(Đại số 10 - Chương III) Bài giảng: Hàm số bậc hai

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

§ 3 Hàm số bậc hai

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

1

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

2

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Đọc lần 2 toàn bộ:

Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí

Định hướng thực hiện các hoạt động

Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

Chép lại các chú ý, nhận xét

Thực hiện các hoạt động vào vở

4 Thực hiện bài tập lần 1

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ

3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy”

4 Thực hiện bài tập lần 2

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài

giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:

Nôi dung chưa hiểu

Hoạt động chưa làm được

Bài tập lần 1 chưa làm được

Bài tập lần 2 chưa làm được

Thảo luận xây dựng bài giảng

gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận

được giải đáp

3

Đ3 hàm số bậc hai

bài giảng theo chơng trình chuẩn

định nghĩa

Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là

các hằng số và a  0.

Cho hàm số y = ax2 + bx + c (a  0):

 Tập xỏc định D = R.

 bảng biến thiên:

-a 2

b

-a 2

-a 4



+

y -

-a 4

Vậy, ta có kết luận:

 Khi a > 0, hàm số nghịch biến trên khoảng (;  b

2a), đồng biến trên khoảng ( b

2a; +) và có giá trị nhỏ nhất ymin= f( b

2a) = 

4a

 khi x =  b

2a

 Khi a < 0, hàm số đồng biến trên khoảng (-;  b

2a), nghịch biến trên khoảng ( b

2a; +) và có giá trị lớn nhất ymax = f( b

2a) = 

4a

 khi x =  b

2a

Đồ thị hàm số bậc hai: Đồ thị của hàm số là một Parabol (P) có đỉnh

b



 , nhận đờng thẳng x = 

a 2

b làm trục đối xứng và:

 Hớng bề lõm lên trên nếu a > 0

 Hớng bề lõm xuống dới nếu a < 0

Để vẽ đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c (a  0) chúng ta không thực hiện các phép tịnh tiến từ đồ thị hàm số y = ax2 mà thực hiện nh sau:

 Xác định đỉnh I của parabol

 Xác định trục đối xứng và hớng bề lõm của parabol

 Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn giao điểm của parabol với các trục tọa độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục đối xứng giả sử có hai điểm là A, B)

 Nối AIB để đợc một góc rồi thực hiện vẽ đờng cong parabol lợn theo đờng góc này

Ta có các trờng hợp:

 Với a > 0 thì:

4

y

x

I O

( P )

-b / 2 a

A B

-b / a

- / 4 a

y

x

I O

( P )

-b / 2 a

A B

-b / a

y

I

( P )

A B

x

O -b / 2 a

-b / a

- / 4 a

 Với a < 0 thì:

Nhận xét chung:

 Nếu  > 0 thì parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

 Nếu  = 0 thì parabol tiếp xúc với trục hoành

 Nếu  < 0 thì parabol không cắt trục hoành

Thí dụ 1: Cho hàm số y = f(x) = x24x + 2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Từ đó lựa chọn phép tịnh tiến song song với trục Ox để nhận đợc đồ thị

hàm số y = x22

c Giải thích tại sao với mỗi giá trị của m thì các phơng trình:

x24x + 2 = m và x22 = m

đều có cùng số nghiệm

 Giải

a Ta lần lợt tính 

a 2

b = 2 và 

a 4

 =  2

Vậy, đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S(2;

2), nhận đờng thẳng x = 2 làm trục đối xứng và

h-ớng bề lõm lên trên

Bảng biến thiên:

Đồ thị: ta lấy thêm hai điểm trên đồ thị là A(0; 2), B(4; 2)

b Giả sử:

y = x22 = f(x + a)

 x22 = (x + a)24(x + a) + 2 = x2 + (2a4)x + a24a + 2

Suy ra:

















2 a 4 a 2

4 a 2 0

1 1

Vậy, ta đợc y = x22 = f(x + 2)

Do đó, đồ thị của hàm số đợc suy ra bằng phép tịnh tiến theo Ox đồ thị hàm số y =

f(x) sang trái 2 đơn vị

c Vì số nghiệm của mỗi phơng trình đúng bằng số giao điểm của đờng thẳng y = m

với đồ thị của các hàm số y = x24x + 2 và y = x22, do đó chúng đều có cùng

số nghiệm

Thí dụ 2: Cho hàm số :

5

-b / 2 a

y

x

I O

( P )

-b / 2 a

-b / a

- / 4 a

y

x

I O

( P )

-b / 2 a

-b / a

y

x

I O ( P )

-b / 2 a

A B

-b / a

- / 4 a

y

x S

O

y=x 2

4x+2 y=x 2

2

2

2

y = 

2

1

x2 + x +

2

3

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

b Hãy viết hàm số thành dạng y = a(x  p)2 + q Từ đó, cho biết

đồ thị của nó có thể đợc suy ra từ đồ thị hàm số nào nhờ các phép tịnh tiến đồ thị song song với các trục toạ độ và mô tả cụ thể các phép tịnh tiến đó.

 Giải

a Ta lần lợt có 

a 2

b = 1 và 

a 4

 = 2

Vậy, đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S(1; 2), nhận đờng thẳng x = 1 làm trục đối xứng và hớng bề lõm xuống dới

Bảng biến thiên:

Đồ thị: ta lấy thêm hai điểm trên đồ thị là A(0; 23 ), B(2; 23 )

b Ta có:

y = 21 x2 + x + 23

= 2

1

(x2  2x + 1) + 2 = 2

1 (x  1)2 + 2

Do đó, đồ thị của hàm số đợc suy ra từ đồ thị (P0) của hàm số y = 21 x2 bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến:

1 Tịnh tiến (P0) sang phải 1 đơn vị, ta nhận đợc đồ thị hàm số y = 21 (x  1)2 gọi là (P1)

2 Tịnh tiến (P1) lên trên 2 đơn vị, ta nhận đợc đồ thị hàm số y = 21 x2 + x + 23

bài tập lần 1

Bài tập 1 Cho hai hàm số (P1) và (P2), biết:

(P1): y = x2 + 2x + 3 và (P2): y =

2

1

x2  4x + 3

a Khảo sát sự biến thiên và đồ thị hai hàm số (P1) và (P2) trên cùng một hệ trục toạ độ

b Tìm giá trị của m để đờng thẳng y = m cắt cả hai đồ thị vừa vẽ

Bài tập 2 Vẽ đồ thị rồi lập bảng biến thiên của các hàm số:

2

2x 1 nếu x 0

x 4x 1 nếu x 0







2

2

2x 2x 3 nếu x 1







Bài tập 3 Lập phơng trình Parabol (P), biết rằng (P) đi qua ba điểm:

a A(1, 1), B(1, 9), C(0, 3).), C(0, 3) b A(2; 3), B(0; 1), C(2; 7)

Bài tập 4 Lập phơng trình Parabol (P), biết rằng (P) có đỉnh S(1, 5) và đi qua

điểm A(1, 1)

6

y

x

S

O 1

B A 3/2 2

Bài tập 5 Lập phơng trình Parabol (P), biết rằng (P) có giá trị cực tiểu bằng 1

và đi qua hai điểm A(2; 1), B(0; 3)

bài giảng nâng cao

Vấn đề 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai

Phơng pháp chung

Dựa trên lý thuyết trong phần tóm tắt lý thuyết

Ví dụ 1: Cho hai hàm số (P1) và (P2), biết:

(P1): y = x2 + 2x + 3 và (P2): y =

2

1 x2  4x + 3

a Khảo sát sự biến thiên và đồ thị hai hàm số (P1) và (P2) trên

cùng một hệ trục toạ độ

b Tìm giá trị của m để đờng thẳng y = m cắt cả hai đồ thị vừa vẽ.

 Giải

a Ta có bảng sau:

Khảo sát (P1): y = x2 + 2x + 3 Khảo sát (P2): y =

2

1

x2  4x + 3

 

a

2

b

= 1 và 

a 4

 = 4

 Bảng biến thiên:

 

a 2

b = 4 và 

a 4

 = 5

 Bảng biến thiên:

y

Đồ thị: Hoành độ giao điểm của (P1) và (P2) là nghiệm phơng trình:

x2 + 2x + 3 =

2

1

x2  4x + 3

 3x2  12x = 0  3x(x  4) = 0  



 4 x 0 x

Khi đó, toạ độ các giao điểm là:

E(0; 3) và F(4; 5)

b Từ đồ thị của (P1) và (P2), đờng thẳng y = m cắt cả hai đồ thị

 5  m  4

Vậy, với 5  m  4 thoả mãn điều kiện đầu bài

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị rồi lập bảng biến thiên của hàm số :





 2

 Giải

Ta thực hiện:

* Vẽ đờng thẳng y = 2x + 1 rồi lấy với phần x  0

* Vẽ Parabol y = x2 + 4x + 1 rồi lấy với phần x < 0

7

y

x

S1 O

(P1) 4

-5

3

S 2

(P

2)

Điểm chung M(0; 1).

Từ đồ thị, ta có bảng biến thiên:

Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = |x1|(x + 3).

 Giải

Viết lại hàm số dới dạng:

y = (x 1)(x 3) nếu x 1

(1 x)(x 3) nếu x 1







= 2

2







Bảng biến thiên:

Đồ thị: ta lấy các điểm A(3; 0), S(1; 4), B(1; 0)

Ví dụ 4: Cho hàm số:

(Pm): y = (1 + m)x2  2(m  1)x + m  3

a Khảo sát sự biến thiên và đồ thị hàm số với m = 0 (tơng ứng là

(P0)) Bằng đồ thị tìm x để y  0, y  0.

b Viết phơng trình đờng thẳng đi qua đỉnh của (P0) và giao điểm

của (P0) với Oy.

c Xác định m để (Pm) là Parabol Tìm quĩ tích đỉnh của Parabol

(Pm) khi m thay đổi.

d Chứng tỏ rằng (Pm) luôn đi qua một điểm cố định, tìm toạ độ

điểm cố định đó.

 Giải

a Với m = 0 ta đợc:

(P0): y = x2 + 2x  3

a Ta lần lợt tính:



a

2

b

= 1 và 

a 4

 = 4

Vậy, đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S(1, 4), nhận đờng thẳng x = 1 làm

trục đối xứng và hớng bề lõm lên trên

Bảng biến thiên:

Đồ thị: ta lấy thêm vài điểm trên đồ thị A(1; 0), B(-3; 0), C(0; -3)

Từ đồ thị suy ra:

 y  0  





 1 x 3 x

 y  0  3  x  1

b Giả sử phơng trình đờng thẳng (d) có dạng:

(d): Ax + By + C = 0, A2 + B2 > 0 (1)

8

y

x

S

O

( P

0

)

-1

-4

-3

( d )

A B

C

y= x 2

 x + 3

x





y

O A S





y=x  1(x + 3)

B

Vì S(1, 4) và C(0, 3) thuộc (d), ta đợc:



















0 C B

3

0 C B 4 A

 









 B 3 C

0 B 3 B 4 A













B

3

C

B

A

Thay (I) vào (1), ta đợc:

(d): Bx + By + 3B = 0  (d): x  y  3 = 0

c Để (Pm) là Parabol điều kiện là:

1 + m  0  m  1,

khi đó (Pm) có đỉnh Sm(

1 m

1 m





; 1 m

4

 )

Để nhận đợc phơng trình quĩ tích đỉnh của Parabol (Pm) khi m thay đổi, ta thực

hiện việc khử m từ hệ:

















1 m 4 y

1 m 1 m x



















y y 4 m

1 m 1 m x

 x =

1 y

y 4

1 y

y 4









 2x + y  2 =

0

Vậy, quĩ tích đỉnh Sm là đờng thẳng (): 2x + y  2 = 0

d Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định mà (Pm) luôn đi qua, khi đó:

y0 = (1 + m) 2

0

x  2(m  1)x0 + m  3, với m

 ( 2

0

x  2x0 + 1)m + 2

0

x + 2x0  3  y0 = 0, với m

 















0 y 3 x 2 x

0 1 x 2 x

0 0

2

0 2









 0 y

1 x

0 0

Vậy, họ (Pm) luôn đi qua điểm cố định M(1 ; 0)

Vấn đề 2: Hàm số dạng y = ax2 + bx + c, với a  0.

Phơng pháp thực hiện

Thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Vẽ đồ thị hàm số (P): y = ax2 + bx + c, với a  0

Bớc 2: Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c gồm hai phần:

 Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị (P)

 Đối xứng phần đồ thị phía dới trục hoành của (P) qua

trục hoành

Bớc 3: Dựa vào đồ thị chúng ta lập đợc bảng biến thiên của hàm

số

Ví dụ 1: Cho hàm số (P): y = x2 + 2x3

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

b Dựa vào đồ thị vừa vẽ trên, tuỳ theo giá trị của m, hãy cho biết

số nghiệm của phơng trình |x2 + 2x3| = m

 Giải

a Ta lần lợt 

a 2

b = 1 và 

a 4

 = 4

9), C(0, 3)

y

=

| x

2

+

 x



 4

x



 3

 1 4

y y

= m

Vậy, đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S(1; 4),

nhận đờng thẳng x = 1 làm trục đối xứng và hớng bề

lõm lên trên

Bảng biến thiên:

Đồ thị: ta lấy thêm hai điểm trên đồ thị là A(3; 0), B(1; 0)

b Số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = |x2 + 2x3| (phần đờng đậm) và đờng thẳng (d): y = m, ta đợc:

 Với m < 0, phơng trình vô nghiệm

 Với m = 0, phơng trình có hai nghiệm x = 1 và x = 3

 Với 0 < m < 4, phơng trình có bốn nghiệm phân biệt

 Với m = 4, phơng trình có ba nghiệm phân biệt

 Với m > 4, phơng trình có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Cho hàm số (P): y = x2 + 2x

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

b Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình x22|x| + m = 0

 Giải

a Ta lần lợt 

a 2

b = 1 và 

a 4

 = 1

Vậy, đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S(1; 1),

nhận đờng thẳng x = 1 làm trục đối xứng và hớng bề

lõm xuống dới

Bảng biến thiên:

Đồ thị: ta lấy thêm hai điểm trên đồ thị là O(0; 0), A(2; 0)

b Số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 + 2x (phần đờng đậm) và đờng thẳng (d): y = m, ta đợc:

 Với m > 1, phơng trình vô nghiệm

 Với m = 1, phơng trình có hai nghiệm x = 1 và x = 1

 Với 0 < m < 1, phơng trình có bốn nghiệm phân biệt

 Với m = 0, phơng trình có ba nghiệm phân biệt

 Với m < 0, phơng trình có hai nghiệm phân biệt

Vấn đề 3: Lập phơng trình Parabol (P) thoả mãn điều kiện

K.

Phơng pháp chung

Thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Giả sử Parabol (P) có phơng trình:

(P): y = ax2 + bx + c, với a  0

Bớc 2: Dựa vào điều kiện K để xác định a, b, c

Trong bớc này ta cần lu ý các điều kiện thờng gặp sau:

 Điểm A(x0; y0)  (P)  y0 = a 2

0

x + bx0 + c

10

y

=

| x

2

+

 x

 3

|

y= x 2

+ x

x

 

y

A S



 (P) có đỉnh I(x0; y0) 

0

x b / 2a

4a







 (P) có giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) bằng y0

y 4a









y 4a









 (P) đạt giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm có hoành

độ bằng x0

b x 2a











b x 2a











 (P) nhận đờng thẳng x = x0 làm trục đối xứng  x0 = 

b 2a

Bớc 3: Kết luận

Ví dụ 1: Lập phơng trình Parabol (P), biết rằng (P) đi qua ba điểm A(1; 1), B(1;

9), C(0, 3).), C(0; 3)

 Giải

Giả sử Parabol (P) có phơng trình:

(P): y= ax2 + bx + c, với a  0

Vì A, B, C thuộc (P), ta đợc:

















 3 c

9), C(0, 3).

c b

a

1 c

b a













 3 c

6 b

a

2 b

a













3

c

4 b

2

a

Vậy, Parabol (P) có phơng trình y = 2x2  4x + 3

Ví dụ 2: Lập phơng trình Parabol (P), biết rằng (P) có đỉnh S(1; 5) và đi qua

điểm A(1; 1)

 Giải

Giả sử Parabol (P) có phơng trình:

(P): y = ax2 + bx + c, với a  0

Vì (P) có đỉnh S(1; 5) và đi qua điểm A(1; 1), ta đợc:































1 c b

a

a 4 5

a 2 1

 

















a 3 1 c

) ac 4 b

( a

20

a 2 b

2 

















0 a

a

a 3 1

c

a 2 b







 4 c

2 b

1 a

Vậy Parabol (P) có phơng trình y = x2 + 2x + 4

Ví dụ 3: Xác định parabol y = ax2 + bx + 2, biết rằng parabol đó:

a Đi qua hai điểm M(1; 5) và N(2; 8).

b Đi qua điểm A(3; 4) và có trục đối xứng là x =  23

c Có đỉnh là I(2; 2).

d Đi qua điểm B(1; 6) và tung độ của đỉnh là  41

 Giải

a Ta có:

11

 N(2; 8)  (P)  8 = 4a  2b + 2 (2) Giải hệ phơng trình tạo bởi (1) và (2) ta đợc a = 2 và b = 1

Vậy, ta đợc (P): y = 2x2 + x + 2

b Ta có:

 A(3; 4)  (P)  4 = 9), C(0, 3).a + 3b + 2 (1)

 Trục đối xứng x = 23  2ba = 23  b = 3a (2) Giải hệ phơng trình tạo bởi (1) và (2) ta đợc a =  31 và b = 1

Vậy, ta đợc (P): y =  13 x2  x + 2

c Ta có:

 Đỉnh I(2; 2) Mà đỉnh S b

;



a 2

b

 I(2, 2)  (P)  2 = 4a + 2b + 2  2a + b = 2 (2) Giải hệ phơng trình tạo bởi (1) và (2) ta đợc a = 1 và b = 4

Vậy, ta đợc (P): y = x2  4x + 2

d Ta có:

 Tung độ của đỉnh:  4a =  41   = a  b2  8a = a  b2 = 9), C(0, 3).a (2)

Từ (1) và (2) ta có:











a 9), C(0, 3).

b

4 b a







 a 9), C(0, 3).

b

4 a b











a 9), C(0, 3) ) 4 a (

4 a b















0 16

a

a

4

a

b

2

 









 16 a

1 a

4 a b

 









  

1 2 b

16 a

3 b

1 a

 















2 x 12 x 16 y : ) P (

2 x x y : ) P (

2 2

Vậy, có hai parabol thoả mãn đề bài

Ví dụ 4: Xác định a, b, c biết parabol y = ax2 + bx + c

a Đi qua ba điểm A(0; 1), B(1; 1), C(1; 1).

b Có đỉnh I(1; 4) và đi qua điểm D(3; 0).

 Giải

a Ta có:

 A(0; 1)  (P): y = ax2 + bx + c  1 = c (1)

 B(1; 1)  (P): y = ax2 + bx + c  1 = a + b + c (2)

 C(1; 1)  (P): y = ax2 + bx + c  1 = a  b + c (3) Giải hệ phơng trình tạo bởi (1), (2) và (3) ta đợc a = 1, b =  1 và c =  1

Vậy, phơng trình (P) có dạng: y = x2  x  1

b Ta có:

 D(3; 0)  (P): y = ax2 + bx + c  0 = 9), C(0, 3).a + 3b + c (1)

 I(1; 4)  (P): y = ax2 + bx + c  4 = a + b + c (2)

 I(1; 4) là đỉnh của (P)  

a 2

b

Giải hệ phơng trình tạo bởi (1), (2) và (3) ta đợc a = 1, b = 2 và c = 3

Vậy, phơng trình (P) có dạng: y = x2 + 2x + 3

Ví dụ 1: Lập phơng trình Parabol (P), biết rằng (P) có giá trị cực tiểu bằng 1

và đi qua hai điểm A(2; 1), B(0; 3)

 Giải

12