

d) d4 đi qua B và song song với CD.

e) d5 đi qua E1;1;1

và song song với ABC

và Oxy

f) d6 đi qua F 1; 2;4 và vuông góc với AB và CD.

g) d7 đi qua F 1; 2;4, vuông góc với AB và song song với BCD

.

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Văn Chí ; Fb: Nguyễn Văn Chí

a) Ta có: uuurAB    1; 1; 3 nên d1 có một véc tơ chỉ phương là ur 1;1;3

, ta có nr ��uuur uuurAB AC, ��   4; 17;7 uuur3

Vậy phương trình đường thẳng

d) d4 đi qua Bvà song song với CD nên d4 có VTCP uuur uuur4 CD   2; 3;0.

Vậy phương trình đường thẳng

f) Vì d6 đi qua F 1; 2;4 và vuông góc với AB và CDnên d6 có VTCP u6  ��AB CD, ��

uur uuur uuur

g) Vì d7 đi qua F 1; 2; 4, vuông góc với AB và song song với BCD

Bài 45. Cho hai mặt phẳng  P

: x2y z 0, Q :x y z   3 0 cắt nhau theo giao tuyến d.(a) Viết phương trình đường thẳng d

(b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua 1 A 2; 1;0  và vuông góc với  P

(b) Đường thẳng d1 vuông góc với  P

nên d nhận 1 nuurP2; 2;1  làm VTCP,d đi qua1

uuur��n nuur uur�� d đi qua gốc 2 O 0;0;0

suy raphương trình đường thẳng d là :2

2 3

(b) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua  P

(c) Viết phương trình đường thẳng

(i)1 đi qua A , song song với  P

và vuông góc với đường thẳng d2

(ii) 2 nằm trong mặt phẳng  P

, cắt hai đường thẳng d1 và d2

(iii) 3 nằm trong mặt phẳng  P

, cắt và vuông góc với đường thẳng d1

(iv) 4 đi qua A song song với mặt phẳng  P

và vuông góc với đường thẳng d2 �uuur1 ��n uuur uurP; d2��  4;0;2

Phương trình 1 qua A và có véc tơ chỉ phương uuur1

là

1 223

 nằm trong mặt phẳng  P

, cắt và vuông góc với đường thẳng d1 suy ra M�3 và véc tơ chỉ

phương uuuru3 ��uur uurn u P; d1��   7; 5;1

là 1(x 1) 2(y 2) 3(z 3) 0� x 2y  3z 6 0(ii)  Q2

đi qua A song song d1và d2

Do đó véc tơ pháp tuyến của  Q2

b) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng  P

c) Tìm tọa độ điểm C nằm trên mặt phẳng  P

sao cho ABC là tam giác đều.

d) Tìm điểm M có hoành độ bằng 1 sao cho AM BM đạt giá trị nhỏ nhất

x t y

Gọi H là hình chiếu vuông góc của J lên  P

Đường thẳng IH có 1 VTCP là 3; 8;7 , đi

qua J1; 0; 2  , có phương trình:

1 38

Bài 48. Cho hai điểm A(1; 4; 2), ( 1; 2; 4)B  , đường thẳng :x11 y12 2z

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với

mặt phẳng (OAB)

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho MA2MB2 nhỏ nhất.

Lời giải

Tác giả: Trần Trung; Fb: Trung Tran

a) Do G là trọng tâm của tam giác OAB�G( 0;2;2)

Ta có: OA(1; 4; 2),OB ( 1;2;4)� ��OA OB; ��12; 6;6 

Do đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng

(OAB)�đường thẳng d có véctơ chỉ phương là 1 ; 2; 1;1

Bài 49. Cho đường thẳng  là giao của hai mặt phẳng 1 x2y z  4 0 và x2y2z 9 0.

có độ dài nhỏ nhất

Lời giải

Tác giả: Trần Trung; Fb: Trung Tran

a) Do  là giao của hai mặt phẳng 1 x2y z  4 0 và x2y2z 9 0

Suy ra

1

52213

44

Do mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng  và song song với đường thẳng 1  2

Suy ra VTPT của mặt phẳng ( )P là nuurP [ ; ] (2;0; 1)u uur uur1 2   .

b Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng ( )P Viết phương trình tham số

của đường thẳng  nằm trong mặt phẳng ( )P , biết  đi qua A và vuông góc với d

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Quang Nam ; Fb:quang Nam

a I� �d I    (1 ; 3 2 ;3t t  t)

t t

A  Viết phương trình đường thẳng  cắt dvà ( )P

lần lượt tại M N, sao cho A là

trung điểm của đoạn thẳng MN.

Đường thẳng  đi qua A và nhận AMuuuur

làm véc tơ chỉ phương có phương trình là:

Phương trình tham số của đường thẳng d:

22

322

Khi đó:

 

 

Q Q

 và điểm A1;0; 1  Viết phương trình mặt phẳng qua A

và vuông góc với d Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên d.

Lời giải

Tác giả : Nguyễn Hoàng Hưng , FB: Nguyễn Hưng

d có vectơ chỉ phương

ur 2; 2; 1  Gọi  P

là mặt phẳng qua A và vuông góc với d

 P d, chọn n ur r 2; 2; 1  là vectơ pháp tuyến của  P

.Phương trình mặt phẳng  P : 2x 1 2 y 0 1 z 1 0�2x2y z  3 0

Phương trình tham số của đường thẳng d:

Tác giả: Đỗ Hải Thu; Fb: Đỗ Hải Thu

+ Điểm M thuộc đường thẳng

+ Tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng  P

là nghiệm của hệ phương

(a) Tìm toạ độ điểm A� đối xứng với điểm A qua đường thẳng d 1

(b) Viết phương trình đường thẳng  đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d 2

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Hợp; Fb: Nguyễn Thị Hồng Hợp

(a) Mặt phẳng   đi quaA1;2;3

và vuông góc với d1 có phương trình là:

Vì A' đối xứng với A qua d1 nên H là trung điểm của AA��A�( 1; 4;1)  .

(b) Vì  đi qua A vuông góc với d1 và cắt d , nên  đi qua giao điểm 2 B của d và 2   .Toạ độ giao điểm B của d và 2   là nghiệm của hệ:

Vectơ chỉ phương của  là: uruuurAB(1; 3; 5)  .

Vậy phương trình của  là:

Bài 57. Cho điểm A1;2; 1 , mặt phẳng  P : x y 2z 5 0  , đường thẳng d: x21 y11 z2

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A , cắt và vuông góc với 1 d

b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A , cắt 2 d và song song với  P

.c) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A , cắt 3 d và mặt phẳng  P

lần lượt tại M , N sao cho A là trung điểm đoạn thẳng MN

d) Viết phương trình đường thằng d đi qua A , cắt 4 d và mặt phẳng  P

và có một vec tơ pháp tuyến là n uur P 1; 1;2  .

Đường thẳng d đi qua E1;1;0

và có một vectơ chỉ phương là ur    2; 1; 2.

Đường thẳng d có phương trình tham số là

1 212

Nhận xét: Trong thực hành giải toán trắc nghiệm chúng ta chỉ cần dùng máy tính cầm tay bấm

nên d có một vectơ chỉ phương là 2 u2  ��n n P; Q��

uur uur uur

lần lượt tại M , N sao cho A là trung điểm đoạn thẳng MN

Cách 1.

Vì M  � nên tọa độ điểm M có dạng d3 d M1 2 ;1 t  t; 2t.

Vì A là trung điểm của đoạn MN nên

222

2 2

N N N

Vì B là điểm tùy ý trên  P

và B� đối xứng với B qua A có tọa độ B� thỏa mãn phương trình

lần lượt tại M , N

sao cho 3AM AN

Vì M d4� nên tọa độ điểm M có dạng d M1 2 ;1 t  t; 2t �uuuurAM     2 ; 1t t;1 2 t.

Xét hai trường hợp sau:

 Trường hợp 1: 3AM uuuur uuur AN

Bài 59. Cho điểm A1; 2;3

 Viết phương trình đường thẳng  đi

qua A , vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Oz

Lời giải

Tác giả:Phạm Thị Phương Thúy ; Fb: thuypham

Đường thẳng  cắt trục Oz tại B0;0;b�BAuuur1; 2;3b là VTCP của đường thẳng .

Điểm D thuộc đường thẳng AB nên D2t, 1t, 2 t �CDuuur 1 , , 2 t t t 

Đường thẳng CD song song với mặt phẳng ( )P �CDuuur uuurn( )P

1  t t 2 t 0

�

1t2

a) Viết phương trình đường thẳng d3 đi qua A cắt hai đường thẳng d d1, .2

b) Viết phương trình đường thẳng d4 đi qua A cắt d1 và vuông góc với d2

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hoa; Fb: Hoa Nguyễn

a) Gọi giao điểm của đường thẳng d3 với hai đường thẳng d d1, 2 lần lượt là M N , .

Ta có: M1t, -1 2 , -3t , t  Nu, 1 2 , -1+u u 

 , 2 1, -3t - 1 ,

AM  t t

�uuuur uuurAN    u 1, 2u3, u - 2 

t k ku

Phương trình đường thẳng d3 đi qua A có VTCP uuur3   1; 4; 5  là: x11 y42 z51.

b) Gọi giao điểm của đường thẳng d4 với đường thẳng d1 là M.

- Viết phương trình đường

thẳng ∆ đi qua A , cắt và vuông góc với d

là điểm đối xứng của A qua ( )P

, suy ra H là trung điểm của AA '

 và hai điểm A1; 1;1  , B1;2;3 Viết phương

trình đường thẳng d đi qua A , vuông góc với hai đường thẳng AB và 

Lời giải

Tác giả:Khánh Hoa ; Fb: Hộp Thư Tri Ân

Ta có uuurAB  2;3; 2 .

Vectơ chỉ phương của đường thẳng  : ur  2;1;3

Do đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng AB và  nên d có vectơ chỉ phương là :

Viết phương trình mặt phẳng đi qua A B, và vuông góc với

 P

Lời giải

Tác giả:Khánh Hoa ; Fb: Hộp Thư Tri Ân

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên  P

Ta có nr 1;1;1là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P

 

AH  P nên đường thẳng d qua A H, có phương trình là:

112

Phương trình của đường thẳng d là

a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d

b) Viết phương trình măt phẳng   chứa d sao cho khoảng cách từ A đến   lớn nhất.

Lời giải

Tác giả: Tống Thúy ; Fb:Thuy Tong

a) PTTS của d :

1 2,

Tìm tọa độ điểm M thuộc  P

sao cho MI vuông góc với  và

Mà I� P � Tọa độ điểm I thỏa mãn phương trình: 2     t 1 2t t 3 0

 và hai điểm A2;1;1, B 3; 1; 2 Tìm điểm M

thuộc  sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5

12

t t

Bài 70. (D2012) Cho đường thẳng

 và hai điểm A1; 1; 2 , B 2; 1;0     Tìm tọa độ

điểm M thuộc đường thẳng  sao cho tam giác AMB vuông tại M.

Tam giác MAB vuông tại M nên ta có

Bài 71 (TN-2014) Cho điểmA1; 1;0  và mặt phẳng  P : 2x-2y+z-1=0

Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua Avà vuông góc với  P

Tìm tọa độ điểm M� P sao cho AM vuông góc với

OA và độ dài đoạnAM bằng ba lần khoảng cách từ A đến  P