Gián án Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong quá trình giảng dạy môn Toán ở trường THPT đặc biệt trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp, chuyên đề về bất đẳng thức là một chuyên đề hay và lý thú chính vì vậy

PHẦN I

ĐẶT VẤN ĐỀ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong quá trình giảng dạy môn Toán ở trường THPT đặc biệt trong các

kỳ thi học sinh giỏi các cấp, chuyên đề về bất đẳng thức là một chuyên đề hay

và lý thú chính vì vậy mà nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp đặc biệt là cấp THPT

Trong chuyên đề về bất đẳng thức thì việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để giải các loại toán và bài toán khác là khá hiệu quả thông qua đó mà lời giải được đơn giản hơn, thu được kết quả nhanh chóng Bất đẳng thức Bunhiacopski là một bất đẳng thức kinh điển như vậy Vì vậy nếu khai thác bất đẳng thức này vào việc giải các bài toán khác thì có thể đem lại kết qua nhiều mặt, kích thích phát triển tư duy, sáng tạo của học sinh Với ý nghĩ như vậy tôi giới thiệu việc sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki vào giải một số bài toán cực trị đại số và hình học

- Xuất phát từ thực tế giảng dạy chương trình THPT, đặc biệt là trong các

kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp, đứng trước một bài toán có rất nhiều phương pháp giải khác nhau song một trong những phương pháp giải tương đối có hiệu quả là việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để giải Học sinh được tiếp xúc rất nhiều về các phương pháp giải các bất đẳng thức và sử dụng các bất đẳng thức

để giải các loại toán khác như: Chứng minh các bất đẳng thức đại số và hình học hoặc giải một số bài toán cực trị đại số và hình học

II PHẠM VI ĐỀ TÀI

Tuy nội dung đề cập khá rộng và các bài toán dạng này cũng rất phong phú song trong khuôn khổ thời gian có hạn tôi chỉ nêu ra một số bài toán điển hình và sắp xếp trình tự từ đơn giản đến phức tạp

III ĐỐI TƯỢNG

Đề tài này được áp dụng cho học sinh khá giỏi THPT

IV MỤC ĐÍCH

Nhằm mục đích nâng cao, mở rộng hiểu biết cho học sinh nhất là việc bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp các em hiểu sâu sắc hơn về bất đẳng thức đặc biệt là bất đẳng thức Bunhiacopxki Qua đó giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện các phương pháp về bất đẳng thức và rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

PHẦN II

NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC

1 CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC

- Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông, môn toán là môn học quan trọng Môn toán có tiềm năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy

- Trong quá trình giải toán ở nhà trường cũng như trong các kỳ thi học sinh sinh giỏi các cấp, chuyên đề về bất đẳng thức là một chuyên đề hay và lý thú chính vì vậy mà nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp, đặc biệt là cấp THPT và kỳ thi vào ĐH, CĐ và THCN

- Đứng trước một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau song việc tìm ra một lời giải hợp lý, ngắn gọn, thú vị và độc đáo là một việc không dễ thông qua đó mà thu được kết quả nhanh chóng Bất đẳng thức Bunhiacopski là một bất đẳng thức kinh điển như vậy Vì vậy nếu khai thác bất đẳng thức này vào việc giải các bài toán khác thì có thể đem lại kết qủa nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo của học sinh

2 ĐỐI TƯỢNG PHỤC VỤ

Đề tài này dùng để giảng dạy cho các học sinh tham gia thi học sinh giỏi cấp THPT

3 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPSKI ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI

TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ

Sử dụng kết quả:

a Nếu a1x1 +a2x2 + +a n x n =C , C là hằng số thì

2 2

2

2 1

2 2

2 2

2 1

)

(

n

n

a a

a

C x

x x Min

+ +

+

= +

+ +

Dấu “=” xẩy ra khi

n

n

x

a x

a x

a

=

=

=

2

2 1 1

b Nếu x2 +x2 + +x2 =C2 −Const thì

2 2

2

2 1 2

2 1

1 ) | |

(a x a x a n x n C a a a n

Dấu “=”xẩy ra khi 0

2

2 1

n

n

x

a x

a x a

Ví dụ 1:

Cho x2 + y2 = 1 Tìm Max ( x 1 + y + y 1 + x )

Lời giải:

Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

2 2 2

) )(

1

1

(

2 )

1 ( ) 1 ( ) (

1 1

.

2 2 2

2

2 2

2 2

+

≤ + + +

≤

+ +

= +

+ + +

≤ + + +

=

y x

y x x

y y

x x y y

x

A

2

2 2

2 + ⇔ = =

=

Ví dụ 2:

Cho 36x2 + 16y2 = 9 Tìm Max, Min của A = y - 2x + 5

Lời giải:

Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

4

1 ( ) 3

1 ( 16











+

4

5 2 4

5 )

2

(

16

25 ≥ − 2 ⇔ − ≤ − ≤

4

25 5 2

4

15 ≤ − + ≤

) 20

9 , 5

2 (

4

25 ) 5 2

(y− x+ = ⇔ x= − y=

Max

) 20

9 , 5

2 ( 4

15 ) 5 2

(y− x+ = ⇔ x= y=

Min

Ví dụ 3:

Cho x, y, z thỏa mãn xy+yz+zx=4 Tìm MinA biết A = x4 + y4 + z4

Lời giải:

Từ giả thiết 42=(xy+yz+zx)2 ≤(x2 +y2 +z2)(y2+z2+x2)

Suy ra: (x2+y2+z2)2 ≥ 42

16 ) )(

1

1

1

( 2 + 2 + 2 4 + 4 + 4 ≥

16

4

4

4 +y +z ≥

x

3

2 3

16 ⇔ = = = ±

MinA

Ví dụ 4:

Cho x, y, z thỏa mãn x, y, z ≥ − 1 và x + y + z = 1 Tìm MaxA biết

z y

x

Lời giải:

Theo Bunhiacopski ta có

3 2 4 3 ) 1 1 1 )(

1 1 1 ( 1

1

1 + + + + + ≤ 2 + 2 + 2 + + + + + = =

A

3

1 3

2 ⇔ = = =

=

Ví dụ 5:

Cho











≥ +

= +

= +

20 25

16

2 2

2 2

yv xu

v u

y x

Tìm Max (x+v)

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

20 25 20 )

)(

(

20 ≤ xu+yv≤ x2 +y2 u2 +v2 = =

yu xv v

y u

x yv

Mặt khác

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

(

41 = x +y + u +v = x +v + y +u ≥x +v + yu= x +v + xv= x+v

41

=

+

⇒x v















= +

=

= +

= +

⇔

=

+

20

25

16 41

)

(

2 2

2 2

yv xu

y u

v u

y x v

x

41

20 20

20 )

+

=

⇒

= +

⇔

v x u v

x y

41

20

=

41

16

=

41

25

=

z

Một số bài tập áp dụng

1 Cho 2 số x, y thỏa mãn 2x + 5y = 7

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

a/ A=x2+y2

b/ B=2x2+5y2

2 Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

a/ A=x2+y2+z2

b/ B=x4+y4+z4

3 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x,y,z) = xy+yz+zx−mxyz Trong đó x ≥ 0,

y ≥ 0, z ≥ 0, x+y+z=1

4 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y) = 2 x + y Trong đó x ≥ 0, y ≥ 0,

1

3

3 + y ≤

x

4 KẾT QỦA

Đề tài này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy đội tuyển học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh năm 2006 Trong quá trình học đề tài này, học sinh thực sự thấy tự tin khi gặp các bài toán về bất đẳng thức, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học, tự nghiên cứu

5 GIẢI PHÁP MỚI

- Bài toán nói chung rất đa dạng và phong phú Mỗi bài toán lại có rất nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học sẽ làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo Chuyên đề này chỉ mang tính chất gợi

mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo Do đó học sinh cần có thêm nhiều thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan

II THỰC TIỄN GIẢNG DẠY

1 QUÁ TRÌNH ÁP DỤNG

- Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, tôi đã

hệ thống được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số bài tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải

2 HIỆU QUẢ KHI ÁP DỤNG

- Sau khi học sinh học xong chuyên đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho hóc sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học tự nghiên cứu

3 BÀI HỌC KINH NGHIỆM

- Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, một kinh nghiệm được rút ra là

Trước hết học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản vận dụng linh hoạt các kiến thức này, từ đó mới dạy các chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức một cách hợp ly với các đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh

Chuyên đề này chủ yếu đưa ra các bài tập có sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski từ đó hình thành kỹ năng, phương pháp giải Do đó khi giảng dạy phải cung cấp nhiều dạng bài tập khác nhau để phát triển tư duy học sinh

PHẦN C KẾT LUẬN

- Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải song việc tìm ra một lời giải hợp

lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc không dễ Do đó đây chỉ là một chuyên đề trong hàng chuyên đề, một phương pháp trong hàng vạn phương pháp

để giúp phát triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh cách nhận dạng bài toán, thể hiện bài toán từ đó học sinh có thể vân dụng linh hoạt các kiến thưc cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải, bắt đầu từ đâu

và bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học sinh không sợ khi đứng trước một bài toán khó mà dần dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê môn toán, từ đó tạo cho học sinh tác phong tự học tự nghiên cứu

Tuy nội dung đề cập khá rộng song trong khuôn khổ thời gian hạn người viết cũng chỉ ra được các ví dụ, bài toán điển hình

- Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để chuyên đề này được đầy đủ hoàn thiện hơn

Xin chân thành cám ơn!