Chia hai vế phương trình cho cos2x rồi đưa về PT 2.. * Có thể giải 2 bằng cách dùng công thức hạ bậc đưa về Phương trình bậc nhất đối với sin và cos.. *** Chú ý : Ngoài các dạng phương t
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Cosu = cosv u = ± v + k2π
+
−
=
+
=
⇔
=
k2π v π u
k2π v u sinv
sinu
tanu = tanv u = v + kπ
cotu = cotv u = v + kπ
sinu =0⇔u=kπ , k2π
2
π u 1 sinu = ⇔ = +
2
π u 1 sinu = − ⇔ = − + , cosu=1⇔u=k2π
kπ 2
π u 0 cosu = ⇔ = + , cosu=−1⇔u =π+kπ
tanu = ± 1 kπ
4
π
u = ± + ; cotu = ± 1 kπ
4
π
u = ± +
Pt bậc 2 đối với một hàm
số lg
* Dạng : asin 2 x + b sinx + c =
0 (1)
Đặt t = sinx , − 1 ≤ t ≤ 1
Phương trình trở thành : at2 + bt
+ c = 0
* Dạng : acos 2 x + bcosx + c =
0 (TT)
* Dạng : atan 2 x + btanx + c =
0 (2)
Đặt t = tanx
Phương trình trở thành : at2 + bt
+ c = 0
* Dạng : acot 2 x + bcotx + c =
0 (TT)
Phương trình bậc nhất đối với Sin và Cos
* Dạng : asinx + bcosx = c ; a ≠ 0, b ≠
0 Chia hai vế phương trình cho a 2 + b 2 rồi có thể đặt
a
cos
b
sin
+ đưa về phương trình lượng giác cơ bản
*** Chú ý : cos(a ± b) = cosa cosb
sina.sinb sin(a ± b) = sina.cosb ± cosa.sinb
Phương trình thuần nhất
asin 2 x + bsinx.cosx + c.cos 2 x
= 0 Hoặc
asin 2 x + bsinx.cosx + c.cos 2 x
= d (3)
* Giả sử cosx ≠ 0 Chia hai vế
phương trình cho cos2x rồi đưa
về PT (2)
* Kiểm tra kπ
2
π
x = + có phải là nghiệm của phương trình ?
2
π
x = + là nghiệm của (3) khi
a = d
* Có thể giải (2) bằng cách
dùng công thức hạ bậc đưa
về Phương trình bậc nhất đối
với sin và cos
Phương trình đối xứng , phản xứng đối với Sin và Cos
+ a( sinx + cosx) + bsinx.cosx + c =
0 (4)
Đặt t = sinx + cosx = 2sin x
4
π
+
; 2
t
2 ≤ ≤
−
Suy ra sinx.cosx =
2
1
t 2 − thay vào (4) rồi
tìm t , so sánh điều kiện của t rồi từ đó tìm nghiệm x
+ a( sinx - cosx) + bsinx.cosx + c =
0 (5)
Đặt t = sinx - cosx =
−
4
π x Sin
2 t
2 ≤ ≤
−
Suy ra sinx.cosx =
2
t
1 − 2 thay vào (5) rồi tìm t , so sánh điều kiện của t rồi từ đó tìm nghiệm x
*** Chú ý : Ngoài các dạng phương trình thường gặp ở trên ta còn thường gặp các dạng
phương trình khác như :
Trang 21/ Phương trình dạng tích
=
=
=
⇔
=
0 (x) h
0 (x) h
0 (x) h 0
(x) (x) h (x).h
h
n
2 1
n 2
1
2/ Phương pháp tổng bình phương :
=
=
⇔
= +
0 B
0 A 0 B
A 2 2
3/ Phương pháp đối lập ( Chặn trên và chặn dưới hai vế ) :
=
=
⇔
=
≤
≥
M B
M A B A
M B
M A
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Giải các phương trình :
a
2
3 1) Sin(2x + = b
2
2 )
40 Cos(3x + o = − c tg(x + 15o) =
3
Bài 2: Giải các phương trình :
a
2
2 ) 30 Sin(2x − 0 = với -1000 < x < 1200 b
2
1 1) Cos(3x + = − với
2π
x
π< <
c tg(2x-150) = 1 với -180< x< 180 d tg(x2 + 2x + 3) = tg2
Bài 3 : Cho phương trình : x)
2
π Sin(
) 4
3π Cos(2x + = +
a Giải phương trình trên
b Vẽ các ngọn cung đáp ssố trên đường tròn lượng giác
Bài 4: Giải phương trình (Cos2x + cosx).( Sinx + Sin3x) = 0
Bài 5: Giải các phương trình :
a Sin22x + Cos23x = 0 b tg5x.tgx = 1 c
−
=
+
4
5π x Cos 4
3π
2x
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
I/ Phương trình bậc nhất đối với Sin và Cos.
+ Dạng phương trình : aSinx + bCosx = c ; a ≠ 0, b ≠ 0
+ Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 ≥ c2
+ Giải các phương trình lượng giác sau :
1/ Sinx + Cosx = 1 , 2/ 3Cos2x - 4Sin2x = 1 , 3/
4 2Cosx
Sinx
4/ Cosx - 3Sinx = 3, 5/ 3 Cos3x + Sin3x = 2 6/ 5Cos2x - 12Sin2x
=13
7/ 3Sin5x + 4Cos5x = 5; 8/ Sin2x + Sin22x =
2
1
, 9/ 3Cos2x - Sin2x - Sin2x = 0
10/
2
1 cosx
1
sinx
1
= +
+
11/ 2 Cos8x + 2 Sin8x = − 1 với
10
7π x 8
3π
12/ Cho phương trình Sinx + mCosx = 1
a Giải phương trình với m = - 3
Trang 3b Tìm m để phương trình có nghiệm
13/ Tìm m để phương trình (m +1)Cosx + (m - 1)Sinx = 2m + 3 có
nghiệm
II/Phương trình thuần nhất đối với Sin và Cos.
+Dạng phương trình : aSin2x + bSinx.Cosx + c.Cos2x = 0 Hoặc
aSin2x + bSinx.Cosx + c.Cos2x = d (3)
+ Giải các phương trình lượng giác sau :
1/ Sin2x - 3Sinx.Cosx = -1 2/ Sin2x + 3Sinx.Cosx + 2Cos2x =
0
3/ 2Cos 2 x + 3Sin2x − 8Sin 2 x = 0 4/ Sin 2 x + Sin2x − 2Cos 2 x = 0,5
5/ 4Sin 2 x + 3 3 Sin2x − 2Cos 2 x = 4 6/
0 x Cos x 4Sinx.Cos x.Cosx
4Sin
x
Sin 3 + 2 − 2 − 3 =
7/ Sin2x + aCos2x - Sinx.Cosx = 0 8/
1 x )Cos 3 (1 )Sinx.Cosx 3
(1
x
9/ 3Sin 2 x − 3 Sinx.Cosx + 2Cos 2 x = 2 10/ Sin 2 x + 6Cos 2 x = 13Sin2x
11/ 3Cos 2 x + 2 3 SinxCosx + 5Sin 2 x = 2 12/ Sin 3 x + 2Sin 2 x.Cosx − 3Cos 3 x = 0
III/Phương trình đối xứng đối với Sin và Cos.
+Dạng phương trình: a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (a,b
0
≠ )
+ Giải các phương trình lượng giác sau :
1/ 2(Sinx + Cosx) = 4SinxCosx + 1 2/ Sin2x - 12(Sinx + Cosx) +
12 = 0
3/ Sin2x - 12(Sinx - Cosx) + 12 = 0 4/ 3(Sinx + Cosx) = 2Sin2x 5/ Sinx - Cosx + 4SinxCosx + 1= 0 6/ 1 + Sin3x + Cos3x =
2 3
Sin2x
7/ Cosx +
Cosx
1
+ Sinx +
Sinx
1
=
3
10
9/ 2Sin2x - 3 6 Sinx + Cosx + 8
= 0
10/ Cho phương trình lượng giác: SinxCosx = 6(Sinx + Cosx + m)
a/ Giải phương trình khi m = -1
b/ Tìm m để phương trình có nghiệm
11/ Sinx + Cosx - Sin2x + 1 = 0 12/ Sin3x + Cos3x = 1
13/ Tgx + Cotgx = 2 14/ Tg2 x + Cotg2 x + Tgx + Cotgx = 4
BÀI TẬP ÔN TẬP
+ Giải các phương trình lượng giác:
1/ 2Sin3x - Cos2x + Cosx = 0 2/ SinxCosx +
Cosx
3/ Sinx − Cosx + 4Sin2x = 1 4/ 3Cos4x -
4Cos2x.Sin2x + Sin4x = 1
5/ Sin3(
4
π
x − ) = 2 Sinx 6/ Cos3x + Cos2x + 2Sinx - 2 = 0
7/ 4(Sin3x - Cos2x) = 5(Sinx - 1) 8/ Sin23x = 4.Cos4x + 3
Trang 49/ Sin3x - Cos3x = 1 - Cotgx + Cos2x 10/ Cos3x + Cos2x -
4Cos2
2
x
= 0 11/ 8Cos4x - 8Cos2x - Cosx +1 = 0 12/ 3(Cosx - Sinx) = 1 +
Cos2x - Sin2x
13/ (1 + Sin2x)(Cosx - Sinx) = Cosx + Sinx 14/
6Cosx 4Sinx
Cosx
1 = +
15/ Sin2x(1 + Tgx) = 3Sinx(Cosx - Sinx) +3 16/
cosx
cosx 1 x
tg 2 = +
(ÂN01) 17/ Sin23x - Cos24x = Sin25x - Cos26x (B02) 18/
3 Cos2x 2Sin2x
1
Sin3x Cos3x
Sinx
+
+ + (A02) 19/ Cos3x - 4Cos2x + 3Cosx - 4 = 0 (D02)
2
x Cos x Tg 4
π 2
x
Sin 2 2 − 2 =
2
1 x Sin tgx 1
Cos2x 1
+
=
− (D03) 22/ Cotgx - tgx + 4Sin2x =
Sin2x 2
(B03) 23/ (2Cosx 1)(2Sinx + Cosx) = Sin2x Sinx (D04) 24/ 5Sinx 2 = 3(1 -Sinx).Tg2x (B04) 25/ 1 + Sinx + Cosx + Sin2x + Cos2x = 0 (B05) 26/ Cos23x.Cos2x - Cos2x = 0 (A05)
2
3 4
π 3x Sin 4
π x Cos x Sin
x
−
− +