Bài tập xác suất thống kê có lời giải

Hỏi rằng nếu lấy ngẫu nhiên cũng từ lô đã chọn một sản phẩm thì xác suất để được phế phẩm là bao nhiêu?. b Phải chọn bao nhiêu sinh viên sao cho trong số đó, với xác suất không bé hơn 99

BÀI TẬP XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

Mục lục

1.1 Một số dạng bài tập cơ bản 3

1.1.1 Tính xác suất theo dịnh nghĩa cổ diển 3

1.1.2 Tính xác suất bằng cách dùng các công thức cộng, nhân và xác suất có điều kiện 4

1.1.3 Tính xác suất bằng cách dùng công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes 6

1.1.4 Tính xác suất bằng cách dùng công thức Bernoulli 6

1.1.5 Dạng bài tập tổng hợp 7

1.2 Bài tập 8

2 Đại lượng ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất 12 2.1 Một số dạng bài tập cơ bản 12

2.1.1 Tìm phân phối xác suất và các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc 12

2.1.2 Tìm phân phối xác suất và các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên liên tục 14

2.2 Bài tập 15

3 Mẫu thống kê và ước lượng tham số 20 3.1 Một số dạng bài tập cơ bản 20

3.1.1 Tính giá trị của các đặc trưng của mẫu 20

3.1.2 Ước lượng điểm cho một số tham số đặc biệt 22

3.1.3 Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho kỳ vọng 23

3.1.4 Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho phương sai 24

3.1.5 Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho xác suất 25

3.1.6 Ước lượng cỡ mẫu tối thiểu khi biết độ chính xác hoặc độ dài khoảng ước lượng tin cậy đối xứng 27

3.2 Bài tập 30

4 Kiểm định giả thuyết 37

4.1 Tóm tắt lý thuyết 37

4.2 Một số dạng bài tập cơ bản 37

4.2.1 Kiểm định giả thiết cho kỳ vọng hay trung bình 37

4.2.2 Kiểm định giả thiết cho phương sai 39

4.2.3 Kiểm định giả thiết cho tỷ lệ hay xác suất 40

4.3 Bài tập 43

Chương 1

Biến cố ngẫu nhiên và phép tính xác suất

1.1.1 Tính xác suất theo dịnh nghĩa cổ diển

Ví dụ 1.1 Một hộp có 100 tấm thẻ như nhau được đánh số từ 1 đến 100 Rút ngẫu nhiênhai thẻ rồi đặt theo thứ tự từ trái qua phải Tính xác suất để:

a) Rút được hai thẻ tạo thành một số có hai chữ số

b) Rút được hai thẻ tạo thành một số chia hết cho 5

Giải

a) Gọi A: "Hai thẻ rút được tạo thành một số có hai chữ số" Khi đó

P (A) = A

2 9

A2 100

100.99 ≈ 0, 0073

b) Gọi B: "Hai thẻ rút được tạo thành một số chia hết cho 5 "

Khi đó thẻ thứ hai là phải là một trong 20 số 5, 10, , 100, còn thẻ thứ nhất là mộttrong 99 thẻ còn lại.Vậy số trường hợp thuận lợi cho B là 99.20,

P (B) = 99.20

A2 100

= 0, 2

Ví dụ 1.2 Một hộp chứa 7 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen cùng kích thước Rút ngẫunhiên cùng lúc 4 quả cầu Tính xác suất để trong đó có:

a) Hai quả cầu đen

b) Ít nhất 2 quả cầu đen

c) Tất cả là cầu trắng.

Giải Số phần tử của không gian mẫu là C104

a) Gọi A: "Trong 4 quả cầu rút ra có 2 quả đen"

C4 10

C4 10

= 1

3.c) Gọi C: "Tất cả 4 quả cầu rút ra là cầu trắng" Khi đó P (C) = C

4

77

C4 10

= 1

6.

1.1.2 Tính xác suất bằng cách dùng các công thức cộng, nhân và

xác suất có điều kiện

Ví dụ 1.3 Một công ty cần tuyển 4 nhân viên Có 5 nam và 3 nữ dự tuyển, mỗi người đều

có cơ hội ứng tuyển ngang nhau Tính xác suất để trong 4 người đó:

a) Có không quá 2 nam

b) Có ít nhất 1 nữ

c) Có 3 nữ, biết rằng có ít nhất 1 nữ đã được tuyển

Giải

Đặt Ak: "Có k nam được tuyển trong 4 nhân viên"

a) Gọi A:" Có không quá 2 nam"

C4 8

C4 8

= 1314

c) Gọi C: "Có 3 nữ, biết ít nhất một nữ đã được tuyển".Vậy

P (C) = P (A1/B) = P (A1)

P (B) =

C1 5

C4 8

.13

14 =

113

Ví dụ 1.4 Một cuộc điều tra trong thành phố X đối với các hộ gia đình sử dụng dịch vụtruyền hình cáp và internet, có 30% hộ sử dụng truyền hình cáp, 20% hộ sử dụng internet

và 15% hộ sử dụng cả hai dịch vụ trên Điều tra ngẫu nhiên một hộ gia đình, tính xác suất

đã qua vòng thứ nhất, vòng thứ ba lấy 45% thí sinh đã qua vòng thứ hai

a) Tính xác suất để một thí sinh bất kì được vào đội tuyển

b) Biết thí sinh này bị loại, tính xác suất để thí sinh bị loại ở vòng thứ hai

1.1.3 Tính xác suất bằng cách dùng công thức xác suất toàn phần

và công thức Bayes

Ví dụ 1.6 Có hai lô sản phẩm: lô 1 gồm toàn chính phẩm, lô 2 có tỷ lệ phế phẩm và chínhphầm là 1

4 Chọn ngẫu nhiên một lô rồi trong lô này lây ngẫu nhiên một sản phẩm, thấy nó

là chính phẩm, sau đó hoàn lại sản phảm này vào lô Hỏi rằng nếu lấy ngẫu nhiên cũng từ

lô đã chọn một sản phẩm thì xác suất để được phế phẩm là bao nhiêu?

Giải

Gọi Hi: "Chọn được lô i, i ∈ {1, 2}, ta có;

P (H1) = P (H2) = 1

2.Gọi A: "Lấy được chính phẩm ở lần thứ nhất" thì

P (A/H1) = 1, P (A/H2) = 4

5.Theo công thức xác suất toàn phần:

P (A) = P (H1)P (A/H1) + P (H2)P (A/H2) = 9

P (B) = P (H1/A)P (B/(H1/A)) + P (H2/A)P (B/(H2/A)) = 5

1.1.4 Tính xác suất bằng cách dùng công thức Bernoulli

Ví dụ 1.7 Một nhân viên bán hàng mỗi ngày đi chào hàng ở 10 nơi vói xác suất bán đượchàng ở mỗi nơi là 0,2

a) Tính xác suất để người đó bán được hàng ở 2 nơi

b) Tính xác suất để người đó bán được hàng ở ít nhất 1 nơi

C3 15

; P (X/HB) = C

1

6C2 4

C3 10

; P (X/HC) = C

1

5C2 5

C3 10

a) Chọn ngẫu nhiên 12 sinh viên của trường, nhiều khả năng nhất là có bao nhiêu sinh viênthi trượt cả hai môn Toán và Ngoại ngữ? Tính xác suất tương ứng

b) Phải chọn bao nhiêu sinh viên sao cho trong số đó, với xác suất không bé hơn 99%, có ítnhất một sinh viên đỗ cả hai môn?

Giải

Gọi T : " viên thi trượt môn Toán"; N :"Sinh viên thi trượt môn Ngoại ngữ"

Ta có: P (T ) = 0, 34; P (N ) = 0, 205; P (N/T ) = 0, 5

a) Xác suất sinh viên trượt cả hai môn là P (T.N ) = P (T ).P (N/T ) = 0, 34.0, 5 = 0, 17.Chọn 12 sinh viên nghĩa là thực hiện phép thử Bernoulli với xác suất trượt cả hai môn là

p = 0, 17 Số sinh viên nhiều khả năng trượt cả hai môn nhất là [(n+ 1)p] = [13.0, 17] = 2.Xác suất tương ứng là P12(2) = C122 (0, 17)2(1 − 0, 17)10 = 0, 296

b) Xác suất sinh viên đỗ cả hai môn là P ( ¯T ¯N ) = 1−P (T ∩N ) = 1−P (T )−P (N )+P (T.N ) =

0, 625

Gọi n là số sinh viên cần chọn, I: "Ít nhất một sinh viên đỗ cả hai môn" Theo đề bài tacó:

P (I) = 1 − Pn(0) = 1 − (1 − 0, 625)n ≥ 0, 99 ⇔ 0, 375n≤ 0, 01 ⇔ n ≥ 4, 69.Vậy cần chọn ít nhất 5 sinh viên

Bài 1.3 Hai máy bay cùng ném bom một mục tiêu, mỗi máy bay ném một quả với xác suấttrúng mục tiêu tương ứng là 0,6 và 0,7 Tính xác suất để mục tiêu bị trúng bom

Bài 1.4 Trong mội đội tuyển có 3 vận động viên A, B, C thi đấu với xác suất thắng lầnlượt là 0, 6; 0, 7 và 0, 8 Giả sử mỗi người thi đấu một trận độc lập nhau Tính xác suất để:a) Đội tuyển thắng ít nhất một trận

b) Đội tuyển thắng hai trận

c) Vận động viên A thua trong trường hợp đội tuyển thắng hai trận

Bài 1.5 Hộp I có 6 bi xanh, 4 bi đỏ; hộp II có 5 bi xanh và 7 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từmỗi hộp 2 viên bi Tính xác suất để:

a) Lấy được 4 viên bi cùng màu

b) Lấy được 3 bi xanh và 1 bi đỏ

c) Lấy được 2 bi xanh và 2 bi đỏ

Bài 1.6 Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, trong đó 6 sản phẩm loại II và 4 sản phẩm loạiIII, số còn lại là sản phẩm loại I Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 sản phẩm Tính xác suất đểđược:

b) Lần thứ hai lấy được phế phẩm, biết rằng lần đầu được chính phẩm.

Bài 1.9 Một cuộc điều tra cho thấy, xác suất để một hộ gia đình có máy vi tính nếu thunhập hàng năm trên 50 triệu là 0, 75 Trong số các hộ được điều tra thì 60% có thu nhập trên

50 triệu và 52% có máy vi tính Tính xác suất để một hộ gia đình được chọn ngẫu nhiên:a) Có máy vi tính và có thu nhập hàng năm trên 50 triệu

b) Có máy vi tính, nhưng không có thu nhập hàng năm trên 50 triệu

c) Có thu nhập hàng năm trên 50 triệu, biết rằng hộ đó không có máy vi tính

Bài 1.10 Một lô hàng do 3 nhà máy A, B, C sản xuất, tỉ lệ sản phẩm của 3 nhà máy lầnlượt là 30%, 20%, 50% và tỉ lệ phế phẩm tương ứng là 1%, 2%, 3% Chọn ngẫu nhiên 1 sảnphẩm từ lô hàng Tính xác suất để sản phẩm này là phế phẩm

Bài 1.11 Có 3 hộp thuốc, hộp I có 5 ống tốt và 2 ống xấu, hộp II có 4 ống tốt và 1 ốngxấu, hộp III có 3 ống tốt và 2 ống xấu Lấy ngẫu nhiên một hộp và rút ra từ hộp đó mộtống thuốc thì được ống tốt Tính xác suất để ống này thuộc hộp II

Bài 1.12 Một nhân viên kiểm toán nhận thấy 15% các bảng thu chi chứa các sai lầm.Trong các bảng chứa sai lầm, 60% được xem là các giá trị bất thường so với các số xuấtphát từ gốc Trong tất cả các bảng thu chi thì 20% là những giá trị bất thường Nếu mộtcon số ở một bảng thu chi là bất thường thì xác suất để số đó là một sai lầm là bao nhiêu?

Bài 1.13 Một hãng sản xuất tủ lạnh ước tính khoảng 80% số người dùng tủ lạnh có đọcquảng cáo do hãng sản xuất Trong số đó có 30% mua tủ lạnh của hãng 10% không đọcquảng cáo cũng mua tủ lạnh của hãng Tính xác suất để một người tiêu dùng đã mua tủlạnh của hãng mà có đọc quảng cáo.

Bài 1.14 Trong hộp có 10 sản phẩm, trong đó có đúng 6 sản phẩm tốt Một người lấy lầnlượt từng sản phẩm (không hoàn lại) đến khi được 3 sản phẩm tốt thì dừng lại Tính xácsuất để:

a) người đó dừng lại sau lần lấy thứ ba

b) người đó dừng lại sau lần lấy thứ tư

c) lần thứ ba lấy được sản phẩm xấu, biết rằng người đó dừng lại sau lần thứ tư

Bài 1.15 Hộp thứ nhất có 8 sản phẩm loại A và 2 sản phẩm loại B; hộp thứ hai có 5 sảnphẩm loại A và 3 sản phẩm loại B Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 sản phẩm

a) Tính xác suất để được 3 sản phẩm loại A

b) Giả sử lấy được 1 sản phẩm loại B và 3 sản phẩm loại A Nhiều khả năng là sản phầmloại B thuộc hộp nào, tại sao?

Bài 1.16 Có 2 máy cùng sản suất một loại sản phẩm Máy thứ nhất cung cấp được 70%sản lượng, máy thứ hai cung cấp được 30% sản lượng Khoảng 80% sản phẩm sản suất bởimáy 1 và 90% sản phẩm sản suất bởi máy 2 là đạt yêu cầu

a) Hỏi trung bình cả hai máy sản suất được bao nhiêu phần trăm sản phẩm đạt yêu cầu?b) Lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm thấy nó đạt yêu cầu Tính xác suất để sản phẩm đó là

Bài 1.18 Trong một thành phố, tỉ lệ người thích xem bóng đá là 65% Chọn ngẫu nhiên

12 người Tính xác suất để trong đó có đúng 5 người thích xem bóng đá

Bài 1.19 Một trò chơi có xác suất thắng mỗi ván là 1/50 Nếu một người chơi 50 ván thìxác suất để người đó thắng ít nhất một ván là bao nhiêu?

Bài 1.20 Một lô hàng có 6% là phế phẩm Người ta dùng phương pháp chọn mẫu để kiểmtra lô hàng và quy ước rằng: kiểm tra lần lượt không hoàn lại 6 sản phẩm, nếu có ít nhất 1sản phẩm là phế phẩm thì loại lô hàng Tính xác suất để chấp nhận lô hàng

Bài 1.21 Tỉ lệ sản xuất ra phế phẩm của một nhà máy là 8% Khảo sát một lô hàng gồm

75 sản phẩm do nhà máy đó sản xuất

a) Tính xác suất để trong lô hàng, có 10 phế phẩm

b) Trong lô hàng, nhiều khả năng là có bao nhiêu phế phẩm? Tính xác suất tương ứng.Bài 1.22 Người ta muốn lấy ngẫu nhiên một số hạt giống từ một lô hạt giống có tỉ lệ hạtlép là 3% để nghiên cứu Hỏi phải lấy ít nhất bao nhiêu hạt sao cho xác suất để có ít nhấtmột hạt lép không bé hơn 95%?

Ví dụ 2.1 Gieo ngẫu nhiên hai con xúc xắc cân đối đồng chất, quan sát số nút xuất hiện

ở mặt trên của hai con xúc xắc, gọi X là ĐLNN chỉ số lớn nhất trong hai số xuất hiện.a) Lập bảng phân phối xác suất của X;

b) P (X ≤ 3) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = 1

4;c) P (2 ≤ X < 5) = P (2P (3) + P (4) = 15

b) Tìm xác suất để được ít nhất 2 lọ tốt; được 3 lọ cùng loại.

Giải Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lọ thuốc tốt trong 3 lọ lấy ra X ∈ {0, 1, 2, 3}.a) Gọi Ai: "Lọ thuốc lấy ra từ hộp thứ i là lọ tốt"

b) Xác suất để được ít nhất hai lọ tốt: P (X ≥ 2) = P (X = 2) + P (X = 3) = 107

180;Xác suất để được ba lọ cùng loại: P (X = 0) + P (X = 3) = 11

45.

Ví dụ 2.3 Một hộp đựng 5 sản phẩm, trong đó có hai phế phẩm Lần lượt kiểm tra từngsản phẩm (không hoàn lại) cho đến khi gặp hai phế phẩm thì dừng lại Tìm luật phân phốixác suất cho số sản phẩm được kiểm tra Tính số lần kiểm tra trung bình

Giải Gọi X là ĐLNN chỉ số sản phẩm được kiểm tra X ∈ {2, 3, 4, 5}

Đặt Ai: "Lần thứ i kiểm tra được phế phẩm"

P (X = 2) = P (A1A2) = P (A1)P (A2/A1) = 1

10;

P (X = 3) = P (A1A¯2A¯3+ A2A¯1A¯3+ A3A¯1A¯2) = 2

10;Tương tự: P (X = 4) = 3

Số lần kiểm tra trung bình: EX = 4

Ví dụ 2.4 Một xạ thủ có 4 viên đạn Anh ta lần lượt bắn từng viên vào bia và sẽ ngừngbắn khi có một viên trúng bia; nếu không, anh ta sẽ bắn cho đến khi hết đạn Biết rằng xácsuất bắn trúng bia ở mỗi lần bắn là 0, 8 Gọi X là số đạn mà xạ thủ đã bắn Hãy tìm luậtphân phối xác suất của X; tính kỳ vọng và phương sai của X

Giải Miền giá trị của X là {1, 2, 3, 4}

P (X = 1) = 0, 8; P (X = 2) = 0, 2.0, 8 = 0, 16; P (X = 3) = 0, 22.0, 8 = 0, 032; P (X = 4) =

0, 23 = 0, 008 Bảng phân phối xác suất của X:

X 1 2 3 4P(X) 0, 8 0, 16 0, 032 0, 008

Kì vọng của X: EX = 1.0, 8 + 2.0, 16 + 3.0, 032 + 4.0, 008 = 1, 248

Phương sai của X: DX = 12.0, 8 + 22.0, 16 + 32.0, 032 + 42.0, 008 − 1, 2482 = 0, 2985

Ví dụ 2.5 Một cơ sở sản xuất các bao kẹo Số kẹo trong mỗi bao là một đại lượng ngẫunhiên X có phân phối xác suất như sau:

P(X) 0, 14 0, 24 0, 32 0, 21 0, 09a) Tìm trung bình và phương sai của số viên kẹo trong mỗi bao;

b) Chi phí sản xuất của mỗi bao kẹo là 3X + 16 Tiền bán mỗi bao kẹo là 100$ Không phânbiệt số kẹo trong bao Tìm lợi nhuận trung bình và độ lệch chuẩn của lợi nhuận cho mỗibao kẹo;

c) Hai bao kẹo được chọn ngẫu nhiên Tính xác suất để ít nhất một trong hai bao chứa ítnhất 20 viên kẹo

c) Đặt A: “Bao chứa ít nhất 20 viên kẹo” thì P (A) = P (X = 20)+P (X = 21)+P (X = 22) =

0, 62 Xác suất để ít nhất một trong hai bao chứa ít nhất 20 viên kẹo: 0, 62 + 0, 62.0, 38 =

c) Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y = 3 − X.

d) Tính kỳ vọng và phương sai của X

e) Lập hàm phân phối xác suất của X

Bài 2.2 Cho đại lượng ngẫu nhiên X với bảng phân phối xác suất:

a) Tìm kỳ vọng và phương sai của X

b) Đặt Y = 3X + 4 Tìm kỳ vọng và phương sai của Y

c) Đặt Z = |X − 4| Tìm kỳ vọng và phương sai của Z

Bài 2.3 Một lớp học 40 học sinh có tỉ lệ học sinh chăm chỉ là 0,4 Chọn ngẫu nhiên 3 họcsinh, gọi X là số học sinh chăm chỉ Lập bảng phân phối của X Trung bình chọn được baonhiêu học sinh chăm chỉ?

Bài 2.4 Một thùng chứa 10 chính phẩm và 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm.Gọi X là số chính phẩm lấy được

a) Lập bảng phân phối xác suất của X

b) Lập hàm phân phối xác suất của X

a) Tìm c.

b) Tính kỳ vọng, phương sai của X

c) Lập hàm phân phối F (x) của X

b) Tính kỳ vọng, phương sai của X

c) Lập hàm phân phối F (x) của X

b) Tìm E[X], E[5X − 2], E[X2+ 3X]

c) Tính E[Y ] biết rằng Y = X3+ 1

X.d) Tìm med(X)

Bài 2.8 Cho hàm phân phối của ĐLNN liên tục X có dạng:

b) Lập hàm mật độ f (x)

c) Tìm xác suất để X nhận giá trị trong khoảng (0,25; 0,75)

Bài 2.9 Cho đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn và X ∼ N (300, 502)

a) Tính P [X > 362]

b) Tính P [X ≤ 250

c) Tính P [275 < X ≤ 350]

theo hai cách.

d) Tìm kỳ vọng, phương sai và mode của X

theo hai cách

d) Tìm kỳ vọng, phương sai và mode của X

Bài 2.12 Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x) =

b) Tìm hàm phân phối xác suất F (x) của X

Bài 2.13 Cho đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N (µ; σ2) Biết rằng X lấy giátrị nhỏ hơn 60 với xác suất 0,1003 và lấy giá trị lớn hơn 90 với xác suất 0,0516

a) Tính µ và σ

b) Tính P [68 < X < 75]

Bài 2.14 Chiều cao của loại cây T sau khi trồng được 3 năm ở một vùng là biến ngẫunhiên có phân phối chuẩn với µ = 5 (mét) và độ lệch chuẩn σ = 0,4 (mét).

a) Chọn ngẫu nhiên 1 cây loại đó Tính xác suất chọn được cây có chiều cao từ 5, 1 đến 5, 35(mét)?

b) Cây được xem là phát triển tốt nếu có chiều cao trên 5, 2 (mét) Chọn ngẫu nhiên 20 cây,tính xác suất có từ 15 đến 18 cây phát triển tốt

Bài 2.15 Trọng lượng của một con gà 6 tháng tuổi là một đại lượng ngẫu nhiên X (đơnvị: kg) với hàm mật độ

a) Lập bảng phân phối xác suất của X

b) Lập hàm phân phối xác suất của X

a) trong khoảng thời gian trên 11 phút

b) trong khoảng thời gian từ 9 phút đến 12 phút

Bài 2.19 Một xạ thủ bắn ngẫu nhiên bốn phát đạn vào bia với khả năng trúng hồng tâmmỗi lần đều bằng 0,8 Tìm qui luật phân bố xác suất cho số viên đạn bắn trúng hồng tâm.Trung bình xạ thủ này bắn trúng mấy phát?

Bài 2.20 Đường kính của một loại chi tiết do một máy sản xuất là một ĐLNN có phânphối chuẩn với kỳ vọng 20 mm; phương sai 0,04 Tính xác suất lấy ngẫu nhiên một chi tiếtthì được chi tiết

a) có đường kính trong khoảng 19,9 mm đến 20,3 mm

b) có đường kính sai khác với kỳ vọng không quá 0,3 mm (các chi tiết như vậy được gọi làchi tiết loại A)

c) Một xưởng chế tạo mua ngẫu nhiên 20 chi tiết máy trên về để sử dụng Tính xác suấtxưởng đó mua được trên 17 chi tiết loại A

Bài 2.21 Trọng lượng của một loại sản phẩm là ĐLNN có phân phối chuẩn với µ = 20 kg

và σ2 = 1,44 kg2 Sản phẩm được xem là đạt chuẩn nếu có trọng lượng từ 19,5 kg đến 21 kg.a) Tính tỉ lệ sản phẩm đạt chuẩn của sản phẩm trên

b) Một khách hàng mua ngẫu nhiên 20 sản phẩm, tính xác suất để trong đó có đúng 7 sảnphẩm đạt chuẩn

c) Một khách hàng khác mua ngẫu nhiên 10 sản phẩm, tính xác suất để trong đó có khôngdưới 8 sản phẩm đạt chuẩn

Chương 3

Mẫu thống kê và ước lượng tham số

3.1.1 Tính giá trị của các đặc trưng của mẫu

Phương pháp: Áp dụng công thức tính cho X, S2, (S0)2, f với mẫu dữ liệu đơn Nếu gặpmẫu dữ liệu dạng khác thì ta đưa về mẫu dữ liệu đơn

Ví dụ 3.1 Để đưa ra một nhận định về chiều cao của giống cây lâu năm, người ta tiếnhành đo ngẫu nhiên chiều cao (đơn vị mét) của một số cây lâu năm và thu được số liệunhư sau: 40; 40,5; 40,8; 41; 41,5; 41; 40,5; 40; 42; 42,8; 50; 50,5; 42; 42,5; 41;41; 40;40,5; 50;50,5;51;51,5;52;51,8;52 Hãy tính trung bình chiều cao của mẫu, độ lệch chuẩn và độ lệchhiệu chỉnh của mẫu

Giải: Gọi X là chiều cao của một cây lâu năm Gọi W = (X1, X2, · · · , Xn) là mẫu ngẫunhiên cảm sinh từ X Theo giả thiết, ta có n = 25

Chiều cao trung bình của mẫu làx = 40 + 40, 5 + · · · + 51, 8 + 52

Độ lệch chuẩn và độ lêch hiệu chỉnh Ta có

s2 = 1

n (x1− x)2+ · · · + (xn− x)2
Suy ra s2 ' 23, 550464 và do đó s ' 4, 85288

(s0)2 = 1

n − 1 (x1− x)2+ · · · + (xn− x)2
Suy ra (s0)2 ' 24, 531733 và do đó s0 ' 4, 95295

Ví dụ 3.2 Để đưa ra một nhận định nào đó về trọng lượng (đơn vị kg) của một trẻ mớisinh, người ta tiến hành cân ngẫu nhiên 150 trẻ và thu được bảng dữ liệu sau:

Tính trọng lượng trung bình của mẫu Tính phương sai và phương sai hiệu chỉnh của mẫu.Biết rằng một trẻ có trọng lượng trong đoạn [2, 7; 3, 8] được gọi là đạt chuẩn, hãy tính tỉ lệtrẻ có trọng lượng đạt chuẩn của mẫu

Giải: Gọi X là trọng lượng của một trẻ Gọi W = (X1, X2, · · · , Xn) là mẫu ngẫu nhiêncảm sinh bởi X Khi đó n = 150.

Phương sai hiệu chỉnh của mẫu:

(s0)2 = 1

n − 1 (x1− x)2+ · · · + (xn− x)2
Suy ra (s0)2 ' 0, 337835

Tỉ lệ trẻ có trọng lượng đạt chuẩn trong mẫu là f = 97

Giải: Gọi X là chiều cao của một bạn nữ Gọi W = (X1, X2, · · · , Xn) là mẫu ngẫu nhiêncảm sinh từ X Khi đó n = 100 Đưa về mẫu dữ liệu đơn, ta thu được

Chiều cao 1,545 1,595 1,655 1,715 1,77 1,825 1,875

Áp dụng công thức, ta thu được: x = 1, 65375, s ' 0, 100969 và s0 ' 0, 101477

Tỉ lệ nữ có chiều cao đạt tiêu chuẩn là f = 30

100 = 0, 3.

Ví dụ 3.4 Để đưa ra nhận định nào đó về tỉ lệ sinh viên thi qua môn toán cao cấp phần 1tại trường đại học nào đó, người ta tiến hành khảo sát ngẫu nhiên 500 sinh viên có 350 sinhviên thi qua Tính tỉ lệ sinh viên thi qua của mẫu

Giải: Gọi W = (X1, X2, · · · , Xn) là mẫu ngẫu nhiên để quan sát sinh viên thi qua môntoán cao cấp phần 1 Khi đó n = 500 và Tỉ lệ sinh viên thi qua trong mẫu là f = 350

500 = 0, 7.

3.1.2 Ước lượng điểm cho một số tham số đặc biệt

Phương pháp: Ta chỉ xem xét ước lượng không chệch cho các tham số EX, DX và p (p

là tỉ lệ phần tử mang dấu hiệu của tập nền hay xác suất chọn được một phần tử mang dấuhiệu của tập nền) Ta tiến hành như sau:

a) Bước 1 Chọn hàm ước lượng điểm: Với EX là hàm X, với DX là hàm (S0)2 và với

p là hàm tần suất f

b) Bước 2 Từ mẫu dữ liệu tính giá trị của hàm ước lượng tại mẫu dữ liệu và sau đó xấp

xỉ tham số là giá trị vừa tính

Ví dụ 3.5 Giả sử khối lượng của các viên gạch nung X do một nhà máy sản suất là đạilượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với giá trị trung bình E(X) = a; phương sai D(X) = σ2chưa biết Để xác định khối lượng trung bình của một viên gạch ta lấy mẫu cỡ n = 50 vàthu được kết quả dạng khoảng [a, b) cho bởi bảng dưới đây:

Khối lượng (kg) 2,25-2,30 2,30-2,35 2,35-2,40 2,40-2,45

Hãy ước lượng không chệch của E(X) và D(X)

Giải: Gọi W = (X1, X2, · · · , Xn) là mẫu ngẫu nhiên nhận mẫu dữ liệu đã cho Khi đó

là ước lượng không chệch của D(X) = σ2

s0 =p(s0)2 ≈ 0, 0429kg là ước lượng của σ

Ví dụ 3.6 Để xác định tỷ lệ gạch phế phẩm trong tổng số gạch của một nhà máy người

ta kiểm tra chất lượng 250 viên gạch có 6 viên không đạt chất lượng Hãy ước lượng khôngchệch cho tỷ lệ gạch phế phẩm của nhà mày này

Giải: Gọi W = (X1, X2, · · · , Xn) là mẫu ngẫu nhiên nhận các giá trị quan sát như đãcho Khi đó n = 250 và tỉ lệ gạch phế phẩm trong mẫu

3.1.3 Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho kỳ vọng

a) Ước lượng không chệch cho trung bình chiều cao của sinh viên

b) Với độ tin cậy 95%, ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho trung bình chiều cao củasinh viên biết rằng độ lệch chuẩn của chiều cao là 0, 2

c)Với độ tin cậy 95%, ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho trung bình chiều cao củasinh viên

Giải: Gọi X là chiều cao của sinh viên, khi đó X ∼ N (µ, σ2) với µ = EX, σ2 = DX.Gọi W = (X1, X2, · · · , Xn) là mẫu ngẫu nhiên cảm sinh từ X Ta có n = 100 và x = 1, 69,

độ lệch hiệu chỉnh là s0 = 0, 4 Ta ước lượng cho chiều cao trung bình µ



Ta tính u(1− α

2 ) = u0,975 Ta có Φ0(u0,975) = 0, 975 − 0, 5 = 0, 475, suy ra u0,975 = 1, 96.Thay u0,975 = 1, 96, σ = 0, 2 và x = 1, 69 vào khoảng tin cậy, ta thu được (1, 6508; 1, 7292).c) Độ tin cậy 1 − α = 0, 95 suy ra α = 0, 05 Đây là bài toán ước lượng khoảng đối xứngcho µ chưa biết σ và cỡ mẫu n > 30

Khoảng tin cậy đối xứng của µ là



Ta tính u(1−α

2 )= u0,975 Ta có Φ0(u0,975) = 0, 975 − 0, 5 = 0, 475, suy ra u0,975 = 1, 96.Thay u0,975= 1, 96, s0 = 0, 4 và x = 1, 69 vào khoảng tin cậy, ta thu được (1, 6116; 1, 7684)

Ví dụ 3.8 Người ta tiến hành cân trọng lượng (đơn vị kg) ngẫu nhiên của 25 gà trưởngthành và thu được kết quả dạng khoảng [a, b) cho bởi bảng dưới đây:

Trọng lượng 1,1-1,3 1,3-1,5 1,5-1,7 1,7-1,9 1,9-2,1 2,1-2,3 2,3-2,5

Biết rằng trọng lượng của gà có phân phối chuẩn, hãy xác định:

a) Ước lượng không chệch trọng lượng trung bình của gà.

b) Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng trọng lượng trung bình của gà với độ tin cậy 99%

và độ lệch chuẩn trọng lượng gà là 0, 3

c) Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng trọng lượng trung bình của gà với độ tin cậy 99%.Giải: Gọi X là trọng lượng của gà, khi đó X ∼ N (µ, σ2) với µ = EX, σ2 = DX

Gọi W = (X1, X2, · · · , Xn) là mẫu ngẫu nhiên cảm sinh từ X Ta có n = 25, x = 1, 752

và độ lêch hiệu chỉnh s0 ' 0, 3331 Ta ước lượng cho trọng lượng trung bình µ

a) µ = 1, 752

b) Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho µ với độ tin cậy 99% và biết độ lệch chuẩn

σ = 0, 3

Độ tin cậy 1 − α = 0, 99 suy ra α = 0, 01

Khoảng tin cậy đối xứng của µ là

Ta tính u(1−α

2 ) = u0,995 Ta có Φ0(u0,995) = 0, 995 − 0, 5 = 0, 495, suy ra u0,995 = 2, 58

Thay u0,995= 2, 58, σ = 0, 3 và x = 1, 752 vào khoảng tin cậy, ta thu được (1, 5972; 1, 9068).c) Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho µ với độ tin cậy 99% và chưa biết độ lệchchuẩn σ và cỡ mẫu n = 25 < 30

Độ tin cậy 1 − α = 0, 99 suy ra α = 0, 01

Khoảng tin cậy đối xứng của µ là

0

√n



3.1.4 Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho phương sai

Phương pháp: Áp dụng công thức khoảng tin cậy đối xứng cho DX

Ví dụ 3.9 Cho khối lượng một loại sản phẩm tuân theo luật phân phối chuẩn Cân thửtừng sản phẩm của một mẫu ngẫu nhiên gồm 25 đơn vị, ta có kết quả

Khoảng ước lượng đối xứng của DX là

(n − 1)(s0)2

χ2 (1−α2)(n − 1);

(n − 1)(s0)2

χ2 (α2)(n − 1)

!

Do đó ta có khoảng ước lượng σ2 = DX ∈ (0, 1302; 0, 4134)

Ví dụ 3.10 Trọng lượng của một bao gạo là một đại lượng phân phối chuẩn N (µ, σ2) Cânkhoảng 25 bao ngâu nhiên, ta thu được bảng:

(n − 1)(s0)2

χ2 (α2)(n − 1)

!

Do đó ta có khoảng ước lượng σ2 ∈ (0, 0887; 0, 2818)

3.1.5 Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho xác suất

Phương pháp: Áp dụng công thức khoảng tin cậy đối xứng cho tỉ lệ phần tử mang dấuhiệu của tập nền (hay xác suất chọn được một phần tử mang dấu hiệu của tập nền), và kýhiệu là p

Ví dụ 3.11 Đo ngẫu nhiên 100 sinh viên thì có 40 sinh viên cao trên 1,73 m Với độ tincậy 0,95 hãy ước lượng khoảng tin cậy đối xứng tỉ lệ sinh viên cao trên 1,73 m tại hà nội.Giải: Gọi p là xác suất chọn một bạn sinh viên ngẫu nhiên ở Hà nội có chiều cao trên

1, 73 m Gọi W = (X1, X2, · · · , Xn) là mẫu ngẫu nhiên nhận các giá trị quan sát đã cho Khi

đó n = 100 và tần suất mẫu f = 10040 = 0, 4 Độ tin cậy 1 − α = 0, 95, ta có α = 0, 05 Tacũng thấy n.f = 40 > 10 và n(1 − f ) = 60 > 10

Khoảng tin cậy đối xứng của p là



Ta có u(1−α

2 ) = 1, 96 Suy ra khoảng ước lượng là p ∈ (0, 30398; 0, 496)

Ví dụ 3.12 Khảo sát tỉ lệ sinh viên thi qua môn toán cao cấp phần 1, tiến hành điều trangẫu nhiên 500 sinh viên có 450 sinh viên thi qua

a) Ước lượng không chệch cho tỉ lệ sinh viên thi qua môn toán.

b) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho tỉ lệ sinh viên thi quamôn toán

Giải: Gọi p là tỉ lệ (xác suất) sinh viên thi qua môn toán ở tổng thể

Gọi W = (X1, X2, · · · , Xn) là mẫu ngẫu nhiên để quan sát số sinh viên thi qua môntoán Khi đó n = 500, tần suất mẫu (tỉ lệ sinh viên thi qua của mẫu) là f = 450

500 = 0, 9 Taước lượng cho tỉ lệ p

!

Ta tính u(1−α

2 ) = u0,975 Ta có Φ0(u0,975) = 0, 975 − 0, 5 = 0, 475, suy ra u0,975 = 1, 96

Thay u0,975= 1, 96, f = 0, 9 và n = 500 vào khoảng tin cậy, ta thu được (0, 873704; 0, 926296)

Ví dụ 3.13 Một khảo sát ngẫu nhiên 100 sinh viên nam về chiều cao (đơn vị mét) và thuđược kết quả dạng khoảng [a, b) cho bởi bảng dưới đây:

Chiều cao 1,53-1,59 1,59-1,65 1,65-1,71 1,71-1,77 1,77-1,83 1,83-1,89 1,89-1,91

Một sinh viên nam được gọi là có chiều cao đạt tiêu chuẩn nếu chiều cao nằm giữa 1, 65 và

1, 77 Hãy

a) Ước lượng không chệch cho tỉ lệ sinh viên có chiều cao đạt tiêu chuẩn

b) Với độ tin cậy 99%, ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho tỉ lệ sinh viên có chiều caođạt tiêu chuẩn

Giải: Gọi p là tỉ lệ sinh viên có chiều cao đạt tiêu chuẩn

Gọi W = (X1, X2, · · · , Xn) là một mẫu ngẫu nhiên để quan sat sinh viên có chiều caođạt tiêu chuẩn Khi đó n = 100 và tỉ lệ sinh viên có chiều cao đạt tiêu chuẩn của mẫu là

!

Ta tính u(1−α

2 ) = u0,995 Ta có Φ0(u0,995) = 0, 995 − 0, 5 = 0, 495, suy ra u0,995 = 2, 58

Thay u0,995= 2, 58, f = 0, 56 và n = 100 vào khoảng tin cậy, ta thu được (0, 431932; 0, 688068)

Ví dụ 3.14 Một trường đại học có tổng số sinh viên là 6000 sinh viên Chúng ta cần khảosát về số lượng nữ theo học trong trường Người ta quan sát ngẫu nhiên 300 sinh viên có 50sinh viên nữ Với độ tin cậy 95%, có tối đa bao nhiêu sinh viên nữ theo học tại trường?