BD Bat dang thuc

Kiến thức cần nhớ A Mục tiêu - Hệ thống các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức - Rèn luyện khả năng phân tích, t duy sáng tạo cho HS.. Nội dung cụ thể Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đ

bất đẳng thức- bất phơng trình.

A Kiến thức cần nhớ

A Mục tiêu

- Hệ thống các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức

- Rèn luyện khả năng phân tích, t duy sáng tạo cho HS

B Nội dung cụ thể

Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp biến đổi tơng đơng

I Bất đẳng thức

1 Định nghĩa bất đẳng thức.

Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b, a ≤ b, a ≥ b) là bất đẳng thức và a gọi là vế trái, b gọi là vế phải của bất đẳng thức

2.Tính chất.

• a > b ⇔ a – b > 0

• a > b ⇔a + c > b + c ( ∀ ∈c R )

• a > b ⇔ a.c > b.c nếu c > 0

a.c < b.c nếu c <0

• 



a >b c> d ⇒ a + c > b + c

• 

a > b > 0 ⇒ a.c > b.d

c > d > 0

• a > 1 ⇒ an < an+k với n, k ∈N*

• 0 < a <1 ⇒ a > a n n+k với n, k ∈N*

• a + b a b≥ ± ≥a - b

• a > b ⇔a2k+1 > b2k+1

• a > b > 0 ⇔ a2k > b2k

3 Các bất đẳng thức cơ bản.

• ( )2≥ ∀

• (x + y)2 ≥ 4xy Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y

• x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z

• 1 1x y x+ y ( Với x; y dơng) Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y.+ ≥ 4

• a 0 a Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = 0≥ ∀

• a a - a≥ ≥ ∀a

• a b+ ≥2

b a với a; b dơng Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.

• A ≥ ∀ 0 A ≥ 0 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A = 0.

4 Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức

-Phơng pháp biến đổi tơng đơng, sử dụng các tính chất của bất đẳng thức

-áp dụng bất đẳng thức côsi, bunhiacovski, trêbsep

-Sử dụng các bất đẳng thức phụ

-Phơng pháp chứng minh phản chứng

-Phơng pháp chứng minh làm trội

-Phơng pháp chứng minh quy nạp

II Tìm gía trị nhỏ nhất, gía trị lớn nhất của biểu thức A.

B

ớc 1 : Chứng minh A ≥ m (hay A ≤ m) với mọi gía trị của biến trong đó m là một hằng số

B

ớc 2 : Chỉ ra trờng hợp xảy ra dấu "="

B

ớc 3 : Kết luận

III Bất phơng trình.

1 Định nghĩa

- Một bất phơng trình ẩn x có dạng A(x) < B(x) hay A(x) > B(x); A(x) ≤ B(x); A(x)

≥ B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x

- Gía trị của x mà khi thay vào bất phơng trình, ta đợc một khẳng định đúng gọi là nghiệm của bất phơng trình

- Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phơng trình đợc gọi là tập nghiệm của bất

ph-ơng trình

- Giải bất phơng trình là tìm tập nghiệm của bất phơng trình đó

2 Bất phơng trình tơng đơng.

Hai bất phơng trình gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng tập nghiệm

3 Bất phơng trình bậc nhất một ẩn.

a Định nghĩa

Bất phơng trình dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0; ax + b ≤ 0 ax + b ≥ 0) trong đó a, b là hai số đã cho, a ≠ 0, đợc gọi là bất phơng trình bậc nhất một ẩn

b Hai qui tắc biến đổi t ơng đ ơng bất ph ơng trình

+ Qui tắc chuyển vế

Khi chuyển một hạng tử của bất phơng trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó

+ Qui tắc nhân với một số

Khi nhân cả hai vế của một bất phơng trình với cùng một số khác 0, ta phải:

- Giữ nguyên chiều của bất phơng trình nếu số đó dơng

- Đổi chiều bất phơng trình nếu số đó âm

4 Bất phơng trình bậc cao.

Biến đổi về bất phơng trình tích rồi giải bất phơng trình tích

5 Bất phơng trình phân thức.

Biến đổi về bất phơng trình thơng rồi giải bất phơng trình thơng

6 Bất phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối.

Cách 1: Xét khoảng

Cách 2: Biến đổi tơng đơng

Cách 3: Sử dụng tính chất của bất đẳng thức, so sánh gía trị hai vế

Cách 4: Đặt ẩn phụ

7 Bất phơng trình chứa dấu căn.

Cách 1: Xét khoảng

Cách 2: Biến đổi tơng đơng.

Cách 3: Sử dụng tính chất của bất đẳng thức, so sánh gía trị hai vế

Cách 4: Đặt ẩn phụ

B bài tập

I Bất đẳng thức.

Chứng minh các bất đẳng thức sau bằng phơng pháp biến đổi tơng đơng Bài 1: Cho các số thực a, b, c, d thoả mãn điều kiện a≥b≥c≥d≥ 0 Chứng minh rằng:

a) a2 – b2 + c2 ≥ ( a – b +c)2

*b) a2 – b2 + c2 - d2 ≥ ( a – b + c - d)2

(Trích đề thi HSG cấp tỉnh năm 03 04– )

Hớng dẫn

a2 – b2 + c2 ≥ ( a – b +c)2

⇔ a2 – b2 + c2 ≥ a2 + b2 + c2 – 2ab + 2ac – 2bc

⇔

⇔ (b – a).(b – c) ≤ 0

b, áp dụng câu a

* Bài 2: Chứng minh rằng nếu y ≥ x3 + x2 + x +1 (1) thì ta có x2 + y2 ≥ 1 (2) Tìm tất cả các cặp số (x; y) thoả mãn điều kiện (1) để (2) xảy ra dấu bằng

(Trích đề thi HSG cấp tỉnh năm 03 04– )

Hớng dẫn

Xét 3 trờng hợp xảy ra;

TH1: x≥0 ⇒ ≥y 1 ⇒ x2 + y2 ≥ 1

TH2: x ≤-1 ⇒x2 ≥ 1 ⇒ x2 + y2 ≥ 1

TH3: - 1 < x < 0⇒ y >1 ⇒x2 + y2 ≥ 1

Dấu = xảy ra khi x = 0; y = 1 hoặc y = 0; x = -1

* Bài 3: Cho ba số dơng a, b, c thoả mãn 0 < a ≥ ≥b c Chứng minh rằng

a, a b c b c a+ + ≥ + +

b c a a b c

b, c b b a+ ≥ +

a c a b

Xét hiệu, chứng minh hiệu không âm

** Bài 4: Cho a.b.c = 1 và a3 > 36 Chứng minh rằng: a2 +b2 +c2 >ab+bc+ca

3

Hớng dẫn

Xét hiệu, tách thành

a

abc a

c b

a

12

36 2

3 2

− +











 − −

* Bất đẳng thức Côsi:

Cho n số không âm a, a , ,a Ta có: a + a + +a ≥n n a a a

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an

* Bài 5: Cho a1, a2 , a3, a4, a5 là các số dơng có tổng bằng 1 Chứng minh rằng :

5 4

3 2

1

≥































a a

a a

Hớng dẫn

4 4 1

5 4 3 2 1

5 1

4 1

3 1

2 1

5 4 3 2 1

1

4 1

1

1

a

a a a a a

a a

a a

a a

a a

a a a a

a

Tơng tự có:

Nhân vế với vế ta đợc điều phải chứng minh

* Bài 6: Tìm GTLN của biểu thức:

x+ − −

Hớng dẫn

P(x) xác định ⇔ 1 −x− 2x2 ≥ 0 ⇔ − 1 ≤x≤21

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm 1 và 1 - x - 2x2 ta có:

2

2 1

1

x x x

x

−

−

≥

−

−

+

2

2 2 2

2 2

≤

−

=

−

− +

0

1 2

=⇔







=

=

−−

x

x x

Vậy GTLN của P(x) là 1 xảy ra khi x = 0

* Bài 7: Cho x.y = 1 và x > y CMR: 2 2

2 2

≥

−

+

y x

y x

Hớng dẫn

y x y x y

x

y x y

x

xy y

x

− +

−

=

−

+

−

=

−

+

Vì x > y nên x - y > 0 áp dụng BĐT Côsi ta có:

VT 2 ( ) 2 ≥ 2 2

−

−

≥

y x y x

II Tìm gía trị nhỏ nhất, gía trị lớn nhất.

III Bất phơng trình.

Bài tập

Bài 1: Cho a≥1; b≥1 Chứng minh rằng: a b− 1 +b a− 1 ≤ab

Bài 2: Cho a1; a2; a3; ;an không âm và a1 a2 a3 an =1 Chứng minh rằng: (1+a1)(1+ a2)(1+ a3) (1+an)≥ 2n

Bài 3: Chứng minh rằng ∀x∈R ta có: x12- x9 + x4 –x +1 >0

1

1 1

1 1

1 1

+

+ +

+ + +

Chøng minh r»ng a.b.c.d

81

1

≤

6 2

6 4 4

x

y y

x y

Bµi 6: Cho a > 0, x > 0 Chøng minh r»ng: 8

7 8

7

8 











≥

x

a x

Bµi 7: Cho x lµ sè thùc tuú ý, chøng minh r»ng: x100 - 10x10 + 2004 ≥ 1995 Bµi 8: Cho a > 2, b > 2 Chøng minh r»ng a.b > a+b

Bµi 9: Chøng minh r»ng víi mäi a ta cã: 2a4 + 1 ≥ 2a3 + a2

Bµi 10: Cho a≥ 1 ;b ≥ 1 Chøng minh r»ng;

ab b

2 1

1 1

1

2 2

( 1)( 1)

2 2 3 3

−

−

+

− +

y x

y x y x

Bµi 12: Cho a1; a2; a3; ;an > 0 CMR:

2

1

2

3 2

2

2

2

1

2

n

a a

a a

a

a

a

a

+ + + +

+

+

Bµi 13: Cho a, b, c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c Chøng minh r»ng:

(a+b+c) ≤ a +b + b +c + c +a < 3 (a+b+c)

.

Bµi 14: Cho a, b, c lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a + b + c=1 CMR:

a+b+ b+c+ c+a≤ 6

Bµi 15: T×m GTNN cña biÓu thøc:

A= 1 2 12









 + +











 +

u

v v