3 2 HDG MIN MAX của hàm số

Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.

DẠNG 3: MAX-MIN CỦA HÀM SỐ ĐA THỨC TRÊN K

Câu 58: Trên khoảng 0; 

thì hàm số yx33x1

Hướng dẫn giải Chọn D

2

y  x  Cho

1' 0

1

x y

3 -1

1 -1

1 -1

y x  x 

Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng

1125;

M 

12

M 

Hướng dẫn giải Chọn A

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có: y 3x2 , 3  

10

1

x y

Câu 61: Trên khoảng (0;   thì hàm số ) yx33x 1

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta cóy 3x2 , 3

10

1

x y

Câu 62: Cho hàm số y x 4 2x2 Khẳng định nào sau đây đúng:5

A Hàm số không có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất

B Hàm số có giá trị nhỏ nhất, có giá trị lớn nhất

C Hàm số có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất

D Hàm số không có giá trị nhỏ nhất, có giá trị lớn nhất

Hướng dẫn giải Chọn C

x x x

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất

DẠNG 4: MAX-MIN CỦA HÀM PHÂN THỨC TRÊN ĐOẠN [A,B]

Câu 63: Giá trị nhỏ nhất của hàm số  

2 31

x y x

3

y 

D  2;4 

19max

3

y 

Hướng dẫn giải Chọn A

Tập xác định: D  \ 1

2 2

2 31

3 2; 4

x y

maxy 7

Câu 65: Gọi M , m thứ tự là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 31







x y

x trên đoạn 2;0

.Tính P M m 

133



P

Hướng dẫn giải Chọn A

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên 2;0

Câu 66: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 31

x y x

+

=

- trên đoạn [2, 4]

2 2

2 31

Câu 68: Tính tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Hàm số đã xác định và liên tục trên

1

; 22

y 

Hướng dẫn giải Chọn A

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn 2;4.

Ta có: 2

91

.Vậy min 2; 4  y 6

Câu 71: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 52

x y x





 trên 2;1

Tính2

T M  m

A

132

T 

212

T 

Hướng dẫn giải Chọn D

Hàm số

252

x y x

4 52

5

x y

3;32

5min

10max

3;32

13min

C

3;32

10max

3

;3 2

16max

3

;3 2

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có:

2

11

1 ;32

x x

3;32

10max

3;32

13min

Câu 74: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 4

2 1

y x

2

x y

m 

Hướng dẫn giải Chọn D

50

M m 

14

M m 

94

M m 

Hướng dẫn giải Chọn B

Hàm số xác định và liên tục trên đoạn 0;3 .

 

 2

301

M f 



94

M m 

Câu 77: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

2 11

x y x

2

y 

D [1;2]

1max

Câu 79: Giá trị nhỏ nhất của hàm số

11

x y x

Xét trên đoạn 0;3 , ta có  2

201

y x



,  x 0;3

.Hàm số luôn đồng biến trên khoảng 0;3, do đó: min0; 3  0



53



Hướng dẫn giải Chọn C

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn

1

;32

10

x y x

f 

.Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 3

Câu 81: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

3 13

x y x



 do đó hàm nghịch biến max

1(0)3

Hàm số y xác định và liên tục trên đoạn 3; 1 

.2

41

2 3; 1

x y

 3 10

3

y  

; y  2 ; 3 y  1  4Vậy min3; 1 y 4

41

y

x

  

.0

.Vậy max 1;3  y 5

Câu 84: Giá trị lớn nhất của hàm số

2 2x( )

3.2

Hướng dẫn giải Chọn A

3

GTLN f x

Cách 2 Dùng chức năng lập bảng (Mode7) trên Casio.

Lưu ý: Bài này học sinh có thể để hàm số gốc như đề bài đạo hàm, giải phương trình y' = 0 (vô nghiệm), tính các giá trị hàm số tại x0,x , sau đó so sánh rồi kết luận.2

Câu 85: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 31

x y x

x

x x

 

A m  5 B m  3 C

174

m 

Hướng dẫn giải Chọn B

Hàm số xác định và liên tục trên đoạn

1

;22



72



Hướng dẫn giải Chọn C

1 2;

2

(2 3)( 1) ( 3 3).1 2) '

1

0 2;

22

1

2) (0) 3

13) ( 2)

x y x

Hàm số

2 31

x y x

1 2; 4

2 3

3 2;41

x

x x

Câu 89: Giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 35

x y x



Hướng dẫn giải Chọn D

705



 (với m  ) đạt giá trị nhỏ nhất tại 0 x  khi và chỉ khi1

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có

2

2 1

mx m y



 (với m  ) đạt giá trị nhỏ nhất tại 0 x  khi và chỉ khi 1 m  0

Câu 91: Giá trị lớn nhất của hàm số  

2 3 12

2 2

4 5'

Cho

1' 0

5

x y

10

0; 43

64

m m m

m m m

Câu 93: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1

2 1

x y x



45



Hướng dẫn giải Chọn C

Hàm số

1

2 1

x y x

Vậy max 1;3  y5; min 1;3  y 4 max min 1;3  y  1;3  y20

Câu 95: Giá trị nhỏ nhất của hàm số

11

x y x

201

Ta có  

2 2

2 31

Câu 97: Giá trị lớn nhất của hàm số

41

y

x

  

.0

.Vậy max 1;3  y 5

Câu 98: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

231

x y x





 trên đoạn 2;4

A max 2;4  y 7

B max 2;4  y 6

C  2;4 

11max

3

y 

D  2;4 

19max

3

y 

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có  

2 2

2 31

.Vậy    

Đặt 2

41

x t x



 trên 0;2

Ta có:  

2 2 2

1

x

x t

x y x



.

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có  2

8

03

x y x

m 

23

m 

Hướng dẫn giải Chọn D

Câu 102:Hàm số

2 31

x x y

1' 0

3

x y

Hàm số

1

2 1

x y x

 hàm số luôn nghịch biến trên đoạn 2;0

Hàm số xác định và liên tục trên đoạn 1;2

Ta có

 

161

x x







x y

x trên đoạn 0;2 .

13

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

3 13







x y



Hướng dẫn giải Chọn A

Hàm số xác định và liên tục trên đoạn

1

;52

 

1 ;52

x y x

2

y 

Hướng dẫn giải Chọn C

201

9



619;

9



4 621;

9



Hướng dẫn giải Chọn D

3 3 2 1 ' 3 2 6 1

y x  x   x y  x  x

3' 0

3 63

x y

9



Câu 109:Giá trị lớn nhất của hàm sô y =

2 3 31

x x x

 trên đoạn

12;



B

133



Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có

 

2 2

21

2 2;

2

x x

Câu 110:Giá trị nhỏ nhất của hàm số   3

4 12

;  6 27

4

.Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số   3

 

12

x y x



D

58

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có  2

11

05

y x

Câu 113: Giá trị lớn nhất của hàm số

12

x y



Hướng dẫn giải Chọn B

+ +

= + trên đoạn

Hàm số đã xác định và liên tục trên đoạn 0;3  .

x x y

1' 0

3

x y

Hướng dẫn giải Chọn B

2012

M m



295



Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có  2

91

2

y  

.Vậy    

x y x

A m 2. B m 2. C m 2. D m  2.

Hướng dẫn giải Chọn B

m 

12

m 

Hướng dẫn giải Chọn A

Hàm số

12

3 1; 2

x y

.Vậy min 1;2 y y 1 0

x x y

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:  

2 2

2 31

3 0;3

x y

x x





22

 1 5

f  , f  1  , 4  

1333

3

f x 

Hướng dẫn giải Chọn D



Câu 124:Cho hàm số

21

x y

m

B

23

M 

,

12

m 

23

M 

, m  0 D M  , 0 m  1

Hướng dẫn giải Chọn C

DẠNG 5: MAX-MIN CỦA HÀM PHÂN THỨC TRÊN K

Câu 125:Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Câu 126:Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1

2 1

x y x



245



Hướng dẫn giải Chọn C

Hàm số

1

2 1

x y x



 đạt giá trị lớn nhất tại x  khi và chỉ khi1

Hướng dẫn giải Chọn D

Cách 1: Với m  thì 0 y  nên 0 max 2;2  y 0



.Khi m  thì 0  arctan 2;arctan 2max 

2

m y

khi và chỉ khi t 4



.Khi m  thì 0  arctan 2;arctan 2max 

2

m y

Cách 2: Ta có

2 2 2

11

y x



 

,TH1: m 0 y0 là hàm hằng nên cũng coi GTLN của nó bằng 0 khi x 1

TH2: m  Khi đó: 0

1 ( )0

Vì hàm số đã cho liên tục và xác định nên ta có hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại x  trên 1

đoạn 2; 2 khi và chỉ khi





x y

Hướng dẫn giải Chọn B

Hàm số xác định và liên tục trên 2; 6

Ta có  

2 2

42

Do đó y  0 x 0 x4Trên 2; 6 ta có y 4 8; y 6 9 và

Câu 130:Giá trị lớn nhất của hàm số   1

 

1

02

x x A

Xét  

2 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2.

Câu 132:Cho hàm số

2 2

1

x x y

Tập xác định D .

Ta có  

2 2 2

1

x y

x

 

, y 0 2x2 2 0

11

x x

Từ bảng biến thiên ta có 2  Vậy tập giá trị của hàm số là y 4 2; 4

Câu 133:Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

.Nhận thấy hàm số chỉ đạt cực tiểu tại điểm x  và 2 y  nên CT 4 min0;  y 4

A

2 39



14

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên 0; .

, ta được:

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên 0; 

bằng

2 39



.

Câu 135:Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

12

+∞

3 5

Điều kiện: 1

x y xy

u u

x y xy

1 32

x y

1 32

x y



Hướng dẫn giải Chọn C

Câu 138:Gọi M và m tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

3 2

2 2(x 1)

Cách 1:

Do x 0;1 nên x  và 3 0

10

x x

.Dấu " '' xảy ra khi

3 13

x x

13

x

  

;Giải phương trình y 0

2 2

x

4

13

x

.Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại 4

13

x 

Câu 140:Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

223

x m m y

x



 trênđoạn 0;1

bằng 2

A m  hoặc 1

32

m 

32

m 

C m  hoặc 1

12

m 

52

m 

Hướng dẫn giải Chọn A

2 min

52

52

Hướng dẫn giải Chọn A

Hàm số

2 2

2 2

1

; 2

52

Câu 142:Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

11

x y x

11

x x x

x x

1

x x y

Hàm số xác định trên 

Ta có:  

2 2 2

1

x y

1

x y

Tập xác định: D R\ 1 

 2

3

01

Ta có:  2

41

31

x x

nên hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi x  3

Câu 146:Giá trị lớn nhất của hàm số 2

42

y x



 là

Hướng dẫn giải Chọn B

Câu 147:Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

421

x y

DẠNG 6: MAX-MIN CỦA HÀM SỐ VÔ TỈ TRÊN [A,B]

Câu 148:Tìm tập giá trị T của hàm số y x  4 x2.

A T   2;2 . B T 0;2 . C T 0;2 2

 D T   2;2 2

Hướng dẫn giải

Chọn D

Tập xác định D   2;2 

Hàm số liên tục trên đoạn2; 2 

.2

4

x y

x

  

 y  0 4 x 2 x 2

02

x x

Câu 149: M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x    x 1 2 x2 Tính

M m ?

Hướng dẫn giải Chọn D

TXĐ: D   2019; 2019

Ta có

2 2

Tập xác định D   2;2

Ta có

2 2

Câu 152:Tìm giá trị lớn nhất của hàm số yf x  x 1 x2

với x thuộc a b; 

nào đó Ta tính giá trịcủa hàm số tại các điểm f a , f b  và f (cực trị) và giá trị nào là lớn nhất và nhỏ nhất.

+ Kết hợp với phương pháp thế x vào trong máy tính để tính toán

+ Loại luôn D vì không thỏa mãn điều kiện của x

x 

là điểm cực trị

Tính toán f x  tại các giá trị của x như trên, so sánh các giá trị với nhau thì thấy B là phương

Tập xác định D   2;2 .

2

14

x y

x

  

 ; Giải phương trình y 0 x 4 x2 0 2

02

x x

;    2;2

miny y 2 2 2

.Vậy M m 2 2 1 

Câu 155:Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 3 4 x2 lần lượt là

Hướng dẫn giải Chọn B

Câu 157:Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số f x  5 x1 3 x x1 3   x

lần lượt

là m và M , tính S m 2M2

Hướng dẫn giải Chọn D

Tập xác định D 1;3

.Đặt t x 1 3 x ta có 2 t 2 ( dùng máy tính hoặc tìm GTLN, GTNN của t ).

22

t

g t   t

với 2 t 2.Hàm số g t      t 5 0 t 5  2; 2

Câu 158:Hàm số 2

21

x y

2

21

x y

x y x

11

x x x

x x

Từ bảng biến thiên ta có min y  2

Câu 160:Hàm số y4 x2 2x 3 2x x 2 đạt giá trị lớn nhất tại hai giá trị x mà tích của chúng là:

A 1 B 1 C 0 D 2.

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có y4 x2 2x 3 2x x 2 4 x12 2 x121

.Đặt tx12  Xét hàm số 0 y4 t2 t 1

Lập bảng biến thiên của hàm số

Ta được hàm số đạt giá trị lớn nhất tại t 2 x 1 2 Suy ra x x  1 2 1

Câu 161:Gọi ,m M tương ứng là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 1 x 1x Tính

tổng m M

D 1 2

Hướng dẫn giải Chọn B

Tập xác định D  [ 2;2]

2

14

x y

Câu 163:Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y x26x 5

Hướng dẫn giải Chọn D

Điều kiện x26x 5 0   1 x 5

Hàm số có tập xác định là

5

;4

TXĐ : D    ; 30; 3

   Hàm số xác định và liên tục trên 0; 3

Ta có :

3 3

3 3

2 3

x y

một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của hình tròn mà hình chữ nhật đó nội tiếp.

A Smax 18 cm2 B Smax 36 cm 2 C Smax 36 cm2 D Smax 96 cm 2.

Hướng dẫn giải Chọn C

6

x O

B A

Gọi hình chữ nhật cần tính diện tích là ABCD có OC x 0x6

4 7236

Ta có:    

0; 6

max f x 36

.Vậy Smax 36cm2

Câu 168:Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số yx1 3  x2

Tìm M

A

34

M 

64

M 

32

M 

Hướng dẫn giải Chọn A

Tập xác định: D   3; 3

x x

TXĐ: D   1;1 Nhận xét: Hàm số f x  liên tục trên đoạn 1;1

.2

2

1 21

x y

Ta có: TXĐ: D   10; 10 

2

3 103

Câu 172:Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số y3x 10 x2

Hướng dẫn giải Chọn B

TXD: D   10; 10

2

310

x y

x

  

 2

Câu 174:Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số , f x   x 4 x2. Tính

+Tập xác định của hàm số : D   2;2

.+

.+ Suy ra : M 2 2; m 2 M m 2 2 2.

Câu 175:Giá trị lớn nhất của hàm số f x x2 2x 8x 4x2 là

Hướng dẫn giải

t  m

Xét hàm số f x   2 x 2x

Điều kiện: 1 x2    0 1 x 1 D  1;1

Ta có  

2

11

M m

A M m 2 2 2 B M m  4

C M m 2 2 2 D M m 2 2

Hướng dẫn giải Chọn C

+ Suy ra : M 2 2; m2 M m 2 2 2.

Câu 184:Gọi M n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ,

2 32

x y x





 trên đoạn

31; 2

M n 

83

M n 

43

M n 

Hướng dẫn giải Chọn B

Trên

31;

4 32

y x

 

 



2 2

Câu 185:Gọi M N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: , y x  4 x2

Giá trị của biểu thức M 2N

A 2 2 4 B 2 2 2 C 2 2 2 D 2 2 4

Hướng dẫn giải Chọn D

Suy ra f(x) nghịch biến trên  ;1

và đồng biến trên 1; nên x  là điểm cực tiểu duy 1

nhất của hàm số trên  Bởi thế nên min f x f  1 2

Xét hàm f x   x 6 x2 ta có 4  

2 2

04

Ta có: f  0 12

; f  1 5 5

; f  2 8 2

; f  3 3 13Vậy m12; M 3 13  a b c   4

HẾT