DSpace at VNU: Công thức Black – Scholes trong toán tài chính

Công thức Black – Scholes trong toán tài chính Phạm Quang Khải Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận văn ThS Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán Mã số 60 46 15 Người hướ

Công thức Black – Scholes trong toán tài

chính Phạm Quang Khải

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận văn ThS Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán

Mã số 60 46 15 Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Hùng Thao

Năm bảo vệ: 2013

Abstract Trình bày một số khái niệm cơ bản về Toán Tài Chính và Giải tích ngẫu

nhiên liên quan đến đề tài luận văn như Quyền chọn, Trái phiếu và lãi suất, Toán tử sinh cực vi, công thức Feynman – Kac … Trình bày chung về các phương trình vi phân ngẫu nhiên mà hệ số dịch chuyển (drift) µ và hệ số khuếch tán (diffusion) σ phụ thuộc vào một xích Markov Trình bày mô hình Black – Scholes với các hệ số µ và σ phụ thuộc vào một xích Markov, dẫn giải cách đi tìm công thức định giá Black –

Scholes cho mô hình quyền chọn này thông qua phương pháp Feynman – Kac

Keywords Toán học; Toán tài chính; Lý thuyết xác suất; Công thức black; Công thức scholes

Content

LỜI MỞ ĐẦU

Trong việc định giá các gói tài sản tài chính trong một thị trường chứng khoán thì mô hình Black – Sholes ra đời vào năm 1973 được đánh dấu như một bước ngoặt có tính chất cách mạng, làm thay đổi hẳn quá trình tính toán và đầu tư trên các thị trường tài chính Mỹ và Châu Âu kể từ đó

Mô hình định giá quyền chọn này được gắn liền với tên tuổi của Fischer Black, Myron Scholes và Merton Miller và là cơ sở cho một giải thưởng Nobel về kinh tế năm 1986 Để đi tới phương trình giá và công thức định giá, các tác giả của mô hình này đã giả thiết rằng sự

biến đổi của giá chứng khoán cơ sở S t   theo thời gian t là một quá trình chuyển động Brown hình học:

    0 exp 2

S t S      t  dW 

 , (0.1)

hay dưới dạng vi phân

dS t     S t dt     S t dW   t , (0.2)

trong đó các hệ số  và  được định giả thiết là các hằng số,  biểu thị tốc độ biến đổi trung bình của giá chứng khoán S t   còn  được gọi là độ biến động, thể hiện mức độ tham gia của nhiễu ngẫu nhiên dWt

Trong quá trình ứng dụng về sau, mô hình Black – Sholes cổ điển tỏ ra có nhiều hạn chế, chưa phản ánh tốt sự phát triển thực tế việc định giá các hợp đồng quyền chọn Các nhà nghiên cứu toán học và kinh tế tài chính đã mở rộng mô hình này cho phù hợp hơn với thực

tế

Sự mở rộng đã được phát triển theo hai hướng chính:

1.Hướng thứ nhất nhằm thay thế quá trình điều khiển Wiener (chuyển động Brown) Wt bởi một quá trình khác, chẳng hạn một quá trình khuếch tán có bước nhảy hay một quá trình Lévy, hay một quá trình tổng hợp nhiều loại chuyển động ngẫu nhiên hay một quá trình phân thứ Đã có rất nhiều thành công theo hướng này, trong đó phải kể đến các công trình của E.Eberlein, T.Bjork, D.Nualart…

2.Một khuynh hướng tự nhiên thứ hai là không xem tốc độ biến đổi  và tốc độ biến động

 của chứng khoán là hằng số nữa mà phải xem chúng biến đổi hoặc theo thời gian t:

  t

   ,      t , hoặc là các biến ngẫu nhiên hoặc là các hàm ngẫu nhiên

Theo hướng này, gần đây đã xuất hiện công trình đặc biệt của hai tác giả Richard J.Criego và Anatoly V.Swishchuk, nghiên cứu mô hình Black – Scholes với các hệ số  và 

phụ thuộc vào một xích Markov: ở mỗi trạng thái của xích Markov này thì có thể xem giá chứng khoán tuân theo mô hình Black – Scholes cổ điển, nhưng theo thời gian với sự chuyển trạng thái của xích Markov thì giá chứng khoán lại ứng với một mô hình Black – Scholes cổ điển khác Ta có thể nói một cách sơ lược rằng ta có một mô hình Black – Scholes được

“nhúng” trong một môi trường ngẫu nhiên tạo ra bởi một xích Markov

Luận văn này đã tổng hợp một cách có hệ thống những kết quả chính của công trình này Luận văn gồm 3 chương:

Chương I gồm các kiến thức mở đầu, trình bày một số khái niệm cơ

bản về Toán Tài Chính và Giải tích ngẫu nhiên liên quan đến đề tài luận văn như Quyền chọn, Trái phiếu và lãi suất, Toán tử sinh cực

vi, công thức Feynman – Kac …

Chương II trình bày chung về các phương trình vi phân ngẫu nhiên mà

hệ số dịch chuyển (drift)  và hệ số khuếch tán (diffusion)

 phụ thuộc vào một xích Markov

Chương III trình bày mô hình Black – Scholes với các hệ số  và 

phụ thuộc vào một xích Markov, dẫn giải cách đi tìm công

thức định giá Black – Scholes cho mô hình quyền chọn này

thông qua phương pháp Feynman – Kac

Phần cuối của luận văn, ngoài Kết luận còn có một Phụ lục liên quan tới kĩ thuật tính toán trong nội dung của luận văn, đó là

Phụ lục 1 gồm Phương pháp độ đo xác suất rủi ro trung tính

Phụ lục 2 gồm Các định lý Girsanov về biến đổi độ đo

Luận văn này đã được hoàn thành sau một thời gian dài nỗ lực của tác giả với sự hướng dẫn nhiệt tình và sự động viên liên tục của thầy hướng dẫn PGS – TS Trần Hùng Thao

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Trần Hùng Thao, người đã hết lòng chỉ bảo, động viên, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến trường Đại học Khoa học Tự nhiên nơi tác giả được học tập, nghiên cứu trong suốt quá trình học Cao học và trong quá trình làm luận văn, cảm ơn trường Đại học Hàng hải Việt Nam nơi tác giả đang công tác đã luôn tạo điều kiện tốt nhất để tác giả có thể tập trung học tập và hoàn thành luận văn này Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, động nghiệp đã giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt thời gian qua

Tuy có nhiều cố gắng nhưng do khả năng còn hạn chế, thời gian không dài nên luận văn này không tránh khỏi những sai sót Tác giả mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp Hy vọng sau luận văn này tác giả sẽ có cơ hội phát triển thêm những nội dung khoa học thú vị trong luân văn

Ngày 30 tháng 10 năm 2013

Học viên

Phạm Quang Khải

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU Error! Bookmark not defined MỤC LỤC 4 CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Error! Bookmark not defined

1.1 Trái phiếu, cổ phiếu, lãi suất Error! Bookmark not defined

1.1.1 Trái phiếu Error! Bookmark not defined 1.1.2 Cổ phiếu 8 1.1.3 Lãi suất 9

1.2 Thị trường đầy đủ và không đầy đủ Error! Bookmark not defined

1.2.1 Cơ hội có độ chênh thị giá Error! Bookmark not defined 1.2.2 Nguyên lý đáp ứng và khái niệm thị trường đầy đủ Error! Bookmark not defined

1.3 Quyền chọn mua kiểu Châu Âu Error! Bookmark not defined 1.4 Quá trình Markov, xích Markov và toán tử sinh cực viError! Bookmark not defined

1.4.1 Quá trình Markov Error! Bookmark not defined 1.4.2 Xích Markov Error! Bookmark not defined

1.4.3 Toán tử sinh cực vi Error! Bookmark not defined

1.5 Quá trình Poisson và chuyển động Brown Error! Bookmark not defined

1.5.1 Quá trình Poisson Error! Bookmark not defined 1.5.2 Quá trình Poisson phức hợp Error! Bookmark not defined 1.5.3 Chuyển động Brown ( hay quá trình Wiener ) Error! Bookmark not defined

1.6 Công thức Feynman – Kac Error! Bookmark not defined.

CHƯƠNG II QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ĐIỀU KHIỂN BẰNG XÍCH

MARKOV……… 30

2.1 Quá trình ngẫu nhiên được điều khiển bởi xích Markov.Error! Bookmark not defined 2.2 Các kết quả Error! Bookmark not defined

CHƯƠNG III MÔ HÌNH BLACK – SCHOLES ĐỐI VỚI THỊ TRƯỜNG KHÔNG ĐẦY ĐỦ (B,S,X) Error! Bookmark not defined

3.1 Công thức Feynman-Kac cho quá trình tiến hóa ngẫu nhiên Z Error! Bookmark not

defined

3.2 Phương trình Black – Scholes cho thị trường chứng khoán không đầy đủ  B S X , ,  Error! Bookmark not defined

3.3 Quyền chọn mua kiểu Châu Âu trong thị trường  B S X , ,  Error! Bookmark not

defined

3.4 Công thức Black – Sholes cho thị trường B S X Error! Bookmark not defined , , 

Kết luận Error! Bookmark not defined PHỤ LỤC Error! Bookmark not defined Tài liệu tham khảo 5

Reference

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Văn Hữu – Vương Quân Hoàng, Các phương pháp toán học trong tài chính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2007

[2] Nguyễn Văn Nam, Vương Trọng Nghĩa, Giáo trình Thị trường chứng khoán, NXB Tài

Chính, Hà Nội, 2002

[3] Nguyễn Duy Tiến, Các mô hình xác suất và ứng dụng Phần III Giải tích ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2005

[4] Trần Hùng Thao, Nhập môn Toán học Tài chính, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, tái bản 2009

[5] I I Gihman and A V Skorohod, The theory of stochastic processes

Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1975,

[6] Masaaki Kijima, Stochastic Processes with Application to Finance, Chapman & Hall/CRP, Florida, 2003

[7] Richard J.Criego and Anatoly V.Swishchuk, A Black – Scholes Formula for a Market

in a Random Environment, 2000

[8] Shiryaev A.N, Essentials of Stochastic Finance, Facts, Models, Theory World Scientific,

1999

[9] Steve Shreve, Stochastic Calculus and Finance, 1996