(Đại số 10 - Chương III) Bài giảng: Đại cương về hàm số

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

ĐẠI SỐ 10

CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

§ 1 Hàm số

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Đọc lần 2 toàn bộ:

Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí

Định hướng thực hiện các hoạt động

Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

Chép lại các chú ý, nhận xét

Thực hiện các hoạt động vào vở

4 Thực hiện bài tập lần 1

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ

3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách

giải như vậy”

4 Thực hiện bài tập lần 2

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài

giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:

Nôi dung chưa hiểu

Hoạt động chưa làm được

Bài tập lần 1 chưa làm được

Bài tập lần 2 chưa làm được

Thảo luận xây dựng bài giảng

gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận

được giải đáp

2

Chơng II  hàm số bậc nhất

và bậc hai

Trong chơng này, chúng ta sẽ hoàn thiện thêm kiến thức đã biết về hàm số bậc nhất và bậc hai Yêu cầu quan trọng đặt ra trong chơng này là các em học sinh cần rèn luyện đợc kĩ năng vẽ và đọc đồ thị của hàm số, tức là nhận biết đợc các tính chất của hàm số thông qua đồ thị của nó.

(P1)4

5

3

S2

(P

2)

41

0 3 x

 



 9 x 3 x

3 x (

1 x

 Để có đợc đồ thị của một đờng thẳng ta chỉ cần biết 2 điểm

 Để có đợc đồ thị của một Parabol ta chỉ cần biết 3 điểm

Hoạt động H y giải thích tại sao "ãy giải thích tại sao " Để có đợc đồ thị của một đờng thẳng ta

chỉ cần biết 2 điểm ".

4 Sự biến thiên của hàm số

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b).

1 Hàm số f gọi là đồng biến (hay tăng) trên (a; b) nếu:

 x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2)

2 Hàm số f gọi là nghịch biến (hay giảm) trên (a; b) nếu:

 x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2)

4

3 H m s àm s ố y = f(x) gọi làm s đơn điệu trong khoảng (a; b) nếu nó chỉ đồng biến hay nghịch biến trong khoảng n y àm s

Ta có:

 Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên

 Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống

 Chú ý : Nếu f(x 1 ) = f(x 2 ) với mọi x 1 và x 2 thuộc K, tức là f(x) = c với mọi x  K

(c là hằng số) thì ta có hàm số không đổi (còn gọi là hàm số hằng)

trên K.

Hoạt động 1 Dựa vào định nghĩa trên h y đãy giải thích tại sao " a ra thuật toán để xét sự biến

thiên của hàm số y = f(x) trên (a, b).

2 H y xét sự biến thiên của các hàm số:ãy giải thích tại sao "

a f(x) = ax + b với a > 0 trên R.

b f(x) = ax 2 với a < 0 trên mỗi khoảng (; 0) và (0; +).

Thí dụ 2: Dựa vào đồ thị, hãy chỉ ra sự biến thiên của hàm số:

5 Khảo sát sự biến thiên của hàm số

Khảo sát sự biến thiên của hàm số là xét xem hàm số đồng biến, nghịch biến, không đổi trên các khoảng (nửa khoảng hay đoạn) nào trong tập xác định của nó.

 Đối với hàm số cho bằng biểu thức (y = f(x)) thì để khảo sát sự đồng biến haynghịch biến của hàm số trên một khoảng (nửa khoảng hay đoạn) K ta có:

Hàm số f đồng biến trên K khi và chỉ khi:

 Ngời ta thờng ghi lại kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số bằng cách

lập bảng biến thiên của nó:

f(x)Trong bảng biến thiên, mũi tên đi lên thể hiện tính đồng biến, mũi tên đixuống thể hiện tính nghịch biến của hàm số

Thí dụ 3: Khảo sát sự biến thiên của các hàm số:

a y = f(x) = 2x + 1

b y = f(x) = ax + b, với a  0.

f(

x

0

f(

x

-0

2 Nếu hàm số y = f(x) là hàm số lẻ thì với điểm M(x0; y0) thuộc đồ thị suy ra

điểm M1(x0; y0) cũng thuộc đồ thị do đó đồ thị hàm số lẻ nhận gốc O làm tâm đối xứng.

Thí dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

 Lên trên hoặc xuống dới (theo phơng của trục tung) k đơn vị

 Sang trái hoặc sang phải (theo phơng của trục hoành) k đơn vị

Khi dịch chuyển điểm M0 nh thế, ta còn nói rằng tịnh tiến điểm M0 song song

với trục tọa độ.

2 Tịnh tiến một đồ thị

Định lí: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị (G) của hàm số y = f(x); p và q

là hai số dơng tùy ý Khi đó:

1 Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì đợc đồ thị hàm số y = f(x) + q

2 Tịnh tiến (G) xuống dới q đơn vị thì đợc đồ thị hàm số y = f(x)  q

3 Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì đợc đồ thị hàm số y = f(x + p)

4 Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì đợc đồ thị hàm số y = f(x  p)

Từ đó, trong hình vẽ bên ta nhận thấy:

 Điểm M1(x0, y0 + 1) nhận đợc bằng việc tịnh tiến

điểm M0 lên trên 1 đơn vị

 Điểm M2(x0, y0  4) nhận đợc bằng việc tịnh tiến

điểm M0 xuống dới 4 đơn vị

 Điểm M3(x0  3, y0) nhận đợc bằng việc tịnh tiến

điểm M0 sang trái 3 đơn vị

 Điểm M4(x0 + 2, y0) nhận đợc bằng việc tịnh tiến

điểm M0 sang phải 2 đơn vị

x0

M1

1 x







Bµi tËp 9 Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè y = f(x) = ax2 + bx + c, víi a  0

Bµi tËp 10 Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè y = f(x) = x2 2

Bµi tËp 11 XÐt tÝnh ch½n, lÎ cña c¸c hµm sè sau:

a y = x + 5 b y = x2 + m c y = 3x3 + x

Bµi tËp 12 XÐt tÝnh ch½n, lÎ cña c¸c hµm sè sau:

a y =

1x

x2

1x

1x2

2 2



 c y =

x

3x

12

bài giảng nâng cao

y = ax + b l phà ph ương trỡnh của một đường thẳng

Để có đợc đồ thị của một đờng thẳng ta chỉ cần biết 2 điểm

y = ax2 + bx + c l phà ph ương trỡnh của một đường parabol

Để có đợc đồ thị của một Parabol ta chỉ cần biết 3 điểm

II sự biến thiên của hàm số

 Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên

 Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống

 Chú ý: Nếu f(x1) = f(x2) với mọi x1 và x2 thuộc K, tức là f(x) = c với mọi x 

K (c là hằng số) thì ta có hàm số không đổi (còn gọi là hàm số

hằng) trên K.

Khảo sát sự biến thiên của hàm số

Khảo sát sự biến thiên của hàm số là xét xem hàm số đồng biến, nghịch biến, không đổi trên các khoảng (nửa khoảng hay đoạn) nào trong tập xác định của nó.

 Đối với hàm số cho bằng biểu thức (y = f(x)) thì để khảo sát sự đồng biến haynghịch biến của hàm số trên một khoảng (nửa khoảng hay đoạn) K ta có:

Hàm số f đồng biến trên K khi và chỉ khi:

Hàm số f nghịch biến trên K khi và chỉ khi:

 Ngời ta thờng ghi lại kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số bằng cách

lập bảng biến thiên của nó:

f(x)Trong bảng biến thiên, mũi tên đi lên thể hiện tính đồng biến, mũi tên đixuống thể hiện tính nghịch biến của hàm số

 Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

 Đồ thị của hàm lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.

10

 0  x  4Vậy, tập xác định của hàm số là D = [0; +)\{4}.

 Chú ý: Trong câu a), nếu các em học sinh biến đổi hàm số về dạng:

x 2y

x       

 Giải

a Hàm số xác định khi:

x 1 x x

0 x

0 1 x x

0 x

0 2 x

x 1 ( 2 x

0 x 1

0 x 1

0 x 1 2 x

1 x

1 2 m

.Vậy, với m < 1  m  3 thoả mãn điều kiện đầu bài

Ví dụ 4: Tìm m để hàm số sau xác định trên đoạn [1; 3]:

Điều kiện cần: Bất phơng trình nghiệm đúng với x[1, 3]  nghiệm đúng với x

1 17 m 2 1

8

8 m 9

 m = 8.Vậy, với m = 8 là điều kiện cần để (1) nghiệm đúng với x  [1; 3]

Điều kiện đủ: Với m = 8, ta có:

0 8 x 8 x 2

2 2

0 ) 2 x ( 2 2

 1  x  3

Vậy, với m = 8 thoả mãn điều kiện đầu bài

Bài toán 2:Xét sự biến thiên của hàm số

Phơng pháp thực hiện

Ta lựa chọn một trong hai phơng pháp sau:

12

2 1

xx

)x()x(

Suy ra, hàm số nghịch biến trên D

b Viết lại hàm số dới dạng:

2 1

xx

)x()x(





=

2 1 2 2 1

1

xx

2x

ax2xax

2x(

a22

1 

a Với a = 1, suy ra:

A < 0 với mọi x1, x2(2; +) và x1  x2

Vậy, với a = 1 hàm số nghịch biến trên (2; +)

b Để hàm số đồng biến trên (2; +) điều kiện là:

A > 0 với mọi x1, x2(2; +) và x1  x2  2a > 0  a < 0.

Vậy, với a < 0 thoả mãn điều kiện đầu bài

Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau trên tập xác định của nó:

Suy ra, hàm số f(x) = f1(x)  f2(x) đồng biến trên D

Ví dụ 4: Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x) = ax2 + bx + c, với a  0.

 Giải

Hàm số xác định trên  , nên với x1, x2   và x1  x2 ta có:

14

2 1

xx

)x()x

2 2 2

1

xx

2x2x

xx

(

)2x()2x(

2 2 2

1 2 1

2 2 2

xx

2 2 2

1

2 1

 Nếu x1, x2 > 0 thì A > 0 suy ra hàm số đồng biến trên (0; +)

 Nếu x1, x2 < 0 thì A < 0 suy ra hàm số nghịch biến trên (; 0)

Bài toán 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

Phơng pháp thực hiện

Ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:

 Nếu D là tập đối xứng (tức là xD  xD), ta thựchiện tiếp bớc 2

 Nếu D không phải là tập đối xứng (tức là xD mà

1x

1x2

2 2



 c y =

x

3x

1)x(2

2 2

1x2

2 2



 = f(x)

0 1

12

1

2  Hàm số này xác định trên D =  \{1, 1} là tập đối xứng và có:

f(x) =

1)x(

12



1x

1

 Hàm số này xác định trên D =  \{1} là tập không đối xứng do đó hàm sốkhông chẵn, không lẻ

Trờng hợp 3: Với m  0  m  1.

Khi đó, hàm số g(x) = (m + 1)x2 + mx  1 không chẵn cũng không lẻ do đóhàm số y = f(x) cũng không chẵn, không lẻ

Bớc 1: Với phép biến đổi toạ độ

Bớc 3: Vậy, đồ thị hàm số nhận đờng thẳng x = a làm trục đối xứng.

2 Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y = f(x) nhận đờngthẳng x = a làm trục đối xứng, ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Với phép biến đổi toạ độ

Bớc 2: Khi đó, với mỗi M(x, y)(H)

 M1(x1; y1)(C) sao cho M đối xứng với M1 qua đờngthẳng y = a

  x1, y1thoả mãn:

1 1 1 1

Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng là x = a

Khi đó, với phép biến đổi toạ độ:

+ 4(a33a2a + 3)X + a44a32a2 + 12a1Hàm số (1) là hàm số chẵn

18

+ a4 + 4ma32a212ma (1)Hàm số (1) là hàm số chẵn

Vậy, với m = 1 đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy

Ví dụ 3: Tìm phơng trình đờng cong đối xứng với đồ thị hàm số (C) qua

Gọi (H) là đờng cong đối xứng với (C) qua đờng thẳng y = 2

Khi đó, với mỗi M(x; y)(H)

 M1(x1; y1)(C) với y1 =

2

1 1 1

1 Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = f(x) nhận điểm I(a; b) làm tâm

đối xứng, ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Với phép biến đổi toạ độ

Bớc 3: Vậy, đồ thị hàm số nhận điểm I(a; b) làm tâm đối xứng

2 Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y = f(x) nhận điểmI(a; b) làm tâm đối xứng, ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Thực hiện phép biến đổi toạ độ

Bớc 1: Lấy hai điểm A(xA; y(xA)) và B(xB; y(xB)) thuộc đồ thị hàm số

Bớc 2: Hai điểm A và B đối xứng qua điểm I(a; b)

4 Tìm phơng trình đờng cong đối xứng với (C): y = f(x) qua điểm I(x0;

y0), ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Gọi (H) là đờng cong đối xứng với (C) qua điểm I(x0; y0)

Bớc 2: Khi đó, với mỗi M(x; y)(H)

 M1(x1; y1)(C) sao cho M đối xứng với M1 qua I

Bớc 3: Khử x1, y1 từ hệ (I) ta đợc phơng trình của đờng cong (H)

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x33x2 + 1 Chứng minh rằng đồ thị hàm số nhận

điểm I(1; 1) làm tâm đối xứng

Y1 = (X + 1)33(X + 1)2 + 1 = (X + 1)33(X + 1)2 + 1

20

 Y = X3X (1)Hàm số (1) là hàm số lẻ

Vậy, đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 1) làm tâm đối xứng

 Chú ý: Đồ thị hàm số:

 y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, với a  0 luôn nhận điểm U

; f3a 3a



13(m ) 0

m1

m 1 03m 2m 1 0

m2m 1  1  m(;  2

x 2



với đồ thị (C) qua điểm I(1; 1)

 Giải

Gọi (H) là đờng cong đối xứng với (C) qua điểm I(1; 1)

Khi đó, với mỗi M(x; y)(H)

 M1(x1; y1)(C) với y1 =

2 1 1

.Vậy, đờng cong (H) có phơng trình y =

2

x 1x



Bài toán 6:Phép tịnh tiến đồ thị

Ví dụ 1: Cho (H) là đồ thị của hàm số y = f(x) =

x2

3x2

=

x2

7

x2



 =

x2

)x2(23x2

3x

 Chú ý: Các em học sinh hẳn sẽ thắc mắc về lí do xác định đợc phép biểu diễn

trên cho hàm số y =

x2

7

x2



 = f(x) + b



x2

7

x2



 =

x2

3x2

b3x)2b(

2 b 0 1 1

 b = 2

Vậy, ta đợc y =

x2

7

x2



 = f(x)2 Do đó, đồ thị của hàm số đợc suy

ra bằng phép tịnh tiến (H) theo Oy xuống dới 2 đơn vị

Ví dụ 2: Cho (H) là đồ thị của hàm số y = f(x) =

1x

1x

x

 =

1)1x(

1)1x(

x

 = f(x + a) 

2x

x

 =

1 a x

1 a x

1 a 0 1 1

 a = 1

Vậy, ta đợc y =

2x

x

 = f(x1)

Do đó, đồ thị của hàm số đợc suy ra bằng phép tịnh tiến (H) theo

Ox sang phải 1 đơn vị

Ví dụ 3: Cho (P) là đồ thị của hàm số y = f(x) = 2x2 + x Hãy lựa chọn phép

tịnh tiến song song với trục Ox để nhận đợc đồ thị hàm số y = 2x2 +9x + 10

 Giải

Giả sử:

y = 2x2 + 9x + 10 = f(x + a) = 2(x + a)2 + x + a = 2x2 + (4a + 1)x + 2a2 + a

Bằng việc đồng nhất hệ số, ta suy ra:

2 10

1 a 4 9

2 2

2  a = 2

Vậy, ta đợc y = 2x2 + 9x + 10 = f(x +2)

Do đó, đồ thị của hàm số đợc suy ra bằng phép tịnh tiến (P) theo Ox sang trái

2 đơn vị

Ví dụ 4: Cho (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) = x3 + 3x + 1 Hãy lựa chọn

1

) 1 a

( 3 6

a 3 3

1 1





 2 b

1 a

.Vậy, ta đợc g(x) = f(x1) + 2

1x





c y =

x2x

x

2

6xx

2x

2







Bài tập 2 Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1

2  b y =

1 x ) 3 x (

x 4

1x

2 2

Bài tập 6 Cho hàm số:

y =  x2m 1 

2 m x

Bài tập 7 Khảo sát sự biến thiên của các hàm số:

1x3





Bài tập 10 Khảo sát sự biến thiên của các hàm số:

Bài tập 13 Cho hàm số f luôn đơn điệu trên  Chứng minh rằng nếu phơng trình

f(x) = 0 có một nghiệm x0 thì đó là nghiệm duy nhất của phơng trình

Bài tập 14 Cho hàm số f đồng biến trên  và hàm số g nghịch biến trên 

Chứng minh rằng nếu phơng trình f(x) = g(x) có một nghiệm x0 thì đó là nghiệmduy nhất của phơng trình

Bài tập 15 Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

x

1x

x  

c y =

4x

1xx

2

2 4

Bài tập 17 Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a y = 1  x + 1 x b y = 3

3x

2   3

3x

|

|1x

|

|x1

|

|1x

Bài tập 20 Cho hàm số y =

mx)1m(2mx

12

Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 1500.000đ.

1 Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689

2 Bạn gửi tiền về:

LÊ HỒNG ĐỨC

Số tài khoản: 1506205006941

3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT

ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

26