Tính xác suất để chính phẩm đó được lấy ra từ Hộp thứ nhất.. Tính xác suất để lấy ngẫu nhiên một bi từ hộp 2 được bi đỏ.. Chọn ngẫu nhiên 3 người, tính xác suất trong đó có đúng 2 người
Trang 1CHƯƠNG 1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT
Bài tập Cơ bản
Bài 1 Trong hộp có 5 bi xanh và 9 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên ra ba viên bi Tính xác suất để
1 lấy được ba viên bi cùng màu
2 lấy được cả hai loại bi
Bài 2 Hộp 1 có 6 bi xanh, 4 bi đỏ; hộp 2 có 5 bi xanh và 7 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp hai viên bi Tính xác suất để
1 lấy được bốn viên bi cùng màu
2 lấy được 3 bi xanh và 1 bi đỏ
3 lấy được 2 bi xanh và 2 bi đỏ
Bài 3 Trong hộp có 8 chính phẩm và 4 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai sản phẩm Tính xác suất để hai sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm
Bài 4 Hai máy bay cùng ném bom một mục tiêu, mỗi máy bay ném một quả với xác suất trúng mục tiêu tương
ứng là 0,6 và 0,7 Tính xác suất để mục tiêu bị trúng bom
Bài 5 Trong một hộp có 5 bi xanh, 7 bi đỏ và 9 bi vàng.
1 Lấy ngẫu nhiên ra đồng thời 2 viên bi Tính xác suất lấy được 2 bi khác màu
2 Lấy ngẫu nhiên ra đồng thời 3 viên bi Tính xác suất lấy được 3 bi cùng màu
Bài 6 Gieo đồng thời 2 con xúc xắc (cân đối, đồng chất) Tính xác suất:
1 được ít nhất một mặt 6
2 được tổng số chấm lớn hơn 9
3 được hiệu số chấm là 2
4 xúc xắc 2 ra mặt lẻ, biết rằng xúc xắc 1 đã ra mặt 4
5 xúc xắc 2 ra mặt lẻ, biết rằng xúc xắc 1 đã ra mặt chẵn
Trang 2Bài 7 Trong hộp có 8 chính phẩm và 4 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai sản phẩm (không hoàn lại) Tính xác suất để
2
1 hai sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm
2 lần thứ hai lấy được phế phẩm, biết rằng lần đầu được chính phẩm
Bài 8 Một mặt hàng điện tử có xác suất bị hỏng trong thời gian bảo hành là 20% Siêu thị đã bán ra
25 sản phẩm đó Tính xác suất
1 có từ 5 đến 7 sản phẩm phải mang đi bảo hành
2 có không quá 4 sản phẩm phải bảo hành
Bài 9 Có 3 hộp giống nhau:
Hộp thứ nhất đựng 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm
Hộp thứ hai đựng 15 sản phẩm, trong đó có 10 chính phẩm
Hộp thứ ba đựng 20 sản phẩm, trong đó có 15 chính phẩm
Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm
1 Tính xác suất lấy được chính phẩm
2 Giả sử lấy được chính phẩm Tính xác suất để chính phẩm đó được lấy ra từ Hộp thứ nhất
3 Nếu sản phẩm lấy ra là phế phẩm thì xác suất lấy được phế phẩm đó từ hộp nào là lớn nhất?
Bài 10 Có hai hộp đựng bi:
Hộp 1 có 10 bi xanh và 3 bi đỏ Hộp 2 có 8 bi xanh và 6 bi đỏ
Từ hộp 1 lấy ngẫu nhiên một viên bi và bỏ vào hộp 2
1 Tính xác suất để lấy ngẫu nhiên một bi từ hộp 2 được bi đỏ
2 Biết rằng đã lấy được 2 bi đỏ Tính xác suất bi bỏ từ hộp 1 sang hộp 2 là bi xanh
3 Giả sử bi lấy ra được từ hộp 2 là bi xanh Tính xác suất bi lấy từ hộp 1 sang hộp 2 là bi đỏ
Trang 3Bài tập Nâng cao
Bài 11 Trong hộp có 10 sản phẩm, trong đó có đúng 4 sản phẩm tốt Một người lấy lần lượt từng sản phẩm (không hoàn lại) đến khi được ba sản phẩm tốt thì dừng lại Tính xác suất để:
1 người đó dừng lại sau lần lấy thứ ba
2 người đó dừng lại sau lần lấy thứ tư
3 lần thứ hai lấy được sản phẩm xấu, biết rằng người đó dừng lại sau lần thứ tư
3
Trang 4Bài 12 Trong một cuộc hội thảo có 100 người tham dự Có 18 người biết tiếng Anh và tiếng Pháp; có 15 người
biết tiếng Pháp và tiếng Đức; có 12 người biết tiếng Đức và tiếng Anh; chỉ có 4 người biết cả 3 thứ tiếng Anh, Pháp, Đức; có 2 người chỉ biết tiếng Anh; có 3 người chỉ biết tiếng Pháp; có 1 người chỉ biết tiếng Đức; số còn lại chỉ biết tiếng Việt
1 Chọn ngẫu nhiên 1 người, tính xác suất người đó chỉ biết tiếng Việt
2 Chọn ngẫu nhiên 2 người, tính xác suất trong đó có đúng 1 người biết tiếng Đức
3 Chọn ngẫu nhiên 3 người, tính xác suất trong đó có đúng 2 người chỉ biết thêm một ngoại ngữ, người còn lại không biết ngoại ngữ nào
Bài 13 Có 3 người muốn đi xem bóng đá nhưng chỉ có 2 vé Họ tổ chức bốc thăm lần lượt với hai thăm "có" và một thăm "không" Hỏi cách làm vậy có công bằng hay không? Hãy giải thích?
Bài 14 Để thành lập đội tuyển quốc gia về một môn thể thao, người ta tổ chức một cuộc thi tuyển gồm 3
vòng Vòng thứ nhất lấy 80% thí sinh, vòng thứ hai lấy 70% thí sinh đã qua vòng thứ nhất, vòng thứ ba lấy 45% thí sinh đã qua vòng thứ hai
1 Tính xác suất để một thí sinh bất kì được vào đội tuyển
2 Biết một thí sinh đã bị loại, tính xác suất để thí sinh bị loại ở vòng thứ hai
Bài 15 Một lô sản phẩm gồm 5 thùng loại một và 3 thùng loại hai Mỗi thùng đều có 10 sản phẩm Mỗi thùng loại một có 2 phế phẩm, mỗi thùng loại hai có 4 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên một thùng trong lô sản phẩm đó
và từ đó lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm để kiểm tra
1 Tính xác suất lấy được cả hai chính phẩm
2 Giả sử đã lấy được hai chính phẩm Khi đó khả năng hai chính phẩm này thuộc thùng loại hai là bao nhiêu phần trăm?
Bài 16 Có hai thùng đựng sản phẩm Thùng I có 12 sản phẩm, trong đó có 4 phế phẩm; Thùng II có 15 sản phẩm, trong đó có 5 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ Thùng II bỏ sang Thùng I Sau đó lại lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ Thùng I ra kiểm tra thì được phế phẩm Tính xác suất để sản phẩm bỏ từ Thùng II sang Thùng I là chính phẩm
Bài tập Củng cố
Bài 17 Một người bắn liên tiếp 6 viên đạn vào bia, xác suất trúng bia của mỗi viên đạn là 0,8 Tính xác suất để
1 bia bị trúng đúng 3 phát
2 bia bị trúng đạn
Trang 5Bài 18 Có 8 người, mỗi người đều gieo 2 đồng xu cùng 1 lúc Nếu một người gieo được 1 đồng sấp, 1 đồng
ngửa thì gọi là “người may mắn” Tính xác suất
1 có đúng 3 người may mắn
2 có ít nhất 1 người may mắn
Bài 19 Một người gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc (cân đối, đồng chất) bốn lần liên tiếp.
1 Tính xác suất được ít nhất một lần xuất hiện mặt 1 chấm
2 Giả sử người đó gieo 8 đợt, mỗi đợt 4 lần như trên Tính xác suất có đúng ba đợt không ra mặt 1 chấm nào
Bài 20 Một cuộc điều tra trong thành phố X đối với các hộ gia đình sử dụng dịch vụ truyền hình cáp và
internet, có 30% hộ sử dụng truyền hình cáp, 20% hộ sử dụng internet và 15% hộ sử dụng cả hai dịch vụ trên Điều tra ngẫu nhiên một hộ gia đình, tính xác suất để hộ này:
1 Không sử dụng dịch vụ nào
2 Không dùng internet, biết người này đã dùng truyền hình cáp
Bài21 Có 2 máy cùng sản suất một loại sản phẩm Máy thứ nhất cung cấp được 70% sản lượng, máy thứ hai cung cấp được 30% sản lượng Khoảng 80% sản phẩm sản suất bởi máy 1 và 90% sản phẩm sản suất bởi máy 2
là đạt yêu cầu
1 Hỏi trung bình cả hai máy sản suất được bao nhiêu phần trăm sản phẩm đạt yêu cầu?
2 Lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm thấy nó đạt yêu cầu Tính xác suất để sản phẩm đó là do máy 1 sản suất
3 Giả sử lấy được 1 sản phẩm không đạt yêu cầu Theo anh/chị thì sản phẩm này do máy nào sản suất ra?
Bài 22 Một trường THPT có tỉ lệ học sinh học ở các khối như sau: Khối 10 là 30%, Khối 11 là 25%, Khối 12 là 45%.
Biết rằng tỉ lệ học sinh giỏi của Khối 10 là 5%, Khối 11 là 6%, Khối 12 là 4%
1 Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường Tính xác suất để đó là một học sinh giỏi
2 Giả sử đã chọn ngẫu nhiên được một học sinh giỏi Tính xác suất để học sinh đó học lớp 11
3 Nếu chọn ngẫu nhiên được một em học sinh không phải là học sinh giỏi thì khả năng em này học lớp mấy là cao nhất?
CHƯƠNG2.BIẾNNGẪUNHIÊNVÀCÁCQUILUẬTPHÂNPHỐIXÁC SUẤT
Trang 6Bài tập Cơ bản
Bài 23 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất:
=
1 Tính P[X > 0]
2 Tính P[|X −1|≤ 2]
3 Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y = 3−X
4 Tính kỳ vọng và phương sai của X
5 Lập hàm phân phối xác suất của X
Bài 24 Cho biến ngẫu nhiên X với bảng phân phối xác suất:
=
1 Tìm kỳ vọng và phương sai của X
2 Đặt Y = 3X +4 Tìm kỳ vọng và phương sai của Y 3 Đặt Z =|X −4| Tìm kỳ vọng và
phương sai của Z
Bài 25 Một thùng chứa 10 chính phẩm và 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm Gọi X là số chính phẩm lấy được
1 Lập bảng phân phối xác suất của X
2 Lập hàm phân phối xác suất của X
3 Tính P[X2 < 3]
4 Tính kỳ vọng, phương sai của X
5 Tìm mod(X) và med(X)
6 Đặt Y = max©X,X2 ª
Tính kỳ vọng của Y
x −2 −1 1 2
P[X x] 0,2 0,3 0,4 0,1
P[X x] 0,2 0,6 0,2
Trang 7 =
cx2+x
Bài 26 Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x)
0
1 Tìm c
2 Tính kỳ vọng, phương sai của X
3 Lập hàm phân phối F(x) của X
4 Tìm med(X)
nếu 0 ≤ x ≤ 1 nếu x 6∈[0,1].
= x2+kx
Bài 27 Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x)
0
1 Tìm k
2 Tính kỳ vọng, phương sai của X
3 Lập hàm phân phối F(x) của X
4 Tìm med(X)
nếu 0 < x < 1 nếu x 6∈(0,1).
k
Bài 28 Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x) = x2 nếu 1
≤ x ≤ 3 0 nếu x 6∈[1,3].
1 Tìm k
2 Tìm E[X], E[5X −2], E[X2+3X]
= 3+ 1
3 Tính E[Y ] biết rằng Y X X
4 Tìm med(X)
Bài 29 Cho hàm phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục X có dạng:
0
F(x) = ax2
1
nếu x ≤ 0 nếu
0 < x ≤ 1 nếu
x > 1
Trang 81 Tìm a.
2 Lập hàm mật độ f (x)
3 Tìm xác suất để X nhận giá trị trong khoảng (0,25;0,75).
Bài 30 Tuổi thọ (năm) của một
mạch điện tử trong máy tính là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối mũ với kỳ vọng là 6,25 Thời gian bảo hành của mạch điện tử là 5 năm Hỏi có bao nhiêu phần trăm mạch điện tử bán ra phải thay thế trong thời gian bảo hành?
4x nếu Bài 32.
Cho hàm số f (x) =
40−4xnếunếu x ≥ 1.
1 Chứng minh f (x) là hàm mật độ của một bnn X
2 Tìm hàm phân phối xác suất của X
3 Tính P < X < theo hai cách
4 Tìm kỳ vọng, phương sai và mode của X
5 Đặt Y = 3 X +8, tính E[Y ]
6 Đặt Z = max{X, 1}, tính E[Z]
Bài 33 Cho hàm số f (x) = nếu
4
20−xnếunếu x ≥ 2.
Bài 31 Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn và X N ∼ (300,50 2 ).
1 Tính P[X > 362]
2 Tính P[X ≤ 250
3 Tính P[275 < X ≤ 350]
Bài tập Nâng cao
0 nếu x < 0
0 nếu x < 0
Trang 91 Chứng minh f (x) là hàm mật độ của một bnn X.
2 Tìm hàm phân phối xác suất của X
3 Tính P < X ≤ theo hai cách
4 Tìm kỳ vọng, phương sai và mode của X a
3
Bài 34 Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x) x 0
1 Tìm hằng số a
2 Tìm hàm phân phối xác suất F(x) của X
khi x > 1
khi x ≤ 1.
=
Trang 10Bài 35 Cho biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối chuẩn N (µ;σ2 ) Biết rằng X lấy giá trị nhỏ hơn 60 với xác suất 0,1003 và lấy giá trị lớn hơn 90 với xác suất 0,0516
1 Tính µ và σ
2 Tính P[68 < X < 75]
Bài 36 Chiều cao của loại cây T sau khi trồng được 3 năm ở một vùng là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với µ= 5 (mét) và độ lệch chuẩn σ= 0,4 (mét)
1 Chọn ngẫu nhiên 1 cây loại đó Tính xác suất chọn được cây có chiều cao từ 5,1 đến 5,35 (mét)? item Cây được xem là phát triển tốt nếu có chiều cao trên 5,2 (mét) Chọn ngẫu nhiên 20 cây, tính xác suất có từ
15 đến 18 cây phát triển tốt
Bài tập Củng cố
Bài 37 Một lớp học 40 học sinh có tỉ lệ học sinh chăm chỉ là 0,4 Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh, gọi X là số học sinh chăm chỉ Lập bảng phân phối của X Trung bình chọn được bao nhiêu học sinh chăm chỉ?
Bài 38 Một xạ thủ bắn ngẫu nhiên bốn phát đạn vào bia với khả năng trúng hồng tâm mỗi lần đều bằng 0,8. Tìm qui luật phân bố xác suất cho số viên đạn bắn trúng hồng tâm Trung bình xạ thủ này bắn trúng mấy phát?
Bài 39 Trọng lượng của một con gà 6 tháng tuổi là một đại lượng ngẫu nhiên X (đơn vị: kg) với hàm mật độ
=
k(x2−1)
f (x)
0
nếu 2 ≤ x ≤ 3 với x còn lại
1 Tìm k Tính kỳ vọng và độ lệch chuẩn của X
2 Lập hàm phân phối của X
x3+kx2 nếu 0 ≤ x <1
Bài 40 Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x) =
0 nếu x < 0 hoặc x ≥ 1.
1 Tìm k và tính kỳ vọng của X
2 Tìm med(X)
Trang 11Bài 41 Biết rằng X là biến ngẫu nhiên rời rạc có tập giá trị là {1; 3; 6} với các xác suất P(X = 3) = 2P(X = 6) và P(X =
1) = 0,1.
1 Lập bảng phân phối xác suất của X
2 Lập hàm phân phối xác suất của X
3 Tính P£X2 ≥ 7¤
4 Tính kỳ vọng, phương sai của X
5 Tìm mod(X) và med(X)
6 Đặt Y = 2X2−3X +4 Tính kỳ vọng của Y
Bài 42 Thời gian để sản xuất một sản phẩm loại A là một biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn với các tham số µ = 10 và σ = 1 (đơn vị là phút) Tính xác suất để một sản phẩm loại A được sản xuất
1 trong khoảng thời gian trên 11 phút
2 trong khoảng thời gian từ 9 phút đến 12 phút
Bài 43 Đường kính của một loại chi tiết do một máy sản xuất có phân phối chuẩn với kỳ vọng 20 mm; phương sai 0,04 Tính xác suất lấy ngẫu nhiên một chi tiết thì được chi tiết
1 có đường kính trong khoảng 19,9 mm đến 20,3 mm
2 có đường kính sai khác với kỳ vọng không quá 0,3 mm (các chi tiết như vậy được gọi là chi tiết loại A)
3 Một xưởng chế tạo mua ngẫu nhiên 20 chi tiết máy trên về để sử dụng Tính xác suất xưởng đó mua được trên 17 chi tiết loại A
Bài 44 Trọng lượng của một loại sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với µ = 20 kg và σ2 =
1,44 kg 2 Sản phẩm được xem là đạt chuẩn nếu có trọng lượng từ 19,5 kg đến 21 kg
1 Tính tỉ lệ sản phẩm đạt chuẩn của sản phẩm trên
2 Một khách hàng mua ngẫu nhiên 20 sản phẩm, tính xác suất để trong đó có đúng 7 sản phẩm đạt chuẩn
3 Một khách hàng khác mua ngẫu nhiên 10 sản phẩm, tính xác suất để trong đó có không dưới 8 sản phẩm đạt chuẩn
Trang 12CHƯƠNG 3 MẪU THỐNG KÊ VÀ BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ
Bài tập Cơ bản
Bài 45 Hàm lượng kẽm trung bình thu được khi đo ở 36 địa điểm khác nhau trên một dòng sông là 2,6 gam/mi-li-lít Biết rằng độ lệch chuẩn của tổng thể là 0,3
1 Hãy tìm các khoảng tin cậy 95% cho hàm lượng kẽm trung bình trong dòng sông đó
2 Muốn sai số của ước lượng không vượt quá 0,05 thì cỡ mẫu tối thiểu là bao nhiêu?
Bài 46 Thống kê tuổi thọ của 256 bóng đèn do một nhà sản xuất, ta có bảng thống kê:
−
Với độ tin cậy 95,6%, hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn này
Bài 47 Một mẫu được lấy từ tổng thể có phân phối chuẩn với số liệu:
Tìm khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình của tổng thể
Bài 48 Gieo thử 400 hạt giống thì thấy 20 hạt không nảy mầm.
1 Tỉ lệ hạt giống không nảy mầm là bao nhiêu với độ tin cậy 90%? Trong trường hợp này sai số là bao nhiêu?
2 Để sai số của ước lượng thấp hơn 1% thì số lượng hạt gieo thử ít nhất là bao nhiêu (độ tin cậy 90%)?
Bài49 Một giống lúa mới được gieo trong 10 miếng đất thí nghiệm có các điều kiện giống nhau, cho sản lượng tính theo cùng một đơn vị như sau:
Biết rằng sản lượng lúa là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(µ,σ2 ) Hãy tìm khoảng tin cậy 90% cho σ2
Tuổi thọ (giờ) Số bóng Tuổi thọ (giờ) Số bóng
Trang 13Bài 50 Khối lượng một loại sản phẩm có phân phối chuẩn Cân ngẫu nhiên 25 sản phẩm loại đó thu được bảng số liệu:
Khối lượng (gam) 29,3 29,7 30,0 30,5 30,7
1 Tìm ước lượng không chệch cho phương sai của khối lượng loại sản phẩm này
2 Với độ tin cậy 98%, tìm khoảng tin cậy cho phương sai của khối lượng loại sản phẩm đó
Bài tập Nâng cao
Bài 51 Lô trái cây của một chủ hàng được đựng trong các sọt, mỗi sọt 100 quả Người ta tiến hành kiểm tra 50 sọt thấy có 450 quả không đạt tiêu chuẩn
1 Ước lượng tỉ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn của lô hàng với độ tin cậy 95%
2 Muốn ước lượng tỉ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn của lô hàng với độ chính xác 0,5% thì độ tin cậy đạt được bao nhiêu phần trăm?
3 Muốn ước lượng tỉ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99% và độ chính xác 1% thì cần kiểm tra bao nhiêu sọt?
Bài 52 Để ước lượng số cá trong hồ, người ta bắt 2000 con, đánh dấu rồi thả xuống Vài ngày sau người ta lại bắt lên 400 con thì thấy có 80 con đánh dấu Với độ tin cậy 95%, có thể nói số cá trong hồ là khoảng bao nhiêu con?
Bài 53 Để ước lượng xác suất mắc bệnh A với độ tin cậy 95% và sai số không vượt quá 1% thì cần phải khám tối thiểu bao nhiêu người? Biết rằng tỷ lệ mắc bệnh A thực nghiệm cho bằng 0,9
Bài tập Củng cố
Bài 54 Điều tra năng suất lúa trên 100 ha trồng lúa của một vùng, thu được bảng số liệu:
Năng suất (tạ/ha) 41 44 45 46 48 52 54 Diện tích (ha) 10 20 30 15 10 10 5
1 Tìm ước lượng không chệch của năng suất lúa trung bình
2 Những thửa rộng có năng suất lúa từ 48 tạ/ha trở lên gọi là những thửa ruộng năng suất cao
Tìm ước lượng không chệch của tỉ lệ diện tích lúa có năng suất cao trong vùng
3 Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng năng suất trung bình của toàn bộ vùng này
Bài 55 Một mẫu ngẫu nhiên gồm 6 chiếc ô tô cùng loại có mức tiêu thụ xăng (dặm/ga-lông) như sau: