2 mp vuông góc (2 tiết)

Định nghĩa Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.. Xác định góc giữa hai mặt phẳng α và β Cách 1: Dựa vào định nghĩa +

Bài 4: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

I Mục tiêu

1 Về kiến thức

- Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng và cách xác định góc giữa chúng

- Diện tích hình chiếu của một đa giác

- Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc

2 Về kĩ năng

- Xác định được góc giữa hai mặt phẳng và tính được số đo góc đó

- Tính được diện tích hình chiếu của một đa giác

- Sử dụng được điều kiện cần và đủ để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

3 Về tư duy, thái độ

- Tích cực phát huy tính độc lập

- Liên hệ được nhiều vấn đề trong thực tế và giúp đỡ lẫn nhau

II Chuẩn bị

- Giáo viên: giáo án, SGK, dụng cụ dạy học

- Học sinh: chuẩn bị bài mới và bài cũ

III Tiến trình hoạt động

Hoạt động 1: Góc giữa hai mặt phẳng

HOẠT ĐỘNG

CỦA GV

- Lấy ví dụ thực tế

về góc giữa hai

mặt phẳng: quyển

vở đang mở, đóng

mở quyển vở để

thấy được sự thay

đổi góc giữa hai

mặt phẳng?

- Làm sao để tính

- HS trả lời

I Góc giữa hai mặt phẳng

1 Định nghĩa

Định nghĩa: Góc giữa hai

mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta

được góc giữa

quyển vở mở đó?

¿>¿ Định nghĩa

góc giữa hai mặt

phẳng

- Nêu hình ảnh

minh họa hai mặt

phẳng (α ) và (β )

song song và trùng

nhau

Hỏi: Khi (α )/¿(β)

hoặc (α )≡(β) thì

góc giữa 2 mặt

phẳng bằng bao

nhiêu?

Nếu mặt phẳng (α )

và (β ) không song

song thì góc giữa

hai mặt phẳng tối

đa bằng bao nhiêu

độ?

Khi mặt phẳng (α )

và (β ) cắt nhau thì

ta xác định góc

giữa chúng bằng

cách nào?

- HS trả lời

Xác định góc giữa hai mặt phẳng (α ) và (β )

Cách 1:

Dựa vào định nghĩa + Dựng 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng tại một điểm Khi đó góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng đó

Cách 2:

+ Tìm giao tuyến c của (α ) và (β ) + Lấy I ∈ c

+ Trong (α ) dựng a ⊥ c qua I

+ Trong (β ) dựng b ⊥ c qua I

+ Góc giữa hai mặt phẳng (α ) và (β ) là góc

giữa hai đường thẳng avà b Cho ví dụ:

là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC=2 a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC), SA=a Xác định và tính số đo góc giữa hai mặt phẳng

a) ¿) và (ABC) b) ( SAB ) và( ABC )

nói rằng góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 00

Nếu 2 mặt phẳng phân biệt không song song thì góc giữa hai mặt phẳng luôn lớn hơn 00

và nhỏ hơn 900

.

2 Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau.

φ

B

C A

Cách 1:

Dựa vào định nghĩa + Dựng 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng tại một điểm Khi đó góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng đó

Cách 2:

+ Tìm giao tuyến c của (α )

Cho ví dụ:

Bài 1: Cho hình

chóp S ABC có

đáy ABC là tam

giác vuông cân tại

A, cạnh BC=2 a,

cạnh SA vuông góc

với mặt phẳng đáy

(ABC), SA=a Xác

định và tính số đo

góc giữa hai mặt

phẳng ¿) và (ABC)

- Cho HS coi ví dụ

về hình chiếu

- Hướng dẫn tìm

hình chiếu của mặt

phẳng lên mặt

phẳng

- Có hai mặt phẳng

(α ) và (β ) tạo với

nhau góc là φ

Trên (α ) có đa giác

M M ' là hình

chiếu vuông góc

của Mtrên mặt

phẳng (β ) Nếu

thay đồi φ thì diện

tích M ' có thay đổi

không, biết diện

tích M không đổi?

B

C A

S

H

Bước 1: Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng

Bước 2: Tìm 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm

a) Ta có:(SB C)∩( ABC )=BC

Kẻ AH ⊥ BC Xét xem SH có vuông góc với BC không

{BC BC ⊥ AH ⊥ SA ⇒ BC ⊥(SAH )⇒ BC ⊥ SH

Vậy góc giữa ¿) và (ABC) là ^SHA

tan ^SHA= SA

AH=

a

a=1⇒ ^ SHA=450

Ví dụ 1:

M'

M

O D

C S

{SO SO ⊥ BD(△ SBDlà tam giác cân tại S) ⊥ AC(△ SAClà tam giác cân tại S) ⇒ SO ⊥(ABCD)

và (β ) + Lấy I ∈ c

+ Trong (α ) dựng a ⊥ c qua I

+ Trong (β ) dựng b ⊥ c qua I

+ Góc giữa hai mặt phẳng (α ) và (β ) là góc

giữa hai đường thẳng avà b

3 Diện tích hình chiếu của một đa giác.

Cho đa giác M nằm trong mặt phẳng (α ) có diện tích S

và M ' là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (β )

Khi đó, diện tích S’ của M '

được tính theo công thức:

S '

=Scosφφ , với φ là góc giữa (α ) và (β )

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ

giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O Các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a Gọi M là trung điểm của SC, biết góc giữa (MBD)

và (ABCD) bằng 450

. Tính diện tích tam giác MBD

Ví dụ 2: Cho tam giác đều

ABC cạnh a và nằm trong mặt phẳng (P) Trên các đường thẳng vuông góc với (P) tại

B v à C lần lượt lấy D v à E

nằm cùng phía đối với (P)

sao cho BD=a√3

2 , CE=a√3 Tính góc giữa (P) và (ADE)?

Gọi M ' là trung điểm của OC

M M '/¿SO

Mà SO ⊥( ABCD)⇒ MM ' ⊥( ABCD)

Do đó tam giác M ' BD là hình chiếu vuông góc của tam giác MBD lên đáy

S △ M '

BD=S △ MBD cos( (M ' BD), ( MBD))

cos( (M ' BD),( MBD))=

1

2M

' O BD

cos 450 =

√2

4 a

2

.

Ví dụ 2:

D

B

E

Ta có {DB ⊥( ABC )

CE⊥( ABC )

Suy ra tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác ADE

S △ ABC=S △ ADE cos( (M ' BD), ( MBD))

⇒cos( (M ' BD),( MBD))=S △ ABC

S △ ADE

S △ ABC=a2√3

4 Gọi F là trung điểm EC , ta có DF =BC=a

Do đó

DE=√DF2+EF2=√a2+3 a2

4 =

a√7 2

Mà AD=√DB2

+AB2

=√a2

+3 a2

4 =

a√7 2 Suy ra AD=DE Tam giác ADE cân tại D Gọi Hlà trung điểm của AE

S △ ADE=1

2DH AE=

1 2

a√3

2 .2 a=

a2

√3 2

cos( (M ' BD), ( MBD))=S △ ABC

S △ ADE=

a2√3 4

a2√3 2

=1

2⇒Góc giữa(P)và (ADE )

là 600

.

Hoạt động 2: Hai mặt phẳng vuông góc, hình lăng trụ

HOẠT ĐỘNG CỦA

GV

- Ví dụ về 2 mặt

phẳng vuông góc

-Góc giữa 2 mặt

phẳng lúc này bằng

bao nhiêu?

- Nếu một mặt phẳng

chứa một đường

thẳng vuông góc với

mặt phẳng kia thì 2

mặt phẳng đó như thế

nào với nhau?

Dẫn vào định lí 1

Ví dụ 3: Cho tứ diện

ABCD có AB , AC , AD

đôi một vuông góc

với nhau Chứng

minh rằng các mặt

phẳng

( ABC ) ,( ACD ),( ADB)

Ví dụ 3:

B D

1 ( ABC ) ⊥ ( ACD)

Ta có: {AD AD ⊥ AB ⊥ AC ⇒ AD⊥ ( ABC )

Mà AD ⊂( ACD)⇒(ACD)⊥( ABC )

2 ( ABC )⊥ ( ADB)

Ta có: {AD AD ⊥ AB ⊥ AC ⇒ AD⊥ ( ABC )

Mà AD ⊂( ADB)⇒(ADB)⊥( ABC)

3 ( ACD)⊥( ADB)

{AC AC ⊥ AD ⊥ AB ⇒ AC ⊥( ADB)

Mà AC ⊂( ACD)⇒ ( ACD )⊥( ADB)

II Hai mặt phẳng vuông góc

1 Định nghĩa

Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông.

Nếu hai mặt phẳng (α ) và (β ) vuông góc với nhau ta kí hiệu (α )⊥(β )

2 Các định lí

Định lí 1: Điều kiện cần và

đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

d d ⊥(β) ⊂(α)}≤¿(α) ⊥(β)

(Phương pháp để CM 2 mặt phẳng vuông góc)

Hệ quả 1: Nếu hai mặt

cũng đôi một vuông

góc

Dẫn vào 2 hệ quả

Cho ví dụ:

chóp S ABC có đáy

ABC là tam giác

vuông tại C, SAC là

tam giác đều và

nằm trong mp

vuông góc với

( ABC ) Gọi I là trung

điểm của

SC, Chứng minh

a) ( SBC ) ⊥( SAC )

b)(ABI )⊥(SBC)

Dẫn vào định lý 2

Ví dụ 5:

Cho hình chóp

S ABCDcó các mặt

Ví dụ 4:

I

H

C S

a)

Ta có:

{ ( SAC ) ∩( ABC )= AC(SAC)⊥( ABC )

SH ⊂( SAC)

SH ⊥ AC (vì tam giác SAC cân)

⇒ SH ⊥( ABC )

Ta có

{BC BC ⊥ AC ⊥ SH ⇒ BC ⊥ (SAC )

Mà BC ⊂(SBC)⇒(SBC)⊥(SAC)

b)Ta có

{AI AI ⊥ BC ⊥ SC (vì △ SAC đều)(vì BC ⊥ (SAC ))

⇒ AI ⊥ (SBC )

Mà AI ⊂( ABI )⇒( ABI )⊥(SBC)

Ví dụ 5

phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

(α)⊥(β )

(α )∩ ( β )=c

a ⊂(α) a⊥ c }=¿a ⊥(β)

Hệ quả 2: Cho hai mặt

phẳng (α ) và (β ) vuông góc với nhau Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng ( α ) ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (β ) thì đường thẳng này nằm trong mặt phẳng (α )

Định lí 2: Nếu hai mặt

phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ

ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ

ba đó.

( P)∩ (Q )=a

(Q)⊥(R)

(P)⊥(R) }=¿a ⊥( R )

bên (SAB) và (SAD¿

cùng vuông góc với

(ABCD).Biết ABCD

là hình vuông và

SA=AB Gọi M là

trung điểm của SB

Chứng minh rằng

a) (SAC)⊥(SBD)

b) (AMC)⊥(SBC)

Xây dựng khái niệm

các hình dựa vào hình

thực tế

- Hướng dẫn HS làm

M

D

C S

a) Ta có:

{ ( SAB )(SAC )⊥ ( ABCD ) ⊥ ( ABCD)

Mà(SAB) ∩( SAC)=SA

⇒ SA ⊥( ABCD)

Ta có:

{BD BD ⊥ AC ⊥ SA ⇒ BD⊥ (SAC )

Mà BD ⊂(SBD)⇒(SBD)⊥

( SAC )

b)

Ta có:

{BC BC ⊥ AB ⊥ SA ⇒ BC ⊥(SAB)⇒ BC⊥ AM

Mà AM ⊥ SB(△ SAB c â n t ạ i A)

Nên AM ⊥ (SBC ), A M ⊂( AMC )

⇒(AMC )⊥(SBC)

Ví dụ 6:

Cho hình lập phương

ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a

a) Chứng minh rằng (AC C ' A '

)⊥(A ' BD)

b) Tính góc giữa (A ' D ' CB)và ABCD

III/ Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật và hình lập phương:

1 Hình lăng trụ đứng:

- Là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với các mặt đáy Độ dài cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đứng

Cách gọi tên: Lăng trụ đứng + tên đa giác

Đặc biệt:

+ Lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều gọi là lăng trụ đều + Lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp đứng

+ Lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật

+ Lăng trụ đứng có đáy là hình vuông gọi là hình lập phương

IV/ Hình chóp đều

- Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có đáy

là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của

đa giác đáy

Nhận xét:

- Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau Các mặt bên tạo

B A

D'

C'

D

a) Ta có:

{BD ⊥ A A BD ' ⊥ AC

(Vì A A ' ⊥ ( ABCD))⇒ BD⊥(AC C ' A ')

Mà BD ⊂( A ' BD)⇒( A '

BD) ⊥(AC C '

A ') b) Ta có:

{ (A ' D ' CB)∩ ABCD=CB

D ' C ⊥ BC(vì BC ⊥(D ' C ' CD) )

DC ⊥CB

Vậy góc giữa (A ' D ' CB)v à ABCD là

^D ' CD

⇒^ D ' CD=450

với đáy các góc bằng nhau

- Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

IV Củng cố

- Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng và cách xác định góc giữa chúng

- Diện tích hình chiếu của một đa giác

- Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc

V Dặn dò

- Coi lại bài và làm bài tập trong SGK

VI Nhận xét của giáo viên hướng dẫn.