Giáo án dạy thêm phương trình lương giác-2008

6 Đặt ax+b=t chuyển phơng trình ban đầu về pt của các hàm lợng giác chứa các cung t,2t,3t,...,kt nhờ công thức quy gọn góc.. Chú ý:Thờng đặt ẩn phụ là biểu thức mà hệ số của x là nhỏ nhấ

2 k x

1 m m x

2 k x

1 m m x

(1):asin2(u(x))+bsin(u(x))+c=0

§Æt t=sin(u(x)) §k :  1 t 1(2):acos2(u(x))+bcos(u(x))+c=0

§Æt t=cos(u(x)) §k :  1 t 1(3):atan2(u(x))+btan(u(x))+c=0

§Æt t=tan(u(x)) (4):acot2(u(x))+bcot(u(x))+c=0

§Æt t=cot(u(x)) B.Chó ý:

2 2

cos 2 1 2sin 2cos 1

7) cos 2xsin2x2cosx 1 0

8) 3cos 2x2(1 2 sin )sin x x 3 2 0

9) cos (32 ) cos (3 ) 3cos(2 3 ) 2 0

x  x    x   10) 32 3cot 3

sin x  x

Bµi 2:Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

1) 4sin 22 6sin2 9 3cos 2 0

1 x cos 2 2 3 x sin 2 x

2

7 x cos 3 2

5 x

§Æt t=cos(u(x)) §k :  1 t 1(3): atan3(u(x))+btan2(u(x))+ctan(u(x))+d=0 (a 0)

§Æt t=tan(u(x)) (4): acot3(u(x))+bcot2(u(x))+ccot(u(x))+d=0 (a 0)

1) cos3 4cos 3cos 2) sin 3 3sin 4sin

Z Z

Bµi3

11) 2 ; arccos( ) 2 ,

x k  x  k  kZ

6) 2 tan 5 tan 23tan 10 0 7) 2 cot cot 13cot 6 0

6) 4sin x1 3sin x 3 cos3x

7) 2 2(sinxcos ) cosx x 3 cos 2x

Bài Bài 2:Giải các phơng trình sau:

1) sin 5x 3 cos5x2sin17x

2) 2sin (cos 1) 3 cos 23) 2( 3 sin cos ) 3sin 2 7 cos 24) 2(sin 3 cos ) 3 cos 2 sin 2

1 sin cos 2

x x

2) Cho ym=

2 sin cos

1 cos

m x m

3) Cho ym=

2 sin cos

1 cos

m x m

Tìm m để (max ym)2 +(min ym) 2 =2

4) 4) u =

1sin

1sincos

)1(

x x

m

, v =

1sin

1sincos)1(

x x m

Tìm m để maxu + min v =-6

1) 2cos (sin 1) 3 cos 2

2) 2sin 3 sin 2 3 cos 2

3) 3 sin 4 cos 4 sin 3 cos

4) 3 sin( ) sin( ) 2sin 2 0

Trêng hîp 1:cosx=0 ta cã hÖ pt

2

cos 0sin

Chia hai vÕ cu¶ PT cho cos3x kh¸c 0 3) XÐt hai trêng hîp

Trêng hîp 1: cosx=0 Trêng hîp 2: cosx0

Chia hai vÕ cu¶ PT cho cos3x kh¸c 0 4) XÐt hai trêng hîp

Trêng hîp 1: cosx=0 Trêng hîp 2: cosx0

Chia hai vÕ cu¶ PT cho cos4x kh¸c 0

3) 4sin 6cos

cos4)cos 4sin 3cos sin sin 0

5)cos3 12sin cos 3cos 4sin 0

6)sin( ) cos( ) 4sin

310) 2cos( ) sin 3 cos3

611)sin cos sin cos12)cos 2 6sin cos 4sin 1

1) (sin cos ) sin cos 0

2) (sin cos ) sin cos 0

3) sin cos sin cos 0

4) sin cos sin cos 0

Chó ý: 1)sinxcosxsinxsin(2 x) 2sin( )cos( 4 x 4) 2 cos(x 4)

2)sin cos sin sin( ) 2cos( )sin( ) 2 sin( )

Gi¶i pt(1b) theo Èn t vµ chän nghiÖm t=t0 tho¶ m·n ®k  2 t 2

nÕu pt(1b) kh«ng cã nbghiÖm tm ®k th× pt(1) v« nghiÖm

B.luyÖn tËp:Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

1)sin cos 2sin cos 1 0

2)(1 2)(sin cos ) 2sin cos 1 2

3) 2cos( ) sin cos 1

4

4)sin 2 2 sin( ) 1

45)1 tan 2 2 sin

28)sin cos 1 3sin cos9) 2(sin cos ) 2 cos 2

510)sin( )sin(2005 ) 2sin 2sin( ) 2

Z Z

5) 3 sin cos 2sin 2 0

sin cos (sin cos )(sin cos )

sin cos (sin cos )(sin sin cos cos ) (sin cos )(1 sin cos )

6.sin cos3 cos sin 3 sin 4

2132) cos sin (1 sin 2 )

873)sin cos

16174)sin cos

32175)sin cos cos 2

166)4(sin cos ) 4(sin cos ) sin 4 1

238)sin 2 cos 6 sin 6 cos 2

819)sin sin ( ) sin ( )

Z

Z

Z

2) sin cos cos 4

3) 16(sin cos 1) 3sin 6 0

14) sin cos

815) sin cos ( )

310) cos cos 2 2sin 0

x x

6 Đặt ax+b=t chuyển phơng trình ban đầu về pt của các hàm lợng giác

chứa các cung t,2t,3t, ,kt nhờ công thức quy gọn góc.

Chú ý:Thờng đặt ẩn phụ là biểu thức mà hệ số của x là nhỏ nhất

B.Luyện tập: Giải các phơng trình sau:

2 2

2

2 2

4) 2 tan 5(tan cot ) 4 0

sin

5) 3(tan cot ) 2( 3 1)(tan cot ) 4 2 3 0

6)sin(2 ) 5sin( ) cos3

10 28)sin(3 ) sin 2 sin( )

Z Z

2

56) cos3 2sin

66

5 §Æt cosx= t hoÆc sinx= t §k:  1 t 1

6 §Æt asinx+bcosx= t §k: a2b2  t a2b2

7 §Æt f(x)= asin2x+bsinx + c = t §k:Minf(x) t Maxf(x)

8 §Æt f(x)= acos2x+bcosx+ c = t §k:Minf(x) t Maxf(x)

48)sin cos 2 cos 1

x x

Bµi 2:T×m c¸c nghiÖm nguyªn cña pt: cos 3 9 2 160 800 1

Z

b

3 13)

13) cos cos(2 )

24)sin cos

6)sin (cos 2 3 sin 2 ) 1

27) cos cos cos 1

2

38)sin cos 2 sin 2

Z Z Z

212)sin sin cos cos

213)sin cos sin sin

Vd9:Gpt: sin3x+cos3x=cos2x

Bài tập về nhà

Giải các ph ơng trình sau:

1)sin sin 2 sin 3 0

2)sin 3 cos 2 sin 0

3)sin cos 2 cos5 sin 2 0

4) cos cos 2 cos3 1 0

5)sin sin 2 sin 2 sin 5 cos3 cos 4 1 0

x k  kZ HD:cos2x 1 sinx 1 sin x

9)HD:sinxsin 3x2sin 2 cos ; cos 2x x x2cos2x1

Chú ý:Ta thờng gom theo nhóm mà hệ số của chúng bằng nhau

hoặc đối nhau Vd1:Gpt: cos3x+cos2x+2sinx-2=0

Hd: cos2x=(1-sinx)(1+sinx) Vd2:Gpt: cosx+cos3x+2cos5x=0

Hd: tách 2cos5x=cos5x+cos5x Vd3:Gpt: 3sin5x-5sin3x=0

Hd: 5sin3x=3sin3x+2(3sinx-4sin3x) Vd4:Gpt: sin5x-5sinx=0

2.Sử dụng các phép biến đổi tổng hợp:

Chú ý: 1 sin 2 xsinxcosx2; 1 sin 2 xsinx cosx2

Vd5:Gpt: (2cosx-1)(2sinx+cosx)=sin2x-sinx (KD-2004) Vd6:Gpt: 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0

Z

Z Z

Z Z

1) cos cos 1 2 sin cos 1 sin

2)sin 3 cos 2 1 2sin cos 2

3)sin 3 sin sin 2 cos cos

4)3cos 2cos 2 cos3 2(sin sin 2 1)

5) 2sin 1 2cos 2 2sin 1 3 4cos

6)sin 2 cos 2 3sin cos 2 0

10)2sin 2 cos 2 7sin 2cos 411) cos10 2cos 4 6cos3 cos cos 8cos cos 312) 2sin 1 3cos 4 2sin 4

Chú ý:Khi giải phơng trình phân thức ta thờng biến đổi theo các hớng sau:

1.pt có tanx và cotx ta thờng thay

tan ; cot ; tan cot ; cot tan 2cot 2

1)sin 1 sin 1 sin2) cos 1 cos 1 cos3)1 sin 2 sin cos sin cos4)1 sin 2 sin cos sin cos5) cos 2 cos sin cos sin

4.Đa về pt của cùng một hàm lg hoặc các dạng pt cơ bản.

5.Đặt ẩn phụ đa về pt đại số(chú ý đk của ẩn phụ)

2

1 cos 22)sin

213)sin cos sin 2

2

x x

x x

, ,

Pt đã cho có dạng: tan3x=tanx  

222,

22

322

2cos3 cos 3 6 1 0

2 ,

cos33

2 ,2

Vậy pt đã cho có1 họ nghiệm:x l l, Z

Vd2:Gpt: tanxcotx2cot 23 x

2, sin 2 sin

2

l k

Vd3:Gpt: cotx tanx2 tan 2x

Chú ý:cotx tanx2cot 2 ;cot 2x x tan 2x2cot 4x

sin 0sin

cos sin 0sin 0

sin 22) 2 sin cos tan cot

3)1 sin cos tan 0

4) 1 tan 1 sin 2 1 tan

2 2

2

4 4

cos cos 17) cos 2 tan

2

1 cos 1 cossin

5.tan

cos 1 sin 1 sin

6.cos cos 2 cos3 cos 2 (2cos 1)

cos sin cos sin

1 sin tan 1 sin

cos 1 sin 1 sin 1 sin

k x

A4 là điểm ngọn của cung 7 2 ,

cos sin ) sin (cos

x  k  kZ

3.Biến đổi đk theo một hàm số l ợng giác và biến đổi nghiệm theo đk

Vd4:Gpt: tan 2xcotx8cos2x(biến đổi đk theo một hàm lg và pp thế)

sin 0

1sin

sin 2 2cos 2 1 0cos sin 3 0 sin 4 sin 2 0

) sin 1 ( 3

sin 47

2cos sin 1cos 2cos5

cos3 cos

1 cos 4 sin 411)

sin 2 1 cos 412) tan tan 2 sin 3 cos

Bµi 13:Ph¬ng tr×nh lîng gi¸c

Kh«ng mÉu mùc A.Chó ý:

n

A =0

A =0.1

n n

sin sin 1,cos cos 1,

x x x

x x x

cos 1cos 1cos cos 1

cos 1cos 1

x y

x y

x y

x y

x y

x y

8.cos4xsin6xcos 2x

9 sinx 3 cosxsin 3x2

10.sin3xcos3x 2 cos4x

26

Z

Z

2

2 2

Bµi 14: GTLN vµ GTNN cu¶ HµM Sè a.

a b

ac bc c

3) sin sin 2

4) sin cos

2 cos5)

2cos sin 410) cos 2 cos 4

7)cos 2

2 2cos8)

sin cos 2

x y

x

x y

1)Miny 2 cos 2x0 Maxy 3 sin 2x0

2)Miny 1 cos 2x0Maxy 3 sin 2x0

NhËn d¹ng tam gi¸c

A Tam gi¸c vu«ng

1 cos2A + cos2B + cos2C=-1

a gA

A   

5.

a

c b gA A





 cot sin

B A





 cos sin

cos sin

C B

C B

cos cos sin cos

1 cos

1

sin sin

a C

c B

b

sin sin cos

13 sin(A+B )cos(A-B )=2sinAsinB

14 sinA + sinB = cosA + cosB

15 sin2A + sin2B =4sinAsinB

16.sinA + sin B + sinC =1 - cosA + cosB + cosC

4

1

b c a c b a

B A

sin sin

3.  g A g B

B A

B

2 2

2 2

cotcot

2

1sin

sin

coscos

cos

sin cos

g B A

B

B A

sin 2

cos 2 sin A 3 B B 3 A



6 cotg

C

B A C

sin

sin sin 2

2 

4

2 sin

cos 1

c a

c a B

sin sin

sin sin

C B

A

C B

) 2

tg B tg A

13

2 cot

2 g C tgB

tgA  

C Tam giác đều

1.

2 sin

1 2 sin

1 2 sin

1 cos

1 cos

1 cos

1

C B

A C

1 sin

A

3.

2

1 cos cos

C c B b A a

2

cot 2

cot 2 cot 2  2  2C 

g B

g A g

C B

3 3 3 2

4 1 cos

cos

6 cosA + cosB + cosC =2 (cosAcosB + cosBcosC+ cosCcosA ) 7.

c b

c m

b m

tgB

A C

B

2 sin 2 sin

cos

0 3

sin 3

sin 3

sin

2 C B

A

C B

2 cot

cot cotgA gB gC tg Atg Btg C

16 sin sin  sin  3

c b

C m

B m

1 2

cos 2 cos

a

c b C

A

B A ab A

b B a

sin sin 4 2 sin 2

sin

sin cos 4

2 sin 2

sin 2 2

2 sin 2 2

sin 2 sin 2 sin sin