Công thức black – scholes trong toán tài chính

Theo hướng này, gần đây đã xuất hiện công trình đặc biệt của hai tác giả Richard J.Criego và Anatoly V.Swishchuk, nghiên cứu mô hình Black – Scholes với các hệ số  và  phụ thuộc vào mộ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS TRẦN HÙNG THAO

LỜI MỞ ĐẦU

Trong việc định giá các gói tài sản tài chính trong một thị trường chứng khoán thì mô hình Black – Sholes ra đời vào năm 1973 được đánh dấu như một bước ngoặt có tính chất cách mạng, làm thay đổi hẳn quá trình tính toán và đầu tư trên các thị trường tài chính Mỹ và Châu Âu kể từ đó

Mô hình định giá quyền chọn này được gắn liền với tên tuổi của Fischer Black, Myron Scholes và Merton Miller và là cơ sở cho một giải thưởng Nobel về kinh tế năm 1986 Để đi tới phương trình giá và công thức định giá, các tác giả của mô hình này đã giả thiết rằng sự biến đổi của giá chứng khoán cơ sở S t  theo thời gian t là một quá trình chuyển động

dS t S t dt  S t dW  t, (0.2)

trong đó các hệ số  và  được định giả thiết là các hằng số,  biểu thị tốc độ biến đổi trung bình của giá chứng khoán S t còn    được gọi là độ biến động, thể hiện mức độ tham gia của nhiễu ngẫu nhiên dW t

Trong quá trình ứng dụng về sau, mô hình Black – Sholes cổ điển tỏ

ra có nhiều hạn chế, chưa phản ánh tốt sự phát triển thực tế việc định giá các hợp đồng quyền chọn Các nhà nghiên cứu toán học và kinh tế tài chính

đã mở rộng mô hình này cho phù hợp hơn với thực tế

Sự mở rộng đã được phát triển theo hai hướng chính:

1 Hướng thứ nhất nhằm thay thế quá trình điều khiển Wiener (chuyển động Brown) W bởi một quá trình khác, chẳng hạn một quá trình khuếch t

tán có bước nhảy hay một quá trình Lévy, hay một quá trình tổng hợp nhiều loại chuyển động ngẫu nhiên hay một quá trình phân thứ Đã có rất nhiều thành công theo hướng này, trong đó phải kể đến các công trình của E.Eberlein, T.Bjork, D.Nualart…

2 Một khuynh hướng tự nhiên thứ hai là không xem tốc độ biến đổi 

và tốc độ biến động  của chứng khoán là hằng số nữa mà phải xem chúng biến đổi hoặc theo thời gian t:    t ,    t , hoặc là các biến ngẫu nhiên hoặc là các hàm ngẫu nhiên

Theo hướng này, gần đây đã xuất hiện công trình đặc biệt của hai tác giả Richard J.Criego và Anatoly V.Swishchuk, nghiên cứu mô hình Black – Scholes với các hệ số  và  phụ thuộc vào một xích Markov: ở mỗi trạng thái của xích Markov này thì có thể xem giá chứng khoán tuân theo

mô hình Black – Scholes cổ điển, nhưng theo thời gian với sự chuyển trạng thái của xích Markov thì giá chứng khoán lại ứng với một mô hình Black – Scholes cổ điển khác Ta có thể nói một cách sơ lược rằng ta có một mô hình Black – Scholes được “nhúng” trong một môi trường ngẫu nhiên tạo

ra bởi một xích Markov

Luận văn này đã tổng hợp một cách có hệ thống những kết quả chính của công trình này Luận văn gồm 3 chương:

Chương I gồm các kiến thức mở đầu, trình bày một số khái niệm cơ

bản về Toán Tài Chính và Giải tích ngẫu nhiên liên quan

đến đề tài luận văn như Quyền chọn, Trái phiếu và lãi suất, Toán tử sinh cực vi, công thức Feynman – Kac …

Chương II trình bày chung về các phương trình vi phân ngẫu nhiên mà

hệ số dịch chuyển (drift)  và hệ số khuếch tán (diffusion)

 phụ thuộc vào một xích Markov

Chương III trình bày mô hình Black – Scholes với các hệ số  và  phụ thuộc vào một xích Markov, dẫn giải cách đi tìm công thức định giá Black – Scholes cho mô hình quyền chọn này thông qua phương pháp Feynman – Kac

Phần cuối của luận văn, ngoài Kết luận còn có một Phụ lục liên quan tới

kĩ thuật tính toán trong nội dung của luận văn, đó là

Phụ lục 1 gồm Phương pháp độ đo xác suất rủi ro trung tính

Phụ lục 2 gồm Các định lý Girsanov về biến đổi độ đo

Luận văn này đã được hoàn thành sau một thời gian dài nỗ lực của tác giả với sự hướng dẫn nhiệt tình và sự động viên liên tục của thầy hướng dẫn PGS – TS Trần Hùng Thao

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Trần Hùng Thao, người đã hết lòng chỉ bảo, động viên, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến trường Đại học Khoa học Tự nhiên nơi tác giả được học tập, nghiên cứu trong suốt quá trình học Cao học và trong quá trình làm luận văn, cảm ơn trường Đại học Hàng hải Việt Nam nơi tác giả đang công tác đã luôn tạo điều kiện tốt nhất để tác giả có thể tập trung học tập và hoàn thành luận văn này Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, động nghiệp đã giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt thời gian qua

Tuy có nhiều cố gắng nhưng do khả năng còn hạn chế, thời gian không dài nên luận văn này không tránh khỏi những sai sót Tác giả mong nhận

được sự góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp Hy vọng sau luận

văn này tác giả sẽ có cơ hội phát triển thêm những nội dung khoa học thú vị trong luân văn

Ngày 30 tháng 10 năm 2013

Học viên

Phạm Quang Khải

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

MỤC LỤC 6

CHƯƠNG IKIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8

1.1 Trái phiếu, cổ phiếu, lãi suất 8

1.1.1 Trái phiếu 8

1.1.2 Cổ phiếu 8

1.1.3 Lãi suất 9

1.2 Thị trường đầy đủ và không đầy đủ 11

1.2.1 Cơ hội có độ chênh thị giá 11

1.2.2 Nguyên lý đáp ứng và khái niệm thị trường đầy đủ 15

1.3 Quyền chọn mua kiểu Châu Âu 16

1.4 Quá trình Markov, xích Markov và toán tử sinh cực vi 18

1.4.1 Quá trình Markov 18

1.4.2 Xích Markov 18

1.4.3 Toán tử sinh cực vi 21

1.5 Quá trình Poisson và chuyển động Brown 25

1.5.1 Quá trình Poisson 25

1.5.2 Quá trình Poisson phức hợp 27

1.5.3 Chuyển động Brown ( hay quá trình Wiener ) 28

1.6 Công thức Feynman – Kac 30

CHƯƠNG II QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ĐIỀU KHIỂN BẰNG XÍCH MARKOV……… 30

2.1 Quá trình ngẫu nhiên được điều khiển bởi xích Markov 32

2.2 Các kết quả 35

CHƯƠNG III MÔ HÌNH BLACK – SCHOLES ĐỐI VỚI THỊ TRƯỜNG KHÔNG ĐẦY ĐỦ (B,S,X) 39

3.1 Công thức Feynman-Kac cho quá trình tiến hóa ngẫu nhiên Z 39

3.2 Phương trình Black – Scholes cho thị trường chứng khoán không đầy đủ B S X, ,  42

3.3 Quyền chọn mua kiểu Châu Âu trong thị trường B S X 44 , , 

3.4 Công thức Black – Sholes cho thị trường B S X, ,  45

Kết luận 48

PHỤ LỤC 49

Tài liệu tham khảo 56

CHƯƠNG I

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số khái niệm cơ bản về Toán Tài chính và

Giải tích ngẫu nhiên liên quan đến đề tài của luận văn

Trước tiên, ta nêu ra khái niệm về các tài sản cơ sở là trái phiếu và cổ

phiếu trên cơ sở đó tạo ra các gói tài sản mà nhà đầu tư muốn thiết lập.Các

gói tài sản này gọi là các tài sản phái sinh Tài sản phái sinh đặc biệt mà ta

đề cập tới ở đây là một loại hợp đồng tài chính mà ta gọi là các quyền chọn, gồm quyền chọn mua và quyền chọn bán Và mô hình Black-Scholes chính

là một mô hình cho phép định giá quyền chọn mua (hoặc bán) mà ta sẽ nói tiếp theo ở chương này và được phát triển ở các chương sau với sự tham gia của một xích Markov Phần sau của chương nói về xích Markov và những vấn đề liên quan đến luận án,

1.1 Trái phiếu, cổ phiếu, lãi suất

1.1.1 Trái phiếu

1 Khái niệm

Trái phiếu là một loại chứng khoán quy định nghĩa vụ của người phát hành (người vay tiền) phải trả cho người nắm giữ chứng khoán (người cho vay) một khoản tiền xác định, thường là trong những khoảng thời gian cụ thể, và phải hoàn trả khoản cho vay ban đầu khi nó đáo hạn

b Trái phiếu thể hiện quan hệ chủ nợ – con nợ giữa người phát hành và người đầu tư

Phát hành trái phiếu là đi vay vốn Mua trái phiếu là cho người phát hành vay vốn và như vậy, trái chủ là chủ nợ của người phát hành Là chủ

nợ, người nắm giữ trái phiếu (trái chủ) có quyền đòi các khoản thanh toán theo cam kết về khối lượng và thời hạn, song không có quyền tham gia vào những vấn đề của bên phát hành

c Lãi suất của các trái phiếu rất khác nhau, được quy định bởi các yếu tố:

Cung cầu vốn trên thị trường tín dụng Lượng cung cầu vốn đó lại tuỳ thuộc vào chu kỳ kinh tế, động thái chính sách của ngân hàng trung ương, mức độ thâm hụt ngân sách của chính phủ và phương thức tài trợ thâm hụt

đó

Mức rủi ro của mỗi nhà phát hành và của từng đợt phát hành Cấu trúc rủi ro của lãi suất sẽ quy định lãi suất của mỗi trái phiếu Rủi ro càng lớn, lãi suất càng cao

Thời gian đáo hạn của trái phiếu Nếu các trái phiếu có mức rủi ro như nhau, nhìn chung thời gian đáo hạn càng dài thì lãi suất càng cao

1.1.2 Cổ phiếu

Cổ phiếu là chứng chỉ do công ty cổ phần phát hành hoặc bút toán ghi

sổ xác nhận quyền sở hữu một hoặc một số cổ phần của công ty đó Cổ phiếu có thể ghi tên hoặc không ghi tên Cổ phiếu phải có các nội dung chủ yếu sau đây:

Tên, địa chỉ trụ sở chính của công ty;

Số và ngày cấp Giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh;

Số lượng cổ phần và loại cổ phần;

Mệnh giá mỗi cổ phần và tổng mệnh giá số cổ phần ghi trên cổ phiếu;

Họ, tên, địa chỉ thường trú, quốc tịch, số Giấy chứng minh nhân dân,

Hộ chiếu hoặc chứng thực cá nhân hợp pháp khác của cổ đông là cá nhân; tên, địa chỉ thường trú, quốc tịch, số quyết định thành lập hoặc số đăng ký kinh doanh của cổ đông là tổ chức đối với cổ phiếu có ghi tên; Tóm tắt về thủ tục chuyển nhượng cổ phần;

Chữ ký mẫu của người đại diện theo pháp luật và dấu của công ty;

Số đăng ký tại sổ đăng ký cổ đông của công ty và ngày phát hành cổ phiếu;

Các nội dung khác theo quy định dưới đây đối với cổ phiếu của cổ phần ưu đãi

1.1.3 Lãi suất

Lãi suất là tỷ lệ của tổng số tiền phải trả so với tổng số tiền vay trong một khoảng thời gian nhất định Lãi suất là giá mà người vay phải trả để được sử dụng tiền không thuộc sở hữu của họ và là lợi tức người cho vay

có được đối với việc trì hoãn chi tiêu

Có nhiều loại lãi suất như: lãi suất tiền vay; lãi suất tiền gửi; lãi suất tái cấp vốn; lãi suất liên ngân hàng, v.v

Theo John Maynard Keynes lãi suất là một hiện tượng tiền tệ phản ánh mối quan hệ giữa cung và cầu về tiền Cung tiền được xác định một cách ngoại sinh, cầu tiền phản ánh các nhu cầu đầu cơ, phòng ngừa và giao dịch

về tiền

Trái với Keynes, các nhà kinh tế học cổ điển trước đó đã coi lãi suất là một hiện tượng thực tế, được xác định bởi áp lực của năng suất - cầu về vốn cho mục đích đầu tư - và tiết kiệm

Tác động tới nền kinh tế

Thông qua vay nợ

Lãi suất tăng làm giảm vay nợ Cá nhân giảm đi vay và tăng gửi tiết kiệm, do đó giảm tiêu dùng và tác động tiêu cực tới tổng cầu Doanh nghiệp giảm vay mới và do đó giảm đầu tư mới, nên tác động tiêu cực tới tổng cầu Mặt khác, lãi suất tăng còn có nghĩa là giá cả các khoản vay hiện thời của doanh nghiệp tăng, có nghĩa là giá vốn tăng hay chi phí sản xuất tăng Điều này làm giảm lợi nhuận của doanh nghiệp, khiến doanh nghiệp có xu hướng thu hẹp sản xuất; do đó tác động tiêu cực tới tổng cầu Giãn thợ còn làm giảm thu nhập của người lao động Điều này khiến họ giảm tiêu dùng Tổng cầu lại chịu tác động tiêu cực

Đối với hoạt động vay cầm cố, khi lãi suất tăng người ta sẽ giảm nhu cầu vay để xây hay mua nhà, do đó đầu tư xây nhà giảm, ảnh hưởng tiêu cực tới tổng cầu Nó còn khiến cho việc trả nợ các khoản vay cầm cố hiện thời trở nên khó khăn hơn khiến người đi vay phải giảm tiêu dùng để còn trả nợ Tổng cầu vì thế chịu tác động tiêu cực

Lãi suất trong nước tăng tương đối so với lãi suất ở nước ngoài sẽ khiến cho dòng vốn từ nước ngoài tăng cường chảy vào trong nước Điều này làm cho tỷ giá hối đoái giữa nội tệ với ngoại tệ giảm xuống Xuất khẩu ròng vì thế giảm đi, khiến cho tổng cầu giảm theo

1.2 Thị trường đầy đủ và không đầy đủ

1.2.1 Cơ hội có độ chênh thị giá

Cho một thị trường, giả sử là một thị trường chứng khoán nào đó Một phương án đầu tư trong thị trường là tổ hợp của một số hữu hạn các chứng khoán với các trọng số nào đó Giả sử có n+1 chứng khoán với các giá trị tại thời điểm t là X t i ,0  Mỗi phương án đầu tư là mỗi cách i n

chọn ra i t chứng khoán Xi,0 i n  tại mỗi thời điểm t để đầu tư Vì

vậy có thể hiểu rằng

Một phương án đầu tư trong thị trường X t  t 0,T là một quá trình ngẫu nhiên đo được n + 1 chiều và thích nghi với ( )m

thì ta gọi sự cân đối lại đó là sự cân đối tự tài trợ Phương án đầu tư  t

khi đó gọi là phương án đầu tư tự tài trợ

Điều này có nghĩa là  t sẽ là phương án đầu tư tự tài trợ nếu

dV t      t dX t (1.3)

Thật vậy, giả sử ta đang xét mô hình thị trường với thời gian rời rạc Khi đó nếu có X t  X t  X s , 0  , là sự thay đổi giá cả vào s t

thời điểm t,  t là phương án đầu tư tại thời điểm t, vậy sự thay đổi giá trị của phương án đầu tư cho bởi:

i) Nếu phương án đầu tư  là tự tài trợ đối với X t thì  cũng là tự  

tài trợ đối với thị trường chuẩn X t , trong đó:       1  

0

X t  X t  X t Thật vậy, giả sử  là phương án đầu tư tự tài trợ đối với thị trường X t  Gọi V t   là quá trình giá của  đối với thị trường chuẩn Khi đó:

0 t V     0  t A t 0t     s  s A s ds (1.5)

Định nghĩa 4

Một phương án đầu tư tự tài trợ được gọi là một phương án đầu tư chấp nhận được nếu quá trình giá tương ứng của nó là  t, bị chặn dưới hầu chắc chắn, tức là tồn tại K K     sao cho V t ,  K với hầu hết  t,  0,T  

(Điều kiện này có thể được hiểu là cần phải có một giới hạn cho số tiền nợ nhà đầu tư có khả năng thanh toán)

Định nghĩa 5

Một phương án đầu tư tự tài trợ gọi là một cơ hội có độ chênh thị giá nếu quá trình giá V t   của nó thỏa mãn:

i) P V  0 01

ii) P V t  01, t > 0, P V t  00

Như vậy, một cơ hội có độ chênh thị giá là một phương án đầu tư có số vốn

ban đầu bằng 0 mà kiếm được lợi nhuận vào thời điểm kết thúc Đó là điều

mà các nhà đầu tư không mong muốn

Giả thiết “không có độ chênh thị giá” được gọi là nguyên lý AAO

( Absence of Arbitrage Opportunity)

Định nghĩa 7

Gọi X là một biến ngẫu nhiên bất kì F - đo được Một hợp đồng tài T

chính chỉ thực thi tại thời điểm đáo hạn T với giá trị là X được gọi là một T

tài sản phái sinh kiểu châu Âu và được kí hiệu là X

1.2.2 Nguyên lý đáp ứng và khái niệm thị trường đầy đủ

Định nghĩa 8

Chiến lược đáp ứng đối với một phái sinh có giá trị đáo hạn X tại T

thời điểm đáo hạn T là một phương án đầu tư tự tài trợ  sao cho

V T  X T (1.6)

tức là sao cho giá trị lúc đáo hạn của phương án đầu tư ấy bằng đúng với

giá trị đáo hạn X T đã định trước và đã ghi trong hợp đồng

Quá trình V t  của phương án ấy được gọi là quá trình đáp ứng Kí

hiệu  là lớp tất cả các phương án đầu tư X  đáp ứng cho phái sinh X

Trong hợp đồng phái sinh người ta đã định trước giá đáo hạn X rồi, T

phương án đầu tư phải được lựa chọn thế nào để giá trị cuối cùng phải đáp

ứng được điều kiện (1.6) Điều kiện (1.6) được gọi là nguyên lý đáp ứng

Định nghĩa 9 Phái sinh đạt được trong thị trường M

Một tài sản phái sinh X được gọi là đạt được trong thị trường M nếu có

ít nhất một phương án đáp ứng cho nó Điều đó cũng có nghĩa là    X

Định nghĩa 10 Thị trường đầy đủ

Một thị trường M được gọi là đầy đủ nếu mọi tài sản phái sinh X đều đạt được trong M, hay nói một cách tương đương, nếu với mọi biến ngẫu nhiên X đo được đối với F thì tồn tại ít nhất một phương án đầu tư T

 sao cho V T  X T

Ngược lại, một thị trường không thỏa mãn điều kiện trên được gọi là thị trường không đầy đủ

Người ta cũng chứng minh được rằng: Một thị trường là đầy đủ nếu

và chỉ nếu tồn tại một độ đo xác suất rủi ro trung tính duy nhất

1.3 Quyền chọn mua kiểu Châu Âu

Hợp đồng quyền chọn mua (Call option) là một loại hợp đồng tài chính

diễn ra giữa hai bên, cho phép người mua hợp đồng có quyền mua một số lượng xác định cổ phần của một chứng khoán, chỉ số chứng khoán nào đó ở

một mức giá ấn định trước, gọi là giá thực thi (strike price hoặc exercise price) - vào hoặc trước ngày đáo hạn của hợp đồng Đổi lại, người mua hợp đồng (holder) phải trả cho người bán hợp đồng quyền chọn (writer) một khoản lệ phí (call premium) Lúc mua bán hợp đồng này ban đầu không hề

diễn ra việc chuyển giao chứng khoán thực tế mà đúng hơn chỉ là sự trao quyền mua một loại tài sản tài chính để đổi lại một khoản phí

Nếu giá chứng khoán tăng như dự đoán thì người mua hợp đồng sẽ thu được lợi nhuận trong khi chỉ phải đầu tư một khoản nhỏ (phí hợp đồng) hơn là phải bỏ tiền ra mua toàn bộ số chứng khoán đó, trường hợp này người ta nói hợp đồng quyền chọn mua có lãi (in-the-money call option), ngược lại hợp đồng quyền chọn mua bị lỗ (out-of-the money call option)

Về phía người bán, anh ta cũng thu thêm được một khoản lợi tức phụ tương ứng

Nếu hợp đồng được thực hiện thì người bán sẽ phải từ bỏ quyền sở hữu với số chứng khoán đã xác định trong hợp đồng Nếu người mua hợp đồng cảm thấy không có lợi anh ta có thể từ chối việc thực thi hợp đồng

Trong hợp đồng quyền chọn mua, người mua bao giờ cũng kì vọng giá chứng khoán tăng trong khi người bán kì vọng giá chứng khoán đứng hoặc giảm hoặc cũng có trường hợp là do người bán sẵn sàng từ bỏ khoản lợi nhuận từ giá chứng khoán tăng để đổi lấy khoản phí thực hiện hợp đồng (được thanh toán ngay) cùng với cơ hội có được một khoản lợi nhuận = (giá ấn định - giá hiện tại của chứng khoán) Do có những nguồn thông tin khác nhau, cách phân tích, đánh giá khác nhau cho nên mới nảy sinh những

kì vọng khác biệt giữa người mua và người bán, dẫn đến việc các hợp đồng quyền chọn (call option, put option) như thế này diễn ra

Có 2 kiểu hợp đồng quyền chọn mua chính là:

Quyền chọn mua kiểu Châu Âu - European call option: theo đó người mua chỉ có thể thực hiện quyền mua của mình vào ngày đáo hạn đã định trước và cũng không bắt buộc phải thực thi vào ngày đó

Quyền chọn mua kiểu Mỹ (American call option): theo đó người mua

có thể thực hiện quyền chọn mua của mình bất cứ lúc nào không vượt quá ngày đáo hạn hợp đồng

1.4 Quá trình Markov, xích Markov và toán tử sinh cực vi

Đặc tính của quá trình Markov là đặc tính mất trí nhớ, tức là diễn biến

tương lai của quá trình khi biết hiện tại thì không phụ thuộc vào diễn biến của quá trình đó trong quá khứ

1.4.2 Xích Markov

Trong toán học, một xích Markov (thời gian rời rạc), đặt theo tên nhà

toán học người Nga Andrei Andreyevich Markov, là một quá trình ngẫu

nhiên với thời gian rời rạc và có tính Markov (mà ta sẽ định nghĩa dưới

đây) Trong một quá trình như vậy, quá khứ không liên quan đến việc tiên đoán tương lai mà tương lại chỉ phụ thuộc vào những thông tin về hiện

tại.Người ta gọi tính chất này là tính chất mất trí nhớ hay tính Markov

Dãy các biến ngẫu nhiên X X X , 0, 1, 2

được gọi là xích Markov nếu với mọi dãy trạng thái i i0 1, , ,i n1 thì

 n 1 n 1| 0 0, 1 1, , n n  n 1 n 1| n n

P X  i  X i X i X i P X  i  X i (1.7)

Nói một cách khác, xác suất để chuyển từ trạng thái thứ n là i sang trạng n

thái thứ n  là 1 i n1 không phụ thuộc gì vào cách thức nào mà trước đó hệ

đã chuyển tới trạng thái thứ n , tức là không phụ thuộc gì vào i i0 1, , ,i n1 Các xác suất có điều kiện

 n 1 | n 

P X   j X  i được gọi là các xác suất chuyển

Nếu xác suất này không phụ thuộc vào n thì ta nói xích Markov có xác suất chuyển dừng và ta kí hiệu

1.4.3 Toán tử sinh cực vi

Cho X t t  , 0 là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục nhận giá trị nguyên không âm X t là một xích Markov nếu     và s t, 0với mọi số nguyên không âm , , ( ),0i j x u   chúng ta có u s

P X t s  j X s i X u x u   u s P X t s  j X s i

ở đó quá trình ở trạng thái i tại thời điểm 0 Gọi T là thời gian để quá trình i

ở trạng thái i Theo tính chất Markov ta có P T i  s t T| i  s P T i  , t

điều này có nghĩa là T là một quá trình không có trí nhớ Dĩ nhiên i T cũng i

là không âm, liên tục và do đó T phải có phân phối mũ Thật vậy: i

i i

i

i i

Vậy ta có các tính chất của xích Markov với thời gian liên tục:

1) Khoảng thời gian mà quá trình ở lại trạng thái i là một biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với trung bình i

2) Quá trình chuyển từ trạng thái i đến trạng thái j với xác suất chuyển

ij

p

Vì vậy một xích Markov với thời gian liên tục là là quá trình chuyển từ trạng thái này tới trạng thái khác phù hợp với một một xích Markov có không gian trạng thái rời rạc, nhƣng thời gian dừng lại tại mỗi trạng thái lại

Ta kí hiệu P t  Pij là ma trận xác suất chuyển tại thời điểm t, vì vậy P

là một ma trận mà các phần tử đều là hàm của t

Bây giờ c) có thể được viết P t s   P t P s t s   , ,  và d*) tương 0đương với điều kiện limh0P h  trong đó I là ma trận đồng nhất Tính I

chất d*) nghĩa là ma trận P t là liên tục phải tại   t  , tức là các phần tử 0của nó đều liên tục phải tại t  Bây giờ 0

0

1: lim

Các tốc độ q và i q dưới đây cho ta một cách thứ hai để mô tả xích ij

Markov gọi là phương pháp mô tả cực vi:

n n n

ii) Hầu chắc chắn là các thể hiện của một quá trình Poisson là các

hằng số, trừ tại các bước nhảy Các bước nhảy có cỡ là 1 Số các bước nhảy là hữu hạn trong mỗi khoảng thời gian bị chặn, nhưng sẽ là vô hạn trong khoảng 0, 

iii) Lượng thời gian giữa hai bước nhảy liên tiếp là các biến ngẫu

nhiên độc lập và có phân phối mũ với tham số chính là 

Vì bộ lọc chứa các tập P  không của Ft nên ta có F F t  t+

Ta luôn luôn dùng bộ lọc này

1.5.2 Quá trình Poisson phức hợp

1 Định nghĩa 12

Cho X X1, 2, ,X n, là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối Cho N N t t,  là một quá trình Poisson với cường độ   và độc lập với các X k  k, 1,2,

Xét một tổng gồm một số ngẫu nhiên các số hạng X như sau: k

trong đó N là một số ngẫu nhiên xác định bởi quá trình Poisson N nói t

trên tại thời điểm t

Vậy (1.9) xác định nên một quá trình ngẫu nhiên Y N Y t t N( ),  0

Quá trình ngẫu nhiên này được thiết lập từ hai nguồn ngẫu nhiên: một nguồn ngẫu nhiên từ dãy  X và một nguồn ngẫu nhiên từ quá trình k Poisson N Quá trình Y được gọi là quá trình ngẫu nhiên phức hợp N

2 Phân phối của quá trình ngẫu nhiên phức hợp

Hàm phân phối của Y được xác định bởi: N

X n

trong đó  là cường độ của quá trình Poisson

4 Quá trình đối trọng của quá trình Poisson phức hợp

Định lý 1 Giả sử Y t là một quá trình Poisson phức hợp thì khi đó N( )

Một chuyển động Brown trong d

 là một bộ lọc d  quá trình một chiều