Vẽ đờng tròn tâm I đ-ờng kính AC và vẽ đđ-ờng tròn tâm K đđ-ờng kính BC.. MN là tiếp chung ngoài của hai đờng tròn M I,N K ; Cx là tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn.. a Chứng mi
Trang 1Đề thi chọn học sinh giỏi
Môn : Toán lớp 9
Thời gian làm bài : 120 phút Câu 1 : (2 điểm ) a) Tính A =
3 2 2
1 3
2 2
1
b) So sánh : 2008 2009
2009 2008 và 2008 2009
Câu 2 : (2 điểm ) a) Giải phơng trình : x2 + x + 12 x 1= 36
b) Tìm các số nguyên x , y sao cho : y= 2 4 5
x x
Câu 3 : (2 điểm )
a) Biết a , b , c là số đo 3 cạnh của một tam giác Chứng minh phơng trình :
x2 + ( a - b - c )x + bc = 0 vô nghiệm
b) Cho M = x2 + y2 + 2z2 + t2 ; với x , y , z , t là số tự nhiên
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị tơng ứng của x,y,z,t biết rằng:
101 4
3
21 2 2 2
2 2 2
z y x
t y x
Câu 4 : (3 điểm)
Cho đoạn thẳng AB=2a , trên AB lấy một điểm C tuỳ ý Vẽ đờng tròn tâm I đ-ờng kính AC và vẽ đđ-ờng tròn tâm K đđ-ờng kính BC MN là tiếp chung ngoài của hai
đờng tròn (M (I),N (K)) ; Cx là tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn a) Chứng minh các đờng thẳng AM,BN,Cx đồng quy tại một điểm D
b) Xác định vị trí của điểm C trên AB sao cho tứ giác DMCN có diện tích lớn nhất
Câu 5 : (1 điểm)
Chứng minh rằng nếu a b > 2 thì phơng trình sau có nghiệm
2ax2 + bx +1 - a = 0
đáp án đề thi học sinh giỏi
môn thi : toán lớp 9
Câu 1 : (2đ)
a) (1đ) A =
3 2 4 2
2 3
2 4 2
2
( Nhân tử và mẫu với 2) 0,25 =
3 3
2 3
3
2 )
1 3 ( 2
2 )
1 3 ( 2
2
3 9
) 3 3 3 3 ( 2
Trang 2b)(1đ) Ta có 2008 2009
2009 2008 =
2009 1 2008 1
2009 2008
= 2009 1 2008 1
2009 2009 2008 2008=
= ( 2008 2009)+ 1 1
2008 2009
2008 2009
Do đó 1 1
suy ra ( 2008 2009)+ 1 1
2008 2009 > 2008 2009
Vậy 2008 2009
Câu 2 : (2đ)
a) (1đ) x2 + x + 12 x 1= 36
x(x+1)+ 12 x 1= 36
Đặt x 1 = t 0 ; phơng trình trở thành :
t4 - ( t - 6 )2 = 0 ; suy ra (t2 - t + 6)(t2 + t - 6) = 0 0,25 Phơng trình t2 - t + 6 = 0 vô nghiệm
Phơng trình t2 + t - 6 = 0 có nghiệm là t1 = -3< 0 (loại)
t2 = 2 > 0 0,25 Với t = 2 thì x 1=2 ; từ đó tìm đợc nghiệm của phơng trình là :
b) (1đ) x2 + 4x + 5 = (x+2)2 +1 > 0 với mọi x , nên y xác định với mọi x ;
Bình phơng 2 vế y= 2 4 5
x
x ta đợc :
y2 = (x+2)2 +1
Trang 3Vì x,y là số nguyên nên (y + x + 2) và (y - x - 2 ) cũng nhận giá trị nguyên Ta thấy tổng và tích của 2 biểu thức này là dơng nên ta có :
1 2 1 2
x y
x y
; từ đó ta tìm đợc (x=-2;y=1) 0,25
Câu 3 : (2đ)
a) (1đ) = (a-b-c)2 - 4bc = a2 + b2 +c2 - 2ab - 2ac + 2bc - 4bc
= a2 + b2 +c2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0,25 = a2 - a(b+c) + b2 - b(a+c) + c2 - c(a+b)
Vì a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên :
0 <a<(b+c) ; suy ra a2 < a(b+c) ; do đó a2 - a(b+c) < 0
0 <b<(a+c) ; suy ra b2 < b(a+c) ; do đó b2 - b(a+c) < 0
0 <c<(a+b) ; suy ra c2 < c(a+b) ; do đó c2 - c(a+b) < 0 0,5
Từ đó suy ra < 0 Vậy phơng trình vô nghiệm 0,25 b) (1đ)Từ hệ
(**) 101 4
3
*) ( 21 2 2 2
2 2 2
z y x
t y x
; cộng vế với vế ta đợc : 2(x2 + y2 + 2z2 + t2) - t2 = 122 ; 0,25 suy ra M=
2
61 2
122 t2 t2
; do đó Min M = 61 khi t = 0 0,25 Với t = 0 từ (*) suy ra x2 - y2 = 21 hay (x-y)(x+y)= 21 0,25
Có 2 trờng hợp xảy ra :
10 11 21
1
y x y
x
y
x
(loại vì không thoả mãn (**) )
2 5 7
3
y x y
x
y
x
, thay vào (**) ta tìm đợc z=4
Câu 4 : (3đ)
a) (1,25đ)
Gọi D là giao điểm của AM và BN
Q là giao điểm của MN và Cx
Theo tính chất của tiếp tuyến ta có
QM=QC=QN ;
Tứ giác DMCN có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật ; 0,25
Mà Q là trung điểm của MN , suy ra Q là trung điểm của DC
b)(1,75đ)
Q
N M
K
x
A
D
Trang 4Gọi O là trung điểm của AB , Suy ra DO=
2
AB
DC AB
DC DB
DA
DC DB
DC DA
DC
.
.
4 4
2 2
0,5
2 2 2
2 3 3
a
a a
DC AB
DC
Từ đó ta có SDMCN lớn nhất bằng
2
2
a khi DC=a ; lúc đó CO 0,5
Câu 5 : ( 1 điểm )
Giả sử phơng trình vô nghiệm , ta có :
= b2 - 8a(1-a) < 0 (1) , do đó 0 < b2 < 8a(1-a) hay a(1-a) > 0
Từ đó ta có 0 <a < 1 , suy ra a = a 0,25
Từ (1) , ta lại có b < 2 2a( 1 a), vậy a b a 2 2a( 1 a)
=2 2 2 ( 1 ) ( 1 ) 1 ( 2 1 ) 2 1
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki , ta có :
( 2a 1 a) 2 ( 2 a 1 1 a) 2 ( 2 1 )a ( 1 a)= 3 (3) 0,25 Kết hợp (2) với (3) , ta có :
a b < 3 -1 = 2 ; trái với giả thiết