Xác suất thống kê tài liệu đọc thêm

18 3.3 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân phối liên tục tuyệt đối... Biến cố chắc chắn: nhất định xảy ra khi ta thực hiện một phép thử nào đó.. Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố c

BÀI GIẢNG NHẬP MÔN

XÁC SUẤT & THỐNG KÊ

(dành cho sinh viên các ngành kỹ thuật)

TS Ngô Hoàng Long Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2015

Mục lục

1.1 Phép thử và biến cố 6

1.1.1 Phân loại biến cố 6

1.1.2 Phép toán trên các biến cố 7

1.1.3 Quan hệ giữa các biến cố 7

1.1.4 Biến cố đồng khả năng 8

1.2 Định nghĩa xác suất 8

1.2.1 Định nghĩa cổ điển 8

1.2.2 Hạn chế của xác suất cổ điển 8

1.2.3 Mở rộng định nghĩa xác suất cổ điển 9

1.3 Xác suất điều kiện 9

1.4 Sự độc lập 11

2 Biến ngẫu nhiên rời rạc 13 2.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc 13

2.2 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc 14

2.2.1 Định nghĩa 14

2.2.2 Tính chất của kỳ vọng 15

2.3 Một số phân phối rời rạc thường gặp 16

2.3.1 Phân phối nhị thức B(n, p) 16

2.3.2 Phân phối hình học Geo(p) 17

2.3.3 Phân phối Poisson P oi(λ) 17

3 Biến ngẫu nhiên liên tục 18 3.1 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 18

3.2 Hàm mật độ 18

3.3 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân phối liên tục tuyệt đối 19

3.4 Một số phân phối liên tục thường gặp 20

3.4.1 Phân phối đều U [a, b] 20

3.4.2 Phân phối mũ Exp(λ) 20

3.4.3 Phân phối chuẩn N (a, σ2) 21

4 Vectơ ngẫu nhiên 23 4.1 Hàm phân phối của vectơ ngẫu nhiên 23

4.2 Vectơ ngẫu nhiên rời rạc 24

4.2.1 Bảng phân phối đồng thời 24

4.2.2 Hệ số tương quan 25

4.3 Vectơ ngẫu nhiên liên tục tuyệt đối 25

4.3.1 Hàm mật độ đồng thời 25

4.4 Một số phân phối thường gặp (tiếp) 26

4.4.1 Phân phối khi bình phương 26

4.4.2 Phân phối Student 27

4.4.3 Phân phối F 28

5 Các định lý giới hạn 29 5.1 Luật số lớn 29

5.2 Định lý giới hạn trung tâm 29

5.3 Xấp xỉ phân phối nhị thức 30

6 Mẫu ngẫu nhiên và các số đặc trưng mẫu 31 6.1 Mẫu ngẫu nhiên 31

6.2 Các số đặc trưng mẫu 32

7 Ước lượng tham số 33 7.1 Ước lượng điểm 33

7.1.1 Các khái niệm về ước lượng 33

7.1.2 Phương pháp hợp lý cực đại 33

7.2 Ước lượng khoảng 34

7.2.1 Khoảng ước lượng của kì vọng a trong mẫu có phân phối chuẩn N (a, σ2) 34 7.2.2 Khoảng ước lượng của phương sai σ2 trong mẫu có phân phối chuẩn N (a, σ2) 35

7.2.3 Khoảng ước lượng của xác suất trong phân phối nhị thức 35

8 Kiểm định giả thuyết thống kê 36

8.1 Bài toán kiểm định giả thuyết thống kê 36

8.2 Kiểm định tham số 37

8.2.1 Kiểm định về trung bình trong mẫu có phân phối chuẩn 37

8.2.2 Kiểm định về xác suất p trong phân phối nhị thức 39

8.2.3 So sánh hai xác suất trong phân phối nhị thức 40

8.3 Kiểm định về quy luật phân phối xác suất 41

Một số quy tắc đếm

Quy tắc nhân

Giả sử ta phải thực hiện một nhiệm vụ thông qua n bước

• Bước 1 có k1 cách thực hiện;

• Ứng với mỗi cách thực hiện bước 1 đều có k2 cách thực hiện bước 2;

• Ứng với mỗi cách thực hiện bước 2 đều có k3 cách thực hiện bước 3;

· · ·

• Ứng với mỗi cách thực hiện bước n − 1 có kn cách thực hiện bước n

Khi đó tổng số cách thực hiện nhiệm vụ là k1× k2× · · · × kn

Ví dụ 0.0.1 Bạn Lan có 5 áo dài, 4 quần dài Hỏi có bao nhiêu cách cho bạn Lan mặc một

bộ áo dài

Ví dụ 0.0.2 Trong hộp có 5 bi xanh, 4 bi đỏ, 2 bi trắng Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 2 bi

từ trong hộp sao cho:

1 Hai viên bi cùng màu

2 Hai viên bi khác màu

3 Không có viên bi nào màu đỏ

4 Có ít nhất một bi xanh

• Gieo một con xúc xắc (hình lập phương).

• Bắn một viên đạn vào bia

Định nghĩa 1.1.2 Biến cố: Kết quả của phép thử được gọi là biến cố

Ví dụ 1.1.2 Gieo đồng tiền một lần Biến cố "mặt sấp xuất hiện", "mặt ngửa xuất hiện"

1.1.1 Phân loại biến cố

1 Biến cố chắc chắn: nhất định xảy ra khi ta thực hiện một phép thử nào đó Kí hiệu làΩ

2 Biến cố rỗng (trống): là một biến cố không thể xảy ra khi ta thực hiện một phép thửnào đó Kí hiệu là ∅

3 Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể hoặc không thể xảy ra khi ta thực hiện một phépthử nào đó Kí hiệu A, B, C gọi tắt là biến cố

Ví dụ 1.1.3 Gieo một con xúc xắc Khi đó

"Mặt xuất hiện có số chấm nhỏ hơn hoặc bằng 6": Ω

"Mặt xuất hiện có số chấm nhỏ hơn 1": ∅

"Mặt xuất hiện có số chấm chia hết cho 2": A (ngẫu nhiên)

"Mặt xuất hiện có số chấm là số lẻ": B (ngẫu nhiên)

Chú ý 1.1.1 Đồng nhất mỗi biến cố A như một tập con của Ω theo lý thuyết tập hợp:

A ⊂ Ω

1.1.2 Phép toán trên các biến cố

1 Phép hợp: Hợp của hai biến cố A và B là một biến cố mà nó xảy ra khi A xảy ra hoặc

B xảy ra

2 Phép giao: A ∩ B là một biến cố mà nó xảy ra khi A và B đồng thời xảy ra

Chú ý 1.1.2 Giao của hai biến cố A và B còn được kí hiệu là AB

3 Phép hiệu: hiệu của hai biến cố A và B (kí hiệu A \ B hoặc CBA) là một biến cố mà nóxảy ra khi A xảy ra và B không xảy ra

4 Phép cố đối: biến cố đối của biến cố A ( kí hiệu là A hoặc Ac là một biến cố hiệu của

Ω và A: A = Ω \ A, A ⊂ Ω

1.1.3 Quan hệ giữa các biến cố

1 Quan hệ kéo theo: biến cố A kéo theo biến cố B (A ⊂ B) nếu A xảy ra thì B xảy ra

2 Quan hệ tương đương: A và B tương đương (A = B) nếu A kéo theo B và B kéo theoA

3 Quan hệ xung khắc: gọi A và B là hai biến cố xung khắc nếu A xảy ra thì B khôngxảy ra và ngượi lại

Chú ý 1.1.3 Nếu A và B xung khắc thì ta viết

Ví dụ 1.1.4 Gieo một con xúc xắc Gọi A là biến cố "mặt chẵn xuất hiện",

B là biến cố "mặt lẻ xuất hiện", Ck là biến cố "mặt k chấm xuất hiện"

Hãy tính A ∪ B, A ∩ B, từ đó suy ra A, B; A ∪ C2, A ∩ C2, C2+ C4+ C6, C1+ C3+ C5, A \

C2, C4+ C6, C2\ A

Ví dụ 1.1.5 • Gieo đồng tiền cân đối và đồng chất Hai biến cố S(mặt sấp) và N (mặtngửa) xuất hiện là hai biến cố đồng khả năng và sơ cấp.

• Gieo con xúc xắc cân đối và đồng chất Gọi Ck là biến cố "mặt k chấm xuất hiện".Khi đó C1, , C6 là 6 biến cố sơ cấp đồng khả năng

1.2 Định nghĩa xác suất

1.2.1 Định nghĩa cổ điển

Giả sử thực hiện phép thử G Kết quả của phép thử là n biến cố sơ cấp đồng khả năng(kí hiệu w1, , wn) Không gian biến cố sơ cấp kí hiệu là Ω, Ω = {w1, , wn} Giả sử A làmột biến cố chứa m biến cố sơ cấp nào đó, nghĩa là A = wi1+ · · · + wim Khi đó tỷ số m

n làxác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A)

Chú ý 1.2.1 • Số lượng n biến cố sơ cấp của không gian biến cố sơ cấp gọi là n khảnăng có thể của phép thử

• Số lượng m biến cố sơ cấp thuộc A gọi là m khả năng thuận lợi cho A Suy ra

1.2.2 Hạn chế của xác suất cổ điển

• Số lượng phần tử của khôn gian biến cố sơ cấp là hữu hạn

• Các biến cố sơ cấp phải đồng khả năng

1.2.3 Mở rộng định nghĩa xác suất cổ điển

Giả sử không gian mẫu gồm các biến cố sơ cấp w1, w2, Với mỗi biến cố sơ cấp wi tađặt tương ứng với khả năng xuất hiện là pi, 0 ≤ pi ≤ 1 sao cho P

i∈I

pi = 1 Khi đó xác suấtcủa mỗi biến cố A là

Tính xác suất để gieo được mặt có chẵn chấm

1.3 Xác suất điều kiện

Ví dụ 1.3.1 Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất Gọi A là biến cố "Hai mặt cùngchấm xuất hiện", B là biến cố "tổng số chấm bằng 8" Hãy tính

1 P(A), P(B)

2 Giả sử rằng biến cố A đã xảy ra, tính xác suất để B xảy ra

3 Giả sử rằng biến cố B đã xảy ra, tính xác suất để A xảy ra

Định nghĩa 1.3.1 Cho A và B là hai biến cố, P(B) > 0 Xác suất để A xảy ra biết rằngbiến cố B đã xảy ra là

P(A|B) = P(A ∩ B)

P(B) = P(AB)

P(B) Đọc là xác suất của biến cố A với điều kiện B

Từ định nghĩa trên ta có các công thức sau

Mệnh đề 1.3.1 (Công thức nhân xác suất) Giả sử A và B là hai biến cố và P(B) > 0.Khi đó

P(AB) = P(A|B)P(B)

Do P(AB) = P(BA) = P(B|A)P(A) nên ta có công thức sau

Mệnh đề 1.3.2 (Công thức Bayes 1) Giả sử A và B là hai biến cố thỏa mãn P(A) >

0, P(B) > 0 Khi đó

P(A|B) = P(B|A)P(A)

P(B)

Ví dụ 1.3.2 Một hộp có 30 lá thăm trong đó có một lá trúng thưởng Một người bốc mộtcách ngẫu nhiên từng lá thăm ra khỏi hộp (không hoàn lại) cho tới khi gặp thăm trúngthưởng thì dừng lại.

1 Tính xác suất của biến cố

(a) lần bốc thứ nhất được thăm trúng thưởng;

(b) lần bốc thứ hai được thăm trúng thưởng;

(c) lần bốc thứ ba được thăm trúng thưởng

2 Tính lại xác suất của các biến cố trên khi trong hộp có đúng 2 thăm trúng thưởng.Nhận xét 1.3.1 Khi chỉ có 1 thăm trúng thưởng thì xác suất bốc được thăm này khôngphụ thuộc vào thứ tự lần bốc Tuy nhiên, khi có từ 2 thăm trúng thưởng trở lên, xác suấtbốc được thăm trúng thưởng sẽ giảm dần theo từng lần bốc

Định nghĩa 1.3.2 Hệ n biến cố {A1, , An} được gọi là một hệ đầy đủ nếu:

P(B) = P(B1) + + P(Bn)

Áp dụng công thức nhân xác suất P(Bi) = P(B|Ai)P(Ai), ta được

P(B) = P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + · · · + P(B|An)P(An)

Kết hợp công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes 1, ta được

Mệnh đề 1.3.4 (Công thức Bayes 2) Giả sử {A1, , An} là một hệ đầy đủ, B là một biến

cố bất kỳ Ta có

P(Ak|B) = P(B|Ak)P(Ak)

P(B|A1)P(A1) + · · · + P(B|An)P(An).

Ví dụ 1.3.3 Một xét nghiệm kiểm tra bệnh UTN cho kết quả dương tính với 90% các cathực sự mắc bệnh và cho quả âm tính với 95% các ca thực sự không mắc bệnh Giả sử tỷ

lệ mắc bệnh UTN là x% Một người làm xét nghiệm trên và có kết quả là dương tính Tínhxác suất để người đó thực sự mắc bệnh UTN khi

Ví dụ 1.3.4 Trong một hộp có 5 bi xanh, 2 bi trắng và 1 bi đỏ Bạn Tuân lấy ra lần lượttừng viên bi trong hộp không trả lại cho tới khi nào lấy được bi xanh thì dừng Gọi Y là số

3 Ac, Bc độc lập.

Định nghĩa 1.4.2 A1, , An là n biến cố độc lập nếu với mọi 1 ≤ k ≤ n, với mọi

1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n thì

P(Ai 1.Ai2 Aik) = P(Ai 1)P(Ai 2) P(Ai k)

Bài tập 1.4.1 Giả sử A, B, C là ba biến cố độc lập Chứng minh rằng

1 Tính xác suất để 3 viên đạn bắn đầu tiên trúng đích

2 Tính xác suất để trong 3 viên đạn bắn đầu tiên có 2 viên trúng

3 Tính xác suất phải bắn đến lần thứ 4 mới trúng đích

Chương 2

Biến ngẫu nhiên rời rạc

2.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc

Định nghĩa 2.1.1 Biến ngẫu nhiên X là một quan sát nhận giá trị bằng số kết quả củaphép thử ngẫu nhiên

Nếu tập giá trị của X là hữu hạn hay đếm được thì X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc.Nếu tập giá trị của X là một khoảng con của R hoặc toàn bộ R thì X được gọi là biến ngẫunhiên liên tục

Ví dụ 2.1.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc:

1 Quan sát số răng, năm sinh, số con một người được chọn ngẫu nhiên

2 Giao 2 con xúc xắc: tổng số chấm, tích số chấm,

3 Số cuộc gọi đến một tổng đài điện thoại trong một ngày

Ví dụ 2.1.2 Biến ngẫu nhiên liên tục:

1 Cự ly của một cú nhảy xa

2 Thời gian chờ của một khách hàng ở quầy thanh toán

3 Trọng lượng một chi tiết máy

Ví dụ 2.1.3 Gieo hai đồng xu cân đối và đồng chất Gọi X là số mặt sắp xuất hiện Hãytính xác suất để

1 X = 0, 1, 2

2 Lập bảng phân phối xác suất của X

Ví dụ 2.1.4 Trong hộp có 5 hạt giống loại A, 2 hạt giống loại B Lấy ra ngẫu nhiên 3 hạtgiống từ hộp Gọi X là số hạt loại A trong 3 hạt lấy ra Hãy lập bảng phân phối xác suấtcủa X

Ví dụ 2.1.5 Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối sau.

P[X = x] 0.2 0.3 0.3 0.2

1 Hãy tính P[X ≥ 1]

2 Hãy tính P[|X − 1| ≤ 1]

3 Đặt Y = 3 − X Hãy lập bảng phân phối xác suất của Y

Nhận xét 2.1.1 Bảng phân phối xác suất của X và Y giống nhau Ta nói X và Y có cùngphân phối

2.2 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Cho bnn rời rạc X có phân phối cho bởi bảng

x x1 x2 xn P[X = x] p1 p2 pn Định nghĩa 2.2.1 Kỳ vọng của X là

E[X] =

X

i≥1

xipi = x1p1+ x2p2 + · · · + xnpn+ · · ·nếu tổng trên hội tụ

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên đặc trưng cho giá trị trung bình mà biến ngẫu nhiên đó có thểnhận

Định nghĩa 2.2.2 Phương sai của X là

Ví dụ 2.2.1 Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối cho bởi bảng

x 1 2 3 4 5 6P[X = x] 16 16 16 16 16 16

1 Tính kỳ vọng và phương sai của X

2 Đặt Y = |X − 3| Tính kì vọng và phương sai của Y

3 Đặt Z = min{X, 3} Tính kì vọng và phương sai của Z

Ví dụ 2.2.2 Giả sử A là một biến cố nào đó Xét bnn

1 Nếu X = a với a là hằng số thì E[X] = a

2 Nếu X ≥ 0 thì E[X] ≥ 0 Hơn nữa, nếu X ≥ Y thì E[X] ≥ E[Y ]

3 (Tính chất tuyến tính của kỳ vọng) với mọi a, b ∈ R,

E[aX + bY ] = aE[X] + bE[Y ]

Ví dụ 2.2.3 Gieo 4 con xúc xắc cân đối và đồng chất Gọi X là tổng số chấm xuất hiện.Tính E[X]

Ví dụ 2.2.4 ∗ Một đồ thị ngẫu nhiên gồm n đỉnh Xác suất để hai đỉnh bất kì được nốivới nhau bởi 1 cạnh là p ∈ (0, 1) Goi X là tổng số cạnh của đồ thị Tính E[X]

Ví dụ 2.2.5 Giả sử X là một bnn không âm, a là số thực dương Khi đó

P[X ≥ a] ≤ E[X]

a .Bất đẳng thức trên gọi là bất đẳng thức Markov

2.3 Một số phân phối rời rạc thường gặp

P[X = 2] = Cn2p2(1 − p)n−2.Tổng quát, ta có

P[X = k] = Cnkpk(1 − p)n−k, k = 0, , n (2.1)Biến ngẫu nhiên X có phân phối cho bởi công thức (2.1) được gọi là có phân phối nhị thức

1 Tính xác suất để có ít nhất hai hạt nảy mầm

2 Tính kỳ vọng và phương sai của tổng số hạt nảy mầm

2.3.2 Phân phối hình học Geo(p)

Thực hiện dãy phéo thử độc lập cho tới khi nào thành công lần đầu tiên thì dừng lại.Gọi X là số phép thử đã thực hiện Giả sử xác suất thành công của mỗi phép thử đều bằngnhau và bằng p Khi đó ta có

P[X = k] = (1 − p)k−1p, k = 1, 2, (2.2)Biến ngẫu nhiên X có phân phối cho bởi công thức (2.2) được gọi là có phân phối hình học

1 Hỏi trung bình sau bao nhiêu lần gửi đi thì tín hiệu được gửi thành công lần đầu tiên

2 Tính xác suất để trong 4 lần gửi đầu có ít nhất 1 lần thành công

2.3.3 Phân phối Poisson P oi(λ)

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số λ > 0, kí hiệu là

3 Hỏi để xác suất của biến cố có thể phục vụ được tất cả các khách đến cửa hàng ít nhất

là 99% thì khả năng phục vụ tối đa của cửa hàng phải ít nhất là bao nhiêu

Chương 3

Biến ngẫu nhiên liên tục

3.1 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 3.1.1 Giả sử X là biến ngẫu nhiên Khi đó

FX(x) := P[X ≤ x]

được gọi là hàm phân phối của X

Mệnh đề 3.1.1 (Tính chất của hàm phân phối)

Tính chất của hàm mật độ

1 FX0 (x) = fX(x)

2 fX(x) ≥ 0, ∀x

3 ∀a < b, P[a ≤ X ≤ b] = abfX(t)dt

4 R−∞+∞fX(t)dt = 1

Ví dụ 3.2.1 Gọi X là thời gian đến lớp của sinh viên so với mốc thời gian là 7h00 Giả sử

X có phân phối liên tục tuyệt đối với hàm mật độ (đơn vị tính là giờ)

fX(x) =

(C(1 − x2) khi − 1 ≤ x ≤ 1

3.3 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân phối

liên tục tuyệt đối

Định nghĩa 3.3.1 Giả sử biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ fX Khi đó X được gọi làkhả tích nếu

Định nghĩa 3.3.2 Phương sai của X là

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên bất kỳ có các tính chất như kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

có phân phối rời rạc

Ví dụ 3.3.1 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ

3.4 Một số phân phối liên tục thường gặp

3.4.1 Phân phối đều U [a, b]

Bnn X được gọi là có phân phối đều trên đoạn [a, b], kí hiệu là X ∼ U [a, b], nếu hàmmật độ của X là

fX(x) =

(

1 b−a khi x ∈ [a, b]

2 Giả sử Z ∼ U [0, 1] Đặt X = (b − a)Z + a Khi đó X ∼ U [0, 1]

Bnn được gọi là có phân phối mũ với tham số λ > 0, kí hiệu là X ∼ Exp(λ), nếu X cóhàm mật độ

Phân phối mũ thường được dùng để mô phỏng khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp một

sự kiện nào đó xảy ra (ví dụ như khoảng thời gian giữa hai cuộc điện thoại liên tiếp) haythời gian hoạt động của một thiết bị nào đó cho tới khi bị hỏng

Kỳ vọng và phương sai của X là

E[X] = λ, và DX = λ2.Sau đây là mối quan hệ giữa phân phối mũ và phân phối đều

Mệnh đề 3.4.2 1 Nếu X ∼ Exp(1) thì λX ∼ Exp(λ) với mọi λ > 0

2 Nếu X ∼ U [0, 1] thì Z = − ln X ∼ U [0, 1]

3.4.3 Phân phối chuẩn N (a, σ2)

Định nghĩa 3.4.1 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn N (a, σ2) nếu hàmmật độ của X là

fX(x) = √ 1

2πσ2e−(x−a)22σ2 , ∀x ∈ R

Phân phối chuẩn thường được dùng để mô phỏng các đại lượng như chiều dài, trọnglượng, Khi a = 0, σ2 = 1, N (0, 1) được gọi là phân phối chuẩn tắc Hàm mật độ của phânphối chuẩn tắc là

fX(x) = √1

2πe

− x2

2 Hàm phân phối của phân phối chuẩn tắc là

Mệnh đề 3.4.3 Nếu X ∼ N (a, σ2) thì Z = X−aσ ∼ N (0, 1)

Ví dụ 3.4.1 Năng suất của một giống đậu tương (tạ/ha) tuân theo phân phối chuẩn

N (20, 4)

1 Tính xác suất để một thửa ruộng trồng giống đậu tương trên đạt năng suất trên 20tạ/ha

2 Một thửa ruộng được gọi là có năng suất cao nếu nó đạt trên 24 tạ/ha Tính xác suất

để một thửa ruộng đạt năng suất cao

3 Tính P[X < 15]

4 Tính P[14 ≤ X ≤ 26].

5 Một thửa ruộng gọi là có năng suất thấp nếu nó nằm trong 1% các thửa ruộng có năngsuất thấp nhất Tìm x0 sao cho thửa ruộng có năng suất thấp nhất khi và chỉ khi năngsuất của nó nhỏ hơn x0

Mệnh đề 3.4.4 1 Giả sử Z ∼ N (0, 1) khi đó EZ = 0, DZ = 1

2 Giả sử X ∼ N (a, σ2) khi đó EX = a, DX = σ2

Ví dụ 3.4.2 Biết cân nặng của trẻ sơ sinh tuân theo phân phối chuẩn N (a, σ2) Biết rằng

có 5% trẻ có cân nặng nhỏ hơn hoặc bằng 2.7kg và có 2% trẻ có cân nặng lớn hơn hoặc bằng4.2kg Hãy xác định cân nặng trung bình và độ lệnh chuẩn của cân nặng