Khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong; định nghĩa tích phân.. Tính chất của tích phân.. Các phương pháp tính tích phân đổi biến số, tích phân từng phần - Kỹ năng: Nắm địn
Trang 1Ọ5
5
y
O 1
TÍCH PHÂN
I Mục tiêu:
- Kiến thức:1 Khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong; định nghĩa tích phân.
2 Tính chất của tích phân
3 Các phương pháp tính tích phân ( đổi biến số, tích phân từng phần )
- Kỹ năng: Nắm định nghĩa tích phân, vận dụng thành thạo các tính chất và hai
phương pháp tính tích phân
Hiểu ý nghĩa hình học của tích phân
- Thái độ: Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn
của Gv, năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được nhu cầu cần
học tích phân
- Tư duy: Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy
nghĩ
II Phương pháp: Đàm thoại gợi mở,đan xen hoạt động nhóm
III Chuẩn bị của GV và HS
IV Nội dung và tiến trình lên lớp:
I KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN.
1 Diện tích hình thang cong:
Hoạt động1: tiếp cận khái niệm tích phân
Hãy nhắc lại công thức tính diện tích hình thang
Cho hs tiến hành hoạt động 1 sgk
Sh thang = 2 1 (Đ + đ).h Thảo luận nhóm để tính diện tích S của hình T khi t = 5
Độ dài đáy lớn f(5)
Độ dài đáy nhỏ f(1)
20’
Trang 2y = f(x) = 2x +1
1 f(1) = 3 ; f(5) = 11
S
2
) 1 5 ( ) 1
(
)
5
28
2 S(t) = t2 + t – 2 ;t[1; 5]
3 vì S’(t) = 2t + 1
Nên S(t) là một nguyên hàm của
f(t) = 2t + 1
S S( 5 ) S( 1 )28 028
Định nghĩa hình thang cong:
“Cho hàm số y = f(x) liên tục,
không đổi dấu trên đoạn [a ;
b] Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
của hàm số y = f(x), trục hoành và
hai đường thẳng x = a ; x = b được
gọi là hình thang cong (H47a,
SGK, trang 102)”
2 Định nghĩa tích phân :
“Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn
[a; b] Giả sử F(x) là một nguyên hàm
Để c/m S(t) là một nguyên hàm của f(t) cần làm gì ? Giới thiệu với Hs nội dung định nghĩa thang cong Gv giới thiệu cho
Hs vd 1 (SGK, trang 102 ,
103, 104) để Hs hiểu rõ việc tính diện tích hình thang cong
2 Định nghĩa tích phân : Hoạt động 2 :
Cho HS tiến hành HĐ2 sgk
Định nghĩa tích phân
Ta còn kí hiệu ( )b a ( ) ( )
F x F b F a
Chiếu cao 5 – 1 = 4 + Tính diện tích S(t) của hình T khi t [1; 5]
Cần c/m S’(t) = f(t)
Nắm định nghĩa hình thang cong
Thảo luận nhóm để chứng minh
F(b) – F(a) = G(b) – G(a)
Ví F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của f(x)
C x G x
) ( ) (
) ) ( ( ) ) ( (
) ( ) (
a G b G
C a G C b G
a F b F
20’
Trang 3của f(x) trên đoạn [a; b] Hiệu số
F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a
đến b (hay tích phân xác định trên
đoạn [a; b]) của hàm số f(x), ký hiệu:
( )
b
a
f x dx
Vậy:
b
b a a
Chú ý: nếu a = b hoặc a > b: ta qui
ước :
f x dx f x dx f x dx
VD2: a) 3 2 3 1 3 7
2
1
2 1 3 2
x dx x
b)
e
e
e nt
l
dt
t
1
1
Nhận xét:
+ ( )
b
a
f x dx
chỉ phụ thuộc vào
hàm f, các cận a, b mà không phụ
thuộc vào biến số x hay t
+ Nếu hàm số f(x) liên tục và
không âm trên đoạn [a; b] thì
( )
b
a
f x dx
là diện tích S của hình
thang giới hạn bởi đồ thị của f(x),
Hãy tính 3x2dx;
1t dt
Giới thiệu nhận xét sgk
Hãy cho biết ý nghĩa hình học của tích phân
Tính 3x2dx; dt
t
1
2
1
2
3x dx; d t
t
e
1
1
20’
Trang 4trục Ox và hai đường thẳng x = a; x
= b (H 47a, trang 102)
II CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH
PHÂN
+ Tính chất 1:
kf x dx k f x dx
+ Tính chất 2:
f x g x dx f x dx g x dx
+ Tính chất 3:
f x dx f x dx f x dx a c b
HĐ3:
T/C1:
) ( ) ( )
( )
(x dx kF x kF b kF a
kf
b
a
b
b
a
b
x kF a
F
b
F
VD3: tính
4
1
quả : 35
VD4: tính
0
2 2
0
sin 2 2
cos
Giới thiệu tính chất 1, 2, 3 sgk
Hoạt động 3 : Hãy chứng minh các tính chất 1, 2
Rút ra nhận xét 2
Ghi nhận tính chất 1, 2, 3
Tiến hành HĐ3
20’
Trang 5= x dx
2
0
sin
2
x dx x dx
0
sin sin
2
x dx x dx
0
sin sin
2
4
III PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH
PHÂN
1 Phương pháp đổi biến số :
a) Phương pháp đổi biến số
dạng 1.
Định lí (sgk)
Quy tắc tính
b
a
dx x
f( )
Đặt x = (t) dx ' (t)dt
Khi x = a t =
x = b t =
t t dt f
dx x
f
b
a
) ( ' ) ( )
(
VD5 Tính
1
0
2
1
1
dx x
+ Đặt
dt t dx
t t
cos
1 2
2
-
,
+ khi x = 0 t = 0
x =1 t = 4
Giới thiệu vd3 Giới thiệu vd4
1 – cos2x =?
Hãy cho biết dấu của hàm
số y = sinx /[0; 2 ]
Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối
0 a nêìu a,
-0 a nêìn
a a
Hãy bỏ dấutri tuyệt đối của
x
sin
Giới thiệu định lí sgk trang 108
Giải thích định lí Hướng dẫn rút ra quy tắc tính tích phân bằng đổi biến
Tiến hành giải VD3
Tiến hành giải VD4
1 – cos2x = 2sin2x
x 0 2
sinx 0 + 0 - 0 Vậy
2 x nêìu sinx,
-x 0 nêìu , sin
Đọc , hiểu định lí Nghe hiểu nhiệm vụ , cùng
gv tìm ra quy tắc tính tích phân
Trang 6
4
0
4
0 2 2
1
0
1 1
1
dt t
dt x
dx
x
HĐ4 : a)
1
2 0
(2x 1) dx
1
0
2 4 1
3
13 2
3
0 2
3
b) u = 2x + 1 du 2 dx
(2x + 1)2dx = u2du
2 1
c) u(0)=1, u(1) = 3
3
1
3
1
3 2
3
13 6
2
dx
u
b) Phương pháp đổi biến số dạng
2.
Quy tắc tính
b
a
dx x
f( )
Đặt t = v(x) dt = v’(x)dx
x = a t = v(a)
x = b t = v(b)
) (
) (
) ( )
(
b v
a v
b
a
dt t g dx
x f
VD6 Tính
2
0
sin
xdx x
Đặt u = sinx; Kq:
3 1
Đưa ra ví dụ 5
Ta có 1 + tan2t =
t
2
cos 1
nên đặtx tan t Hãy áp dụng quy tắc trên giải vd5
Hoạt động 4 :Cho
I =
1
2 0
(2x 1) dx
a/ Hãy tính I bằng cách khai triển (2x + 1)2 b/ Đặt u = 2x + 1 Biến đổi (2x + 1)2dx thành g(u)du
Giải vd5 theo gợi ý của giáo viên
Tiến hành HĐ4
Trang 7VD7 tính
1
0
3 2
1 x dx
x
; Kq:
16 3
2 Phương pháp tính tích phân từng
phần:
Định lí Nếu u = u(x) và v = v(x) là
hai hàm số có đạo hàm liên tục trên
đoạn [a; b] thì
( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )
b a
u x v x dxu x v x u x v x dx
Hay
b a
u dv uv v du
VD8 Tính
2
0
sin
xdx
xdx
dv
x
u
sin
Kq: 1
VD 9 Tính
1
0
2
ln
dx x x
Đặt
x v
dx x
du dx
x
dv
x
u
1
1 1
ln
e
2
1
c/ Tính:
(1)
(0)
( )
u
u
g u du
sánh với kết quả ở câu a
Từ kết quả HĐ4 hãy rút ra quy tắc tính tích phân
Yêu cầu hs dựa vào quy tắc trên giải vd6, 7
Hoạt động 5 : a/ Hãy tính (x 1)e dx x
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1
u = 2x + 1 ; du = u’dx = 2dx
Hoạt động nhóm đưa ra quy tắc
Trang 8bằng phương pháp nguyên hàm từng phần
b/ Từ đó, hãy tính:
1
0
(x 1)e dx x
định lí Giới thiệu cho Hs vd 8, 9 Chia hs ra 2 nhóm giải vd8, 9
Tiến hành giải vd6, 7
Thảo luận nhóm để:
+ Tính ( 1) x
x e dx
phương pháp nguyên hàm từng phần
+ Tính:
1
0
(x 1)e dx x
Tiến hành hoạt động nhóm Trình bày lời giải
Nhận xét
Củng cố: ( 3’) Củng cố lại các kiến thức đã học trong bài
Trang 9LUYỆN TẬP VỀ TÍCH PHÂN
I Mục tiêu:
- Kiến thức:1 Khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong; định nghĩa tích phân.
2 Tính chất của tích phân
3 Các phương pháp tính tích phân ( đổi biến số, tích phân từng phần )
- Kỹ năng: Nắm định nghĩa tích phân, vận dụng thành thạo các tính chất và hai
phương pháp tính tích phân
Hiểu ý nghĩa hình học của tích phân
- Thái đợ: Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn
của Gv, năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được nhu cầu cần
học tích phân
- Tư duy: Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy
nghĩ
II Phương pháp: Đàm thoại gợi mở,đan xen hoạt động nhoùm
III Chuẩn bị của GV và HS
IV Nội dung và tiến trình lên lớp:
CỦA HS
TG
1. Tính các tích phân sau :
a)
1
2
2 3
1
2
(1 x) dx ;
b)
2
0
;
Yêu cầu hs lên bảng trình bày Đáp án:a/
2 1
2 1 3 5
) 1 ( 5 3
4 10
2
2 1
2
2
1 1 )
1 (
1
dx x
x
dx x
x
HS suy nghĩ lên bảng trình bày
Trang 10c)
2
1
2
1 d ( 1) x
d)
2
2 0
( 1) d
x x x
e)
2
2 1
2
1 3
d ( 1)
x x
f)
2
sin 3 cos 5 dx x x
2. Tính các tích phân sau :
a)
2
0
1 x xd ;
b)
2
0
sin x xd ;
c)
ln 2 2 1
0
d e
x
x x ;
d)
0
sin 2 cosx x xd
ln ln( 1 )2 ln 2
2
2
0
2 0
0 4
cos 4
sin
x dx
2 0
2 0
2 3 2
3
34 )
2 ( )
1
x
Yêu cầu hs lên bảng trình bày Đáp án:a/
1 2
2
) 1 ( )
1 ( 1
)
2 2
1 2
1 0
2 1 2
0
x x x
x
dx x
dx x dx
x a
HS suy nghĩ lên bảng trình bày
Trang 113 Sử dụng phương pháp đổi
biến số, hãy tính :
a)
3
d (1 )
x
x x
(đặt 1
u x );
b)
1
2 0
1 x dx
sin )
x t ;
c)
1
0
(1 )
d 1
x
x
x xe
1 x)
u xe ;
d) 2
0
1 d
a
x
a x
0) (đặt x asin )t ;
2
0
2
0
2
1 sin
dx x xdx
2 0 ) 2 sin 2
1 ( 2
x
x
4
c)
0
2 ln 0 1 2
ln 0
1
2 1dx e dx e dx
e
x x
2
1 1
1 1
2 ln 1 2 ln 2 ln
0
1
e
e e
e x x
d)
0
4
1 2
sin 2
1 cos
2
0 4
cos 16
1 2 cos 4
1
0
x x
Yêu cầu hs lên bảng trình bày Đáp án:
a)
3
3 2
1
dx x
x
đặt u = x+1
dx
du
x = 0 u1
x = 3 u4
4
3
2 3
3
1
du u
u u dx x
x
= =
HS suy nghĩ lên bảng trình bày
Trang 124 Sử dụng phương pháp tích
phân từng phần, hãy tính :
a)
0
(x 1)sin dx x ;
b) 2
1
ln d
e
x x x
c)
1
0
ln(1 x x)d
d)
1
2
0
(x 2x 1)e xdx
b)
1 0
2
1 x dx đặt x = sint
tdt
dx cos
t t
x 1 sin cos
x = 0 sint = 0 t = 0 x = 1 sint = 1 t = 2 Khi đó
2 2
0 0
2 1
0
2
1 cos
1
dt t tdt
dx x
4 2 0
) 2 sin 2
1 ( 2
3
3 2
1
dx x
x
đặt u = x+1 du dx
x = 0 u1
x = 3 u4
4
3
2 3
3
1
du u
u u dx x
x
= =
3 5
b)
1 0
2
1 x dx đặt x = sint
tdt
dx cos
t t
x 1 sin cos
x = 0 sint = 0 t = 0
Trang 135 Tính các tích phân sau :
a)
3 1
2 0
(1 3 ) dx x ;
1
2 3
2
0
1
d 1
x
x x
;
c)
2
2 1
ln(1 )
d
x x x
x = 1 sint = 1 t =
2
Khi đó
2 2
0 0
2 1
0
2
1 cos
1
dt t tdt
dx x
4 2 0
) 2 sin 2
1 ( 2
Yêu cầu hs lên bảng trình bày Đáp án:
a) A =
2
0
sin ) 1 (
xdx x
Đặt
x v
dx du xdx
dv
x u
cos sin
1
A =
2
0
2
cos 1
xdx x
2 b) B =
e
xdx x
0
2 ln
Đặt
3
1 ln
3
v
dx x
du dx x dv
x u
Kq: B=
9
1 9
2 3
e
HS suy nghĩ lên bảng trình bày
Trang 14c)
1
0
) 1
ln(x dx Đặt
dx dv
x
u ln( 1 )
x
v
x du
1
1
Kq: 2ln2 - 1
d) x x e x dx
1
0
2 2 1 )
e
dv
x x
u
x
1 2
2
Kq: - 1
Yêu cầu hs lên bảng trình bày
Đáp án:
a)
1
0
2
3
3
1 x dx Đặt u = 1+ 3x
dx
du 3
+ x = 0 u = 1
+ x = 1 u = 4
15
2 4 15
2 3
1 3
1
4
1 2 5 4
1 2 3 1
0
2
3
x x dx
x
x
1
0
2
1
0
2
3
1
1 1
1
2
3 ln 8
1 ) 1 ln(
2
2 1
0
2
c)
2
1
2
) 1
ln(
dx x
x
Đặt
2 ) 1 ln(
x dx dv
x u
Kq:
3
3 2 ln 3
HS suy nghĩ lên bảng trình bày
Trang 15Củng cố: ( 3’) Củng cố lại các kiến thức đã học trong bài