giáo án bài định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm (2 tiết)

- Phát biểu được định lý về mối quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số.. - Phát biểu được ý nghĩa hình học của đạo hàm, từ đó xác định được dạng phương trình tiế

Chương V: ĐẠO HÀM Bài 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

I Mục tiêu

1 Về kiến thức

- Phát biểu được định nghĩa đạo hàm tại một điểm

- Phát biểu được quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa

- Phát biểu được định lý về mối quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

- Phát biểu được ý nghĩa hình học của đạo hàm, từ đó xác định được dạng phương trình tiếp tuyến của đường cong phẳng

- Phát biểu được ý nghĩa vật lý của đạo hàm, từ đó áp dụng được để giải thích và tính toán các bài toán thực tế

- Phát biểu được định nghĩa đạo hàm của hàm số trên một khoảng

2 Về kĩ năng

- Biết cách tính đạo hàm của hàm số tại một điểm bằng định nghĩa

- Biết cách chứng minh một hàm số không có đạo hàm tại một điểm

- Biết cách chứng minh hàm số liên tục tại một điểm bằng đạo hàm

- Viết được phương trình tiếp tuyến của đường cong phẳng tại một điểm hoặc biết hệ số góc của tiếp tuyến

- Tính được các bài toán thực tế (đặc biệt là các bài toán trong vật lý) dựa vào đạo hàm

3 Về tư duy, thái độ

- Liên hệ được với nhiều vấn đề trong thực tế với bài học

- Phát huy tính độc lập, sáng tạo trong học tập

- Phát huy được năng lực hợp tác và giúp đỡ lẫn nhau

II Chuẩn bị

- Giáo viên: giáo án, SGK, dụng cụ dạy học

- Học sinh: chuẩn bị bài mới và bài cũ

III Tiến trình hoạt động

Hoạt động 1: Ví dụ dẫn đến khái niệm đạo hàm.

- Nhắc lại công thức tính

vận tốc trung bình của

chuyển động

- Yêu cầu HS làm câu b

- Khi t càng gần t o tức là

|t−t o| càng nhỏ thì vận tốc

trung bình càng thể hiện

chính xác hơn mức độ

nhanh chậm của chuyển

động tại thời điểm t o

Vậy khi t càng gần t o thì có

tính được vận tốc trung bình

tại thời điểm t o theo công

thức ở trên v tb=s (t )−s(t0)

t−t0

được không?

Do vậy các nhà vật lý khảo

sát ra 1 giới hạn:

lim

t →t0

s (t )−s (t0)

t−t0

; nếu tồn giới hạn hữu hạn này thì người

ta gọi giới hạn đó là vận tốc

- HS đọc đề và lên bảng làm

a s (t )=v0t+1

2a t

2

=¿

¿10 t+2 t2

b.* t=6

v tb=s (6)−s (5)

6−5 =32 (m/s)

*t=5,5

v tb=s (5,5)−s(5)

5,5−5 =31 (m/s)

* t=5,1

v tb=s (5,1)−s(5)

5,1−5 =30,2 (m/s)

- Không xác định được vì khi t càng gần t o thì mẫu số của công thức dần về 0

I Đạo hàm tại một điểm.

1 Các bài toán dẫn đến

Bài toán: Một chất điểm M

chuyển động có quỹ đạo là đường thẳng với vận tốc ban đầu là 10 m/s và gia tốc là

4 m/s2

a Viết công thức tính quãng đường đi được của chất điểm M với mốc là thời điểm

mà vật bắt đầu chuyển động

và chiều dương là chiều chuyển động

b Tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [5 ;t](s) với

t=6 ( s) ;t=5,5 (s );t=5,1(s)

tức thời của chuyển động tại

thời điểm t0

v(t0)=lim

t → t0

s (t )−s (t0)

t−t0

- Vậy trong bài toán này v tb

có tiến về giới hạn nào khi t

tiến đến t0 hay không, nêu

dự đoán?

Giới hạn trên dẫn tới một

khái niệm quan trọng trong

toán học đó là đạo hàm

¿>¿ Dẫn vào bài mới đạo

hàm

Dự đoán: 30m/s

Hoạt động 2: Đạo hàm tại một điểm.

Ví dụ 1: Tính đạo hàm

(bằng định nghĩa) của mỗi

hàm số sau tại điểm đã chỉ

ra:

a) y=f ( x )=x2+1 tại

x o=3

b)

y=f ( x )= x+1

x −1 tại x o=0

Ví dụ 1:

a) Giả sử ∆ x là số gia

của đối số tại x o=3

Ta có:

∆ y =f (x0+∆ x)−f(x0)=f (3+∆ x )−f (3)

¿[(3+ ∆ x)2+1]−[32+1]=10+6 ∆ x +(∆ x)2−10

¿(∆ x)2+6 ∆ x=∆ x(∆ x+6)

∆ y

∆ x=

∆ x (∆ x +6)

∆ x =∆ x+6

y ' (3 )=f '(3)= lim

∆ x → 0

∆ y

∆ x=∆ x→ 0lim (∆ x +6)=6

đối số tại x o=0 Ta có:

*

∆ y =f (x o+∆ x)−f ( x )=f (0+∆ x )−f (0)=f (∆ x )−f (0)

¿ ∆ x +1

∆ x−1+1=

2 ∆ x

∆ x−1

* ∆ y

∆ x=

2 ∆ x

∆ x−1

∆ x =

2

∆ x−1

2 Định nghĩa đạo hàm tại

một điểm.

Định nghĩa

Cho hàm số y=f (x ) xác

x0∈(a ;b) Đạo hàm của hàm số

y=f (x ) tại điểm x0 được định nghĩa như sau:

y '

¿lim

x→ x0

f ( x )−f(x0) x−x0

Đặt ∆ x=x −x0: số gia của đối số tại x0.

∆ y =f ( x )−f(x0)

tương ứng của hàm số.

∆ x → 0

∆ y

∆ x

3 Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

∆ x→ 0

∆ y

∆ x=∆ x →0lim

2

∆ x−1=−2 Quy tắc

Bước 1: Giả sử ∆ x là số gia của đối số tại x0, tính

∆ y =f (x0+∆ x)−f(x0) Bước 2: Lập tỉ số ∆ y ∆ x Bước 3: Tìmlim

∆ x→ 0

∆ y

∆ x

Hoạt động 3: Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Ví dụ 2: Cho hàm số

y=f ( x )=¿x∨¿

a Chứng minh rằng hàm số

b Tính đạo hàm của hàm số

c Mệnh đề “Hàm số liên tục

tại điểm x0 thì có đạo hàm

tại x0 ” đúng hay sai ?

Từ đó nêu chú ý

Giải

a) Tập xác định: D=R Tại điểm x0=0 ta có:

f (0 )=|0|=0 và lim

x →0 f (x )=lim

x →0

¿x∨¿=0¿ b) Ta viết lại hàm số dưới dạng:

y=f ( x )=¿x∨¿{−x khi x ≥0 x khi x< 0

Do đó:

lim

x→ 0+ ¿f(x) −f (0 ) x−0 =x→0+ ¿x∨¿ lim

x=x → 0+=limlim

x → 0+¿ 1=1 ¿

¿ ¿

¿¿ ¿

¿ ¿

¿

lim

x→ 0− ¿f(x) −f (0) x−0 =x→0− ¿ ¿x∨¿ lim

x=x → 0− ¿ −x lim

= lim

x → 0−¿ ( −1 ) =−1¿ ¿

¿¿ ¿

¿ ¿

¿

Vì giới hạn hai bên khác nhau nênlim

x →0

f (x )−f (0) x−0

không tồn tại

y=f ( x )=¿x∨¿ không có đạo hàm tại điểm x0=0

c) Mệnh đề sai Hàm số liên tục tại điểm x0 thì có thể

4 Quan hệ giữa sự tồn tại

của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lý

Nếu hàm số y=f (x ) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại điểm đó

Chú ý

a/ Nếu hàm số y=f (x )

gián đoạn tại x0 thì nó không

có đạo hàm tại điểm đó b/ Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó

Hoạt động 4: Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học

- GV xét trường hợp tổng

quát:

Cho đường cong phẳng (C ) là

đồ thị hàm số y=f (x ),

M0(x0; f(x0) ) là điểm cố định

trên (C), M(x ; f ( x )) là điểm

di động trên (C).

Khi đó, nhận xét vị trí tương

đối của đường thẳng d đi qua

hai điểm M , M0 với đường

cong (C ).

- Tiếp tục cho M chuyển

động dần đến M0 trên (C).

Khi điểm M trùng với điểm

M0, ta gọi d ’ là đường thẳng

đi qua điểm M0, nhận xét vị

trí tương đối của đường

thẳng d ’ với đường cong

(C )¿ là tiếp tuyến của (C) tại

điểm M0)

- Yêu cầu HS nêu định nghĩa

tiếp tuyến của đường cong

(C ) tại điểm M0

- Nhắc lại hệ số góc của

đường thẳng là gì?

- Hướng dẫn HS chứng minh

định lý:

- Quan sát, lắng nghe và trả lời câu hỏi của GV

+ d là cát tuyến của (C).

- Khi điểm M di chuyển trên (C ) và dần tới điểm

M0 thì đường thẳng d ’

được gọi là tiếp tuyến của đường cong (C ) tại điểm M0 Điểm M0 được gọi là tiếp điểm

- HS đứng tại chỗ phát biểu

- Quan sát, lắng nghe, ghi chép

5 Ý nghĩa hình học của đạo

hàm :

5.1 Tiếp tuyến của đường

cong phẳng

Cho đường cong phẳng (C ) là đồ thị hàm số y=f (x ), M0(x0; f(x0) )

là điểm cố định trên (C),

M(x ; f ( x )) là điểm di động trên (C). Khi đó d là một cát tuyến của (C ) (d là đường thẳng đi qua hai điểm M , M0)

Định nghĩa:

Nếu cát tuyến d có vị trí giới hạn là d ’ (d ’ là đường thẳng đi qua điểm M0) khi điểm M di chuyển trên (C ) và dần tới điểm

M0 thì đường thẳng d ’ được gọi

là tiếp tuyến của đường cong (C )

tại điểm M0 Điểm M0 được gọi

là tiếp điểm

5.2 Ý nghĩa hình học

Cho hàm số y=f (x ) xác định

trên khoảng (a ;b) và có đạo hàm

tại x0∈(a ;b) Gọi (C) là đồ thị của hàm số đó

Định lý 2: Đạo hàm của hàm

số y=f ( x ) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại

φ Mo

xo f(xo)

M

xo+∆x

f(xo+∆x)

H

M(x0+∆ x ; f(x0+∆ x) )

+ Hệ số góc của cát tuyến

M0M bằng tỉ số lượng giác

nào? Tính tỉ số lượng giác đó

theo HM´ , M0H?

+ Khi M ⟶ M0 thì ∆ x →?

+ Theo giả thiết, f (x) có đạo

hàm tại x0 nên tồn tại giới

hạn gì?

Vậy khi M → M0 thì cát

tuyến d dần tới vị trí giới hạn

là đường thẳng d’, có hệ số

góc bằng M→ Mlim

0

tan φ=f '(x0)

⇒ Dẫn vào địnhlý 2

- Dẫn vào định lý 3 về dạng

của phương trình tiếp tuyến

+ Viết đường thẳng đi qua

điểm M0(x0; y0) và có hệ số

góc là a

+ Theo kết quả trên, ta có

a=f ' (x0), khi đó phương

trình đường thẳng trở thành?

+ Biến đổi trên thành:

y− y0=f ' (x0)(x−x0)

Đây chính là phương trình

tiếp tuyến của đồ thị (C) của

hàm số y=f (x ) tại điểm

M0(x0; f(x0) )

- Nêu nội dung định lý 2

+ Hệ số góc của cát tuyến M0M là tan φ

+ tan φ= HM´

M0H=

∆ y

∆ x

+ Khi M ⟶ M0 thì

∆ x →0 +f '(x0)=lim

∆ x→ 0

∆ y

∆ x=M → Mlim0tan φ

+ y=a(x−x0)+y0

+ y=f '(x0)(x −x0)+y0

- Quan sát và ghi chép

- Tính tọa độ của tiếp điểm và đạo hàm của nó, sau đó thế vào công thức (1) ta sẽ viết được

M0(x0; f(x0) )

5.3 Phương trình tiếp tuyến

a/ Định lý 3

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y=f (x ) tại

điểm M0(x0; f(x0) ) là:

y− y0=f ' (x0)(x−x0) (1) trong đó y0=f(x0); f ' (x0) là hệ số góc

b/ Cách viết

Bước 1: Tính y0=f (x0). Bước 2: Tính f ' (x0)

- Vậy để viết được phương

trình tiếp tuyến của đồ thị tại

tiếp điểm, ta làm như thế

nào?

- Nêu các bước

phương trình tiếp tuyến của đồ thị

- Nhận xét, lằng nghe và chỉnh sửa

Bước 3: Áp dụng công thức (1)

để viết phương trình tiếp tuyến

Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp

tuyến của đường cong

y=1

4x

2+1 tại điểm

M (2 ;2)?

Giải

d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y=1

4x

2

+1(P) tại điểm M(2 ; 2)

*y ' (2 )=f '(2)=¿lim

x →2

f ( x)−f (2) x−2

¿lim

x →1

1

4x

x−2

¿lim

x →2

1

4x

2−1

x−2

¿lim

x →2

1

4(x +2)(x−2)

x−2

¿lim

x →2[14(x +2)]=1

* y0=2

Do đó phương trình tiếp tuyến d

của hàm số y=1

4x

2

+1(P) tại điểm M0(2; 2) là:

y−2=1 (x −2) ⇔ y=x

Ví dụ 4: Cho hàm số

y=3 x2−4 x+9(P) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (P)

Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) y=16 x−1

Giải

Ta có

y '(x0)=f '(x0)= lim

∆ x →0

f(x0+∆ x)−f(x0)

lim

∆ x→ 0 6 x0∆ x+(∆ x )2−4 ∆ x

∆ x =∆ x → 0lim (6 x0+∆ x−4)=6¿ ¿ ¿

−4)

(d ): y=1

6x−1 Suy ra đường thẳng (d ) có hệ số góc là k =1

6 Tiếp tuyến của (P) vuông góc với đường thẳng (d ) nên có hệ số

góc là k '

=−1

k =−6

Do đó: 6 x0−4=−6⇔ x0=−1

3

Với x0=−1

3 suy ra y0=32

3 Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm (−13 ;

32

3 ) có dạng:

y−32

3 =−6(x+1

3)

⟺ y=−6 x +26

3

Hoạt động 5 : Ý nghĩa vật lí của đạo hàm.

- Đạo hàm không chỉ có ý

nghĩa hình học mà còn có ý

nghĩa vật lí, cụ thể là về vận

tốc tức thời và cường độ tức

thời

- Gọi HS đọc và trình bài

ngắn gọn về các ý nghĩa

trên

- HS trả lời.

6 Ý nghĩa vật lí của đạo hàm.

a Vận tốc tức thời Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s=s (t) với

s=s (t) là một hàm số có đạo

hàm

v(t0)=s ' (t0)

b Cường độ tức thời Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian Q=Q (t) với Q=Q (t) là một hàm số có đạo hàm

I(t0)=Q' (t0)

Hoạt động 6 : Đạo hàm trên một khoảng.

GV

NỘI DUNG

- Gv nêu định nghĩa và II Đạo hàm trên một khoảng.

phân tích Định nghĩa:

có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

Khi đó, ta gọi hàm số

f ' :(a ;b)→ R

x ⟼ f (x)

hay f ’(x )

Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm

số y=x3 trên khoảng (−∞ ;+ ∞)

Giải Với mọi x ∈(−∞;+∞) ta có

y ' ( x )=f ' (x )= lim

∆ x → 0

f ( x+∆ x )−f ( x )

∆ x

¿ lim

∆ x→ 0

( x+ ∆ x )3−x3

∆ x

¿ lim

∆ x→ 0

3 x2(∆ x )+3 x (∆ x )2+(∆ x )3

∆ x

¿ lim

∆ x→ 0

∆ x[3 x2+3 x ( ∆ x )+( ∆ x )2]

∆ x

¿ lim

∆ x→ 0[3 x2+3 x (∆ x )+(∆ x )2]

¿3 x2

IV Củng cố

- Viết được phương trình tiếp tuyến của đường cong phẳng tại một điểm hoặc biết hệ số góc của tiếp tuyến

- Tính được đạo hàm của hàm số trên một khoảng

- Tính được các bài toán thực tế (đặc biệt là các bài toán trong vật lý) dựa vào đạo hàm