De thi hoc sinh gioi Toan 7

Tìm tỉ lệ các đường cao tương ứng của tam giác.. đường thẳng đi qua A vuông góc với phân giác trong của góc A cắt đường thẳng BC tại M sao cho BM = BA + AC.. ĐỀ CHÍNH THỨC... Gọi ba đườn

Trang 1

PHÒNG GD&ĐT

o0o ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 20-20 Môn: Toán 7.

(Thời gian: 120phút, không kể thời gian giao đề)

Câu 1( 2 điểm) :

Cho 6 số nguyên dương a<b<c<d<m<n

Chứng minh rằng :

2

1





n m d c b a

m c a

Câu 2 ( 1,5 điểm) :

Không dùng bảng số hay máy tính, hảy so sánh :

50  2 Với 50  2

Câu 3 ( 1,5 điểm ) :

Tìm x, y, z biết :

5 9 12

z y x



 và xyz = 20

Câu 4 ( 2,5 điểm ) :

Cho đa thức f(x) = x2 + 4x – 5

a/ Số –5 có phải là nghiệm của đa thức f(x) không ? b/ Viết tập hợp S tất cả các nghiệm của f(x)

Câu 5 ( 3,5 điểm ) :

Cho ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành 3 góc bằng nhau

a/ C/m rằng : ABC là tam giác vuông

b/ C/m : ABM là tam giác đều

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 2

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN : TOÁN 7

Câu 1 : ta có : a<b = > 2a < a + b ; c<d => 2c < c + d

m < n = > 2m < m + n

Suy ra : 2(a + c + m) < ( a + b +c + d + m + n)

Do đó :

2

1





n m d c b

a

m c a

Câu 2 :

8 64 52

2

50     (1)

8 1 7 1 49 2

50       (2)

Từ (1) và (2) => 50  2 < 50  2

Câu 3 :

Ta đặt :

5 9 12

z y x



 = k

Suy ra : x = 12k; y = 9k; z = 5k

Vì xyz = 20 nên 12k.9k.5k = 20

 540 k3 = 20 => k3 =

27

1 => k =

3 1

Vậy x = 12

3

5 3

1 5

; 3 3

1 9

; 4 3

1



Câu 4 :

a/ Thay –5 vào f(x) = x2 +4x – 5 ta có

f(-5) = (-5)2 + 4.(-5) – 5

= 25 – 20 –5 = 0

Vậy số –5 là nghiệm của đa thức f(x)

b/ f(x) = x2 + 4x –5 = x2 – x + 5x – 5

= x( x - 1) + 5(x – 1)

= (x – 1) (x + 5)

f(x) = 0 <=> (x – 1) (x + 5) = 0

<=> 



















5

1 0

5

0 1

x

x x

x

Vậy tập hợp các nghiệm của f(x) là S = 1;-5 

Câu 5 :

B

H

M

Trang 3

a/ Chứng minh : ABC là tam giác vuông :

Vẻ MI  AC ; ta có : MAI = MAH ( cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra : ABH = AMH (g – c – g)

Suy ra : BH = MH =

2

1

BH =

2

1 CM Nên : góc C = 300 ; góc HAC = 600

 góc BAC = 0 90 0

2

3 60

 Vậy ABC vuông tại A

b/ Ta có :

Vì : góc C = 300 nên góc B = 600 ; AM = BM =

2

1

BC ( t/c đường trung tuyến – cạnh huyền)

=> ABM cân, có một góc bằng 600

Vậy ABM là tam giác đều

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 tài nguyên giáo dục

Trang 4

PHÒNG GD&ĐT

Bài 1 : Cho dãy số : 1, -7, 13, -19, 25, -31, 37 …

a) Tính tổng 2009 số hạng đầu của dãy

b) Viết số hạng tổng quát thứ n của dãy đã cho?

Bài 2 :

a) Cho

d

c b

a

 Chứng minh rằng : 2007 2007

2007 2007

2007

) (

d c

b a

d c

b a







b) Tìm các số nguyên a và b thoả mãn :

(2a + 5b + 1)(2 |a| +a 2 + a + b) = 105

Bài 3:

a Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c thoả mãn:

9

2 7

2 5

2b b c c a









Tìm tỉ lệ các đường cao tương ứng của tam giác

b.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm: A(-1;2) ; B(4;1); C(-3;-1) Tính diện tích tam giác ABC

Bài 4 :

Cho tam giác ABC có AB > AC và góc A có số đo bằng á đường thẳng đi qua

A vuông góc với phân giác trong của góc A cắt đường thẳng BC tại M sao cho BM =

BA + AC Tính số đo các góc B và C của tam giác ABC ?

Bài 5:

Cho tam giác ABC có các cạnh là a, b, c và các đường cao tương ứng là ha; hb;

hc Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2

2 2 2

) (a b c

h h



Khi đó tam giác ABC là tam giác gì?

-Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 5

HƯỚNG DẪN CHẤM

1-a(0,5đ) Xét tổng gồm 2009 số hạng sau: 1 -7+13 -19+25-31+37 …

(1004 cặp)

=1+6*1004

=6025

(0,25đ) (0,25đ)

1-b(1 đ) Số hạng thứ nhất: a1=1

Số hạng thứ hai: a2=-7=-(6+1)=(-1)1 (6+1)

Số hạng thứ ba: a3=13= 2.6+1=(-1)2.( 2.6+1)

Số hạng thứ tư: a4=-19=-(3.6+1)= (-1)3.( 3.6+1)

Số hạng thứ năm: a5=25=4.6+1= (-1)4.( 4.6+1)

………

Số hạng tổng quát là: an=(-1)n-1[(n-1).6+1]

0,25đ 0,25đ

0,5đ 2-a(0,5 đ)

2007 2007

2007

2007 2007

2007

d c

b a

d

b c

a d

b c

a d

c b

a











Mặt khác:

2007

2007 2007

2007

) (

d c

b a d

b c

a d c

b a d

b c

a











Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh

0,25đ 0,25đ

2-b(1,5 đ) Và 105 là số lẻ nên (2a + 5b + 1) và (2 |a| +a 2 + a + b) là số lẻ Do

(2a + 5b + 1) lẻ suy ra b chẵn.

Mà a2+a=a(a+1) chẵn nên 2 |a| lẻ Suy ra a=0.

Với a=0 Ta có: (5b+1)(b+1)=105=21.5=(-21).(-5)

Do (5b+1; 5)= 1 nên

4 b

























5 1

21 1 5 5

1

21 1 5

b

b b

b

Thử lại





 4

0

b

a

thoả mãn yêu cầu bài toán

0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 3-a(1,5 đ) áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:

7 9

2 7

2 5

2b b c c a a b c













chỉ ra: a3bc a a3bc Gọi ba đường cao của tam giác lần lượt là ha; hb; hc Có:

a.ha=b.hb=c.hc(=2.SABC)

c

b a

c b a

c b

a

h

h h

h h h

bh bh

bh









3

3 3

: hay

0,25đ 0,5đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ

Trang 6

3-b(1 đ)

Vẽ hình chính xác:

Dựng hình chữ nhật PQRC Tính được:SPQRC, SPAC, Tính được:SQAB, SRBC

Từ đó tính được: SABC= SPQRC-(SPAC+ SQAB+SRBC)=

2

1

8 (đvdt)

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Câu 4(2đ)

vẽ hình tương đối đúng Trên tia BA lấy D sao cho AD=AC Khi đó BD=BM Suy ra Tam giác BDM cân, AM vuông góc với phân giác trong nên AM là phân giác ngoài hay MA là phân giác góc M

Vẽ thêm hình phụ phù hợp với bài:

Từ đó:

3 120

^

) 3

2 60 ( 180 )

^ (^

180

^

3

2 60

^

180 4

^ 180 90

2

^

180

^

0

0 0 0

0

0 0

0







































C

A B C

B

B B

AMB BAM

B

0,25đ

0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 5(2 đ)

Vẽ hình; ghi GT-KL

0,25đ

Trang 7

Gọi ABC là tam giác với BC=a, CA=b, AB=c.

Qua C kẻ Cx song song với AB Dựng điểm D sao cho Cx là đường trung trực của AD Theo định lý Pitago ta có:

2 2 2

2 2

2

2 2

) ( 4

) (

c b a h

b a h c

CD BC BD

AD AB

c

























Tương tự ta có:

2 2 2

) (

4h a  bc  a

2 2 2

) (

4h b  ca  b

Suy ra:

(

4 2

a

h + 2

b

h + 2

c

h )≤(a+b+c)2

Suy ra:

4

1 )

( 2

2 2 2





c b a

h h

Dấu “=” sảy ra khi a=b=c hay tam giác ABC đều

Kết luận: 2

2 2 2

) (a b c

h h



đạt GTLN bằng

4

1

khi tam giác ABC đều

0,25đ

0,25đ 0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ

Trang 8

PHÒNG GD&ĐT

o0o ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

Bài 1: Tính

a) A =

2

b) B =

� �

Bài 2 :

Tìm x biết

1 1

5 5

a  x  b ) 2 x    1 x 4

Bài 3:

a) Tìm a , b , c Biết: 3a = 2b ; 4b = 5c và - a - b + c = - 52

b) Tính giá trị của biểu thức C =

2

2 1

x x x

 

 tại

3 2

x

Bài 4:

Bốn con Ngựa ăn hết một xe cỏ trong một ngày , một con Dê ăn hết một xe cỏ trong sáu ngày , hai con Cừu trong 24 ngày ăn hết hai xe cỏ Hỏi chỉ ba con (Ngựa ,

Dê và Cừu) ăn hết hai xe cỏ trong mấy ngày ?

Bài 5:

Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M là trung điểm của BC Đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A tại M cắt cạnh AB , AC lần lượt tại E và F

Chứng minh :

a) EH = HF

b)

2

4

FE

AH AE

c) BE = CF

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 9

ĐÁP ÁN

(Hướng dẫn chấm này gồm hai trang)

1

(1,5đ)

a

(0,75)

4 4 2 4 3 2 2

A  � � � ��    ��    

35 2



b

(0,75) =

2009

2 6

1 1 0

�  � � � �   

2

(1,5 đ)

a

(0,5)

5 x 5 5 x 5 x 26



   �  � 

b

(1,0)

* Với 2x – 1 � 0 từ (1) ta có 2x – 1 = x + 4

� x = 5 thoả mãn điều kiện 2x – 1 � 0 0,25

* Với 2x – 1 < 0 thì từ (1) ta có 1 – 2x = x + 4 � x =

- 1 thoả mãn điều kiện 2x – 1 < 0 0,25

Đáp số : x1 = 5 ; x2 = -1 0,25

3

(1,5đ)

a

(0,75)

Giải : Từ 3a = 2b �

2 3 10 15

a b� a  b

Từ 4b = 5c �

5 4 15 12

10 15 12 12 10 15 13

a  b  c  c a b   

� a = 40 ; b = 60 ; c = 48 0,25

b

(0,75)

Biểu thức C = 2 2 5 3

2 1

x

 

 tại

3 2

x

Vì 3

2

Thay x1= -3/2 vào biểu thức C ta được

C =

2

15

2

� �   � �  

��



� � � �   � �

� �  

��

� �

0,25

Thay x2 = 3/2 vào biểu thức C ta được

C =

2

3

2

� �  � � 

��

� � � �   � �

� �

��

� �

0,25

Vậy khi x1 = -3/2 thì C = -15/4 khi x2 = 3/2 thì C = 0

Trang 10

(2đ)

Vì bốn con ngựa cùng ăn hết xe cỏ trong 1 ngày ,

do đó một con ngựa ăn hết một xe cỏ trong 4 ngày Một con dê ăn hết một xe cỏ trong 6 ngày

Hai con cừu ăn hết hai xe cỏ trong 24 ngày nên một con cừu ăn hết một xe cỏ trong 12 ngày

0,5

Trong một ngày : một con ngựa ăn hết 1

4(xe cỏ ) một con dê ăn hết 1

6 (xe cỏ ) Một con cừu ăn hết 1

12 (xe cỏ )

0,5

Cả ba con ăn hết : 1 1 1 1

4 6 12    2 (xe cỏ 0,5

Cả ba con ăn hết 1 xe cỏ trong 2 ngày nên ăn hết 2 xe cỏ

5

( 3,5đ)

a

(0,75)

C/m được AEH  AFH(g-c-g) Suy ra EH = HF (đpcm) 0,75

b

(0,75)

Từ AEH  AFH Suy ra � �E1F

Xét CMF có �ACB là góc ngoài suy ra CMF�  �ACB F � BME có �E1 là góc ngoài suy ra BME E� � �1 B

vậy CMF BME� �  (�ACB F�) (  E� �1B) hay 2BME�  �ACB B �(đpcm)

0,75

c

(0,5)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AFH :

ta có HF2 + HA2 = AF2 hay 2 2 2

4

FE

  (đpcm)

0,5

d

(1,0)

C/m AHE AHF g c g(   ) Suy ra AE = AF và � �

1

E F

Từ C vẽ CD // AB ( D � EF )

Từ (1) và (2) suy ra BE = CF

0,25 0,25 0,25 0,25

1

C H

M E

D B

A

F

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	732 KB