Các tia CM nằm giữa CA và CB... Đề thi học sinh giỏi Toán 9 tp.. CMR : BF là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp ∆ECF b.
Trang 1đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh bắc ninh
Thời gian : 150 phút Năm học : 2002-2003
Bài 1 : ( 2.5 diểm )
1) Tìm các số tự nhiên x, y thoả mãn :
x2 + 3 y = 3026
2) Tìm các số nguyên x , y thoả mãn :
1989
= + y
x
Bài 2 : ( 3.5 điểm)
1) Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt đều lớn hơn m :
x2 + x + m = 0
2) Tìm các giá trị của a để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt :
4x |x| + (a-7)x + 1 = 0 3) Tìm x thoả mãn : 7x2 + 8x+ 10 − x2 − 8x+ 10 = 2x
Bài 3 : ( 3 điểm )
Cho (O,R) và dây cung AB cố định trơng cung 1200 Lấy C thay đổi trên cung lớn AB ( C không trùng với A và B ) M trên cung nhỏ AB ( M ≠ A, B )
Hạ ME, MF thứ tự vuông góc với AC và BC
1) Cho M cố định , hãy chứng minh : EF luôn đi qua điểm cố định khi C thay đổi 2) Cho M cố định , hãy chứng minh giá trị ME AC +MF BC không thay đổi khi thay đổi 3) Khi M thay đổi , hạ MK ⊥AB Hãy xác định vị trí của M sao cho
MK
AB MF
BC ME
AC + +
Đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 4 : ( 1 điểm )
Cho tam giác ABC đều Lấy M ngoài tam giác sao cho : MA = 2 , MB =2
∠AMC = 15 0 ( Các tia CM nằm giữa CA và CB )
Tính độ dài CM và số đo∠BMC ?
Trang 2Đề thi học sinh giỏi Toán 9 tỉnh bắc ninh
Năm học : 2004 - 2005 Ngày thi : 02/04/2005
Bài 1(2 điểm)
Tìm các giá trị nguyên x,y thoả mãn
x4 + 2x3 + 2x2 + x + 7 = y2
Bài 2(2,5 điểm)
1) Tìm x thoả mãn: (2x + 3) x2 − 2 = 2x2 + 3x - 4
2)Giải hệ phơng trình :
= + + +
= + +
+
2 2 2
4 2 2 2 4
2 2
208
18
y x x
y x y y x
xy y xy x y x
Bài 3(1,5 điểm)
Tìm GTNN của : P = (x+y+xyzt z)(x+y) với x, y, z, t > 0
và x + y + z + t = 2
Bài 4(2,5 điểm)
Cho tam giác OMN đều ,cạnh a không đổi, đỉnh 0 cố định nằm trên đờng thẳng xy cố định (M,N nằm trên cùng 1 nửa mp xy và M,N không nằm trên
x, y Qua M kẻ đờng thẳng // ON đờng thẳng này cắt xy tại E
Qua N kẻ đờng thẳng // OM cắt xy tại F
a) Chứng minh rằng: ∆MNE và ∆NFM đồng dạng với nhau
b) Gọi I là giao điểm của EN và FM xác định vị trí của MN để ∆INM có chu vi lớn nhất
Bài 5(1,5 điểm)
Cho ∆ABC có góc C =1200 , góc A =15 kéo dài BC lấy CD =2CB Tính số đo góc BDA=?
Trang 3Đề thi học sinh giỏi Toán 9 Quận : Phú Nhuận
Thành phố : HCM Năm học : 2004 - 2005 Thời gian : 90 phút
Bài 1 : ( 2 điểm )
Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là số chính phơng
x4 - x2 + 2x + 2
Bài 2 : ( 2 điểm)
Giải phơng trình và hẹ phơng trình sau :
a x2 + 7x+ 14 = 2 x+ 4
b
= +
= +
35
30
y y x
x
x y y
x
Bài 3 : ( 2 điểm)
Cho 3 số dơng a, b, c thoả mãn : a2 + b2 + c2 = 35
Chứng minh rằng : a1 +b1+c1 <abc1
Bài 4 : ( 2 điểm)
Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Trên đờng thẳng AB lấy điểm C nằm ngoài
đoạn AB Từ C kẻ 2 tiếp tuyến CE, CF với (O) Gọi I = AB ∩ EF , qua C kẻ 1 cát tuyến bất kì cắt (O) tại M và N ( M nằm giữa C và N ) Chứng minh :
a 4 điểm O, I, M, N nằm trên 1 đờng tròn
b Góc AIM = Góc BIN
Bài 5 : ( 2 điểm)
Cho (O) đờng kính BC và điểm A ∈ (O) Kẻ đờng cao AH của tam giác ABC Gọi I , K theo thứ tự là giao điểm của các đờng phân giác của tam giác AHB , AHC Đờng thẳng IK cắt AB, AC tại M, N
Chứng minh rằng : S AMN S ABC
2 1
≤
Trang 4Đề thi học sinh giỏi Toán 9 tỉnh hải D ƯƠ NG
Năm học : 2003 - 2004 Thời gian : 150 phút
Bài 1 : ( 2,5 điểm)
Giải phơng trình :
| xy - x - y + a | + | x2y2 + x2y + xy2 + xy - 4b | = 0
a = ( 57 + 3 6 + 38 + 6 )( 57 − 3 6 − 38 + 6 )
b = ( 17 − 12 2 + 3 − 2 2 + 3 + 2 2
Bài 2 : ( 2 điểm)
Hai phơng trình : x2 + (a - 1).x + 1 = 0
x2 + (b + 1).x + c = 0
Có nghiệm chung , đồng thời 2 phơng trình : x2 + x + a - 1 = 0
x2 + c.x + b + 1 = 0 cũng có nghiệm chung Tính giá trị của biểu thức :
c b
a
+
2004
Bài 3 : ( 3 điểm)
Cho 2 đờng tròn tâm O1 và O2 cắt nhau tại a, B Đờng thẳng O1A cắt (O2) tại D , đờng thẳng O2A cắt (O1) tại C Qua A kẻ đờng thẳng // CD tại M và cắt (O1) tại M và cắt (O2) tại N
Chứng minh rằng :
1) 5 điểm B, C, O1, O2 nằm trên một đờng tròn
2) BC + BD = MN
Bài 4 : ( 2 điểm)
Tìm các số thực x và y thoả mãn : x2 + y2 = 3
và x + y là một số nguyên
Trang 5Đề thi học sinh giỏi Toán 9 tp hải phòng
Năm học : 2004 - 2005 Ngày thi : 02/04/2005 Bài 1 : ( 2 điểm)
a) Rút gọn biểu thức : P =
−
−
− +
y
y x
x y
x
y x xy
y
) (
b) Giải phơng trình : 2
2 2
2 2
2
−
−
− + + +
+
x
x x
x
Bài 2 : ( 3 điểm)
a) Số đo 2 cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông
là nghiệm của phơng trình bậc II : ( m - 2 ).x2 - 2 ( m - 1).x + m = 0
Hãy xác định giá trị của m để độ dài đờng cao ứng với cạnh huyền
của tam giác là
5 2
b) Vẽ các đờng thẳng : y = 2 ; y = 17 ; x = 6 ; x = 42 trên cùng một hệ trục toạ độ CMR : Ttong hình chữ nhật giới hạn bởi các đờng thẳng trên không có điểm nào nguyên thuộc đờng thẳng : 3x + 5y = 7
(Điểm M( x,y) đợc gọi là điểm nguyên nếu x, y cùng là số nguyên )
Bài 3 : ( 2 điểm)
Cho ◊ ABCD có các cạnh đối diện AD cắt BC tại E và AB cắt CD tại F
CMR : Điều kiện cần và đủ để Tứ giác ABCD nội tiếp đợc trong đờng tròn là :
EA.ED + FA FB = EF2 Bài 4 : ( 2,5 điểm)
Cho ∆ABC cân ở A , AB .BC
3
2
= , Đờng AE đờng tròn tâm O nội tiếp ∆ABC
tiếp xúc với AC tại F
a CMR : BF là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp ∆ECF
b Gọi M là giao điểm của BF với (O)
CMR : ◊ BMOC là tứ giác nội tiếp
Trang 6Đề thi chọn đội tuyển lớp 9
Năm học :1996-1997 Thời gian: 180 phút
Bài 1
a) Với giá trị nguyên dơng nào cảu n thì( n-1) n
b) CMR 2 số tự nhiên lẻ n và n+2 là cặp số nguyên tố song đôi khi và chỉ khi (n-1) ! không chia hết cho n và n+2
Bài 2
Giả sử X0 là một nghiệm dơng của phơng trình
xn = xn-1 + x n-2 + + x + 1
với n là số nguyên và n ≥2
CMR : 2 - n1 < X0 < 2
Bài 3 : Giải hệ phơng trình 9 ẩn số sau
<
+
−
<
+
−
<
+
−
<
+
−
) 9 (
0 ) (
) 8 (
0 ) (
) 2 (
0 ) (
) 1 (
0 ) (
3 2 1 9
2 1 9 8
5 4 3 2
4 3 2 1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
Bài 4:
Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp (0) và có các cạnh đối không song song hãy dựng hình bình hành MNPQ sao cho M, N, P, Q tơng ứng nằm trên các cạnh AB, BC,
DA và có các đờng chéo gặp nhau tại 0
CMR : Bài toán luôn có 1 nghiệm hình
Bài 5 :
Trên đờng tròn có độ dài = 6k ( k - nguyên dơng ) ta đánh dấu 3k điểm chia đ-ờng tròn thành 3k cung trong đó có k cung độ dài =1, k cung độ dài =2 , k cung
độ dài =3
CMR : Trong số các điểm đợc đánh dấu luôn có 2 điểm đầu là 2 đầu của một đ-ờng kính