Phần 1:Biến đổi lợng giáC
Chuyên đề 1:Hệ thức cơ bản của các hàm số lợng giác
I/Chứng minh đẳng thức l ợng giác
Bài 1:CMR
2
2
tan 2 1 sin
1
sin
−
+
2>1−cossina a =1+cossina a
3>
a a
a a
a a
a
2 2
4 2
2 2
2
cot tan
tan 1 cot
cot 1
.
tan
1
tan
+
+
=
+
a
cos
1 tan
sin 1
cos
= +
a a
a a
a
sin
2 sin
cos 1 cos 1
sin
=
+ +
cot
1 cot
tan
1
a a
a
7>
a
a a
a a
a
sin
cot 4 cos 1
cos 1 cos
1
cos
+
−
−
−
a a a
a
tan 2 cos sin cot
1 ) cos (sin
=
−
− +
9>tan 2a− sin 2a= tan 2a sin 2a 10>(sina+ cosa) 2 − (sina− cosa) 2 = 4 sina cosa
a
a a
a
cos sin tan
1
cos cot
1
sin
1
2 2
= +
− +
1 tan
1 tan cot
1
cot 1
−
+
=
−
+
a
a a
a
13>sinsinx x coscosx x 11=1+cossinx x
+
−
− +
14>tansin3sinx cosx(11 cosx)
x x
+
=
−
x
x x
x x
2
3 2
3
cot tan
cos
cot cos
sin
1 sin
tan
+
= +
−
BàI 2:a>
=
=
=
y x a
y x a
x a
cho
cos cos
sin cos sin
3 2
1
b>Cho
:
cos cos cos
sin cos cos
sin cos sin
4 3 2 1
CMR
z y x a
z y x a
y x a
x a
=
=
=
=
=
CMR:a21+ a22+ a23=1 CMR: 2 1
4 3
2 2
2 1
2 + a + a + a =
a
II>CM các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số
Bài 1:CM các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số
1>P=2(sin 6 x+cos 6 x)-3(sin 4 x+cos 4 x)+1 2>P=sin 2 x+sin 2 ( )
3 −x
π +sin 2 ( )
3 +x
π
3>P=3(sin 8 x-cos 8 x)+4(cos 6 x-2sin 6 x)+6sin 4 x
4>P=
1 cos 3 cos sin
1 cos 3 sin
4 6
6
4 4
− +
+
− +
x x
x
x
x 5>P=co s 4 x-sin 4 x+2sin 2 x 6>P=co s 4 x+sin 2 x.cos 2 x+sin 2 x 7>P=co s 2 x.cot 2 x+5co s 2 x-cot 2 x+4sin 2 x
8>P= sin 4 x+ 4 cos 2x + cos 4x+ 4 sin 2x
Bài 2:ChoS=sin 6 x+cos 6 x -m(sin 4 x+cos 4 x)
a)Tìm m để S không phụ thuộc x ;b)Tìm S với m vừa tim đợc
Bài 3:Cho S=m(sin 8 x-cos 8 x)+4(cos 6 x-sin 6 x)+nsin 4 x
a)Tìm m để S không phụ thuộc x ;b)Tìm S với m vừa tim đợc
Trang 2Phần II:Hệ THứC L ợng trong tam giác Chuyên đề 1:đẳng thức, bất đẳng thức trong tam giác
I>Đẳng thức
Bài 1 : CMR trong tam giác ABC ta có:
1>bcosB+ccosC=acos(B-C) 2>S=2R2sinA.sinB.sinC
3>2S=R(acosA+bcosB+ccosC) 4>r=4R sin 2
2
sin 2
5>sinA+sinB+sinC=
2
cos 2
cos 2 cos
4 A B C 6>sin2A+sin2B+sin2C=4sinA sinBsinC
2
sin 2 sin
4 A B C 8>cos2A+cos2B+cos2C=1-2cosAcossBcossC
9>tan A+tanB+tanC=tan A.tanB.tanC(tam giác ABC không vuông)
2 tan 2
tan 2
tan 2 tan 2 tan
.
2
tan A B + B C + C A = 11>sin2A+sin2B+sin2C=2(1+cosAcosBcosC) 12>cotAcotB+cotB.cotC+cotC.cotA=1 13>cotB+
A C
B C
A
B
C
cos sin
cos cot
cos
.
sin
2
cos 2
cos 2
cos 2
cos 2
tan tan
tan tan
tan
tan tan
.
tan
tan
C B
A C
B A
B A
C C
A
B C
B
A
+ +
− +
+
= +
+
2
3 cos 2
3 cos 2
cos 2
cos 2
Bài 2:CMR mọi tam giác ABC ta có:
1>cotA=
S
a c b
4
2 2
2 + − ;tơng tự với cotB,cotC(đlý Cosi suy rộng)
2>bccosA+accosB+ab.cosC=(a2+b 2 +c 2)/2 3>(b+c)cosA+(a+c)cosB+(a+b)cosC=a+b+c 4>bc(b2-c2)cosA+ac(c2-a2)cosB+ab(a2-b2)cosC=0
5>.abc(cosA+cosB+cosC)=a2(p-a)+b2(p-b)+c2(p-c)
6>2abc(cosA+cosB)=(a+b)(c+b-a)(c+a-b)
II/BấT ĐẳNG THứC;
BàI 1 : CM các BĐt sau:
1>sinA/2+sinB/2+sinC/2≤ 3 / 2 2>sinA/2.sinB/2.sinC/2≤ 1 / 8
3>sinA+sinB+sinC≤ 3 3 / 2 4> cosA+cosB+cosC>1
5>tan A/2+tanB/2+tanC/2≥ 3 6>cosA.cosB.cosC ≤ 1 / 8
7>cosA/2 +cosB/2 +cosC/2 >2 8>sin2A+sin2B+sin2C≤ 9 / 4
9>cotA+cotB+cotC≥ 3
Bài2:CMR trong mọi tam giác ABC ta luôn có:
1>cosA+cosB+cosC≥ 12 sinA/ 2 sinB/ 2 sinC/ 2 (ĐH Mỏ -ĐC -96)
2>cos2A+cos2B+cos2C≥ 3 / 4 (ĐH Báo chí 98)
Trang 33>cosA.cosB.cosC≤sinA/2.sinB/2.sinC/2 (ĐH SP Vinh 2000)
4>tam giác ABC nhọn thì (2-cos2A)(2-cos2B)(2-cos2C)>4 (ĐH Luật)
CHUYÊN Đề II:NHậN DạNG TAM GIáC
I-TAM GIáC VUÔNG:
1>CMR tam giác ABC vuông tại A A B B C C
cos cos
sin sin
sin
+
+
=
2>CMR tam giác ABC vuông nếu:
a)sinA+sinB+sinC=1-cosA+cosB+cosC b)3(cosB+2sinC)+4(sinB+2cosC)=15
c)
C B
a C
c
B
b
sin sin cos
cos + = d)cosB+cosC=(b+c)/a
e)cos2A+cos2B+cos2C=-1 (ĐH NNgữ-2000) g) B =a b+c
2
h)
2
1 2 sin 2 sin 2
sin 2 cos 2 cos
.
2
i)sin(A+B).cos(A-B)=2sinA.sinB k)cotB+cotC=cossinB.cosA C
l)cos2A+cos2B+cos2C=1
II>TAM GIáC CÂN:
Bài1:CMR tam giác ABC cân nếu:
1>a2sin2B+b2sin2A=c2cot
2
C
2>
bc
a A
2 2 sin =
2
1 sin
sin
cos
2 2
2 2
B A
B A
B
+
+ 4>tan A+tanB=2.cot
2
C
2 cot (tan
) tan 2
C B
b A
4
2 sin
cos 1
c a
c a B
B
−
+
= +
7> a.cosB-b.cosA=a.sinA-b.sinB 8>
2 cot 2
cot sin
sin sin
sin sin
C B
A
C B
A
=
− +
+ +
9> a.tan A+b.tanB=(a+b).tan
2
B
A+ 10>
2
cos 2
sin 2
cos 2 sin A 3 B = B 3 A
11>cossinA A sincosB B = tanA+2tanB
+
+
12> B B = a a−+c c
−
+
2
2 cos 1
cos 1
Bài2:CMR tam giác ABC vuông hoặc cân nếu:
1>(b2+c2).sin(C-B)=(c2-b2).sin(C+B) 2>
2
tanB C
c b
c
+
−
3> tan A.tanB=cot2 2
C
4> a cos B – b cos A = a sin A – b sin B
III> Tam giác đều:
Bài 1: CMR tam giác ABC đều nếu:
1>
2
a
b c a
a ab cosC
− − =
+ −
=
2> a2 + b2 + c2 = 36r2
3> sin 2A sin B2 =
c
ab
4
sin
1 sin
1
C
Trang 45> sinA+ sinB + sinC=
2
cos A +
2
cosB +
2 cosc
6> tanA+ tanB + tanC=
2
cot A+
2
cot B +
2 cotC
7> cos A + cos B + cos C = sin
2
A
+sin
2
B
+sin
2
C
8> bc 3 = R[2(b+c)−a]
9> cos A + cos B + cos C = 2(cosA.CosB+ cosB cosC+ cosC cosA)
10>acosA+a b+cosb+B c+ccosC =
2 1
11> cot2
2
A
+ cot2
2
B
+ cot2
2
C
= 9 12> cot A + cot B + cos C = tan
2
A
+ tan
2
B
+ tan
2
C
Bài 2: CM tam giác ABC đều khi và chỉ khi:
1>
B
A cos
cot
1
+ + cotB cos1+ C + cosC cos1+ A= sin A + sin B + sin C
2>
A
sin
1
+
B
sin
1
+
C
sin
1
- (cotA+ cotB+ cotC)= 3
3> sin2A + sin2B + sin2C = cos2
2
A
+ cos2
2
B
+ cos2
2
C
IV> Tam giác nhọn:
Bài 1: cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác nhọn nội tiếp trong đờng tròn có bk = 1 CMĐK cần và đủ
để tam giác ấy có 3 góc nhọn là a2 + b2 +c2 > 8
Bài 2: Cho tam giác ABC có U= sin2A + sin2B + sin2C – 2
CMR: Nếu U> 0 thì tam giác ABC nhọn, U< 0 thì tam giác ABC tù, U= 0 thì vuông
Bài 3: CMR nếu tam giác ABC có 3 góc nhọn A ≥ B ≥ C thì:
a> tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C b> ( tan A tan B – 1) (tan A tan C – 1) ≥ 4
Bài 4: Tam giác ABC có 3 góc nhọn, CMR: asin A, bsin B, csin C là 3 cạnh của 1 tam giác.
V> Tam giác tù:
1.> Tam giác ABC có : a3
4 + b3 4
= C3 4 thì tam gác ABC có 1 góc tù
2> Tam giác ABC là tam giác tù khi và chỉ khi cos2 A + cos2 B + cos2 C >1
3>Tam giác ABC có: sin A + sin B + sin C – 2 sin 2A sin B2 = 2 sin C2 Thì tam giác có C= 1200 4> CMR: Tam giác không là tam giác tù thì (1+sin2 A) (1+sin2 B) (1+sin2 C) > 4
5> Tam giác ABC không có góc tù thì: cossinA A++sincosB B++cossinC C ≥ 1 +
2
2 6> Tam giác ABC không tù thì cos A + cos B + cos C ≤ sin A + sin B + sin C
………
CHUYÊN Đề Về :HàM Số LƯợng giác
DạNG 1: Tìm tập xác định của hàm số l ợng giác
BàI 1:Tìm tập xđ của các hsố sau:
Trang 5x
x
cos
1
sin
2
+
+ 2>y=tan(3x-π/3) 3>y=tan 6x+
x
3 cot
1
4>y=
x
x
2 sin
1 cos
5>y=
x
x
cos
3 tan
2
x
x
2 sin
cos
2 + 7>y=
) cos(
3 sin
x
x
+
π 8>y= sinx+ cosx
9>y=
x
x x
x
sin 1
cos 1 cos
1
sin
1
−
+ + +
x
x cot
tan
1
x
3 sin
5 6
cos
3 tan
Bài 2: Tìm giá trị của tham số để hsố xđ với mọi x thuộc R:
1>y= 2m− 3 cosx 2>y=
1 sin sin
2
1
2 x−m x+ 3>y= 2m+cos2x 4>y=
1 cos
3 sin 2
+
−
x m
x
Bài 1:Xét tính chẵn ,lẻ của hsố sau:
1>y=3sin2x-cos3x 2>y=cos 3 x+
x
x
sin
3 tan
3>y= sin3x2+coscos(x −2x) 4>y=2sin 2 x+cotx-2 5>y=
x x
x x
cot tan
cos /
sin/
−
+
6.y= sinsinx x++coscosx x −+sinsinx x−−coscosx x 7>y= 1 − cotx− 1 + cotx 8>y=cotx sinx
Bài 2:Cho hsố y=f(x)= sinx− cosx + sinx+ cosx
a)Xét tính chẵn, lẻ của hsố
b)CMR với mọi số nguyên dơng n ta đều có:
2 ( ) ( ) ( )
π π
π π
x
x m
2 sin ) 1 ( 3 tan
Bài 1:Tìm chu kì của các hs sau:
1>y=cos2x 2>y=sin 4x 3>y=sin2x+cos3x 4>y=tan2x 5>y=sin2πx
.
Bài 3:Cho hsố y=f(x)=cos
2
x
π a)Tìm chu kì của hsố
2 cos ) 4 ( 2
π
Bài 1:Xét sự biến thiên của các hsố sau trên khỏang đã chỉ ra:
−
6
; 3
π
π b)y=cos2x tren
−
2
; 2
π
−
24
; 48
π π
d)y=cot 3x tren
3
5
; π
π
Bài 2:Cho hsố y=f(x)=sin2x+cos2x a)Xét sự biến thiên của hsố trên −
8
; 8
3 π π
b)Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hsố trên đoạn −
6
; 12
π π
Bài 3:a)Vẽ đồ thị hsố y=sin x ; b)Suy ra đồ thị các hsố y=sin(x+
6
π);y=sin x+1
Trang 6Bài 4:Từ đồ thị hsố y=cosx hãy suy ra đồ thị các hsố :y=cos(x+ )
4
π :y=cos x-1/2
Bài 5:a)Vẽ đồ thị hsố y= 2 sinx+ 1 trên đoạn [0;2 π ]
b)Suy ra số nghịêm của pt: 2 sinx+ 1 =x+ 1 trên đọan[0;2 π ]
Dạng 5: Tìm GTLN,GTNN của các hsố LG
Bài 1:Tìm GTLN,GTNN của các hsố:
1>y=
x
1 sin
1
1
+
+
π
π ≤ ≤
− x 2>y=
x
x
cos
sin 3
−
∈
2
; 2
π π
∈ 2
;
0 π
4>y=tanx +tan 2 x+tan 3 x+cotx+cot 2 x+cot 3 x voi x
∈ 2
;
0 π
Bài 2:Tìm GTLN,GTNN của các hsố:
1>y=sin2x ;2>y=3sin(x- ) 1
4 −
π
3>y=-2+ 1 − cosx 4>y=2cos x− 1 5>y=sinx(1+cosx)
1 ) 3 sin(
2
3
6 > y= x+ π − 7>y=3sin2x-4cos2x+2 8>y=sin2x+cosx-3 9>y=cos3x+sin3x
10>y= sinx+ cosx 11>y= 1 + 2 cosx+ 1 + 2 sinx 12>y= 3 + sinx − 1 13>y=cos2x+cosx Bài 3:Tìm GTLN,GTNN của các hsố:
1>y=3sin 2 x+4sinx.cosx-5cos 2 x+2 2>y= 1
1
4 cos 1
2
+
+
x x
x
(DH –Y-95)
4 2 sin(
2 x+π (HV quan he QTE-96) 4>y=
x
sin
sin 2 sin + − 6>y=(2sinx+cosx)(2cosx-sinx)
Bài 4:Tìm GTLN của các hsố :
1>y= sinx cosx + cosx sinx 2> y=x sin 2x
2
; 2
π π
Bài 5:Xác định tham số k sao cho GTLN của y klà nhỏ nhất
2 sin cos
1 cos
2
+ +
+ +
=
x x
k x k
Bài 6:Cho sinx+siny+sinz=0.Tìm GTLN và GTNN của P=sin 2 x+sin 4 x+sin 6 x
Bà 7: Cho tam giác ABC ,tìm GTLN của biểu thức P= 3 cosB+ 3 (cosA+ cosC)
Bài 8:Cho 0<x<
2
π
.Tìm GTNN của y=
x
1 sin
1 +
Bài 9:Tam giác ABC cố 3góc nhọn Tìm GTNN của P=tanA.tanB.tanC
Bài 10:Cho cos2x+cos2y=1 Tìm GTNN của A=tan 2 x+tan 2 y
Bài 11:Tìm GTLN của biểu thức P=cosA+cosB+cosC biết A,B,C là 3 góc của tam giác
Nga