3 4 HDG MIN MAX của hàm số d13 14

Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.

DẠNG 13: ỨNG DỤNG MAX-MIN GIẢI TOÁN THAM SỐ

Câu 289:Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình

1

m x

 



 nghiệm đúng với mọi

0;1

x 

7 2

m 

7 2

m 

Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt  

1

f x

x

 



 Bất phương trình

1

m x

 



 nghiệm đúng với mọi x 0;1

khi và chỉ khi    

0;1 min

m f x

Ta có

 

2 2

2 0 1

f x

x



 với mọi x 0;1  f x  đồng biến trên 0;1.

    

0;1

min f x

 0

f

  Vậy 3 m  3

Câu 290:Cho hàm số

sin 1 cos 2

y

x





 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 5;5

để giá trị nhỏ nhất của y nhỏ hơn 1

Hướng dẫn giải Chọn D

Do cosx 2 0,   nên hàm số xác định trên x 

Ta có

sin 1 cos 2

y

x





  msinx y cosx2y 1

Do phương trình có nghiệm nên

m y  y  y  y  m 

y

Vậy GTNN của y bằng

2

3

m

Do đó yêu cầu bài toán

2

m m

m

 

 

Do m thuộc đoạn 5;5

nên m     5; 4; 3;3; 4;5 .

Câu 291:Tập tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình

 1 1 3 2 1 2 5 0

có đúng hai nghiệm phân biệt là một nửa khoảng a b;  . Tính

5 7

b a

A

12 5 2

7



6 5 2 7



12 5 2 35



6 5 2 35



Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt t 1 x 1 x với   1 x 1.Khi đó: t2  2 2 1 x2  2 1 x2  t2 2

0

2 1 2 1

t



   1 x  1x x 0

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 2 t 2.

Ta có phương trình:m t 3t2 7 0

2 7 3

t m t

 



Xét hàm số:  

2 7

3

t

t

 



 

2 2

6 7 3

f t

t

  





f t    t  

 

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt thì 2  t 2 Khi đó 3   5 3 2



hay

5 3 2 3



 

3 5

a

,

5 3 2 7

Câu 292:Cho x y , 0;  ,  x y  Biết 1 ma b;  thì phương trình 5x24y 5y24x40xy m

có nghiệm thực Tính T 25a16b

A T 829 B T 825 C T 816 D T 820

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có: m25xy220x3y356xy25xy220x y 3 3xy x y  56xy

25 xy 4xy 20 25t 4t 20

x y

Xét hàm số f t  25t2 4t20

trên đoạn

1 0;

4

 

 

 

Ta có: f t  50t 4

Xét   0 2

25

f t   t

Ta có: f  0 20

,

2 496

25 25

f  

  và

1 329

4 16

f    

Do đó để phương trình có nghiệm thực thì

496 329

;

25 16

m    496 329

,

suy ra T 825

Câu 293:Tìm tất cả giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số   2 1

1

x m

f x

x

 



 trên đoạn 1;2

bằng 1

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có

 

 2

3 1

m

f x

x





Nếu m  : 3    2

3

0 1

m

f x

x



 nên hàm số đồng biến trên 1;2

,

 1;2min ( ) f x f(1) 1

Vậy  1;2 

1

2

m

(nhận) Nếu m  : 3    2

3

0 1

m

f x

x



 nên hàm số nghịch biến trên 1;2,

 1;2min ( ) f x f(2) 1

Vậy  1;2 

3

3

m

(loại)

DẠNG 14: CÂU HỎI TỔNG HỢP ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ VÀ MAX-MIN

Câu 294:Cho hàm số yf x 

có đạo hàm cấp hai trên  Biết f  0  , 3 f  2 2018

và bẳng xét dấu của f x

như sau:

Hàm số yf x 20172018x

đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x thuộc khoảng nào sau đây?0

A 2017;0

B 2017;  C 0; 2 D   ; 2017

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có bảng biến thiên

 2017 2018  2017 2018

Ta có bảng biến thiên

Hàm số yf x 20172018x

đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0  a 2017    ; 2017

Câu 295:Tìm m để phương trình x66x4 m x3 315 3 m x2 2 6mx10 0

có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc

1

; 2 2

 

 

 

A

11

4

5

2

m

C

9

4

m

 

D

7

3

5 m

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có 6 4 3 3  2 2

x  x  m x   m x  mx 

 2 2  1 (*)

Xét hàm số f t  t3 3t

Với f t  3t2 3 0, t ¡  hàm số f t  đồng biến trên ¡

Nên (*) x2 2 mx 1

2

x



(vì x  không là nghiệm của 0

phương trình(*))

Xét hàm số  

2 1

x

g x

x





trên

1

; 2 2

 

 

 

Ta có g x  1 12 g x  0 x 1

x

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc

1

;2 2

 

 

  khi và chỉ khi

5

2

m

Câu 296: Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng

3 500

3 m Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Giá thuê nhân công để xây hồ

là 500.000 đồng/m2 Hãy xác định kích thước của hồ nước sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất và chi phí đó là:

A 74 triệu đồng B 75 triệu đồng C 76 triệu đồng D 77 triệu đồng.

Hướng dẫn giải Chọn B

C' D'

B'

B

C

A'

Giả sử khối hộp chữ nhật là ABCD A B C D.     và AB x , AD2x và AA  ( ,h x h  ).0

Ta có V x x h.2

2 500 2

3

x h

3

h x

Diện tích cần xây là S 2x22xh2xh 2x26xh

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của

2 500 2

x

với x  0

Ta có

2 250 250 3 2 250 250

Dấu đẳng thức xảy ra khi

2 250

2x

x



5

x

 

S nhỏ nhất là 150 khi x  5

Số tiền chi phí là 150.500000 75000000 hay 75 triệu đồng.

Câu 297:Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

1 19

y x  x  x m 

trên đoạn 0;2

không vượt quá 20 Tổng các phần tử của S

bằng

Hướng dẫn giải Chọn A

Xét hàm số   1 4 19 2

trên đoạn 0;2

Ta có g x x319x30

;

 

 

 

5 0;2

3 0; 2

x

x

  



    

  

 Bảng biến thiên

; g 2   m 6

Để max0;2 g x   20

thì

 

 

0 20

2 20

g g











20 20

6 20

m m



 

 

  0m14

Mà m   nên m 0;1;2; ;14

Vậy tổng các phần tử của S là 105

Câu 298:- 2017] Từ một tờ giấy hình tròn bán kính R , ta có thể cắt ra một hình chữ nhật có diện tích lớn

nhất là bao nhiêu?

A

2 3 2

R

2 2

R



Hướng dẫn giải Chọn C

2x

I

.

Đặt AB2x, ta có: AD2 R2 x2

2

ABCD

S  x R  x  x R  x     R

Dấu bằng xảy ra khi

2

Câu 299:Hàm số yf x 

có đồ thị yf x 

như hình vẽ

Xét hàm số     1 3 3 2 3 

2017

Trong các mệnh đề dưới đây

(I) g(0)g(1)

(II) min ( ) 3;1  ( 1)

(III) Hàm số g x( )nghịch biến trên ( 3; 1) 

(IV)       

 

3;1

max max ( 3), (1)

Số mệnh đề đúng là

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có     2 3  3    2 3  3

Căn cứ vào đồ thị ta có:

'( 1) 2 '( 1) 0 '(1) 1 '(1) 0 '( 3) 3 '( 3) 0

Vẽ Parabol (P):

 2 3  3

trên cùng hệ trục với đồ thị của hàm số yf x 

Ta có: Trên ( 3; 1)  thì   2 3  3

'

nên g x'     0 x ( 3; 1)  Trên ( 1;1) thì   2 3  3

'

nên g x'     0 x ( 1;1)

Khi đó BBT của hàm số g x  trên đoạn 3;1:

Vậy: min ( ) 3;1  ( 1)

, g(0)g(1), hàm số g x( ) nghịch biến trên ( 3; 1) 

     

3;1

max max ( 3), ( 1)

Câu 300: [2017] Gọi x1, x2 là các điểm cực trị của hàm số 3 2

y x  mx  x

Giá trị lớn nhất của biểu thức  2   2 

S  x  x 

là

Hướng dẫn giải Chọn B

 Tập xác định: D .

 Đạo hàm: y x2 mx 4

 Hàm số có hai điểm cực trị  y  0 có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2   m216 0

 Theo định lý Vi – et ta có

1

4 4

x

 Vậy giá trị lớn nhất của S bằng 1.

Câu 301:Cho hàm số   3 2 3

3

2

f x x  x  x

Phương trình

 

f f x

f x   có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt ?

A 4 nghiệm B 9 nghiệm C 6 nghiệm D 5 nghiệm.

Hướng dẫn giải Chọn D

Cách 1:

Xét hàm số   3 3 2 3

2

f x x  x  x

Ta có f x  3x2 6x 1

 

 

 

2







Bảng biến thiên

Xét phương trình

 

f f x

f x   Đặt tf x 

Khi đó phương trình trở thành

 

f t

Nhận xét: phương trình (*) có tối đa 3 nghiệm

Xét hàm số   3 2 5

3

2

g t  t t  t

liên tục trên ¡ + Ta có    3 4 1 29 0

2 2

g g    

  nên phương trình  * có một nghiệm t t 1 3;4

Khi đó dựa vào bảng biến thiên ở trên thì phương trình f x   với t1 1  1

9 8 6 3

18

t   f x  

có một nghiệm

g g        

1

;1 2

t t   

Khi đó dựa vào bảng biến thiên ở trên thì phương trình f x  vớit2

1

f x    t   f x  

có ba nghiệm phân biệt

+ Ta có 4  1 217 1 0

g  g    

    nên phương trình  *

có một nghiệm 3

4 1; 5

t t    

Khi đó dựa vào bảng biến thiên ở trên thì phương trình f x  với t3 3  2

t    f x  

có một nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thực

Cách 2:

Đặt tf x 

Khi đó phương trình trở thành

 

f t

1 2 3

3,05979197 0,8745059057 0,9342978758

t t t







  

 

+ Xét phương trình

1

3

2

x  x  x  t

Bấm máy tính ta được 1 nghiệm

+ Xét phương trình

2

3

2

x  x  x  t

Bấm máy tính ta được 3 nghiệm + Xét phương trình

3

3

2

x  x  x  t

Bấm máy tính ta được 1 nghiệm Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thực

Câu 302:Cho hàm số yf x 

xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau:

y

 

0

1





Khẳng định nào sau đây sai?

A Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 1

B Hàm số có đúng 2 cực trị

C Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1

D Hàm số đạt cực đại tại x  và đạt cực tiểu tại 0 x  1

Hướng dẫn giải Chọn A

Hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Câu 303:Cho C m là đồ thị của hàm số y x 33mx1 (với m   ;0 là tham số thực) Gọi d là

đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của C m Tìm số các giá trị của m để đường thẳng d cắt

đường tròn tâm I1;0 bán kính R3 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác

IAB đạt giá trị lớn nhất

Hướng dẫn giải Chọn C

Vì m   ;0 nên phương trình y 0 có 2 nghiệm phân biệt.

Do đó hàm số có hai điểm cực trị    m  ;0.

Giả sử hàm số có hai điểm cực trị lần lượt là A x y 1; 1 và B x y 2; 2, với x , 1 x là nghiệm của 2 phương trình y 0

Thực hiện phép chia y cho y ta được :

1

3



Khi đó ta có:

1

3 1

3











Ta thấy, toạ độ hai điểm A và B thoả mãn phương trình y2mx1

Do đó, phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là : y2mx1

Ta thấy : y2mx1 luôn qua M0;1.

Đặt x d I  , 0 x 2IM

2

9

IAB  

Xét hàm số f x x 9 x2

, x0; 2

 

2

9 2



x x ,  x 0; 2

Suy ra hàm số f liên tục và đồng biến trên 0; 2

Do đó max0; 2    2

 

 



Vậy SIAB đạt giá trị lớn nhất 2  ;  2 2 2 1 2



m

m

1 2

 m

Câu 304:Cho hàm số f x 

xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1, nhỏ nhất bằng

1 3



B Đồ thị hàm số không cắt trục hoành

C Hàm số có giá trị cực đại bằng 3

D Hàm số có hai điểm cực trị

Hướng dẫn giải Chọn D

Hàm số có hai điểm cực trị là x  và 1 x  3

Câu 305:Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x2 4x m 2 5 4 x x 2  có nghiệm.5

A 0 m 15. B m 1. C m 0. D 1  m 2 3. Hướng dẫn giải

Chọn A

Điều kiện: 5 4 x x 2  0 x  1;5

, đặt t  5 4 x x 2  9 x 22  t 0;3

Khi đó phương trình trở thành m2t t 2 Tìm GTLN – GTNN của hàm

Câu 306:Cho hàm số yf x 

xác định và liên tục trên đoạn 3;3

và có đồ thị là đường cong ở hình vẽ bên Mệnh đề nào dưới đây đúng trên đoạn 3;3

A Hàm số yf x 

nghịch biến trên khoảng 2;3.

B Hàm số yf x 

đạt cực đại tại x  4

C Hàm số yf x 

đồng biến trên khoảng 1;3

D Hàm số yf x 

đạt giá trị lớn nhất tại x  2

Hướng dẫn giải Chọn A

Đáp án A sai, vì: Hàm số yf x 

đạt giá trị lớn nhất tại x  3

Đáp án B sai, vì: Hàm số yf x 

đạt cực đại tại x  2

Đáp án C sai, vì: Hàm số yf x 

đồng biến trên khoảng 1;2

Đáp án D đúng, vì: Hàm số yf x 

đồng biến trên khoảng 1;3