BAI TAP NGUYEN HAM

BÀI TOÁN MINH HOẠBài toán 1... Từ đó, ta có bài toán tìm họ nguyên hàm tổng quát 4:Bài toán tổng quát 4... Từ đó, ta có bài toán tìm họ nguyên hàm tổng quát 5:Bài toán tổng quát 5... + H

Chương I: NGUYÊN HÀM

1.1 NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

1.1.1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1) Định nghĩa nguyên hàm :

a) Định nghĩa : Cho hàm số f x( ) xác định trên K Hàm số F x( ) được gọi

là nguyên hàm của f x( ) trên K nếu F x'( ) f x( ) với x K�

b) Nhận xét : Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K thì( ) ,

F x C C�� là họ tất cả các nguyên hàm của f x( ) trên K Kí hiệu

a

1.1.3 BÀI TOÁN MINH HOẠ

Bài toán 1 Chứng minh rằng F x( ) ln | x x2a | là một nguyên hàm của

Hướng dẫn

Với  ��x a, ta có:

'

1'( )2

x a

x a

F x

x a a

a

x a

x a a

F x Ax B c x d x C

Hướng dẫn

Ta có: F x'( )Ax B ln | sinc x d cos |x C'

cos sinsin cos

Bài toán 4.Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f x( )x(1x)20

( Đề thi ĐH Quốc Gia Hà Nội – Năm 1998)

Từ đó, ta có bài toán tìm họ nguyên hàm tổng quát 4:

Bài toán tổng quát 4 Tìm họ nguyên hàm của hàm số:

12(1001) 1

x

C x



Từ đó, ta có bài toán tìm họ nguyên hàm tổng quát 5:

Bài toán tổng quát 5 Tìm họ nguyên hàm của hàm số:

2 3

* 2

( 1)

n n

n n

t dt t

tan1

1

n x

( )

( 1)

n n

1

n x

1( )

2 2 2

4 2 2

1( )

sin sin 2 cos cos 2cos sin 2

1sin 2

1( os5 sin 4 cos sin 4 )

1(sin 9 sin 5 sin 3 sin )

Vì vậy:

1( ) (sin 9 sin 5 sin 3 sin )

Bài toán15 Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f x( ) tan 4x

( Đề thi ĐH Thương Mại – Năm 1998)

2 sin cos 2 2 cos

2 82

3sin 4 sin 6 3sin 2

3sin 4xsin 6x3sin 2x3(sin 4xsin 2 ) sin 6x  x

6 cos3 sinx x 2sin 3 cos3x x

48 sin 3 1

x C x



Bài toán 18 Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f x( ) sin 4x

( Đề thi ĐH Kinh Tế Quốc Dân Hà Nội – Năm 2000)

1.2 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u x( ).

1.2.2 BÀI TOÁN MINH HOẠ

Bài toán 1.Tìm họ nguyên hàm của hàm số: ( ) 10

3sin 8sin cos 5cos

3sin 8sin cos 5cos

c x



Đặt ttanx, ta có: 2

os

dx dt

c x



Từ đó, ta có:

2 2

1os( )

1 (3 5) ( 1)

32

x

C x

11

4 14

11

11( )

11

x

x x

+) Hàm số dưới dấu nguyên hàm thường là hai loại hàm số khác nhau.

+) Cần phải chọn u, dv sao cho du đơn giản và dễ tính v, đồng thời tính

nguyên hàm của �vdu đơn giản hơn nguyên hàm của �udv.

2) Các hàm số dùng phương pháp tính nguyên hàm từng phần cơ bản thường gặp

m

ax b u

( )( )

u P x

ax b dx dv

( )( )

Khi đó, ta đặt: �� �u P x dv Q x dx ( )( ) , nghĩa là:

( ) ( )

ax b dx dv

m m

m m k

1.3.2 BÀI TOÁN MINH HOẠ

1.3.2.1 Dạng 1: Tìm họ nguyên hàm : �P x Q x dx( ) ( ) , với P(x) là đa thức và

4

x x v

Bài toán 2 Tìm họ nguyên hàm 2

( )( )

4sin 41

sin(ln ) sin(ln ) os(ln )

I  x x x x C