Giải tích ngẫu nhiên và ứng dụng trong toán tài chính

Hợp đồng quyền chọn Quyền chọn mua kiểu Châu Âu: là hợp đồng cho phép người sở hữu được cố định trong hợp đồng tại một thời điểm T trong tương lai cũng đãđược cố định.. Quyền chọn bán ki

VÕ TUYẾT NHUNG

GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN

VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN TÀI CHÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2017

VÕ TUYẾT NHUNG

GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN

VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN TÀI CHÍNH

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS LÊ VĂN DŨNG

Đà Nẵng – Năm 2017

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kì công trình nào khác

Tác giả

Võ Tuyết Nhung

Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Lê VănDũng đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện để em cóthể hoàn thành được luận văn này.

Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến quý thầy côgiáo, các anh chị học viên lớp Giải tích K31 đã tận tình dạy bảo và giúp

đỡ em trong suốt thời gian qua

Xin chân thành cảm ơn!

Võ Tuyết Nhung

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1

1.1 XÁC SUẤT 1

1.1.1 σ-Đại số 1

1.1.2 σ-Đại số Borel trên Rk 1

1.1.3 Không gian xác suất 1

1.2 BIẾN NGẪU NHIÊN 2

1.3 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 3

1.3.1 Kỳ vọng toán 3

1.3.2 Phương sai 4

1.3.3 Phân vị 5

1.3.4 Mốt 5

1.4 VECTƠ NGẪU NHIÊN 5

1.5 HIỆP PHƯƠNG SAI, HỆ SỐ TƯƠNG QUAN 6

1.6 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 7

1.7 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITO 8

1.7.1 Chuyển động Brown 8

1.7.2 Tích phân ngẫu nhiên Ito 9

1.7.3 Công thức Ito 10

1.7.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 11

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG TRONG TOÁN TÀI CHÍNH 12 2.1 CHỨNG KHOÁN PHÁI SINH 12

2.1.1 Hợp đồng quyền chọn 12

2.2 ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 12

2.2.1 Giá quyền chọn tại thời điểm đáo hạn 12

2.2.2 Định lý kinh doanh chênh lệch giá 13

2.2.3 Công thức cặp đôi mua - bán 15

2.2.4 Định giá quyền chọn bằng mô hình nhị thức 15

2.2.5 Định giá quyền chọn bằng mô hình Cox-Ross-Rubinstein 17 2.2.6 Định giá quyền chọn bằng mô hình Black-Scholes 19

2.2.7 Ước lượng tham số µ và σ 22

2.3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BLACK-SCHOLES 24

2.3.1 Xây dựng phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes 24 2.3.2 Tham số Θ 25

2.3.3 Tham số ∆ 26

2.3.4 Tham số Γ 27

2.3.5 Xét chung cả 3 tham số Θ, ∆ và Γ 27

2.4 BẢO HỘ GIÁ 28

2.4.1 Khái niệm bảo hộ 28

2.4.2 Bảo hộ Delta 28

2.4.3 Delta của một danh mục đầu tư 32

2.4.4 Gamma của một danh mục đầu tư 33

2.5 TỐI ƯU HÓA DANH MỤC ĐẦU TƯ 34

2.5.1 Tỉ lệ lợi nhuận và tỉ lệ lợi nhuận kì vọng 34

2.5.2 Hàm thỏa dụng 35

2.5.3 Tối ưu hóa danh mục đầu tư 36

KẾT LUẬN 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 41

(Ω, F , (Ft), P ) Không gian xác suất được lọc

CHƯƠNG1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 XÁC SUẤT

1.1.1 σ-Đại số

i) ∅ ∈ F

i=1Ai ∈ F1.1.2 σ-Đại số Borel trên Rk

σ(A) =T

1.1.3 Không gian xác suất

i) 0 ≤ P (A) ≤ 1 với mọi A ∈ F;

ii) P(Ω)=1;

iii) Với mọi A1, A2, ∈ F với AiT

Aj = ∅ khi i 6= j:

P (S∞ i=1Ai) =P∞

i=1P (Ai)

1.2 BIẾN NGẪU NHIÊN

PX(B) = P (X−1(B)) = P ([X ∈ B])

i) Với mọi a, b ∈ R, a < b : FX(a) − FX(b) = P (a < X ≤ b)

iii) limx→−∞FX(x) = 0 và limx→+∞FX(x) = 1

của mệnh đề 1.26 thì bằng nhận xét i) ta có thể xác định một độ đo xác

phối tích lũy là đồng nhất trên F

Định nghĩa 1.2.8 Một biến ngẫu nhiên X là liên tục nếu hàm phân

Nhận xét 1.2.9 Một biến ngẫu nhiên X là liên tục nếu và chỉ nếu

P (X = a) = 0 với mọi a ∈ R.

Định nghĩa 1.2.10 Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục Nếu tồn

FX(x) =R−∞x f (t)dt, x ∈ R

thì f (x) được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X

P (x) =



P (X = x), nếu x ∈ X(Ω)

0, nếu x /∈ X(Ω)

1.3 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

i) E(C) = C với mọi hằng số C

ii) E(CX) = CE(X) với mọi hằng số C

iii) E(X1 + X2 + + Xn) = E(X1) + E(X2) + + E(Xn)

1.3.2 Phương sai

V ar(X)) là đại lượng đo sự phân tán bình phương trung bình của X

V ar(X) = E(X − EX)2

i) V ar(cX) = c2V ar(X) với mọi hằng số c

ii) V ar(c1X + c2) = c21V ar(X) với mọi hằng số c1, c2

V ar(c1X1 + + cnXn) = c21V ar(X1) + + c2nV ar(Xn)

1.3.3 Phân vị

m, ∀m ∈ [xi; xi+1] khi Pi = α < Pi+1

xi+1 khi Pi < α < Pi+1

hai phần bằng nhau

1.3.4 Mốt

M odX = xi0

trong đó: xi0 tương ứng với xác suất pi0 = max(p1, p2, )

1.4 VECTƠ NGẪU NHIÊN

(X1, X2, , Xn) với các thành phần X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.4.2 Cho vectơ ngẫu nhiên X = (X1, X2, , Xn) Xét

FX(x1, x2, xn) = P (X1 < x1, X2 < x2, , Xn < xn)

với mọi (x1, x2, , xn) ∈Rn

Hàm FX(x1, x2, , xn) được gọi là hàm phân bố xác suất của vectơ ngẫu

nhiên X1, X2, , Xn

Nếu tồn tại một hàm số f (x1, x2, , xn) ≥ 0 với mọi x = (x1, , xn ∈ Rn

Cov(X, Y ) = E[(X − E(X)(Y − E(Y )))]

−∞xyf (x, y)dxdy nếu (X,Y)liên tục

f (x, y) là hàm mật độ xác suất nếu (X, Y ) là vectơ ngẫu nhiên liên tụcĐịnh lý 1.5.4

xyf (x, y)dxdy − E(X)E(Y )

Định nghĩa 1.5.5 Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X và

1.6 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

(Xt; t ∈ T ) với Xt : Ω →R là một biến ngẫu nhiên với mọi t ∈ T

Cho t ∈ T, biến ngẫu nhiên Xt được gọi là quá trình tại thời gian t Hơn

một bộ lọc nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

Định nghĩa 1.6.3 Cho quá trình ngẫu nhiên X = (Xt, t ≥ 0) Xét

(FtX, t ≥ 0) gọi là bộ lọc tự nhiên của quá trình X hay lịch sử của X

t

là (Ω, F , (Ft), P ) Quá trình ngẫu nhiên Y = Yt, t ≥ 0) được gọi là thích

Ft

iii) E(Xt | Fs) = Xs với mọi 0 ≤ s ≤ t, tức là RA(Xt − Xs)dP = 0 vớimọi A ∈ Fs và 0 ≤ s ≤ t

1.7 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITO

1.7.1 Chuyển động Brown

(hoặc quá trình Weiner) nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

3) có số gia độc lập, tức là với 0 < t0 < t1 < < tn,các giá số Wt0,

Wt1 − Wt0, ,Wtn − Wtn−1 là các biến ngẫu nhiên độc lập

1.7.2 Tích phân ngẫu nhiên Ito

1) f (t, ω) là hàm đo được đối với σ-đại số tích B([0, T ]) × F

(iv)E[Rabf (t, ω)dWt]2 = E[Rabf2(t, ω)dt]

Đẳng thức này gọi là một vi phân ngẫu nhiên.

đạo hàm riêng u0t, u0x, u00xx liên tục Cho Xt là một quá trình Ito với vi phânngẫu nhiên

dXt = adt + bdWt,

trình ngẫu nhiên Ito với vi phân ngẫu nhiên

1.7.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên

Phương trình vi phân ngẫu nhiên là phương trình có dạng

CHƯƠNG2 ỨNG DỤNG TRONG TOÁN TÀI CHÍNH

2.1 CHỨNG KHOÁN PHÁI SINH

Chứng khoán phái sinh là chứng khoán mà giá trị của nó được xácđịnh theo giá trị của chứng khoán khác hay tài sản khác Chẳng hạn hợpđồng quyền chọn mua, bán cổ phiếu

2.1.1 Hợp đồng quyền chọn

Quyền chọn mua kiểu Châu Âu: là hợp đồng cho phép người sở hữu

được cố định trong hợp đồng tại một thời điểm T trong tương lai cũng đãđược cố định Quyền chọn bán kiểu Châu Âu: là hợp đồng cho phép người

sở hữu nó có quyền bán một đơn vị hàng hóa hay tài sản nào đó với giá

cũng đã được cố định Quyền chọn mua kiểu Mỹ: là hợp đồng cho phépngười sở hữu nó có quyền mua một đơn vị hàng hóa hay tài sản nào đó

điểm đáo hạn T trong tương lai Quyền chọn bán kiểu Mỹ: là hợp đồngcho phép người sở hữu nó có quyền bán một đơn vị hàng hóa hay tài sản

đến thời điểm đáo hạn T trong tương lai

2.2 ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN

2.2.1 Giá quyền chọn tại thời điểm đáo hạn

Với t ∈ [0; T ], ký hiệu:

Giá tài sản trong kí kết hợp đồng quyền chọn tại thời điểm t: S(t)

Ce(T ) = Ca(T ) = (S(T ) − K)+ = max{S(T ) − K, 0}

và

Pe(T ) = Pa(T ) = (K − S(T ))+ = max{K − S(T ), 0}

2.2.2 Định lý kinh doanh chênh lệch giá

Ở dạng đơn giản nhất, cơ hội kinh doanh chênh lệch giá xảy ra khi

mà tại một thời điểm nào đó, giá cả của một mặt hàng nào đó có sự chênhlệch giá giữa người mua và người bạn và giá mua cao hơn giá bán Ví dụ,

đầu tư B đang cần mua 1 cổ phiếu X với giá 75$, khi đó một người trunggian C có thể mua cổ phiếu của nhà đầu tư A và bán lại cho nhà đầu tư

B để hưởng chênh lệch giá 75-74=1$ Việc làm của người C được gọi làkinh doanh chênh lệch giá và nó có thể coi là không có mạo hiểm vì có lợinhuận chắc chắn là số dương

Định nghĩa 2.2.2 Một danh mục đầu tư tự tài trợ được gọi là có

r = 0, 25%/tháng (3%/năm) Tại thời điểm hiện tại, một danh mục đầu

tư gồm:

+1 cổ phiếu X (nhà đầu bán ra 1 cổ phiếu X)

-1 quyền chọn mua kiểu châu Âu (nhà đầu tư mua vào 1 quyền chọn mua)+1 quyền chọn bán kiểu châu Âu (nhà đầu tư bán ra 1 quyền chọn bán)

-1 trái phiếu T kì hạn 1 tháng có giá T (0) = 39$ (nhà đầu tư mua vào 1trái phiếu).

V (0) = S(0) − Ce(0) + Pe(0) − T (0) = 40 − 4 + 3 − 39 = 0

Một tháng sau giá trị của danh mục đầu tư sẽ là

V (1) = S(1)−Ce(1)+Pe(1)−T (1) = S(1)−Ce(1)+Pe(1)−39(1+0, 025)

Nếu S(1) > K thì Ce(1) = S(1) − K và Pe(1) = 0 nên V (1) = 0, 025$Nếu S(1) ≤ K thì Ce(1) = 0 và Pe(1) = K − S(1) nên V (1) = 0, 025$

Định nghĩa 2.2.4 Một thị trường không có cơ hội kinh doanh chênhlệch giá nếu không tồn tại bất kì danh mục đầu tư tự tài trợ nào để có cơhội kinh doanh chênh lệch giá

Tuy rằng trên thực tế thị trường tài chính luôn có các cơ hội kinhdoanh chênh lệch giá nhưng khả năng xảy ra rất nhỏ và chúng kéo dàikhông quá lâu, bởi vì mỗi khi có cơ hội như vậy xảy ra thì sẽ có các cánhân và tổ chức sẽ thấy và tận dụng các cơ hội đó để kinh doanh chênhlệch giá Các hành động mua bán để kinh doanh chênh lệch giá này sẽkhiến cho giá cả điều chỉnh lại làm cho cơ hội kinh doanh chênh lệch giáhết đi Chính vì vậy ta có thể luôn luôn giả thiết rằng thị trường tài chính

mà ta đang nghiên cứu không có cơ hội kinh doanh chênh lệch giá

Định lý 2.2.5 Có một và chỉ một trong hai khẳng định sau là đúng:

kinh doanh chệnh lệch giá, tức là

V (0) = 0, V (T ) ≥ 0 và E(V (T )) > 0

2) Tồn tại một phân bố xác suất trung hòa rủi ro không suy biến sao cho

chiến lược kinh doanh x = (x1(T ), x2(T ), , xn(T )), trong đó rc là lãi képliên tục không rủi ro.

giá của nó có thể là 55$ hoặc 40$ Giả sử lãi kép liên tục kì hạn 1 năm là4%, tìm phân phối xác suất trung hòa rủi ro

Xét danh mục đầu tư gồm 1 cổ phiếu trên Giá hiện tại của danh mục

2.2.4 Định giá quyền chọn bằng mô hình nhị thức

Gọi C là giá hiện tại của quyền chọn kiểu Châu Âu có giá thực thi K thìtại thời điểm đáo hạn T ta có:

Với giả thiết thị trường không có cơ hội kinh doanh chênh lệch giá nên tồn

S(1) = 25$ Lãi suất lãi kép liên tục là r = 0, 25/năm Định giá quyềnchọn mua kiểu Châu Âu cho cổ phiếu này ngày hôm nay với giá thực thi

Ce(0) = e−rT(p∗Cu+ (1 − p∗)Cd) = e−rTE(Ce(T )),

rT − d

u − d .2.2.5 Định giá quyền chọn bằng mô hình Cox-Ross-Rubinstein

dài ∆t = T /n Gọi S(k) là giá cổ phiếu ở thời điểm k∆t Giả sử rằng:

trong đó:

d1 = ln(S/K) + (r + σ

2/2)T

σ√T2.2.6 Định giá quyền chọn bằng mô hình Black-Scholes

-Scholes được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính:

dSt = µStdt + σStdWt,

quá trình Wiener)

Ta có nghiệm của phương trình trên là:

St = S0eσWt+(µ−

σ2

xác định bởi công thức nổi tiếng sau gọi là công thức Black - Scholes

phương trình vi phân ngẫu nhiên

dSt = 0, 12Stdt + 0, 24StdWt

đáo hạn T = 1/3 (năm) là K = 42$ và lãi suất kép liên tục không rủi ro

là r=8%/ năm Hãy định giá quyền chọn kiểu Châu Âu ở thời điểm hiệntại (t=0)

thiết thị trường không có cơ hội kinh doanh chênh lệch giá, ta phải có:

Vì WT ∼ N (0; T ) nên ta có thể viết WT dưới dạng WT = √

ta được:

I =

a−σ √ T

2

2 )∆t

Kí hiệuS0, S1, , Sn là giá chứngX ở các thời điểm quan sát thứ1, 2, 3, , n,

Ví dụ 2.2.11 Thời điểm hiện tại là ngày 10/12/16 Giá (St) mở cửa

cổ phiếu của Facebook (mã chứng khoán FB) trên thị trường Nasdaq từngày 5/11/16 đến ngày 10/12/16 cho bởi bảng sau (đơn vị USD):

của ngày hôm nay (10/12)

c) Một quyền chọn bán kiểu Châu Âu có giá hiện tại là P, giá thực thi

K = 80 USD, thời điểm đáo hạn là ngày 18/3/2017 (T=100 ngày), lãi kép

Giải

a) Ta có:

Un = ln(Sn) − ln(Sn−1)

2.3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BLACK-SCHOLES

2.3.1 Xây dựng phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes

dSt = µStdt + σStdWt

và y = y(t) trái phiếu lãi suất r có giá Pt Giá của phương án đầu tư trên

Vt = xSt + yPt

Lấy vi phân 2 vế ta được:

dVt = xdSt + ydPt

Ví dụ 2.3.2 Quyền chọn mua kiểu Châu Âu của 1 loại cổ phiếu có

0, 2

q

1 3

Giá quyền chọn thay đổi rất nhạy khi có sự thay đổi của giá cổ phiếu

Định lý 2.3.3

∆ = Φ(d)

t = 0 Tính ∆

0, 3

q

1 3

∂2C

∂ S2dSt

Áp dụng công thức trên ta có thể tính gần đúng giá quyền chọn

2.4.1 Khái niệm bảo hộ

cổ phiếu bị mất giá cổ đông này sẽ mua 1 quyền chọn bán kiểu Châu Mỹđối với 100 cổ phiếu để nếu cổ phiếu này bị mất giá thì cổ đông đó có

vậy được gọi là bảo hộ giá

2.4.2 Bảo hộ Delta

Giả sử bạn là một nhà môi giới chứng khoán vừa bán đi 1 quyền chọnmua 1000 cổ phiếu của công ty A Nếu đến thời điểm đáo hạn mà giáchứng khoán đó lớn hơn giá thực thi thì buộc phải bán cổ phiếu cho người

sở hữu quyền chọn mua cố phiếu đó Để đảm bảo tình huống đó xảy rabạn có thể mua vào 1000 cổ phiếu đó Nếu làm như vậy sẽ có ít nhất 2điều không hợp lí:

- Nếu cổ phiếu giảm thì bạn bị mất tiền

- Để mua vào 1000 cổ phiếu bạn sẽ vay một khoản tiền đáng kể Trongphần xây dựng phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes, để 1 quyền chọn

có giá F là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng:

năm Tính số cổ phiếu cần mua vào

Như vậy ta cần mua vào 855 cổ phiếu

Trên thực tế ta phải thường xuyên điều chỉnh số cổ phiếu mua vàobán ra tùy theo sự thay đổi giá cổ phiếu

Giả sử ta sẽ điều chỉnh sự bảo hộ mỗi tuần 1 lần

Như vậy sang tuần thứ 1 ta cần phải mua vào 878 − 885 = 23 cổ phiếu,

có hai nhược điểm chính của phương pháp bảo hộ Delta như sau:

- Khi giá cổ phiếu tăng thì mua vào và khi giá cổ phiếu giảm lại bán ra

- Vì phải điều chỉnh bảo hộ thường xuyên nên sẽ phải trả chi phí giao dịchnhiều Ví dụ tiếp theo ta sẽ xem xét chi phí của bảo hộ Delta

Ví dụ 2.4.2 Một loại cổ phiếu có giá hiện tại trên thị trường là

S0 = 100 USD Lãi suất không rủi ro là r = 4%/năm, độ dao động thị

Một quyền chọn mua kiểu Châu Âu 10.000 cổ phiếu này có thời điểm

định giá quyền chọn ta tính được giá hiện tại của quyền chọn loại này là

Ce(0) = 2, 96155 Tức là khi bán 1 quyền chọn mua 10.000 cổ phiếu trên

Ngay sau khi bán 1 đơn vị quyền chọn mua 10.000 cổ phiếu, để bảo hộ

d = −0, 2798 ⇒ Φ(d) = 0, 38981

nên∆0 = 3898 Chi phí để mua 3898 cổ phiếu làV0 = 3898×100 = 389800

USD Sau 1 tuần, chi phí lãi suất cho khoản tiền mua 3898 cổ phiếu là:

Tuần Giá cổ phiếu

Số cổ phiếucần nắm

Chi phílãi suất

Tổngchi phí

10.000 cổ phiếu sẽ được bán cho người nắm giữ quyền chọn mua với giá 105

USD

Như vậy số tiền thu được cho phương án đầu tư bảo hộ Delta (khôngtính chi phí giao dịch mua bán) sẽ là:

2965, 5 + 1050000 − 1069460 = 10155, 5 USD

Ví dụ 2.4.3 Một loại cổ phiếu có giá hiện tại trên thị trường là

S0 = 100 USD Lãi suất không rủi ro là r = 4%/năm, độ dao động thị

tháng cho bởi bảng sau:

Số cổ phiếucần nắm

Chi phílãi suất

Tổngchi phí

2.4.3 Delta của một danh mục đầu tư

Ta đã biết Delta của quyền chọn mua kiểu Châu Âu đối với chứng

∆ = ∂Ce

∂S .

Trong mục này ta sẽ mở rộng khái niệm Delta của một danh mục đầu tư

Châu Âu và −∆0 chứng khoán X có giá chứng khoán tại thời điểm t là

t=0(t − 0) + ∂Vt

∂S

S=S0(S − S0) + ∂

2Vt

∂S2

2.4.4 Gamma của một danh mục đầu tư

Ví dụ 2.4.7 Xét danh mục đầu tư gồm các quyền chọn mua kiểuChâu Âu ở hai thời điểm đáo hạn khác nhau của cùng một chứng khoán:

khoán

Giá của danh mục đầu tư trên là:

r = 2, 5%/năm Một nhà đầu tư bán ra 1 lượng w3 quyền chọn mua kiểu

hạn T = 6 tháng nữa với giá thực thi K = 102 USD

2.5 TỐI ƯU HÓA DANH MỤC ĐẦU TƯ

2.5.1 Tỉ lệ lợi nhuận và tỉ lệ lợi nhuận kì vọng

đầu tư đó được định nghĩa

R = V (T ) − V (0)

V (0) .

Ví dụ 2.4.7 Xét danh mục đầu tư gồm quyền chọn mua kiểuChâu Âu hai thời điểm đáo hạn khác chứng khoán:

khoán