3 3 HDG MIN MAX của hàm số d7 12

Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.

DẠNG 7: MAX-MIN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC TRÊN ĐOẠN [A,B]

Câu 188:Giá trị lớn nhất của hàm số sin sin 

Xét hàm số   2 1 5

x y

 

 

 

Hướng dẫn giải Chọn D

cos 1sin 1

x y

Suy ra hàm 2018 luôn nghịch biến trên

Vậy tập giá trị của hàm 2018 đã cho là

1

;22

Sử dụng MTCT thay các giá trị của đáp án vào ta được

Câu 193:Cho hàm số 2

sin 1sin sin 1

x y

M  m

32

23

M m 

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt sin x t ,    ta được 1 t 1 2

11

t y

t y

21

Vậy M   m 1

Câu 194:Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2sin cos 1sin 2 cos 3

Gọi y0 là một giá trị của hàm số trên 2 2;

Câu 195:Giá trị lớn nhất của hàm số ysin2 xcosx là1

Ta có: ysin2xcosx1 1 cos2xcosx1 cos2 xcosx

Ta có: f x( ) x cos2 x

( ) 1 2cos sin (sin cos )

f x   x x x x

.( ) 0 cos sin

D  0; 

10ax

Đặt: tcosx   t  1;1 3

423

1

1;12

x x

y  

32

Cách 1: đặt sin x t   t  1;1

Khi đó f t 12t2 ;3  

10

2

f t   t

So sánh1

2

f  

  và

12

f  

  ta thấy GTLN là

112

x y

32

M  m

23

M  m

D M   m 1

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt tsin , 1x   t 1 2

1( )

2( )

Hướng dẫn giải Chọn C

Vậy

3 3

; 04

6

y  

22

y

  ,

516

Hướng dẫn giải Chọn D

Câu 204:Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y2sin2x cosx Khi đó giá1

trị của tích M m là:.

2

2sin cos 1

y x x 2 1 cos  2x cosx12cos2x cosx3

Đặt tcosx ta có yg t  2t2  t 3 với t   1;1 

Câu 205:Giả sử M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y2 3 sin x cosx

Khi

đó M m bằng

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có:  2 32  1 2 3 sin x cosx 2 32 1

.Vậy M m  0

Câu 206:Bác An có ba tấm lưới mắt cáo, mỗi tấm có chiều dài 4 m Bác muốn rào một phần vườn của

nhà bác dọc theo bờ tường (bờ tường ngăn đất nhà bác An với đất nhà hàng xóm) theo hình thang

cân ABCD (như hình vẽ) để trồng rau, ( AB là phần tường không cần phải rào) Bác An ràođược phần đất vườn có diện tích lớn nhất gần với giá trị nào nhất sau đây?

K H

Ta có DH sin  AD4sin và AH cos  AD4cos, suy ra AB 4 8cos

Vậy 18 8cos 4sin

S 

Câu 207:Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Đặt tsinxcosx 2

2 2

201

6 333

m m

Câu 209:Cho hàm số f x  4sin 32 x1

Tập giá trị của hàm số f x 

Hướng dẫn giải Chọn D

  8sin 3 1 3cos 3  1 12sin 6 2

Do  1 sin 6 x 2  1 12 12sin 6  x 212

Câu 210:Cho hàm số

2

2cos cos 1

.cos 1

Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số

đã cho Khi đó M+m bằng

Hướng dẫn giải Chọn C

Tập xác định: D  Đặt tcos , 0x  t 1

Câu 211:Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x  2cosx trên 0;2

Xét hàm số liên tục và xác định trên 0;2

m 

12

m 

12

m 

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có: y sin 2018xcos2018x sin2x10091 sin 2 x1009

.Đặt tsin2x, 0  thì hàm số đã cho trở thành t 1  

1009

y t   t

Xét hàm số f t  t10091 t1009

t t

Hàm số f x  xác định và liên tục trên đoạn 2;

Hướng dẫn giải Chọn B

x 

.sin 3 cos ,

  là điểm cực đại

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là

526

f   

DẠNG 8: MAX-MIN CỦA HÀM SỐ KHÁC TRÊN K

Câu 215:Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số   22 1

Hàm số xác định và liên tục trên 0;1

T 

32

T 

D

19

T 

Hướng dẫn giải Chọn B

2

x y

2

1

2 11

10

2

x x

x

x x

Câu 217:Cho hàm số y x2 3 xlnx Gọi M N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của;

hàm số trên đoạn 1; 2

Khi đó tích M N là:

Hướng dẫn giải Chọn C

3

ln 03

P 

289log log 82

Hướng dẫn giải Chọn D

Câu 219:Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y xe x trên đoạn 2;2 

2maxy

e



Vậy [ 2;2]

1maxy

Câu 220:Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ,  

A

1e

S 

ee

S  

C S  e D S   e 1

Hướng dẫn giải Chọn C

Có  

2 2

0

0

2e

Câu 221: -2017] Giá trị lớn nhất của hàm số ye cosx x trên đoạn 0;2



6

3e2



3

1e2



Hướng dẫn giải Chọn A

Hàm số liên tục trên

 như hình vẽ ABCD là hình chữ nhật thay đổi sao cho B và C luôn

thuộc đồ thị hàm số đã cho AD nằm trên trục hoành Giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật

ABCD là

Giả sử điểm  2

;e x

C x 

với x  0Diện tích của hình chữ nhật ABCD là f x  2 ex x2

x

.Bảng biến thiên

Vậy

2max

e

S 

Câu 223:Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x 

liên tục trên  và đồ thị hàm số yf x  trên đoạn

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra max 2;6 y max f  1 ; f  6 

.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x 

, trục hoành và hai đường thẳng1

, trục hoành và hai đường thẳng x 2và x  là6

1

y x





2'2017

1 ln 2017

x y

1 ln 2017

y x





Hướng dẫn giải Chọn C

Xét hàm số f x  x2 2x 5

Suy ra f x  nghịch biến trên  ;1

và đồng biến trên 1;  nên x  là điểm cực tiểu duy 1

nhất của hàm số trên  Bởi thế nên min f x f  1 2

Câu 226:Giá trị nhỏ nhất của hàm số y20x220x1283 e 40x

trên tập hợp các số tự nhiên là:

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có y 40x20 e 40x40 20 x220x1283 e 40x 20e40x40x242x 2565

15 2

0 40 42 2565 0

17120

.Dựa vào bảng biến thiên ta có Giá trị nhỏ nhất của hàm số y20x220x1283 e 40x

trên tậphợp các số tự nhiên là 163.e280

DẠNG 9: MAX-MIN HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI

Câu 227:Hàm số

Ta sử dụng MTCT bấm Mode 7 rồi bấm Shift, nhập f X X2 3X 2

chọn Start -3 End 3 Step 0.5 Máy cho ra một bảng có các giá trị của f X  trong đó giá trị lớn nhất của f X  là 20khi X  3

Câu 228:Xét hàm số f x  x2ax b

, với a , b là tham số Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên

1;3 Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a2b

Hướng dẫn giải Chọn C

Dấu  xảy ra khi AB

Xét hàm số g x  x2ax b , có   0 2

Vậy Mnhận giá trị nhỏ nhất có thể được là M 2 khi

2

25

a b

21

201

Câu 230:Cho hàm số f x x4 4x34x2a

Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

của hàm số đã cho trên đoạn 0;2 Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn 3;3

sao cho2

M  m?

Hướng dẫn giải Chọn A

Xét hàm số g x  x4  4x34x2 a

  4 3 12 2 8

g x  x  x  x; g x  0  4x312x28x0

012

x x x

Vậy có 5 giá trị của a thỏa mãn đề bài.

Câu 231:Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số

 với

Xét hàm số   1 3 2 2 1

M 

do đó S 101 27 2 830

Câu 232: Cho hàm số f x  8cos4x a cos2x b

, trong đó a , b là tham số thực Gọi M là giá trị lớn

nhất của hàm số Tính tổng a b khi M nhận giá trị nhỏ nhất.

A a b  8 B a b  9 C a b  0 D a b  7

Hướng dẫn giải Chọn D

a b

Câu 234:Cho hàm số f x  8x4ax2 b

, trong đó a , b là tham số thực Biết rằng giá trị lớn nhất của

hàm số f x 

trên đoạn 1;1 bằng 1 Hãy chọn khẳng định đúng?

A a  , 0 b 0 B a  , 0 b 0 C a  , 0 b 0 D a  , 0 b 0

Hướng dẫn giải Chọn D

b a b

a a a

1

a b

a b b

132

328

a b

a a a

a b

Đồ thị hàm số g t  là một parabol có bề lõm quay lên trên do đó điều kiện trên dẫn đến hệ điều kiện sau xảy ra :

ta có : 64a2 64 do đó 8   a 8Lấy  3 32 2  ta có : 64a232a256 64

DẠNG 10: MAX-MIN CỦA HÀM SỐ DÙNG BĐT CỔ ĐIỂN

Câu 235:Cho hàm số

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2

Câu 236:Cho x , y 0 thỏa mãn logx2ylog x log y

Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ta sử dụng bất đăng thức phụ sau:

Xét    

2

82

04

42

t

t t

f t

t t

ngày hãng đó phải trả lương cho một nhân viên là 6 USD và cho một lao động chính là 24 USD

Tìm giá trị nhỏ nhất chi phí trong 1 ngày của hãng sản xuất này

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có giả thiết:

m n   m n2 64000 với ,m n  .

Tổng số tiền phải chi trong một ngày là 6m24n3m3m24n3 2163 m n2 720

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi 3m24n  m8n

Câu 239:Một ông nông dân có 2400 m hàng rào và muốn rào lại cánh đồng hình chữ nhật tiếp giáp với

một con sông Ông không cần rào cho phía giáp bờ sông Hỏi ông có thể rào được cánh đồng vớidiện tích lớn nhất là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải Chọn D

Gọi hai kích thước của hình chữ nhật là x và y, với 2x y 2400 0x y, 2400.

Diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật là:

DẠNG 11: BÀI TOÁN THAM SỐ VỀ MAX-MIN

Câu 240:Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

1

x m y

Tập xác định D \ 1  .

Ta có  

2 2

1

01

m y

mx y

x



 (m là tham số, m  ) Tìm tất cả các giá trị thực của 0 m để hàm số đạt

giá trị lớn nhất tại x  trên đoạn 1 2;2

Hướng dẫn giải Chọn B

1 2; 2

x y

x m y

A m 8 B m 3 C m 18 D m 3

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có x  1 2;5 .

Mặt khác  2

21

m y

x

 

 

Trường hợp 1: y  0 m 2 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

3

Mệnh đề nào dướiđây đúng?

Hướng dẫn giải Chọn D

TXĐ: D \ 1

 2

11

m y

x



 



TH1: m  1  y1 là hàm hằng

TH2: m   Hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định 1   ; 1 , 1; 

 1;2   1;2 

16min max

m

Sửa lại

 1;2   1;2 

16min max

Hướng dẫn giải Chọn A

Hướng dẫn giải Chọn A

Câu 247:Hàm số

21

x m y

Hàm số

21

x m y

m y

m

.Trên đoạn 0;1

Nếu 2m 0 m  , giá trị lớn nhất của hàm số là 2 m 1 m (loại).1

Câu 248:Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y x  4 x2 m là 3 2 Giá trị của m là

22

m 

Hướng dẫn giải Chọn B

Tập xác định D   2; 2

2 2

2

x x

Nên giá trị lớn nhất là: 2 2m3 2 m 2

Câu 249:Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 3 3mx2 trên đoạn 6 0;3  bằng 2

A

3127

m 

32

m 

Hướng dẫn giải Chọn C

TXĐ: D  Ta có y 3x2 6mx 3x x  2m;

00

2

x y

Xét hàm số   1 4 14 2 48 30

Câu 251:Cho a , b , c là các số thực thuộc đoạn 1;2

thỏa mãn log32alog32blog32c Khi biểu thức1

Hướng dẫn giải.

Chọn C

Đặt xlog ;2a ylog ;2b zlog 2c Vì a b c , , 1;2 nên x y z , , 0;1 .

3 log log log

361

x m

 1 trên 0;1 bằng 4.

Hướng dẫn giải Chọn D

Do hệ số x2 là số dương và theo yêu cầu đề bài ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x0  1 m0;2

Câu 256:Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2

1

mx y

m 

35

m 

25

m 

Hướng dẫn giải Chọn C

3 2 2

1

m y

2

m f

3

m f

1

m y

Nếu m31 0  m hàm số đồng biến trên 1 2;3

1'

1

y x





,

1' 0

1

x y

Câu 258:Cho hàm số

22

x m y

Xét hàm số xác định trên tập D 0;2

Ta có  2

42

m y

Hướng dẫn giải Chọn B

y x  x m x  x  m  x    m

.Đặt tx2 42

, vì x   1;3

suy ra t 0;25

.Khi đó yf t   t 16 m

Vậy có 2 giá trị m cần tìm

Câu 260:Hàm số

2

1

x m y

m m

m m

 

2 2

1

01

m y

 

 

 

Hướng dẫn giải Chọn C

.Suy ra  min1; 2  1

m m y y m

Để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên Dm1;m2

luôn bé hơn 3

Đặt tx2 2x 1 x12 với x  1;2 t 0;4

Ta có yf t   t m1

.Khi đó      

Câu 263:Cho hàm số

11

m y

Câu 264:Tìm giá trị của m để hàm số y x3 3x2m có giá trị nhỏ nhất trên 1;1

bằng 0 ?

A m  0 B m 4

Hướng dẫn giải Chọn B

Với x 1 y m  4 Từ đó dễ thấy y m  4 là GTNN cần tìm, cho m   hay 4 0 m  4

Câu 265:Cho biểu thức P3x a y 2  3y a x 2 4xy4 a2 ax2 ay2x y2 2 trong đó a là số thực

dương cho trước Biết rằng giá trị lớn nhất của P bằng 2018 Khi đó, mệnh đề nào sau đây

đúng?

A aÎ (500;525]. B aÎ (400;500]. C aÎ (340; 400]. D a= 2018.

Hướng dẫn giải Chọn A

3 sin cos 3 sin cos 4 sin sin 4 cos cos

3 sina m n 4 cosa m n 5a

Vậy

2018max 5 2018

5

P a  a

DẠNG 12: MAX-MIN CỦA BIỂU THỨC NHIỀU BIẾN

Câu 266:Cho các số thực x, y thỏa mãn x y  1 2 x 2 y3

Giá trị lớn nhất của biểu thức



Hướng dẫn giải Chọn A

Vì 2 x 2 y  nên từ (*) suy ra 3 0 x y 12 4x y 1

Đặt t  với x y t  hoặc 31   t 7

Xét hàm số f t  3t 4 t 1 2 7 t 6t 3

     , ta có  

21881

Vậy

3min

2

P   x y z   Khi đó, 1

14

x z 

và

12

y 

Câu 269:Cho hai số thực x0, y thay đổi và thỏa mãn điều kiện 0 (x y xy x )  2y2 xy Giá trị lớn

nhất M của biểu thức 3 3

x y 

Câu 270:Cho x, y là các số thực thỏa mãn x y  x1 2y2 Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của P x 2y22x1 y18 4 x y

Khi đó, giá trị của M mbằng

Hướng dẫn giải Chọn C

Câu 271:Cho các số thực x, y thỏa mãn x22xy3y2 Giá trị lớn nhất của biểu thức 4 Px y 2

là:

Hướng dẫn giải Chọn B



Do đó t2 2t 1 u t 22t3 u1t22u1t3u1 0

 1

Nếu u  thì 1  

11

2

t

 

.Nếu u  thì 1  1 có nghiệm khi u12 u1 3  u1  0 2u26u 0 0  u 3Vậy 0 4 3 0 12

A m 2;3. B m   1;0. C m 0;1. D m 1;2.

Hướng dẫn giải Chọn C

x y

Xét hàm số  

6 5

03

Theo giả thiết ta có

Câu 274:Cho các số thực x, y thay đổi thỏa điều kiện y 0, x2   x y 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

của biểu thức M xy x 2y17lần lượt bằng

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có: y x 2 x 12 Do đó: y 0 x2 x 12 0     4 x 3

Mặt khác, M xy x 2y17x x 2 x 12 x 2x2 x 1217x33x2 9x 7

.Xét hàm số f x  x33x2 9x 7

với 4   x 3

Ta có: f x 3x26x 9

Do đó: f x   0 x 1 x 3Khi đó: f 3 20, f  1 12, f 4 13,f  3 20

.Vậy maxM 20, minm12

Câu 275:Xét các số thực dương x, y thỏa mãn

P y x

A min

78

P 

34

P 

56

P 

12

P 

Hướng dẫn giải Chọn A

Vậy min

78

P 

khi

34

Đặt ux12

, v2x y với u, v  Phương trình trên có dạng: 0

2 2

20182018

u v

v u

P 

khi

34

x 

Câu 276:Cho các số thực x, y thỏa mãn x y 2 x 3 y3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Điều kiện:

33

x y

Câu 277:Cho các số thực ,x y thỏa mãn x y 2 x 3 y3

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Xét biểu thức P4(x2y2) 15 xy4(x y )27xy16(x y ) 7 xy7 (x y3) 16 y 5x.Mà

3 0

16(4 ) 5 64 214

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 83

Câu 278:Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức min P= (x- 1)2+y2+ (x+1)2+y2 + -2 y

A Pmin = 5+ 2. B Pmin = +2 3. C Pmin =2 2. D min

19150

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta thấy min f y( )= +2 3 Do đó Pmin= +2 3.

Câu 279:Cho hai số thực x, y thỏa mãn

10

P Khi đó giá trị của T 4m M 

bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có

log 11 2 x y 2y4x1 2 2 x y  log 11  2x y   1 0

Đặt t2x y , 0 t 11 Phương trình trở thành: 2t log 11  t  1 0  1

Xét hàm số f t  2t log 11  t trên khoảng 1 0;11.

Vậy T 4.3 4 16 

Câu 280:Cho x , y là hai số thực thỏa mãn điều kiện x2y2xy 4 4y3x Tìm giá trị lớn nhất của

x y 

Câu 281:Cho hai số thực x, y thỏa mãn x  , 0 y  , 1 x y  Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của3

biểu thức P x 32y23x24xy 5x lần lượt bằng:

A Pmax 18 và P  min 15 B Pmax 15 và P  min 13

C Pmax 20 và P  min 18 D Pmax 20 và P  min 15

Hướng dẫn giải Chọn D

Câu 282:Xét phương trình ax3 x2bx1 0 với a , b là các số thực, a  , a b0  sao cho các nghiệm

đều là số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  

2 2