Bài giảng: Các hàm số lượng giác (Đại số và Giải tích 11)

Bài giảng có phần nâng cao. Trình bày theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

• Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Đọc lần 2 toàn bộ:

• Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí

• Định hướng thực hiện các hoạt động

• Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

• Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

• Chép lại các chú ý, nhận xét

• Thực hiện các hoạt động vào vở

4 Thực hiện bài tập lần 1

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ

• Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ

3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải

như vậy”

4 Thực hiện bài tập lần 2

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng

em hãy viết yêu cầu theo mẫu:

• Nôi dung chưa hiểu

• Hoạt động chưa làm được

• Bài tập lần 1 chưa làm được

• Bài tập lần 2 chưa làm được

• Thảo luận xây dựng bài giảng

gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận

được giải đáp

Giỏo ỏn điện tử của bài giảng này giỏ: 950.000đ.

1 Liờn hệ thầy Lấ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689

2 Bạn gửi tiền về:

Lấ HỒNG ĐỨC

Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhỏnh NHN0 & PTNT Tõy Hồ

3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giỏo ỏn điện tử qua email.

Sau khi học chơng này, các em học sinh cần:

o Nắm vững tính chất tuần hoàn của các hàm số lợng giác và phơng pháp sử dụng đờng tròn lợng giác để tìm nghiệm của các phơng trình lợng giác cơ bản.

o Rèn luyện kĩ năng biến đổi lợng giác và kĩ năng giải các phơng trình lợng giác đợc quy định trong chơng trình.

Chơng này gồm ba bài học:

1 Các hàm số lợng giác.

2 Phơng trình lợng giác cơ bản.

3 Một số dạng phơng trình lợng giác đơn giản.

Đ 1 các hàm số lợng giác

bài giảng theo chơng trình chuẩn

1 Hàm tuần hoàn

Hàm số f(x) xác định trên tập hợp D gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số dơng T sao

cho với mọi x ∈ D ta có:

b Tồn tại số a sao cho hàm số không xác định với x > a hoặc x < a.

c Phơng trình f(x) = k có nghiệm nhng số nghiệm hữu hạn.

d Phơng trình f(x) = k có vô số nghiệm sắp thứ tự < x n < x n + 1 < mà |x n − x n + 1 |

→ 0 hay ∞

Hoạt động Hãy cho ví dụ về một hàm số không tuần hoàn.

Hớng dẫn: Hãy lựa chọn bốn hàm số vi phạm một trong bốn điều

 Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì 2π

Do đó, muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = sinx trên R ta chỉ cần khảo

sát và vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [0, π], sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc O, ta đợc đồ thịtrên đoạn [−π, π], cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu đợc sang trái và sang phải theo trụchoành những đoạn có độ dài 2π, 4π,

Hoạt động 1 Nhắc lại định nghĩa về hàm số lẻ.

Từ đây, ta có nhận xét quan trọng là sinx≤ 1 với mọi x.

Hoạt động Dựa vào đồ thị, hãy chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch

biến của hàm số y = sinx trên đoạn [0, 2π].

2.2. Hàm số y = cosx

Ta có:

 Hàm số y = cosx là hàm số chẵn trên R.

 Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì 2π

Do đó muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = cosx trên R ta chỉ cần khảo

sát và vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [0, π], sau đó lấy đối xứng đồ thị qua trục Oy, ta đợc đồthị trên đoạn [−π, π], cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu đợc sang trái và sang phải theo trụchoành những đoạn có độ dài 2π, 4π,

Hoạt động 1 Nhắc lại định nghĩa về hàm số chẵn.

Từ đây ta có nhận xét quan trọng là cosx≤ 1 với mọi x

Hoạt động Dựa vào đồ thị, hãy chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch

biến của hàm số y = cosx trên đoạn [0, 2π].

Do đó, muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = tanx trên R ta chỉ cần khảo

Hoạt động 1 Chứng minh rằng "Hàm số y = tanx là hàm số lẻ"

2 Chứng minh rằng "Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì

π ".Xét hàm số y = tanx trên [0,

đợc gọi là các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số y = tanx.

Hoạt động Tại sao có thể khẳng định hàm số y = tanx đồng biến trên

 Hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì π

Do đó, muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = cotx trên R ta chỉ cần khảo

2 Chứng minh rằng "Hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì π ".

 Chú ý: Trong hệ trục toạ độ Oxy các đờng thẳng có phơng trình x = kπ, k ∈Z

đợc gọi là các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số y = cotx.

Hoạt động Tại sao có thể khẳng định hàm số y = cotx đồng biến trên

mỗi khoảng (kπ, π + kπ ), k ∈Z.

bài tập lần 1Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

Bài tập 3: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a (Bài 1.a/tr 14 − Sgk): y = 3 − sin x

b y = sin x cos x + 2 sin x − cos x − 2

c y = 1 sin x 2cos x+ − 2

Bài tập 4: Xét tính chất chẵn − lẻ của các hàm số sau:

a y = −2sinx b y = 3sinx − 2

Bài tập 5: Xét tính chất chẵn − lẻ của các hàm số sau:

a y = sinx − cosx b y = sinx.cos2x + tanx

Bài tập 6: Xét tính chất chẵn − lẻ của các hàm số sau:

Bài tập 9: Cho hàm số y = f(x) = A.sin(ωx + α), (A, ω và α là các hằng số; A và

ω khác 0) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k, ta có f(x + k ω

π2

)

= f(x) với mọi x

Bài tập 10: Hãy xem những hàm số nào trong các hàm số cho dới đây là hàm tuần

hoàn và xác định chu kì nhỏ nhất (nếu có) của chúng:

a y = tan(3x − π6 ) b y = 2cos2(2x +

3

π

)

Bài tập 11:Hãy xem những hàm số nào trong các hàm số cho dới đây là hàm tuần

hoàn và xác định chu kỳ nhỏ nhất (nếu có) của chúng:

a y = = cosx + cos(x 2 ) b y = sin(x2)

Bài tập 12:Cho các hàm số f(x) = sinx, g(x) = cosx, h(x) = tanx và các khoảng:

Bài tập 13:Cho hàm số y = f(x) = 2sin2x

a Chứng minh rằng với k nguyên tuỳ ý luôn có f(x + kπ) = f(x) vớimọi x

b Lập bảng biến thiên của hàm số y = 2sin2x trên đoạn [− 2π;

a y = −sinx b y = sin x c y = sin x

Bài tập 16:Xét hàm số y = f(x) = cos

2

x

a Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k, f(x + k4π) = f(x) với mọi x

b Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [−2π; 2π]

b Hỏi mỗi hàm số đó có phải là hàm số tuần hoàn không ?

bài giảng nâng cao

 Chú ý: Với các hàm số lợng giác chúng ta cần biết thêm:

1. Hàm số y = sinx xác định trên R và  sinx  ≤ 1 với mọi x.

Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì 2 π và nó là hàm số lẻ nên nếu có

sinx = sin α ⇔ x = α + 2k π hoặc x = π − α + 2k π , k ∈ Z.

2. Hàm số y = cosx xác định trên R và  cosx  ≤ 1 với mọi x.

Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì 2 π và nó là hàm số chẵn nên nếu có:

cosx = cos α ⇔ x = α + 2k π hoÆc x = −α + 2k π , k ∈ Z.

π, k ∈Z}.

Ví dụ 3: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a y =

1xcosxsinxcos.xsin

3x

+

−

−

b y = sin x cos x + 2 sin x − cos x − 2

1 x

k x

sinx.cosx + 2sinx − cosx − 2 ≥ 0 ⇔ (cosx + 2)sinx − (cosx + 2) ≥ 0

⇔ (cosx + 2)(sinx − 1) ≥ 0 ⇔ sinx − 1 ≥ 0 ⇔ sinx ≥ 1 ⇔ sinx = 1

2 Chứng minh rằng T0 là chu kì của hàm số, tức là chứng minh T0 là số nhỏ nhất (1), (2),

ta thực hiện phép chứng minh bằng phản chứng theo các bớc:

Bớc 1: Giả sử có số T sao cho 0 < T < T0 thoả mãn tính chất (2):

∀x∈D, f(x + T) = f(x) ⇔

⇒ mâu thuẫn với giả thiết 0 < T < T0

Bớc 3: Vậy hàm số y = f(x) là tuần hoàn với chu kì cơ sở T0

3 Xét tính tuần hoàn của các hàm số lợng giác, chúng ta sử dụng các kết quả:

a Hàm số y = sinx và y = cosx, tuần hoàn với chu kì 2π

Mở rộng: Hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) với a ≠ 0 tuần hoàn với chu

kì

a

2π.

b Hàm số y = tanx và y = cotx, tuần hoàn với chu kì π

Mở rộng: Hàm số y = tan(ax + b) và y = cot(ax + b) với a ≠ 0 tuần hoàn với chu

kì

a

π.

c Cùng với kết quả của định lý:

Định lí: Cho cặp hàm số f(x), g(x) tuần hoàn trên tập M có các chu kì lần lợt là

Mở rộng: Hàm số F(x) = mf(x) + ng(x) tuần hoàn với chu kì T là bội số chung

cos2x

Để chứng minh hàm số y = f(x) tuần hoàn với chu kì π, ta đi chứng minh:

f(x + kπ) = f(x) với k ∈Z , x thuộc tập xác định của hàm số.

a Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số cosin (cụ thể cos(α + 2kπ) = cosα), ta có ngay:

f(x + kπ) = −sin2(x + kπ) = −

2

1[1 − cos(2x + 2kπ)] = −

2

1(1 − cos2x) = −sin2x = f(x) với mọi x

b Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số tang (cụ thể tan(α + kπ) = tanα), ta có ngay:

f(x + kπ) = 3tan2(x + kπ) + 1 = 3tan2x + 1 = f(x) với mọi x

c Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số sin (cụ thể sin(α + 2kπ) = sinα), ta có ngay:

f(x + kπ) = sin(x + kπ).cos(x + kπ) =

2

1sin(2x + 2kπ) =

2

1sin2x = sinx.cosx = f(x) với mọi x

d Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số sin và hàm số cos, ta có ngay:

f(x + kπ) = sin(x + kπ).cos(x + kπ) +

2

3 cos2(x + kπ)

= 2

1sin(2x + 2kπ) +

2

3 cos(2x + 2kπ) =

2

1sin2x +

2

3 cos2x

= sinx.cosx +

2

3 cos2x = f(x) với mọi x

 Nhận xét: Nh vậy, để xét tính tuần hoàn của các hàm số lợng giác chúng ta cần nhớ

tính tuần hoàn của các hàm số lợng giác cơ bản Ngoài ra, các em họcsinh cần linh hoạt sử dụng các phép biến đổi lợng giác để đa hàm số vềdạng thuận đánh giá

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) = A.sin(ωx + α), (A, ω và α là các hằng số; A và

ω khác 0) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k, ta có:

f(x + k

ω

π2

ω

π2) + α] = A.sin(ωx + 2kπ + α) = A.sin(ωx + α) = f(x) với mọi x

Ví dụ 3: Hãy xem những hàm số nào trong các hàm số cho dới đây là hàm tuầnhoàn và xác định chu kì nhỏ nhất (nếu có) của chúng:

a Hàm số tuần hoàn với chu kì T =

 Chú ý: Rất nhiều học sinh khi thực hiện câu b) đã vội vàng đa ra kết luận rằng

"Hàm số tuần hoàn với chu kì T = π "

Bài toán 3:Xét tính chẵn, lẻ của hàm số lợng giác

Ví dụ 1: Xét tính chất chẵn − lẻ của các hàm số sau:

a y = sinx − cosx b y = sinx.cos2x + tanx

a Hàm số xác định trên R là tập đối xứng.

Ta có:

f(−x) = sin(−x) − cos(−x) = −sinx − cosx ≠±f(x)

Vậy, hàm số y = sinx − cosx không lẻ, không chẵn

b Hàm số xác định trên R\{

2

π + kπ, k ∈Z} là tập đối xứng.

Ta có:

f(−x) = sin(−x).cos2(−x) + tan(−x) = −sinx.cos2x − tanx

 ở câu b), chúng ta có thể khẳng định đợc ngay đó là hàm số lẻ bởi

nó là tổng của hai hàm số lẻ

Những nhận xét này sẽ giúp các em học sinh nhanh chóng đa ra đợc

đáp án đúng đối với các dạng câu hỏi trắc nghiệm

Ví dụ 2: Xét tính chất chẵn − lẻ của các hàm số sau:

f(−x) = tan(−x) − sin(−2x) = −tanx + sin2x = −(tanx − sin2x) = −f(x)

Vậy, hàm số y = tanx − sin2x là hàm số lẻ

Bài toán 4:Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lợng giác

b Hàm số y = cosx

 Đồng biến trên khoảng (−π + 2kπ, 2kπ) với k ∈Z.

 Nghịch biến trên khoảng (2kπ, π + 2kπ) với k ∈Z.

c Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng (−

2

π

+ kπ, 2

π

+ kπ) với k ∈Z.

d Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ, π + kπ) với k ∈Z.

2 Với các hàm số lợng giác phức hợp, để xét sự biến thiên của nó ta sử dụng định nghĩa

3 Các phép biến đổi đồ thị cơ bản đợc tổng kết theo sơ đồ sau:

 Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f(x)

 Đối xứng phần đồ thị phía dới trục hoành của y = f(x) qua trục hoành

b Đồ thị y = f(|x|) gồm:

 Phần bên phải Oy của đồ thị y = f(x)

 Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy

c Để suy ra đồ thị y = |f(|x|)| chúng ta thực hiện liên tiếp hai qui tắc, cụ thể có thểlựa chọn một trong hai lợc đồ sau :

 Từ y = f(x) suy ra y = |f(x)| = g(x) và lại từ y = g(x) cuối cùng suy ra y =g(|x|) = |f(|x|)|

 Từ y = f(x) suy ra y = f(|x|) = h(x) và lại từ y = h(x) cuối cùng suy ra y =

|h(x)| = |f(|x|)|

d Đồ thị hàm số y = |u(x)|.v(x) với f(x) = u(x).v(x) gồm:

 Phần của đồ thị y = f(x) trên miền u(x) ≥ 0

 Đối xứng phần đồ thị y = f(x) trên miền u(x) < 0 qua trục hoành

e Đờng cong |y| = f(x) gồm:

 Phần đồ thị từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f(x)

 Đối xứng phần đồ thị trên qua trục hoành đợc nửa đờng cong còn lại

Ví dụ 1: Cho các hàm số f(x) = sinx, g(x) = cosx, h(x) = tanx và các khoảng:

Đối xứng qua Oy

Đối xứng qua Ox

Đối xứng qua gốc O

vectơ (a, b)

π) hàm số f(x) = sinx đồng biến Do đó, hàm số f(x) = sinx

c Hàm số h(x) = tanx đồng biến trên khoảng J 1, và ta có bảng:

Hàm số h(x) = tanx đồng biến trên khoảng J 2, và ta có bảng:

π) hàm số h(x) = tanx đồng biến Do đó, hàm số h(x) = tanx

π) ⊂ Đ0 = (−

2

π; 2

c Vì hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng Đk = (−

2

π + kπ;

2

π + kπ)với k ∈Z và:

5π

) (ứng với k = 2)nên hàm số y = tanx đồng biến trên J 1

J 2 = (−

4

π; 4

b Mỗi hàm số đó đều là hàm số tuần hoàn.

Ví dụ 3: Từ đồ thị của hàm số y = sinx, hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau

b Từ đồ thị của hàm số y = sinx, ta thực hiện:

 Giữa nguyên phần đồ thị ở phía trên trục Ox

 Lấy đối xứng phần đồ thị ở phía dới trục Ox qua trục Ox

Hai phần đồ thị trên chính là đồ thị của hàm số y = sinx, ta có hình vẽ:

c Từ đồ thị của hàm số y = sinx, ta thực hiện:

 Giữa nguyên phần đồ thị ở bên phải trục Oy

 Lấy đối xứng phần đồ thị trên qua trục Oy

Hai phần đồ thị trên chính là đồ thị của hàm số y = sinx, ta có hình vẽ:

 Nhận xét: Nh vậy, để có đợc đồ thị của các hàm số theo yêu cầu của đầu bài

chúng ta cần sử dụng các phép đối xứng, và để không phải học thuộccác dạng đồ thị đó các em học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức về dấugiá trị tuyệt đối

Ví dụ tiếp theo sẽ minh hoạ phép co đồ thị

Ví dụ 4: Xét hàm số y = f(x) = cos

2

x

a Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k, f(x + k4π) = f(x) với mọi x

b Lập bảng biến thiên của hàm số y = cos

f(x + k4π) = cos

2

4k

x+ π

= cos(

2

x + 2kπ) = cos

2

x = f(x) với mọi x

b Ta có bảng biến thiên nh sau:

co với hệ số k =

2

1

bài tập lần 2Bài tập 18:Tìm tập xác định của các hàm số sau:

Bài tập 20:Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a y = |x|.sinx b y =

2010n

sin x 2010cos x

+ , với n ∈Z.

Bài tập 24:Hãy xem những hàm số nào trong các hàm số cho dới đây là hàm tuần

hoàn và xác định chu kỳ nhỏ nhất (nếu có) của chúng:

a y = = cosx + cos(x 2 ) b y = sin(x2)

Bài tập 25:Cho các hàm số f(x) = cosx, g(x) = tanx và các khoảng:

Bài tập 26:Cho hàm số y = f(x) = 2sin2x

a Chứng minh rằng với k nguyên tuỳ ý luôn có f(x + kπ) = f(x) với mọi x

b Lập bảng biến thiên của hàm số y = 2sin2x trên đoạn [−

2

π

; 2

cos x cos

35cos x cos

π

+ kπ, k ∈ Â}

Bài tập 3:

a Điều kiện 3 − sinx ≥ 0

Vì sinx≤ 1 nên 3 − sinx ≥ 2 với mọi x

Vậy, ta đợc tập xác định của hàm số là D = Ă

b Điều kiện:

sinx.cosx + 2sinx − cosx − 2 ≥ 0 ⇔ (cosx + 2)sinx − (cosx + 2) ≥ 0

⇔ (cosx + 2)(sinx − 1) ≥ 0 ⇔ sinx − 1 ≥ 0 ⇔ sinx ≥ 1 ⇔ sinx = 1

⇔ x =

2

π

+ 2kπ, k ∈ Â.Vậy, ta đợc tập xác định của hàm số là D = {

2

π

+ 2kπ, k ∈ Â}

c Điều kiện:

1 + sinx − 2cos2x ≥ 0 ⇔ 1 + sinx − 2(1 − sin2x) ≥ 0

⇔ 2sin2x + sinx − 1 ≥ 0 ⇔ (2sinx − 1)(sinx + 1) ≥ 0

|sin x| 1 ≤

⇔ 2sinx − 1 ≥ 0 ⇔ sinx ≥ 1

2 = sin

6π

− +

− =

2010n

sin x 2010cos x

 Hàm cosx tuần hoàn với chu kỳ 2π

 Hàm cos(x 2 ) tuần hoàn với chu kỳ

2

2 π

,Nhng vì 1 và 2 không khả ớc, nghĩa là không tồn tại bội số chung bé nhất đốivới các chu kỳ 2π và