(Đại số 10 - Chương III) Bài giảng: Hàm số bậc nhất

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

ĐẠI SỐ 10

CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Đọc lần 2 toàn bộ:

Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí

Định hướng thực hiện các hoạt động

Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

Chép lại các chú ý, nhận xét

Thực hiện các hoạt động vào vở

4 Thực hiện bài tập lần 1

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ

3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải

như vậy”

4 Thực hiện bài tập lần 2

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài

giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:

Nôi dung chưa hiểu

Hoạt động chưa làm được

Bài tập lần 1 chưa làm được

Bài tập lần 2 chưa làm được

Thảo luận xây dựng bài giảng

gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận

được giải đáp

Đ2 hàm số bậc nhất

Kiến thức về hàm số bậc nhất đã đợc trình bày trong chơng trình Toán lớp 9 Trong bài này, chúng ta chủ yếu đi ôn lại những kiến thức đó và mở rộng nó cho hàm số dạng y = ax+b với a  0.

bài giảng theo chơng trình chuẩn

1 Sự biến thiên và đồ thị của Hàm số bậc nhất

Định nghĩa : Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = ax + b, trong đó a, b là

các hằng số và a  0.

Cho hàm số:

y = ax + b, với a  0

Miền xác định D = R.

Sự biến thiên: là hàm số đơn điệu

Cụ thể:

 Với a > 0, hàm số đồng biến

 Với a < 0, hàm số nghịch biến

Bảng biến thiên:

y

-

+

-

Đồ thị: đồ thị của hàm bậc nhất là một đờng thẳng (d), do đó chỉ cần xác định hai

điểm bất kỳ thuộc (d) ta sẽ có đợc đồ thị của (d)

 Nếu b = 0, đồ thị của (d) đi qua gốc toạ độ O và điểm A(1, a)

 Nếu b  0, đồ thị của (d) đi qua hai điểm B(0, b) và C(

a

b

, 0)

Hệ số góc: hệ số a đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng (d).

Chú ý: Cho hai đờng thẳng (d1) và (d2):

(d1): y = a1x + b1 với a1  0, (d2): y = a2x + b2 với a2  0

 (d1) // (d2)  a1 = a2 và b1  b2

 (d1) cắt (d2)  a1  a2

Thí dụ 1: Cho hàm số:

y = 2x + 1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

y

B

A

1

y=ax+b y=ax

a<0

B

C

1

b Tìm tung độ giao điểm của trục Oy với đồ thị hàm số.

c Tìm hoành độ giao điểm của trục Ox với đồ thị hàm số

Giải

a Ta lần lợt có:

 Miền xác định D = R.

 Sự biến thiên: hàm số đồng biến trên D

 Đồ thi: Ta lấy hai điểm thuộc đồ thị hàm số là M(1, 1) và N(1, 3) Khi đó, đồ thị hàm số là đờng thẳng đi qua M và N (hình vẽ)

b Đồ thị cắt trục Oy tại A có:

x = 0  y = 2.0 + 1 = 1  A(0, 1)

c Đồ thị cắt trục Ox tại B có:

y = 0  0 = 2x + 1  2x = 1  x = 

2

1

 B(

2

1

, 0)

Chú ý: Khi vẽ đồ thị hàm số y = ax + b, a  0 thì:

1 Ta nên chọn hai điểm có toạ độ chẵn

2 Thông thờng, ta chọn hai điểm A(0 ; b) và B

(-a

b

; 0) theo thứ tự là giao điểm của đồ thị với trục Oy và Ox nếu hai điểm đó không nằm quá xa gốc toạ độ (thí

dụ y = x + 2005) hoặc toạ độ của chúng không quá phức tạp trong tính toán (thí

dụ y = 3 2x + 89 )

2 Hàm số hằng y=b

Đồ thị của h m s àm s ố y = b l m àm s ột đường thẳng song song hoặc trựng với trục ho nh àm s

v c àm s ắt trục tung tại điểm A(0; b) Đường thẳng n y g àm s ọi l àm s đường thẳng y = b.

Chú ý: Trục ho nh cú phành cú ph ương trỡnh y = 0

Thí dụ 2: Vẽ trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy đồ thị của các hàm số:

y = 3x và y = 3x

Có nhận xét gì về đồ thị của hai hàm số này ?

Giải

Để vẽ đồ thị hàm số y = 3x, ta thực hiện:

 Xác định thêm một điểm A(1, 3)

 Nối O với A ta đợc đồ thị hàm số y = 3x

Để vẽ đồ thị hàm số y = 3x, ta thực hiện:

 Xác định thêm một điểm B(1, 3)

 Nối O với B ta đợc đồ thị hàm số y = 3x

Nhận xét rằng, đồ thị của hai hàm số này đối xứng với nhau qua Oy

Nhận xét: 1 Ta biết rằng:

|3x| =









 0 x khi x 3

0 x khi x

3

.

Do đó, nếu lấy hai phần đồ thị là:

O1|

3



x

y

1

y = 2x + 1

 1

N

1

1 

x

y

A

|

-1

B 3

y = 3x y = - 3x

 Phần đồ thị của hàm số y = 3x trong góc phần t thứ I.

 Phần đồ thị của hàm số y = - 3x trong góc phần t thứ II.

Ta nhận đợc đồ thị của hàm số y = |3x|.

2 Dựa vào đồ thị chúng ta sẽ nhận đợc bảng biến thiên của hàm số y

= 3x.

Cho hàm số:

y = ax + b, với a  0

Ta biến đổi hàm số về dạng:

y = 















0 b ax khi b ax

0 b ax khi b

ax

=





















a b x khi b ax

a b x khi b

ax

Do đó, đồ thị hàm số y = ax + b gồm hai phần:

 Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y = ax + b

 Đối xứng phần đồ thị phía dới trục hoành của y = ax + b qua trục hoành

Thí dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = x  2, từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số.

Giải

Ta biến đổi:

y = 











2 x nếu ) 2 x (

2 x nếu 2

x

= 









2 x nếu x

2

2 x nếu 2 x

Do đó, đồ thị hàm số là hai tia IA (với I(2, 0) và A(4, 2))

và IB (với B(0, 2))

Dựa vào đồ thị chúng ta nhận đợc bảng biến thiên của hàm số nh sau:



Điều đó chứng tỏ:

 Hàm số nghịch biến trên (, 2)

 Hàm số đồng biến trên (2, +)

hàm số:

a y = x  1.

b y = 2x + 3x + 3.

bài tập lần 1

Bài tập 1 Cho hàm số y = 

2

1

x

a Vẽ đồ thị hàm số

b Xác định toạ độ điểm B thuộc đồ thị hàm số sao cho xB = 4yB + 2

Bài tập 2 Vẽ đồ thị hàm số y = x  2, từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số Bài tập 3 Cho hàm số (Cm): y = (m  1)x + 2m  3.

a Tìm m để hàm số là đồng biến, nghịch biến, không đổi

b Chứng tỏ rằng khi m thay đổi (Cm) luôn đi qua 1 điểm cố định

Bài tập 4 Viết phơng trình y = ax + b của đờng thẳng:

a Đi qua hai điểm A(4; 3) và B(2; 1)

b Cắt đờng thẳng y = 2x + 5 tại điểm có hoành độ bằng 2 và cắt đờng thẳng

y = 3x + 4 tại điểm có tung độ bằng 2

Bài tập 5 Viết phuơng trình y = ax + b của đờng thẳng:

y = x2

x

y

A B

2

y = 2x

y = |x2|

I

2

a Đi qua điểm A(1; 1) và song song với đờng thẳng y = 3x.

b Song song với đờng thẳng y = x + 1 và đi qua giao điểm của hai đờng thẳng y = 2x + 5 và y = 3x  5

Bài tập 6 Cho hai hàm số:

f(x) = (m2 + 1)x  4 và g(x) = mx + 2, với m  0

Chứng minh rằng:

a Các hàm số f(x), f(x) + g(x), f(x)  g(x) là các hàm đồng biến

b Hàm số g(x)  f(x) là hàm nghịch biến

bài giảng nâng cao

Vấn đề 1: hàm số bậc nhất

Thí dụ 4: Cho hàm số y = 2x + 1.

d Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

e Tìm tung độ giao điểm của trục Oy với đồ thị hàm số.

f Tìm hoành độ giao điểm của trục Ox với đồ thị hàm số.

g Xác định toạ độ điểm E thuộc đồ thị hàm số sao cho xE = 2yE + 3

 Giải

a Ta lần lợt có:

 Miền xác định D = 

 Sự biến thiên: hàm số đồng biến trên D

 Đồ thi: Ta lấy hai điểm thuộc đồ thị hàm số là M(1; 1) và N(1; 3) Khi đó, đồ thị hàm số là đờng thẳng đi qua M và N (hình vẽ)

b Đồ thị cắt trục Oy tại A có:

x = 0  y = 2.0 + 1 = 1  A(0; 1)

c Đồ thị cắt trục Ox tại B có:

y = 0  0 = 2x + 1  2x = 1  x = 

2

1

 B(

2

1

; 0)

d Điểm E thuộc đồ thị hàm số, suy ra yE = 2xE + 3 (1) Thay xE = 2yE + 3 vào (1), ta đợc:

yE = 2(2yE + 3) + 3  yE = 3  xE = 3

Vậy, điểm E(3; 3) là điểm cần tìm

 Chú ý: Khi vẽ đồ thị hàm số y = ax + b, a  0 thì:

3 Ta nên chọn hai điểm có toạ độ chẵn

4 Thông thờng, ta chọn hai điểm A(0; b) và B (

a

b

; 0) theo thứ tự là giao

điểm của đồ thị với trục Oy và Ox nếu hai điểm đó không nằm quá xa gốc toạ độ (thí dụ y = x + 2005) hoặc toạ độ của chúng không quá phức tạp trong tính toán (thí dụ y = 3 2x + 89 )

O1|

3 

x

y

y = 2x + 1

1

N

Thí dụ 5: Cho hàm số:

y = x + 3

a Xác định giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung và trục hoành.

Vẽ đồ thị hàm số

b Gọi A và B theo thứ tự là hai giao điểm nói trên Tính diện tích

OAB (O là gốc toạ độ)

c Gọi  là góc nhọn tạo bởi đồ thị hàm số với trục Ox Tính tan, suy

ra số đo góc 

d Bằng đồ thị tìm x để y > 0, y  0

 Giải

a Đồ thị cắt trục Oy tại A có:

x = 0  y = 0 + 3 = 3  A(0; 3)

Đồ thị cắt trục Ox tại B có:

y = 0  0 = x + 3  x = 3  B(3; 0)

b Ta có:

SOAB =

2

1 OA.OB =

2

1 3.3 =

2

9 (đơn vị diện tích)

c Trong OAB, ta có ABO = , suy ra:

tan =

3

3 OB

OA

 = 1   = 450

d Từ đồ thị suy ra:

 y > 0  x < 3, ứng với phhần đồ thị phía trên trục Ox

 y  0  x  3, ứng với phhần đồ thị phía dới trục Ox

Thí dụ 6: Vẽ đồ thị của các hàm số:

a y = 







 0 x với x 2

0 x với x

2















1 x với 4

x

2

1 x với 1

x

 Giải  Bạn đcọ tự vẽ hình.

a Đồ thị gồm hai tia:

 Tia Ot trùng với đồ thị hàm số y = 2x với x  0

 Tia Ot' trùng với đồ thị hàm số y =

2

1

x với x < 0

b Đồ thị gồm hai tia:

 Tia A1B đi qua hai điểm A(1; 2) và B(2; 3)

 Tia A2B đi qua hai điểm A(0; 4) và B(2; 3)

Thí dụ 7: Cho hàm số:

y = ax  3a

a Xác định giá trị của a để đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; 4) Vẽ đồ

thị hàm số với a vừa tìm đợc.

b Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng tìm đợc trong a).

 Giải

a Đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; 4) khi và chỉ khi:

3 

x

y

B

y = x + 3

A

4



y

B H

4 = a.0  3a  3a = 4  a = 

3

4

Vậy, hàm số có dạng y = 

3

4 x + 4

Để vẽ đồ thị hàm số ta lấy thêm điểm B(3; 0)

b Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đờng thẳng

Trong OAB vuông tại O, ta có:

2 2 2

OB

1 OA

1 OH

1



2

2 OB OA

OB OA

2 2

3 4

3 4

 =

5

12

Vậy, khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng bằng

5

12

Thí dụ 8: Cho hàm số (Cm): y = (m1)x + 2m3

a Tìm m để hàm số là đồng biến, nghịch biến, không đổi.

b Chứng tỏ rằng khi m thay đổi (Cm) luôn đi qua 1 điểm cố định.

 Giải

a Điều kiện để hàm số đồng biến:

m – 1 > 0  m > 1

Điều kiện để hàm số nghịch biến:

m – 1 < 0  m < 1

Điều kiện để hàm số không đổi biến:

m – 1 = 0  m = 1

b Giả sử đồ thị hàm số luôn đi qua điểm M(x0 ; y0), ta có:

y0 = (m1)x0 + 2m3, m  (x0 + 2)m – x0 – 3 – y0 = 0, m

 0

0 0

 







 0

0











Vậy, đồ thị hàm số luôn đi qua điểm cố định M(–2 ; –1)

Thí dụ 9: Cho hàm số y = mx  1  m

a Tìm m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.

b Tìm m để hàm số đồng biến trên 

 Giải

a Hàm số trên là hàm số bậc nhất khi và chỉ khi:











0 m

1

0 m

 



 1 m

0 m

 0  m  1

(*)

Vậy, với 0  m  1 hàm số đã cho là hàm số bậc nhất

b Hàm số trên đồng biến trên  khi m > 0

Kết hợp với điều kiện (*), ta đợc 0 < m  1

Vậy, với 0 < m  1 hàm số đồng biến trên 

 Nhận xét: Trong lời giải trên:

1 ở câu a), nhiều em học sinh mắc sai lầm khi chỉ thiết lập điều kiện m  0

2 ở câu b), nhiều em học sinh mắc sai lầm khi thiết lập điều kiện

m > 0 nhng lại không kết hợp với (*)

Thí dụ 10:Cho hàm số:

y = f(x) = ax + b, với a  0

a Chứng minh rằng với một giá trị x0 tuỳ ý cho trớc, bao giờ cũng tìm đợc

hai số m và n sao cho f(m) < f(x0) < f(n)

b Chứng minh rằng hàm số bậc nhất không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

 Giải

a Ta biết rằng với mỗi x0 tuỳ ý cho trớc, bao giờ cũng có:

x0  1 < x0 < x0 + 1

Ta xét hai trờng hợp:

Trờng hợp 1: Với a > 0, khi đó hàm số đồng biến, do đó:

f(x0  1) < f(x0) < f(x0 + 1)

từ đó, ta chọn m = x0  1 và n = x0 + 1

Trờng hợp 2: Với a < 0, khi đó hàm số nghịch biến, do đó:

f(x0  1) > f(x0) > f(x0 + 1)

từ đó, ta chọn m = x0 + 1 và n = x0  1

b Giả sử trái lại hàm số có:

 Giá trị lớn nhất f(x1) ứng với x1

 Giá trị nhỏ nhất f(x2) ứng với x2

Theo kết quả câu a), luôn tìm đợc hai số m và n sao cho:

f(x1) < f(n)  f(x1) không phải là giá trị lớn nhất

f(x2) > f(m)  f(x2) không phải là giá trị nhỏ nhất

Thí dụ 11:Cho hàm số:

y = f(x) = ax, với a  0.

a Chứng minh rằng f(kx1) = kf(x1) và f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)

b Các hệ thức trong câu a) còn đúng với hàm số:

y = g(x) = ax + b, với b  0 hay không ?

 Giải

a Ta có:

f(kx1) = a(kx1) = akx1 = k(ax1) = kf(x1), đpcm

f(x1 + x2) = a(x1 + x2) = ax1 + ax2 = f(x1) + f(x2) , đpcm

b Ta lần lợt xét:

 Với hệ thức:

g(kx1) = kg(x1)  a(kx1) + b = k(ax1 + b)

 akx1 + b = akx1 + bk  b(k  1) = 0 b  0

 k = 1

Vậy, hệ thức g(kx1) = kg(x1) chỉ đúng với k = 0

 Với hệ thức:

g(x1 + x2) = g(x1) + g(x2)  a(x1 + x2) + b = (ax1 + b) + (ax2 + b)

 ax1 + ax2 + b = ax1 + ax2 + 2b  b = 0, loại

Vậy, hệ thức g(x1 + x2) = g(x1) + g(x2) không đúng

Thí dụ 12:Cho hai hàm số:

f(x) = (m2 + 1)x  4 và g(x) = mx + 2, với m  0

Chứng minh rằng:

c Các hàm số f(x), f(x) + g(x), f(x)  g(x) là các hàm đồng biến.

d Hàm số g(x)  f(x) là hàm nghịch biến.

 Giải

a Ta lần lợt xét:

 Hàm số f(x) có hệ số a = m2 + 1 > 0 do đó nó là hàm đồng biến

 Hàm số:

f(x) + g(x) = (m2 + 1)x  4 + mx + 2 = (m2 + m + 1)x  2

có hệ số:

a = m2 + m + 1 =

2

2

1











4

3

> 0  hàm đồng biến

 Hàm số:

f(x)  g(x) = (m2 + 1)x  4  (mx + 2) = (m2  m + 1)x  6

có hệ số:

a = m2  m + 1 =

2

2

1











4

3

> 0  hàm đồng biến

b Hàm số:

g(x)  f(x) = mx + 2  [(m2 + 1)x  4] = (m2  m + 1)x + 6

có hệ số:

a = (m2  m + 1) =



































4

3 2

1 m

2

< 0

do đó nó là hàm nghịch biến

Vấn đề 2: hàm số y = ax + b

Ví dụ 1: Vẽ trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy đồ thị của

các hàm số y = 3x và y = 3x Có nhận xét gì về

đồ thị của hai hàm số này ?

 Giải

Để vẽ đồ thị hàm số y = 3x, ta thực hiện:

 Xác định thêm một điểm A(1; 3)

 Nối O với A ta đợc đồ thị hàm số y = 3x

Để vẽ đồ thị hàm số y = 3x, ta thực hiện:

 Xác định thêm một điểm B(1; 3)

 Nối O với B ta đợc đồ thị hàm số y = 3x

Nhận xét rằng, đồ thị của hai hàm số này đối xứng với nhau qua Oy

 Nhận xét: Ta biết rằng:

|3x| = 





 0 x khi x 3

0 x khi x

3

Do đó, nếu lấy hai phần đồ thị là:

 Phần đồ thị của hàm số y = 3x trong góc phần t thứ I

 Phần đồ thị của hàm số y = - 3x trong góc phần t thứ II

Ta nhận đợc đồ thị của hàm số y = |3x|

Dựa vào đồ thị chúng ta sẽ nhận đợc bảng biến thiên của hàm số y

= 3x

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị mỗi hàm số sau, từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số:

a y = x  2 b y = x  1 + 2

O |

1

1



2



x

y

A

|

-1

B3

y

= 3 x

y

= -3 x

 Giải

a Ta biến đổi:

y = 











2 x nếu ) 2 x (

2 x nếu 2

x

= 









2 x nếu x

2

2 x nếu 2 x

Do đó, đồ thị hàm số là hai tia IA (với I(2; 0) và A(4,

2)) và IB (với B(0, 2))

Dựa vào đồ thị chúng ta nhận đợc bảng biến thiên của hàm số nh sau:



Điều đó chứng tỏ:

 Hàm số nghịch biến trên (; 2)

 Hàm số đồng biến trên (2; +)

b Ta biến đổi:

y = 















1 x nếu 2 ) 1 x (

1 x nếu 2

1 x

 y = 









1 x nếu x

3

1 x nếu 1 x

Do đó, đồ thị hàm số là hai tia IA (với I(1; 2) và A(2; 3)) và IB (với B(0; 3))

Dựa vào đồ thị chúng ta nhận đợc bảng biến thiên của hàm số nh sau:



Điều đó chứng tỏ:

 Hàm số nghịch biến trên (; 1)

 Hàm số đồng biến trên (1; +)

Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = |2x1| + |2x 1|.

 Giải

Viết lại hàm số dới dạng:

y =

1 4x nếu x

2

1 4x nếu x

2





















Do đó, đồ thị hàm số gồm:

 Tia IA với A(1; 4) và I(1

2; 2)

 Đoạn thẳng IJ với J(1

2; 2)

 Tia JB với B(1; 4)

Vấn đề 3: Một số ví dụ về đờng thẳng

Ví dụ 1: Viết phơng trình y = ax + b của các đờng thẳng:

a Đi qua hai điểm A(4; 3) và B(2; 1).

b Đi qua điểm A(1; 1) và song song với Ox.

 Giải

O

y = x + 1

x

y

A B

1

y = 3x

y = |x1| + 2

I

2 2 3

y = x2

x

y

A B

2

y = 2x

y = |x2|

I

2

O

4

y = 4x

x

y

A

y = 4x

J

1 1

2

I

B