Bài tập Bất đẳng thức

Bất đẳng thức là các mệnh đề:..  Chứng minh 1 bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.. Bất Đẳng Thức Chứa Trị Tuyệt Đối Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi.. Đẳng thức xãy ra kh

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

A, B là các số thực Bất đẳng thức là các mệnh đề:

 Chứng minh 1 bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.

I Tính Chất:

2

II Các Hệ Quả

III Bất Đẳng Thức Chứa Trị Tuyệt Đối

Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi

4

5 Với

IV Bất Đẳng Thức CauChy (Cô-si):

1 Bất đẳng thức Cô Si cho 2 số không âm:

: hay: hay: .

Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi a = b

Nếu a > 0, b > 0 và S = a + b không đổi M là GTLN của hàm số y = f(x) trên txđ D

Thì tích ab lớn nhất bằng khi a = b =

Nếu a > 0 và b > 0 và P = ab không đổi m là GTNN của hàm số y = f(x) trên txđ D

Thì tổng a + b nhỏ nhất bằng khi

2 Bất đẳng thức Cô Si cho 3 số không âm:

Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi a = b = c

3 Bất đẳng thức Cô Si cho n số không âm :

hay:

Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi

V Bất Đẳng Thức Bunhiacốpxki:

1 Bất đẳng thức Svac-xơ: (Schwartz):

Dấu “=” xãy ra khi: hoặc x = y = 0

2 Bất đẳng thức Bunhiacốpxki (Bouniakowski):

Với 4 số tùy ý a,b,x,y ta có:

Dấu “=” xãy ra khi: hoặc x = y = 0

Với 6 số a,b,c,x,y,z tùy ý ta có:

Dấu “=” xãy ra khi: hoặc x = y = z = 0

B BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN:

 Phương pháp biến đổi tương đương:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

Giải: Ta có

Vậy:

Đẳng thức xãy ra khi

*Vận dụng:

* Nhận xét: nếu chuyển vế thì được 1 hằng đẳng thức? Đẳng thức xãy ra khi:

Giải: Ta có:

(1)

Vậy

* Nhận xét:

Nếu tách và gộp nhóm hợp lý ta được các hằng đẳng thức và là các bình phương

Ví dụ 3: Chứng minh với mọi a,b,c thuộc , ta có: (1)

Giải: ta có:(1)

( luôn đúng với mọi a,b,c)

Nhận xét:

khi chuyển vế ta được biểu thức:

là 3 hằng đẳng thức

Ví dụ 4: Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác

hằng đẳng thức phân tích thành thừa

* Lưu ý:

( luôn đúng) Vậy:

trong tam giác

Bài tập cùng phương pháp:

Bài tập 1: Chứng minh các số thực a,b,c,d tùy ý, ta có:

a)

b)

c)

d)

Bài tập 2: Chứng minh với 2 số thực a,b thỏa , ta có:

a)

b)

Bài tập 3: Cho các số thực a,b,c,d sao cho Chứng minh

a)

b)

Bài tập 4: Chứng minh rằng: với mọ i a,b,c thỏa a + b + c ≠ 0

Bài tập 5: Chứng minh rằng:

a)

b)

Bài tập 6: Chứng minh với 2 số thực không âm a,b ta có:

Bài tập 7: Cho

Bài tập 9: Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình: