Phần III: Hàm số liên tục

Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số" Chủ đề 1: Hàm số liên tục Chủ đề 2: Ứng dụng tính liên tục của hàm số giải phương trình

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

CUỐN SÁCH Phương pháp giải toán Hàm số

PHẦN III: HÀM SỐ LIÊN TỤC

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

C¸c Em häc sinh h·y tham gia häc tËp theo ph¬ng ph¸p " LÊy häc trß lµm trung t©m " 1

Phần III hàm số liên tục

mở đầu

1 Hàm số liên tục tại một điểm

1.1 Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a, b) Hàm số f(x) đợc gọi là liên tục tại điểm x0∈(a, b) nếu:

) x (

lim

0

x

x → = f(x0) Nếu tại điểm x0 hàm số f(x) không liên tục, thì đợc gọi là gián đoạn tại x0

và điểm x0 đợc gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x)

Chú ý Hàm số f(x) đợc gọi là liên tục tại điểm x0 nếu ba điều kiện sau đợc

đồng thời thoả mãn:

(i) f(x) xác định tại x0

(ii) lim ( x )

0

x

x → tồn tại

(iii) lim ( x )

0

x

x → = f(x0)

Hàm số f(x) gián đoạn tại điểm x0 nếu một trong ba điều kiện không đợc thoả mãn

Chú ý Nếu sử dụng giới hạn một phía thì:

" lim ( x )

0

x

x → − tồn tại và lim ( x )

0

x

x → − =f(x0) - gọi là liên tục trái tại x0,

) x (

lim

0

x

x → + tồn tại và lim ( x )

0

x

x → + =f(x0) - gọi là liên tục phải tại x0." Hàm số liên tục tại điểm x0⇔ lim ( x )

0

x

x → + = lim ( x )

0

x

x → − =f(x0)

1.2 Đặc trng khác của tính liên tục tại một điểm

1.2.1 Số gia đối số và số gia hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) Giả sử xO và x(x ≠ xO) là hai phần

tử của (a; b)

- Hiệu x - xO, ký hiệu là ∆x (đọc là đenta x), đợc gọi là số gia của đối số tại

điểm x O Ta có: ∆x = x - xO Từ đó x = xO + ∆x

- Hiệu y-yO = f(x) - f(xO), kí hiệu là ∆y, đợc gọi là số gia tơng ứng của hàm

số tại điểm x O Ta có:

∆y = y - yO - f(x) - f(xO) = f(xO + ∆x) - f(xO)

1.2.2 Đặc trng

Dùng khái niệm số gia, ta có thể đặc trng tính liên tục của hàm số y=f(x) tại

điểm xO nh sau:

Định lí 1 Một hàm số y = f(x), xác định trên (a; b), là liên tục tại xO∈ (a; b) nếu và chỉ nếu: lim y

0

x ∆

→

Chứng minh

Thật vậy, ta có:

) x (

lim

0

x

x → = f(xO) ⇔ xlimx0

→ (f(x) - f(xO)) =0 ⇔ lim y

0

x ∆

→

2 Hàm số liên tục trên một khoảng

2.1 Định nghĩa

- Hàm số f(x) đợc gọi là liên tục trong khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mỗi

điểm của khoảng đó

- Hàm số f(x) đợc gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó

• Liên tục trong khoảng (a; b),

• xlim→ a+ (x)=f(a) (liên tục bên phải tại điểm a),

• xlim→b− (x)=f(b) (liên tục bên trái tại điểm b)

Chú ý

1 Đồ thị của một hàm số liên tục trên một khoảng là một "đờng liền" trên khoảng đó

2 Khi ta nói hàm số y=f(x) liên tục mà không chỉ ra trên khoảng nào thì có nghĩa là hàm số liên tục trên tập xác định của nó

2.2 Các định lí về hàm số liên tục

Định lí 2 Tổng, hiệu, tích, thơng (với mẫu khác 0) của các hàm số liên tục tại

một điểm là hàm số liên tục tại điểm đó

Định lí 3 Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỷ, hàm số lợng giác là liên tục

trên tập xác định của chúng

Định lí 4 Nếu hàm số f(x) liên tục và dơng khi x=a thì nó dơng trên một

khoảng nào đó chứa điểm a

Định lí 5 Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b], thì nó đạt đợc giá trị nhỏ

nhất, giá trị lớn nhất và mọi giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn đó

Giải thích

Tồn tại ít nhất một điểm x1∈[a, b] và một điểm x2∈[a, b] sao cho với mọi

x∈[a, b] ta có: f(x1)≤f(x)≤f(x2) Khi đó:

- Đặt m= f(x1) thì m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a, b]

- Đặt M= f(x2) thì M là giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn [a, b] Với mọi giá trị trung gian L giữa m và M, tức là sao cho m≤L≤M, tồn tại ít nhất một điểm c∈[a, b] sao cho f(c)=L

Hệ quả

- Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(a)f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm x0∈(a, b) sao cho f(x0)=0

y

m

M

a

b

x1

x2 x

L O

c0 c1 c2 c3 c4

- Níi c¸ch kh¸c: NÕu hµm sè f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] vµ f(a)f(b)<0 th× ph¬ng tr×nh f(x)=0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm trong kho¶ng (a, b)

chủ đề 1 hàm số liên tục

II Kiến thức cơ bản

1 Hàm số liên tục tại một điểm

Bài toán 1 Cho hàm số

f(x)=







=

≠

0 2

0

1

x x khi )x (f

x x khi )x

(f

Xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục tại điểm x0

phơng pháp chung

Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Tính lim ( x )

0

x

x → = lim f1(x)

x

Bớc 2: Tính f(x0)= f2(x0)

Bớc 3: Đánh giá hoặc giải phơng trình L= f2(x0), từ đó đa ra kết luận

Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0=1:

f(x)=









= +

≠

−

−

1 x khi a x

1 x khi 1 x

1

x2

Giải

Hàm số xác định với mọi x∈R

Ta có: lim (x)

1

x → =limx 1

1

x2

−

1 x

lim

→ (x+1)=2 & f(1)=a+1

Vậy:

Nếu a=1 thì f(1)=2= lim (x)

1

x → , do đó hàm số liên tục tại điểm x0=1 Nếu a≠1 thì f(1) ≠2= lim (x)

1

x → , do đó hàm số gián đoạn tại điểm x0=1

Bài toán 2 Cho hàm số

f(x)=







≥

<

0 2

0

1

x x khi )x (f

x x khi )x

(f

Xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục tại điểm x0

phơng pháp chung

Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Tính f(x0)= f2(x0).

Bớc 2: (Liên tục trái) Tính lim ( x )

0

x

x → − = lim f1( x )

x

x → 0− =L1

Đánh giá hoặc giải phơng trình L1=f2(x0), từ đó đa ra lời kết luận về liên tục trái

Bớc 3: (Liên tục phải) Tính lim ( x )

0

x

x → + = lim f2( x )

x

x → 0+ =L2

Đánh giá hoặc giải phơng trình L2=f2(x0), từ đó đa ra lời kết luận về liên tục phải

Bớc 4: Đánh giá hoặc giải phơng trình L1=L2, từ đó đa ra lời kết luận

Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0=0:

f(x)=









≥ +

<

+

0 x khi 1 x

0 x khi a

x

Giải

Hàm số xác định với mọi x∈R.

Ta có: xlim→ 0 + f(x)= +

→ 0

xlim (x2+1)=1 và xlim→ 0 − f(x)= −

→ 0

xlim (x+a)=a.

f(0)=1

Vậy:

- Nếu a=1 thì xlim→ 0 + f(x) = −

→ 0

xlim f(x)=f(0)=1 ⇔ hàm số liên tục tại x0=1.

- Nếu a≠1 thì xlim→ 0 + f(x) ≠ −

→ 0

xlim f(x) ⇔ hàm số gián đoạn tại x0=1.

2 Hàm số liên tục trên một khoảng

Bài toán 3 Xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục trên khoảng I

phơng pháp chung

Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Xét tính liên tục của hàm số trên các khoảng đơn

Bớc 2: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm giao

Bớc 3: Kết luận

Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số sau trên toàn trục số:

f(x)=









≥ +

<

+

1 x khi 1 ax

1 x khi x

x 2

Giải

Hàm số xác định với mọi x∈R.

1 Khi x<1, ta có f(x)=x2+x nên hàm số liên tục với x<1

2 Khi x>1, ta có f(x)=ax+1 nên hàm số liên tục với x>1

3 Khi x=1, ta có: xlim→ 1 − f(x) = −

→ 1

xlim (x2+x)=2 và xlim→ 1 + f(x) = +

→ 1

xlim

(ax+1)=a+1

f(1)=a+1

Do đó:

 Nếu a=1 thì xlim→ 1 − f(x) = +

→ 1

xlim f(x)=f(1)=2, do đó hàm số liên tục tại

x0=1

 Nếu a≠1 thì xlim→ 0 + f(x) ≠ −

→ 0

xlim f(x), do đó hàm số gián đoạn tại x0=1.

Kết luận:

- Nếu a=1, hàm số liên tục trên toàn trục số

- Nếu a≠1, hàm số liên tục trên (-∞, 1)∪(1,+∞) và gián đoạn tại x0=1

III.Các bài toán chọn lọc

Bài 1 (ĐH Huế/Khối A-99): Chứng tỏ rằng hàm số sau liên tục trên R:

f(x)=









=

≠ 0 x khi 0

0 x khi ) x / 1 cos(

bài giải

Hàm số f(x) liên tục với mọi x≠0

Xét tính liên tục của f(x) tại điểm x=0

Ta có:

|xcos 2

x

1 |=|x|.|cos

2

x

≤|x|

⇒ -|x|≤ xcos 2

x

1

≤|x|⇒ limx 0

→ ( xcos 2

x

Mặt khác f(0)=0

Do đó, limx 0

→ f(x)=f(0) ⇒ hàm số liên tục tại điểm x=0

Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số thực R.

Bài 2 Cho hàm số

f(x)=











=

≠

−

+

−

1 x khi a

1 x khi

| 1 x

|

2 x

x2

a Tìm a để f(x) liên tục trái tại điểm x=1

b Tìm a để f(x) liên tục phải tại điểm x=1

c Tìm a để f(x) liên tục trên R.

bài giải

Ta có:

f(x)=











<

−

=

>

−

1 x khi x 2

1 x khi a

1 x khi 2 x

a Để f(x) liên tục trái tại điểm x=1 ⇔ xlim→1− (x) tồn tại và lim (x)

1

=f(1)

Ta có: lim (x)

1

x →− =xlim (2-x)=1 và f(1)=a→ 1 −

Vậy, điều kiện là a=1

b Để f(x) liên tục phải tại điểm x=1 ⇔ xlim→ 1+ (x) tồn tại và xlim→1+ (x)

=f(1)

Ta có: xlim→1+ (x)=xlim→ 1 + (x-2)=-1 và f(1)=a

Vậy, điều kiện là a=-1

c Hàm số liên tục trên R trớc hết phải có

) x ( lim

1

x →− =xlim→1+ (x) ⇔ 1=-1 (mâu thuẫn)

Vậy, không tồn tại a để hàm số liên tục trên R.

Bài 3 (ĐH Huế/Khối A&B-97): Cho f là hàm số liên tục trên [0, +∞) mà f(t)=f(1/t) ∀t>0 Chứng

tỏ rằng hàm số g(x) cho bởi công thức

g(x)=







π=

π<

≤

2 / x khi )0 (f

2/

x 0 khi ) tgx (f

cũng liên tục trên [0,

2

π].

bài giải

Hàm số g(x) liên tục trên khoảng (0, π2

)

 Xét tính liên tục phải của g tại điểm x=0

Giả sử (xn)⊂(0,

2

π) mà

∞

→

n

lim xn=0, ta xét:

∞

→

nlim g(xn)=

∞

→

n

lim f(tgxn)=f(tg0)=g(0)

Tức là hàm số liên tục phải tại x=0

 Xét tính liên tục trái của g tại điểm x= 2π

Giả sử (xn)⊂(0,

2

π) mà

∞

→

n

lim xn=

2

π, ta xét:

→

nlim g(xn)=

∞

→

nlim f(tgxn)=

∞

→

nlim f(

n

tgx

1 )=nlim→∞f(cotgxn) =f(cotg0)=f(0)=g(

2

π)

Tức là hàm số liên tục trái tại x= π2

Vậy hàm số liên tục trên [0,

2

π].

IV.Bài tập đề nghị

Bài tập 1 Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn trục số:

a f(x)=









= +

≠

−

− +

−

1 x khi a

x

1 x khi 1

x

2 x x

x3 2

b f(x)=















=

≠

−

−

−

−

=

3 x khi b

0 x x khi ) 3

x

(x

6 x

x

0 x khi a

2

2

c f(x)=









≥ +

+

<

+

0 x khi 1 x x

0 x khi a2

x

d f(x)=









>

−

≤ π

1

| x

| khi

| 1 x

|

1

| x

|

khi 2

x cos

Bài tập 2 Cho hàm số

f(x)=







π>

+

π≤

2/

|x

| khi b ax

2/

|x

| khi x

sin

Xác định a, b để hàm số liên tục trên toàn trục số

Bài tập 3 Tổng hai hàm f(x)+g(x) có nhất thiết phải gián đoạn tại điểm x0 đã cho hay không, nếu:

a Hàm f(x) liên tục còn hàm g(x) gián đoạn tại x=x0

b Cả hai hàm f(x) và g(x) đều gián đoạn tại x=x0

Nêu các ví dụ tơng ứng

Bài tập 4 Có thể khẳn định rằng bình phơng của một hàm gián đoạn cũng

là một hàm gián đoạn hay không ? Tìm ví dụ minh hoạ

Bài tập 5 Xét tính liên tục của hàm hợp y=f(u) trong đó u=g(x) nếu:

f(u)=







≤

−

>

0 u khi 1 u

0 u khi

u

vµ g(x)=







≤

−

>

0

|x

| khi 1 x

0

|x

| khi x

Bµi tËp 6 CMR nÕu f(x) lµ hµm liªn tôc th× F(x)=|f(x)| còng lµ mét hµm liªn tôc

chủ đề 2 ứng dụng tính liên tục của hàm số V.Kiến thức cơ bản

Bài toán 1 Cho phơng trình f(x)=0 CMR phơng trình có k nghiệm trong [a, b].

phơng pháp chung

Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Chọn các số a<T1< T2< < Tk-1<b chia đoạn [a, b] thành k khoảng

thoả mãn :











<

<

− ) (f b ) 0 T

(f

.

0 ) T (f ).

a (f

1 k

1

Bớc 2: Kết luận

Ví dụ 1: CMR phơng trình x5+x-1=0 có nghiệm trên khoảng (-1, 1)

Giải

Xét hàm số f(x)=x5+x-1 liên tục trên R

Ta có: f(-1).f(1)=-3.1=-3<0

Vậy phơng trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-1, 1)

Ví dụ 2: CMR phơng trình 2x3-6x+1=0 có 3 nghiệm thuộc (-2, 2)

Giải

Xét hàm số f(x)=2x3-6x+1 liên tục trên R

Ta có: f(-2)=-11, f(0)=1, f(1)=-3, f(2)=13

suy ra:

f(-2)f(0)=-11<0, phơng trình có một nghiệm trong khoảng (-2, 0)

f(0)f(1)=-3<0, phơng trình có một nghiệm trong khoảng (0, 1)

f(1)f(2)=-39<0, phơng trình có một nghiệm trong khoảng (1, 2)

Kết luận: phơng trình có 3 nghiệm trên khoảng (-2, 2)

Ví dụ 3: CMR phơng trình p(x-a)(x-c)+q(x-b)(x-d)=0 luôn có nghiệm, biết rằng

a≤b≤c≤d, p và q là hai số thực bất kỳ

Giải

Xét hàm số f(x)=p(x-a)(x-c)+q(x-b)(x-d) liên tục trên R

Nếu p=q=0, phơng trình có nghiệm tuỳ ý

Nếu p≠0 hoặc q≠0, không mất tính tổng quát ta giả sử p≠0 Khi đó:

f(b)=p(b-a)(b-c) và f(d)=p(d-a)(d-c)

suy ra:

f(b).f(d)=p2(b-a)(b-c)(d-a)(d-c)≤0

Vậy, phơng trình luôn có nghiệm

VI Các bài toán chọn lọc

Bài 1 CMR phơng trình ax3+bx2+cx+d=0 luôn có nghiệm với a≠0

bài giải

Xét hàm số f(x)= ax3+bx2+cx+d liên tục trên R

Trờng hợp 1 Nếu a>0

Ta có:

−∞

→

xlim f(x)=-∞, vậy tồn tại x1 để f(x1)<0.

+∞

→

xlim f(x)=+∞, vậy tồn tại x2 để f(x2)>0.

⇒ f(x1) f(x2)<0

Trờng hợp 2 Nếu a<0

Ta có:

−∞

→

xlim f(x)=+∞, vậy tồn tại x1 để f(x1)>0.

+∞

→

xlim f(x)=-∞, vậy tồn tại x2 để f(x2)<0.

⇒ f(x1) f(x2)<0

Vậy phơng trình f(x)=0 luôn có nghiệm với mọi a≠0

Bài 2 (Đề 97) CMR với mọi m phơng trình x3+mx2-1=0 luôn có một nghiệm dơng

bài giải

Xét hàm số f(x)= x3+mx2-1 liên tục trên R

Ta có:

f(0)=-1<0

+∞

→

xlim f(x)=+∞, vậy tồn tại c>0 để f(c)>0.

⇒ f(0).f(c)<0

Vậy phơng trình f(x)=0 luôn có một nghiệm thuộc (0, c) ⇔ phơng trình luôn có một nghiệm dơng

Bài 3 CMR với mọi m phơng trình cos1x -sin1x =m luôn có nghiệm

bài giải

Điều kiện x≠k

2

π, với k

∈Z

Biến đổi phơng trình về dạng: sinx-cosx-msinx.cosx=0

Xét hàm số f(x)= sinx-cosx-msinx.cosx liên tục trên đoạn [0,

2

π

]

Ta có: f(0)=-1<0 & f(

2

π)=1>0

⇒ f(0).f(

2

π)=-1<0.

Vậy phơng trình f(x)=0 luôn có một nghiệm thuộc (0, π2

)

⇔ phơng trình luôn có một nghiệm thuộc khoảng (0,

2

π).

VII.Bài tập đề nghị

Bài tập 1 CMR phơng trình x4+x3-3x2+x+1=0 có nghiệm thuộc (-1, 1)

Bài tập 2 CMR phơng trình x5-5x3+4x-1=0 có 5 nghiệm trên khoảng (-2, 2)

Bài tập 3 CMR phơng trình sinx-x+1=0 luôn có nghiệm

Bài tập 4 CMR phơng trình a(x-b)(x-c)+b(x-c)(x-a)+c(x-a)(x-b)=0 luôn có nghiệm với a, b, c là ba số tuỳ ý

Bài tập 5 Cho a, b, c∈Z+ với a2+b2=c2 CMR phơng trình ax+bx=cx có duy nhất nghiệm