A. Đặt vấn đề I. Cơ sở lí luận: Học sinh Việt Nam đang đợc sống trong thời đại của nền văn minh tri thức, thông tin bùng nổ từng phút từng giờ, cái mới này cha kịp đăng quang đã phải nh- ờng chỗ cho cái mới khác. Vậy thì hoạt động dạy và học tròn nhà trờng cần phải không ngừng đổi mới để đáp ứng đợc yêu cầu của thời đại. Việc học tập hiện nay đang có xu hớng đi vào chiều sâu học phải đi đôi với hành, do vậy phải có những phơng pháp dạy và học có hiệu quả tối u nhất nhằm tìm ra những con đờng ngắn nhất, hay nhất trong việc học tập để giúp học sinh chủ động nắm vững đợc kiến thức và đi đào sâu lợng kiến thức đã học. Để đạt đợc điều đó thì giáo viên và học sinh phải trau dồi kiến thức, su tầm và hệ thống cho chính mình những phơng pháp dạy và học cho phù hợp. Trong quá trình dạy học việc đi phân loại các phơng pháp giải một dạng toán, nó giúp học sinh có nhiều cách nhìn, cách lý giải cho cùng một vấn đề, nó cũng giúp học sinh nhìn nhận, xem xét một cách kĩ lỡng hơn, dới nhiều góc độ, để học sinh tìm đợc cách giải quyết cho nhanh nhất, hiệu quả nhất. II. Cơ sở thực tiễn: Hiện nay, trong chơng trình toán 9 việc giải một phơng trình vô tỉ là một vấn đề khó đối với học sinh, đa số các giáo viên đã dạy hết cho học sinh những kiến thức, những phơng pháp giải nhng cha có tính hệ thống cao, cha đi sâu vào phân tích những u điểm, những tồn tại và khả năng ứng dụng của từng phơng pháp, chính vì thế mà những phơng pháp giảng giải của giáo viên thờng hay chồng chéo lên nhau khiến cho việc tiếp thu của học sinh thờng bị động và cha có tính quyết toán trong việc tìm cho mình một phơng pháp tối u nhất khi đứng trớc một bài toán giải phơng trình vô tỉ. Mặt khác, đa số các em học sinh không có khả năng hệ thống cho mình những phơng pháp giải loại phơng trình này, hay còn phần lớn các em không biết cách giải thế nào cho đúng, cho hay. Các em thờng giải theo phơng pháp lũy thừa và chọn ẩn nhng đa số các em không phán đoán đợc phơng trình sau có tơng đơng với phơng trình đã cho hay không? Chính bởi những lí do trên mà tôi mà tôi đã nghiên cứu, hệ thống các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ để dạy cho học sinh khối 9 Trong quá trình dạy học tôi đã giúp học sinh nắm đợc các phơng pháp giải một bài giải phơng trình vô tỉ. Trên cơ sở đó học sinh tìm đợc những vớng mắc, khó khăn mà các em thờng gặp phải trong quá trình giải loại bài tập này. B. Nội dung I. Những vấn đề chung của phơng trình: Trớc khi dạy cho học sinh các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ tôi đã hệ thống lại cho học sinh những vấn đề chung về phơng trình, từ đó học sinh đã chủ động hơn khi học phơng trình vô tỉ 1. Hai ph ơng trình t ơng đ ơng: 1.1. Định nghĩa : Hai phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng chung một tập nghiệm trong cùng một tập số. 1.2. Ví dụ : a. Cho hai phơng trình : x 2 - 7x + 6 = 0 và 2x 2 14x + 12 = 0 là hai phơng trình tơng đơng vì chúng có cùng tập nghiệm S = {1; 6}. b. Hai phơng trình: x + 1 = 0 và (x + 7).(x - 5) = 0 là hai phơng trình không tơng đơng vì tập nghiệm của phơng trình thứ nhất là S = {- 1} còn của phơng trình thứ hai là S = {- 1; 5}. c. Hai phơng trình: x 2 + 1 = 0 và x 2 + x + 6 = 0 là hai phơng trình tơng đơng vì chúng có cùng chung một tập nghiệm là S = . 3. Nghiệm của ph ơng trình: Cho phơng trình f(x) = g(x). Nghiệm của phơng trình xét trên tập A là số A sao cho f() = g(). 4. Các phép biến đổi t ơng đ ơng: a. f(x) = g(x) + h(x) f(x) g(x) = h(x) b. f(x) = g(x) f(x) c = g(x) c (với c R) c. f(x) = g(x) k.f(x) = k.g(x) (với k 0) d. f(x) = g(x) (f(x)) 2k + 1 = (g(x)) 2k + 1 (với k N). e. f(x) = g(x) (với f(x) 0; g(x) 0) [f(x)] 2k = [g(x)] 2k (với k N) II. Phơng trình vô tỉ: 1. Định nghĩa: Phơng trình vô tỷ là phơng trình có ẩn nằm trong dấu căn 2. Cách giải chung: Bớc 1: tìm tập xác định của phơng trình. Bớc 2: tìm cách khử căn thức và tìm nghiệm. Bớc 3 : so sánh với tập xác định và kết luận nghiệm của phơng trình. 3.Ví dụ : Giải phơng trình : (1) Điều kiện để căn thức có nghĩa 2x + 3 0 (2) với điều kiện x 0 (3) phơng trình (1) (2x + 3) = x 2 (4) x 2 2x 3 = 0. Vì a b + c = 0 nên (4) có nghiệm là: x 1 = - 1; x 2 = 3 x 1 = - 1 không thoả mãn điều kiện (3) x 2 = 3 thoả mãn các điều kiện (2) và (3) Vậy nghiệm duy nhất của phơng trình là x = 3. 4. Một số kiến thức cần nhớ: 4.1. Điều kiện tồn tại một căn thức: tồn tại khi A 0 (k N) tồn tại khi A R (k N) = A = A khi A 0 - A khi A 0 4.2. Một số bất đẳng thức quan trọng: a. Bất đẳng thức Côsi: Nếu a 1 , a 2 . a n là các số không âm ta có: đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = = a n . b. Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Nếu a 1 , a 2 . a n và b 1 , b 2 . b n là các số tuỳ ý ta có: (a 1 2 + a 2 2 + + a n 2 ).(b 1 2 + b 2 2 + + b n 2 ) (a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n ) 2 . đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: c. Bất đẳng thức Trêbsep. Nếu a 1 a 2 . a n và b 1 b 2 b n , ta có: (a 1 + a 2 + + a n ).(b 1 + b 2 + + b n ) n.(a 1 b 1 + a 2 b 2 + .+ a n b n ). đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = = a n hoặc b 1 = b 2 = . = b n . d. Lợc đồ Hoocle. Cho đa thức f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x + a 0 (với x = ), ta có: x32x =+ 2 3 x k A 2 12 + k A 2 A n n21 n21 .a.aa n .aaa ++ n n 2 2 2 b a b a b a == 1 a n a n-1 . a 1 a 0 + + x a n a n + a n-1 . + a 1 f() Phơng pháp biến đổi tơng đơng Khi dạy học sinh giải phơng trình vô tỉ bằng phơng pháp biến đổi tơng đơng tôi đã tôi đã hớng dẫn học sinh cách làm và những lu ý khi làm bài, từ đó học sinh đã học bài rất tốt I. Phơng pháp nâng lũy thừa: 1. Các dạng phơng trình vô tỉ cơ bản: a. = A 0 hay B 0 A = B b. = B B 0 A = B 2 c. = B A = B 3 d + = A 0 A + B + = C B 0 Lu ý: Với phơng pháp lũy thừa hai vế. Muốn nâng hai vế phơng trình lên lũy thừa bậc chẵn, ta phải biết chắc chắn hai vế cùng dấu, tốt nhất là cùng dơng. Để nắm đợc phơng pháp này, chúng ta cùng tìm hiểu một số ví dụ cụ thể: 2. Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình (1) Giải: Điều kiện để căn thức có nghĩa x 5 0 x 5 (2) Với điều kiện x 7 0 x 7 (3) phơng trình (1) tơng đơng với: x 5 = (x 7) 2 x 2 15x + 54 = 0 (4) Giải phơng trình (4) ta đợc: x 1 = 6 không thỏa mãn điều kiện (3) x 2 = 9 thỏa mãn các điều kiện (2) và (3) Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 9. Nhận xét: Trong cách giải trên, ta đặt điều kiện (2) vì lý do s phạm. Thực ra không cần điều kiện này. Thật vậy, khi bình phơng hai vế của (1), biểu thức x 5 bằng một bình phơng, đơng nhiên không âm, do đó các giá trị của x thỏa mãn (3) cũng sẽ thỏa mãn điều kiện (2). Ví dụ 2: Giải phơng trình A B A 3 A A CB AB2 75 = xx Giải: Chuyển vế phơng trình đã cho, ta có: (1) phơng trình (1) có nghĩa khi và chỉ khi: 2x + 3 0 (2) x + 2 0 x - 2 với điều kiện (2) thì phơng trình (1) tơng đơng với: 2x + 3 = (x + 2) 2 x 2 + 2x + 1 = 0 (3) Giải phơng trình (3) ta đợc nghiệm duy nhất là: x = - 1. Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = - 1. Lu ý: Nhiều em khi gặp bài này thờng giải theo cách quen thuộc: Điều kiện x + 2 0 x - 2. 2x + 3 = (x + 2) 2 (x + 1) 2 = 0 và cũng tìm đợc nghiệm x = - 1 thoả mãn (x - 2). Nhng với điều kiện (- 2 ) thì lại không tồn tại vì 2x + 3 < 0. Ví dụ 3: Giải phơng trình (1) Giải: Điều kiện để căn thức có nghĩa: 1 x 0 x 1 1 2x 0 (2) x + 4 0 x - 4 Với điều kiện (2) phơng trình (1) tơng đơng với: 1 x + 1 2x + (3) với điều kiện 2x + 1 0 (4) thì phơng trình (3) tơng đơng với: 2x 2 3x + 1 = 4x 2 + 4x + 1 2x 2 + 7x = 0 (5) Giải phơng trình (5) ta đợc x = 0 (thỏa mãn điều kiện (2) và (4)) không thỏa mãn điều kiện (4) Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 2. 0322 =++ xx 232 +=+ xx 2 3 x 232 +=+ xx 2 3 x 32 + x 4211 +=+ xxx 2 1 x 2 1 4 x 4)21).(1(2 += xxx 22 )4()211( +=+ xxx 24)21).(1(2 += xxx 12)21).(1( += xxx 2 1 x ( ) 2 2 )12()21).(1( += xxx 2 7 = x Lu ý: Với điều kiện (2) ta chỉ cần 2 1 x thì phơng trình (1) đã tơng đơng với phơng trình (3) vì khi bình phơng thì (x + 4) bằng một bình phơng, đơng nhiên là dơng. Với , điều này chỉ đúng khi a 0 ; b 0 và trong trờng hợp a 0; b 0 thì . Phơng pháp đa về hằng đẳng thức quen thuộc. Với phơng pháp này chúng ta thờng phân tích, thêm bớt để đa về dạng: A = B A = B A = - B (với B 0) Ví dụ 1: Giải phơng trình sau: Điều kiện để căn thức có nghĩa x 2 0 x 2 x 2 0 x 3 x 2 1 Vậy khi x 3 khi 2 x < 3 Tóm lại phơng trình sau tơng đơng với: khi x 3 khi 2 x < 3 a) - 1 = 0 (vô lí) b) khi 2 x < 3 thỏa mãn 2 x < 3. Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là: Lu ý: Đối với phơng pháp này ta phải thật khéo léo khi xử lý quá trình: Nhiều bạn rất hay làm thiếu trờng hợp (- A). Ví dụ 2: Giải phơng trình sau: NnvớiBAB)(A 2n 2n = NnvớiBAB)(A 12n 12n += + + 13x22x = 13x23x =+ 1 baab = . baab . = 12x22x12x2 2 - x =+++ 1 12x21x1x2x2 =+ ( ) ( ) 11 22 =+ 2x12x 11 =+ 2x12x )(11 +=+ 2x12x 12x12x12x +=++ 1 01 2x = 12x 2 1 = 2x 1 + 2x 111 +=+ 2x2x 111 +=+ 2x2x 4 1 2 = x 4 9 = x 4 9 = x < == 0 0 AkhiA AkhiA AA 2 1 + 2x 1 2x 111 +=+ 2x2x (1) (2) Điều kiện để căn thức tồn tại x 3 0 x 3 (3) với điều kiện (3) phơng trình (2) tơng đơng với: thỏa mãn điều kiện (3) Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm là x 1 = 3; x 2 = 7. Lu ý: Ta có thể dùng A = B A = - B (với B 0) thì việc giải sẽ nhanh hơn. Ví dụ 4: Giải phơng trình sau: (1) Lời giải: Điều kiện để căn thức có nghĩa: x 1 0 x 1 x 0 x 0 x 1 (*) x 2 x 0 x 0 hoặc x 1 x = 2 thoả mãn (*) hoặc với điều kiện x 1 thì hai vế của (3) đều dơng, bình phơng hai vế ta đợc: - (x 1) 2 1 < 0 với x 1 suy ra phơng trình (3) vô nghiệm. Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 2. Phơng pháp dùng miền xác định. ( ) 13x =+ 2 1 13x =+ 1 13x = 1 13x = 1 23x = 03x = 4 = 3x 0 = 3x 7 = x 3 = x = 2 A A BA = 0xxx1).(x1x2x 2 =+ ( ) 0xxx1).(x1x2x1 =++ 1.11 ( ) ( ) 0x1)x.(x.1x = 11.1 2 ( ) [ ] 0.1)x.(xx1x = 111 ( ) [ ] 0.1)x.(xx1x = 111 ( ) ( ) = 2011x 111 == x1x ( ) 311 += xx1x 11)x.(x1)x.(x21x ++= 11)(x1)x.(x2 2 = Khi sử dụng phơng pháp này ta thờng chia nhỏ TXĐ của phơng trình và kết hợp với các điều kiện ràng buộc ta sẽ có nghiệm của phơng trình. Ví dụ 1: Giải phơng trình (1) Lời giải: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: x(x 1) 0 x 0 hoặc x 1 x 1 x(x + 2) 0 x - 2 hoặc x 0 x - 2 - Với x - 2 ta có phơng trình tơng đơng với: Vì x - 2 nên hai vế đều dơng, ta bình phơng hai vế: 4x 2 + 4x 8 = 1 4x + 4x 2 8x = 9 - Với x 1, ta có: (1) Bình phơng hai vế ta đợc : 8x = 9 Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là : Chú ý : Khi sử dụng phơng pháp này, chúng ta phải xác định TXĐ của phơng trình một cách chính xác và kết hợp với các điều kiện để tìm ra nghiệm. Ví dụ 2 : Giải phơng trình (1) Lời giải: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: x + 1 0 x - 1 4x + 13 0 x - 1 3x + 12 0 x - 4 Bình phơng hai vế phơng trình (1) ta đợc: (1) (3) 2 x22)x(x1)x(x =++ x.x22xx1x.x =+ x22xx1 =+ 4x2) 1).(x(x2 2 - x - x1 =++ 2x2) xx2 2 =+ 1 2 8 9 vi(loại) 8 9 x = x.x22xx1x.x =++ 4x2) xx2 2 x 1 - x 2 =++++ 2x2) xx 2 +=+ 1 mãn)(thỏa 8 9 x = 8 9 x = 12 3x13)4x1x +=+++ 4 13 x 12 3x1)13).(x(4x134x1x +=++++++ 2 1 x1)13).(x(4x =++ Để phơng trình (3) tồn tại - x 1 0 x - 1 (4) Kết hợp (2) với (4) ta đợc x = - 1 và thỏa mãn (1) Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là: x = - 1. Ví dụ 3: Giải phơng trình (1) Lời giải: Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình sau: (2) * Với 0 x 1 0 x 1 1 x 2 Thì (2) * Với Thì (2) luôn đúng với x [1;2] Vậy nghiệm của phơng trình đã cho là: 1 x 2. Phơng pháp dùng lợng liên hợp: - Đối với phơng pháp này, chúng ta rất dễ áp dụng nhng nó thờng phải áp dụng kết hợp với các phơng pháp khác thì mới có hiệu quả. - Khi sử dụng chúng ta thờng áp dụng công thức sau: Ví dụ 1: Giải phơng trình (1) Lời giải: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: x + 1 0 x - 1 4x + 13 0 x - 1 3x + 12 0 x - 4 Ta nhận thấy rằng: Vậy từ (1) ta có : (2) Kết hợp (1) và (2) ta đợc : 2 =++ 1x2.x1x2.x ( ) ( ) 211 22 =++ 1x1x 211 =++ 1x1x 1 1x mãn)Thoả2x1x1x1x (1211 ===++ 2x1 11x 01x 1x < < < 1 221x1x ==++ 211 ( ) ( ) . A B + = A B A B ( ) ( ) BABABA.BA 3 2 3 3 2 33 =+ 12 3x13)4x1x +=+++ 4 13 x ( )( ) 12311341134.1134 +=+=+++++ xxxxxxx 1231 +=++ xx13 4x 11341 ++=+++ xxx13 4x x + 1 = 0 x = - 1 (thỏa mãn điều kiện *) Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là : x = - 1. Lu ý : Khi khai căn của một đa thức, chúng ta phải chú ý điều kiện để đa thức d- ơng và phải chọn lợng liên hợp để rút ngắn lời giải. Ví dụ 2 : Giải phơng trình : (1) Lời giải: Điều kiện để phơng trình có nghĩa x 2 + x 0 x - 1 (*) x 0 x > 0 x 2 + x 0 x 0 Phơng trình (1) tơng đơng với: x - 1 x - 1 25(x 2 + x) = (3x + 3) 2 16x 2 + 7x 9 = 0 Ta thấy 16 7 9 = 0, vậy phơng trình có nghiệm là: x 1 = - 1 (thỏa mãn) (thỏa mãn) Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm : x 1 = - 1; Ví dụ 3: Giải phơng trình (1) Lời giải: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: 0 x 0 2 + x 0 x - 2 (*) 0 =+ 1x x 3 xxx 1 xxx 4 22 = + ++ 0 ++ xx 2 x 0 + xx 2 x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 3 xxx.xxx xxx xxx.xxx xxx4 22 2 22 2 = +++ ++ +++ + ( ) ( ) x 3 x xxx x- xxx4 22 = ++ + 33.5 =+ xxx 2 33.5 +=+ xxx 2 16 9 = 2 x 16 9 x = 2 22 = + ++ + x22 x - 2 x22 x 2 x22 ++ [...]... 3)2 + 5 5 xảy ra dấu bằng khi 3 Đ/s : x = 2 C: Kết luận x= 3 2 Việc dạy các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ là một trong những vấn đề tơng đối hay và khó Mỗi một phơng pháp giải do đợc phân tích chi ti t đã giúp học có thể giải đợc phơng trình vô tỉ một cách chính xác Khi dạy các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ cho học sinh đã giúp cho học sinh có cách nhìn một cách khái quát hơn về một cách giải... tỉ Ngay từ phơng pháp lũy thừa là phơng pháp rất hay đợc sử dụng trong quá trình giải, tôi đã đi vào phân tích đợc những vớng mắc cơ bản mà đa số học sinh hay nhầm lẫn trong khi sử dụng phơng pháp này Ti p theo là phơng pháp đặt ẩn phụ cũng là một công cụ mạnh trong quá trình khử căn thức Đa số học sinh đã biết cách đặt và chuyển phơng trình đã cho về phơng trình hữu tỉ mới, song các em vẫn cha biết . sinh Việt Nam đang đợc sống trong thời đại của nền văn minh tri thức, thông tin bùng nổ từng phút từng giờ, cái mới này cha kịp đăng quang đã phải nh- ờng. sinh tìm đợc cách giải quyết cho nhanh nhất, hiệu quả nhất. II. Cơ sở thực ti n: Hiện nay, trong chơng trình toán 9 việc giải một phơng trình vô tỉ là