một số bài tập lượng giác 11

một số bài tập lượng giác 11 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực...

• Điều kiện có nghiệm: 1− ≤ ≤m 1

Nghĩa là nếu m>1 hoặc m< −1 thì phương trình sin x=m vô nghiệm

Chẳng hạn các phương trình sau vô nghiệm :

sinx= −3; sin 5

3

x= ; sin x=π;

• Đặt m=sinα (với 1− ≤ ≤m 1)

Ta có phương trình sin sin sin 2

2

α

= +



= − +

 Trường hợp góc ;xα ñược ño bằng ñơn vị ñộ thì ta có công thức

0

360 sin sin

x

α α

α

 = +

Một số dạng bài tập thường gặp

Dạng 1: Giải các phương trình ñơn giản với sin x và góc α ñặc biệt

Ví dụ 1: Giải các phương trình

a) sin 1

2

2

x= −

Giải:

a)

2

sin sin sin

2 6

π

π



= +





2 6 5 2 6



= +



⇔



(k∈ℤ)

b)

2 3 3

2 3

π

π



= − +



   = − − +



2 3 4 2 3



= − +



⇔



Chú ý:

sinx= ⇔ =0 x kπ ; sin 1 2

2

x= ⇔ = +x π k π

2

x= − ⇔ = − +x π k π

Bài tập 1: Giải các phương trình sau

a) sin 2

2

2

x= d) sinx=0

Dạng 2: Giải các phương trình ñơn giản với sin f x( ) và góc α ñặc biệt

Cách giải: sin ( ) sin ( ) sin ( ) ( ) 2

2

α

= +



= − +



Ví dụ 2: Giải các phương trình

a) sin 2 1

2

x π

Giải:

a) sin 2 1 sin 2 sin

6

6

π



= − +





⇔

 = − − +



12 7 12



= − +



⇔



b) sin 3 sin sin

2

3 3

2



− = +



⇔



2 2 3 2





⇔

= +

 Đối với các phương trình dạng này, ñầu tiên các em tính f x( ) theo công thức sau ñó mới “rút”

x ra và kết luận

Bài tập 2: Giải các phương trình sau

a) sin 3x=1 b) sin 2 2

x π

3 sin 3

x π

Dạng 3: Giải các phương trình ñơn giản với sin f x( ) và góc α không ñặc biệt

Nếu 1− ≤ ≤m 1 thì dùng máy tính cầm tay bấm tổ hợp phím “Shift”, “sin”, “m” ñể tính góc α sao cho m=sinα

Cần lưu ý: Máy tính phải cài ñặt ở ‘radian” nhé !

Ví dụ 3: Với phương trình sin 3

5

x= −

Ta bấm Shift sin (−3: 5) = ta ñược kết quả như bên

Nghĩa là 3 ( )

sin 0, 6435 5

− ≈ − (Lấy gần ñúng)

sin sin sin 0, 6435

5

0, 6435 2

π



⇔

•••• Cách 2:

Biểu thị góc α theo π

Lấy kết quả trên màn hình chia cho π ta ñược kết quả như sau

Nghĩa là 0, 643501108 0204832764

π

Hay 0, 6435 0, 205 205 41

1000 200 π

Suy ra 0, 6435 41

200

π

Khi ñó từ phương trình sin 3

5

x= − ta có sin sin 41

200

41

2 200 41

2 200

π





⇔



•••• Cách 3:

Nếu 1− ≤ ≤m 1 ta có sin arcsin 2

arcsin 2

π





Ở ñây, ký hiệu α =arcsin m là một góc mà sinα =m

Theo công thức trên ta có

3 arcsin 2

5 3

sin

arcsin 2

5

x

π





= − ⇔



Công thức nghiệm này ñược lấy chính xác bởi dấu “=”, khác với hai cách trên chỉ lấy giá trị gần ñúng ! Các em lưu ý nhé !

• Tuy nhiên rất cần lưu ý với những phương trình vô nghiệm

Chẳng hạn với phương trình sinx= − 2, nhiều học sinh viết ngay

( ) ( )

arcsin 2 2 sin 2

arcsin 2 2

x

π



= − ⇔



Kết quả trên hoàn toàn sai vì m= − 2< −1 nên phương trình sinx= − 2 vô nghiệm

Nếu các em giải theo cách 1 thì khi bấm máy tính Shift sin (−√√√√ 2) thì máy cho kết quả là

Math ERROR Chứng tỏ không tồn tại góc α ñể sinα = − 2 nên phương trình ñang xét

vô nghiệm

Bài tập 3: Giải các phương trình sau

a) sin 5 1

4

b) sin 2 6 2

c) sin 3

5

x=π

d) sin(x+ =2) 0,12

Dạng 4: Giải các phương trình ñơn giản dạng sin f x( )=sing x( )

Công thức nghiệm sin ( ) sin ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2

π





Ở ñây f x( ) ( ),g x là các biểu thức chứa ẩn “x”

Ví dụ 4: Giải các phương trình

a) sin 2 sin

3

  b) sin x 4 sin 2x 4 0

c) sinx+cos 3x=0

Giải :

a)

3 sin 2 sin

3

3

π

π



= + +



   = − + +



2 3 2

3



= +



⇔



2 3



= +



⇔



b) Để ñưa ñược phương trình này về dạng ñã nêu ta cần lưu ý một số công thức khử dấu “−−−−”

trước chữ “sin” , ñó là công thức −sing x( )=sin( π +g x( ) ) {công thức hơn kém π} hoặc

( )

sinu sin u

− = − {công thức góc ñối nhau}

Ta có sin sin 2 0 sin 2 sin

sin 2 sin

5 sin 2 sin

5

5







⇔

 − = − + +



6 2 4

x k

π





⇔

=



3 2 2 2 3

x k

π





⇔

 =



•Cách khác: Áp dụng công thức góc ñối nhau, ta có

sin 2 sin



− = − − +





⇔

 − = − − − +



3

2 2

x k

π

=





⇔



2 3 3 2 2

x k

π



=



⇔



c) Một số công thức chuyển cos thành sin là cos sin

2

 ; cosu sin u 2

π

  {công thức góc phụ nhau}

Áp dụng ta có sinx+cos 3x=0 sin cos 3 sin sin 3

2

2

2



− = +



⇔



2 3

2



= +



⇔



4 3



= +



⇔



Bài tập 4: Giải các phương trình sau

a) sin 3 sin 5

c) sin 3 cos 0

Dạng 5: Giải các phương trình bậc cao ñưa về dạng ñơn giản

Chú ý sử dụng công thức hạ bậc 2 1( )

sin 1 cos 2

2

cos 1 cos 2

2

Sau ñó vận dụng biến ñổi sau cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

2

f x g x k

f x g x

f xx g x k

π π





Ví dụ 5: Giải các phương trình sau

a) sin2 1

4

6 4

x π

c) 2( ) 2

3

Giải:

a) Ta có sin2 1

4

1 cos 2

⇔ − = (nhân 2 vào hai vế ñể giản ước)

1 cos 2 cos 2 1

cos 2 cos

6

6

12

Chú ý: Khi hạ bậc, thì góc sẽ tăng gấp ñôi Nhớ nhé !

b) sin2 3

6 4

x π

1 cos 2

π

   

⇔  −   + =

3 3 1

5 cos 2 cos

5

3 6

5





⇔



4 12



= +



⇔

7

 = − +



c) 2( ) 2

3

1 cos 4 1 cos 2 0

π

2

1 cos 4 1 cos 2 0

3

2 cos 4 cos 2

3

2

3 2

3







⇔

 = − + +



3



= +



⇔

 = − +



Bài tập 5: Giải các phương trình sau

a) sin2 1

4

x π

sin 3

3 2

x π

cos 2x+2 sin x + =1 0 d) sin3 2 1

e) sin4 9

16

4

Dạng 6: Giải các phương trình ñơn giản có ñiều kiện, tìm nghiệm trên một ñoạn.

Ví dụ 6: Tìm các nghiệm của phương trình sin 1

x π

17

;

3 4

−

Giải:

• Đầu tiên ta giải phương trình ñã cho như các dạng trên (dạng 2)

Ta có sin 1

x π

2

2



− = − +



⇔



2 6 3 2 2



= +



⇔



• Tìm nghiệm trên ñoạn ;17

3 4

−

* Với 2

6

x= +π k π

ta có ;17

3 4

17 2

⇔ − ≤ + ≤ ( k∈ℤ )

17 2

2 k 12

4 k 24

Vì k∈ℤ nên ta có k =0;k=1;k =2 Thay vào công thức 2

6

x= +π k π

ta ñược ba nghiệm

x=π x= π x= π

* Với 3 2

2

x= π +k π

ta có ;17

3 4

2

3 17 3

2

6 k 4

Vì k∈ℤ nên ta có k = −1;k =0;k =1;k=2 Thay vào công thức 3 2

2

x= π +k π

ta ñược bốn

nghiệm là ; 3 ; 7 ; 11

x= −π x= π x= π x= π

• Kết luận: Trên ñoạn ;17

3 4

−

 , phương trình ñã cho có tập nghiệm

3 13 7 25 11

; ; ; ; ; ;

2 6 2 6 2 6 2

Bài tập 6:

Tìm các nghiệm của phương trình sau trên ñoạn ñã chỉ ra

a) sin 2 1

6 2

x π

  trên ñoạn

11

;

2 3

−

b) sin 2 sin 0

3

  trên khoảng

3

;

2π π

−

Dạng 7: Giải các phương trình ñơn giản có ñiều kiện ràng buộc

Ví dụ 7: Giải phương trình

a) sin 4 0

cos

4

x

−

b) sin 0 cos 1

x

−

Giải:

a) Điều kiện xác ñịnh: cos 0

3 4

Khi ñó ta có

sin 4

0 cos

4

x

−

sin 4x 0

4

x lπ x lπ

⇒ = ⇒ = , (l∈ℤ)

Bây giờ ta dùng ñường tròn lượng giác, biểu diễn các ñiểm ngọn của nghiệm và ñiều kiện Từ

ñó lấy nghiệm của phương trình

• Trên ñường tròn lượng giác, ñiểm ngọn của các

cung

4

x= 3π +kπ

gồm 2 ñiểm D, H ; ñiểm ngọn

của các cung

4

x=lπ

gồm 8 ñiểm A, B, C, D, E,

F, G, H

• Như vậy các cung có ñiểm ngọn D, H là không

thỏa ñiều kiện do 3

4

x≠ π +kπ

Suy ra các cung có ñiểm ngọn thoa ñiều kiện gồm

A, B, C và E, F, G

• Các cung có ñiểm ngọn A, C, E, G ñược biểu diễn bởi công thức

2

x=kπ

(vì các ñiểm

ngọn này hơn kém nhau một lượng là

2 π )

• Các cung có ñiểm ngọn B, F ñược biểu diễn bởi công thức

4

x= +π kπ

(vì các ñiểm ngọn này hơn kém nhau một lượng là π)

• Đối chiếu với ñiều kiện ta có các nghiệm của phương trình ñã cho là

2

x=mπ

và

4

x= +π mπ

, (m∈ℤ)

♣ Chú ý: Có thể dùng máy tính cầm tay ñể ñối chiếu ñiều kiện qua ñó loại nghiệm sẽ dễ dàng hơn Các em thấy thế nào ?

b) Điều kiện xác ñịnh: cosx− ≠ ⇔1 0 cosx≠ ⇔ ≠1 x k2π

Khi ñó ta có sin 0

cos 1

x

− ⇒sinx=0⇒x=lπ

• Trên ñường tròn lượng giác, ñiểm ngọn của các cung

2

x=k π gồm 1 ñiểm A ; ñiểm ngọn của các cung

x=lπ gồm 2 ñiểm A, B

• Như vậy các cung có ñiểm ngọn B là không thỏa ñiều

kiện do x≠k2π

Suy ra các cung có ñiểm ngọn thoa ñiều kiện chỉ còn B

Công thức biểu diễn nghiệm của ñiểm ngọn B là

2

x= +π m π, (m∈ℤ)

• Đối chiếu với ñiều kiện ta có các nghiệm của phương trình ñã cho là

2

x= +π m π, (m∈ℤ)

Cách khác:

sin

0 cos 1

x

−

2

cos 1 0 cos 1



=

1 cos 0

cos 1 cos 1

cos 1

x x

x x

x



≠

≠

Bài tập 7: Giải các phương trình sau

a) sin 0

1 cos

x

x =

sin 2

3 0 cos

3

x x

π π

−

−

Đáp số: a) x=m2π

x= π +m π x= − +π m π x= − π +m π

Dạng 8: Giải các phương trình ñơn giản có tham số

♣ Điều kiện ñể phương trình sin f x( )=m có nghiệm là 1− ≤ ≤m 1

Ví dụ 8: Tìm giá trị của m ñể các phương trình sau có nghiệm, tìm các nghiệm ñó

a) ( ) 1

sin 1

1

x

m

+ =

2

sinx=m +2

Giải:

a) Điều kiện ñể phương trình ñã cho có nghiệm là 1 1 1

1

m

+

1 1

0 1 2 0 1

m m m m



≤

 +

⇔

+

 +



1; 0

; 2 1;

m m

 ∈ −



⇔

∈ −∞ − ∪ − +∞

(Giải các bất phương trình này (ở bước thứ ba) bằng cách lập bảng xét dấu tử và mẫu rồi chọn miền nghiệm theo chiều của bất phương trình)

♣ Với mọi m∈ −( 1; 0] ta có

sin 1

1

x

m

+ =

+

1

1 arcsin 2

1 1

1

m

m

π



⇔



1

1 arcsin 2

1 1

1

m

m

π



⇔

 b) Điều kiện ñể phương trình có nghiệm là − ≤1 m2+ ≤2 1

m

( Vì m2 ≥0 nên từ chỗ m2 ≤ − <1 0 suy ra m∈∅)

Vậy phương trình ñã cho vô nghiệm với mọi m

♥ Có thể lập luận gọn hơn như sau:

Với mọi m ta có m2≥ ⇔0 m2+ ≥ >2 2 1 suy ra phương trình ñã cho vô nghiệm

Bài tập 8: Tìm giá trị của m ñể các phương trình sau có nghiệm, tìm các nghiệm ñó

a) sin

1

m

x

m

=

1 sin

1

x m

= +

c) sin 1 2

3

2 sin 2

2

x m

−

= +

e) ( 2 )

1 sin 1

m − x= +m f) (m+2 sin) x=2

Đáp số:

a) 1

2

m≤ b) m∈ℝ c) m=0 d) m=0

e) m≥2 hoặc m≤0 f) m≥0 hoặc m≤ −4

- Để nắm vững ñược kiến thức cơ bản về các dạng phương trình này các em cần nắm chắc các dạng từ dạng 1 ñến dạng 4 và các dạng tiếp theo Mỗi lần làm xong một dạng cần chú ý ñặc ñiểm của dạng ñó, ghi nhớ những ñiểm riêng và ñiểm chung giữa các dạng ñể

tự giúp mình ghi nhớ kiến thức cơ bản cần vận dụng

- Có gì không hiều có thể liên lạc và trao ñổi cùng thầy trên weblog

http://dcl2012.blogsport.com , hoặc là http://caolong.wordpress.com

- Có thể liên lạc qua Yahoo Mail longdocao@yahoo.com.vn (nick: longdocao)

- Chúc các em có những niềm vui khi tiếp cận với chuyên ñề này

- Trong quá trình biên soạn có thể có sai sót, mong các em phát hiện, góp ý ñể thầy chỉnh sửa lại Cảm ơn !