Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phép tính ma trận và ứng dụng

Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp người đọc hiểu rõ được bản chất của phép tính ma trận và ứng dụng của nó trong việc giải phương trình ma trận, tính ma trận xấp xỉ ở các bài toán về bình phương tối thiểu và tối ưu hóa được ràng buộc trong các biến vô hướng, ước lượng Jacobian của một số phép biến đổi ma trận.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ THU SƯƠNG

Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn

Phản biện 1: TS Trương Công Quỳnh Phản biện 2: TS Hoàng Quang Tuyến

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Phương pháp toán sơ cấp họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 12 tháng 12 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

có thể là một trong số chúng cũng được

Trong toán học ứng dụng việc nghiên cứu nghiệm của các phương trình ma trận có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực bao gồm lý thuyết điều khiển, hỗ trợ máy tính trong mô phỏng những hệ

cỡ lớn thông qua giảm bậc, xử lý ảnh, mô phỏng hệ cơ cưỡng bức Nghiệm của phương trình cho ta thông tin về tính ổn định của phương trình vi phân, phân tích giá trị riêng của ma trận và là công

cụ trong điều khiển những hệ động lực mô tả mà phương trình trạng thái của nó là một phương trình vi phân đại số Trong số đó thì phương trình Sylvester có vai trò quan trọng trong cả toán học lý thuyết và toán học ứng dụng Vấn đề đặt ra ở đây là cần tìm lời giải cho phương trình ma trận nói trên Có nhiều phương pháp để giải quyết trong đó không thể không đề cập tới vai trò của phép tích Kronecker và đạo hàm ma trận

Ngoài ra để tính ma trận xấp xỉ ở các bài toán bình phương bé nhất và tối ưu hóa được ràng buộc trong các biến vô hướng hay ước lượng Jacobian của một số phép biến đổi ma trận thì phép tính đạo hàm ma trận được ứng dụng rất nhiều và sử dụng đạo hàm ma trận để giải quyết các vấn đề trên cũng rất nhanh chóng và mang lại hiệu quả cao

Với ý tưởng này tác giả đã lựa chọn đề tài “Phép tính ma trận

và ứng dụng”

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp người đọc hiểu rõ được bản chất của phép tính ma trận và ứng dụng của nó trong việc giải phương trình ma trận, tính ma trận xấp xỉ ở các bài toán về bình phương tối thiểu và tối ưu hóa được ràng buộc trong các biến vô hướng, ước lượng Jacobian của một số phép biến đổi ma trận

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu: Phép tính ma trận

3.2 Phạm vi nghiên cứu: Phép tính ma trận ứng dụng giải

phương trình ma trận, tính ma trận xấp xỉ ở các bài toán về bình phương tối thiểu và tối ưu hóa được ràng buộc trong các biến vô

hướng, ước lượng Jacobian của một số phép biến đổi ma trận

4 Phương pháp nghiên cứu:

Nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình của TS Phan Đức Tuấn

và các tài liệu tiếng Anh thu thập từ các bài báo khoa học, trang web

và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan đến phép tính ma trận Phương pháp tiếp cận lịch sử, sưu tập, phân tích, đánh giá, tổng hợp tư liệu và tiếp cận hệ thống

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài:

Đề tài hệ thống lại các kiến thức cơ bản về tích Kronecker và đạo hàm ma trận Đưa ra phương pháp giải quyết các bài toán phương trình ma trận, tính ma trận xấp xĩ ở bình phương tối thiểu và tối ưu hóa được ràng buộc trong các biến vô hướng, ước lượng Jacobian của một số phép biến đổi ma trận

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết Có thể sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên nghành Toán

Trong chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về ma trận, định thức, hàm vết (tr) và toán tử vec, hàm mũ ma trận Trong

đó có một số kí hiệu và một số kết quả mà có ích cho phát triển lý thuyết của tích Kronecker và đạo hàm ma trận trong các chương tiếp theo

CHƯƠNG 2 PHÉP TÍNH MA TRẬN

Trong chương này ta tìm hiểu một số phép tính ma trận trong

đó tập trung vào phép tích Kronecker và phép đạo hàm ma trận Cụ thể phần 2.1 sau giới thiệu định nghĩa và một số tính chất cơ bản của tích Kronecker có kèm theo phần chứng minh cụ thể Và phần 2.2 thu thập một số công thức hữu ích về đạo hàm ma trận thường xuất hiện trong đạo hàm của các phần tử hữu hạn

1 2

,

n n

Tính chất 2.9 Nếu  i và  x là các giá trị riêng và các i

vector riêng tương ứng của ma trận A cấp ( n n ) Nếu  j và

 y j là các giá trị riêng và các vector riêng tương ứng của B cấp

A t  a t   đạo hàm của ma trận A đối với

biến vô hướng t , kí hiệu: d A t( )

dt hay dA dt hay A t được định ( )

2.2.2 Đạo hàm của các vector

Cho các vector

1 2

n

x x x

m

y y y

vector như sau:

(i) Đạo hàm của vector y đối với vector x là ma trận cấp ( n m )

2

1 2

1 1 1 1

y x

y x

2.2.3 Jacobian của phép biến đổi một biến

2.2.4 Đạo hàm của một ma trận đối với một trong các phần

tử của nó và ngƣợc lại

Ta xét ma trận ij

m n

X    x  Đạo hàm của ma trận X đối với một trong các phần tử của nó

rs

x là:

,

rs rs

X E x

X E x

rs

Y x



 và

ij

y X

rs

rs

Y

AE B x

trong đó: vế phải của (2.30) là ma trận có cấp (m n ), x là các rs phần tử ở vị trí hàng r, cột s của ma trận X r1, ; s 1,m  n.

Ví dụ 2.8 Hãy ước lượng (trY)

2.2.8 Trạng thái ma trận chuyển tiếp

Ma trận chuyển tiếp là khái niệm quan trọng trong lý thuyết điều khiển và phân tích không gian trạng thái của hệ bất kỳ

Trước tiên ta xét nghiệm của phương trình ma trận trạng thái thuần nhất được cho bởi:

Sự chuyển đổi từ trạng thái X đến 0 X t được thực hiện bởi hàm ( )

mũ ma trận e At Do đó hàm ma trận này được gọi là trạng thái ma trận chuyển tiếp và được ký hiệu bởi ( ). t

Khi đó ( )t e At

Tính chất 2.16 (0) I,

1( )t  ( t),

(t t )( ) ( )t  t

Ngoài ra trạng thái ma trận chuyển tiếp luôn luôn thỏa mãn hệ

3.1 ỨNG DỤNG TÍCH KRONECKER

Trong phần này xét một số ứng dụng của tích Kronecker trong

việc giải một số dạng phương trình ma trận trong đó đặt biệt có

phương trình ma trận Sylvester Từ phương trình tổng quát này ta có

thể giải một số phương trình ma trận dạng tương tự

Gọi i là các giá trị riêng của A

j là các giá trị riêng của B cũng là giá trị riêng của B T

Theo Tính chất 2.13 thì các giá trị riêng của G là:  i j Phương trình (3.2) có nghiệm duy nhất:

 G không suy biến

 Tất cả các giá riêng của G khác 0

  i  j0 (tất cả i và j )

Như vậy ta đã chứng minh được rằng phương trình (3.1) có nghiệm duy nhất:

 A và (-B) không có giá trị riêng chung

Ngược lại, A và (-B) có chung các giá trị riêng Khi đó tồn tại nghiệm phụ thuộc vào hạng của ma trận mở rộng  G c

Nếu rank G c rank G  khi đó nghiệm tồn tại, ngược lại hệ phương trình

Khi đó xvecX x1 x2 x3 x4T

(a) Các giá trị riêng của A : 1; 2

Các giá trị riêng của B : 1;  4

Nhận thấy A và B không có giá trị riêng chung

= 0 1

= 2

1

x x x x

(b) Các giá trị riêng của A : 1; 2

Các giá trị riêng của B :  1;  3

Nhận thấy A và B có giá trị riêng chung (1)

Ta viết phương trình về dạng (3.2):

= 12

= 1 , R

x x x

0

1

x x

Phương pháp giải Ta sử dụng toán tử vec trên (3.3):

Khi đó ta viết phương trình (3.3) về dạng:

    là giá trị riêng của H

Theo Tính chất 2.13 các giá trị riêng của H là ( i j) ,

trong đó i là các giá trị riêng của A

Do đó phương trình đã cho có một nghiệm không tầm thường:

Vậy Xexp(At C) exp(Bt) (3.13)

Ví dụ 3.3 Tìm nghiệm của phương trình

t t t t

t

e exp Bt e

1

Ta viết phương trình đã cho về dạng:

xGx

trong đó: GI m A B T  I n B TA x; vecX

Xác định ma trận chuyển tiếp  như sau:

 e Gt e(B TA t)  e B t T e At

Ngoài ra ( , )t t 2( , )t t 1( , )t t   I I I (3.18) Qua (3.17) và (3.18) chứng tỏ rằng  là ma trận chuyển tiếp đối với

a Phương pháp bình phương bé nhất áp dụng cho quan hệ

tuyến tính giữa x và y

b Phương pháp nhân tử Lagrange

3.2.2 Tính ma trận xấp xỉ ở các bài toán bình phương bé nhất và tối ưu hóa được ràng buộc

Ta biểu diễn phần dư (hay độ lệch) ở dạng của ma trận E như

Bài toán tối ưu được ràng buộc khi đó đưa về dạng tìm ma trận

X mà hàm ma trận vô hướng

( )

S f X nhỏ nhất tùy thuộc các ràng buộc trên X ở dạng:

Vậy hàm ma trận bổ trợ có thể viết như sau:

f X X

Bây giờ ta xét bài toán với các ràng buộc cụ thể như sau: Cho

ma trận không suy biến ij

n n

A   a  Xác định ma trận X    xij mà bình phương bé nhất xấp xỉ đến A

(a) Khi X là ma trận đối xứng

Bây giờ ta giải phương trình (3.29) để tìm X

Ta lấy vec hai vế (3.29):

vecX AvecA X

(A T I vecX) T (I A vecX T)

Mà vecX T UvecX (U là ma trận hoán vị)

Suy ra (A T I UvecX)  (I A vecX T)

 ( IA T) ( A T I U x)  0 (3.30) Vậy ta đã rút gọn phương trình ma trận thành hệ phương trình thuần nhất

Lúc này ta giải (3.30) để tìm nghiệm độc lập tuyến tính và chọn

nghiệm tương ứng để X là ma trận trực giao

3.2.3 Ƣớc lƣợng Jacobian của một số phép biến đổi

Xét một số bài toán sau:

Bài toán 3.1 Tìm Jacobian của phép biến đổi tuyến tính tổng

quát

,

với A , X , B là các ma trận cấp ( n n ), không suy biến

Giải Phương trình (3.31) được viết lại như sau:

A là ma trận cấp n n , không suy biến

Bài toán 3.3 Tìm Jacobian của phép biến đổi tuyến tính

YXB (3.34) với X, Y là các ma trận cấp (m n ), B là ma trận cấp ( n n )không suy biến

số ví dụ để minh họa cụ thể cho những dạng nêu trên

Luận văn với mong muốn tìm hiểu sâu hơn và nhiều hơn nữa những ứng dụng của phép tính ma trận, để từ đó giải quyết một số bài

toán trong thực tế