Mục tiêu: - Kiến thức cơ bản: khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất của tích phân, các phương pháp tính tích phân phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng
Trang 1Tiết 52,53 TÍCH PHÂN
I Mục tiêu:
- Kiến thức cơ bản: khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất của tích phân, các phương pháp tính tích phân (phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần)
- Kỹ năng: hiểu rõ khái niệm tích phân, biết cách tính tích phân, sử dụng thông thạo cả hai phương pháp tính tích phân để tìm tích phân của các hàm số
năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của toán học trong đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội
- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ
II Phương pháp :
- Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp
- Phương tiện dạy học: SGK
III Chuẩn bị:
+ Chuẩn bị của giáo viên :
- Phiếu học tập, bảng phụ
+ Chuẩn bị của học sinh :
- Hoàn thành các nhiệm vụ ở nhà
- Đọc qua nội dung bài mới ở nhà
IV Tiến trình tiết dạy :
1 Ổn định lớp :
2 Kiểm tra bài cũ :
- Trình bày phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm
- Viết công thức tính nguyên hàm từng phần (dạng đầy đủ và dạng rút gọn)
3 Vào bài mới
Hs
Nội dung ghi bảng
I KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1 Diện tích hình thang cong:
Hoạt động 1 :
Ký hiệu T là hình thang vuông giới
hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục
hoành và hai đường thẳng x = 1; x = t
(1 t 5) (H45, SGK, trang 102)
1 Hãy tính diện tích S của hình T
khi t = 5 (H46, SGK, trang 102)
2 Hãy tính diện tích S(t) của hình T
khi t [1; 5]
3 Hãy chứng minh S(t) là một
Thảo luận nhóm để:
+ Tính diện tích S của hình T khi t =
5 (H46, SGK, trang 102) + Tính diện tích S(t) của
TÍCH PHÂN
I KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1 Diện tích hình thang cong: ( sgk )
Trang 2f(t) = 2t + 1, t [1; 5] và diện tích S =
S(5) – S(1)
Gv giới thiệu với Hs nội dung định
nghĩa sau :
“Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi
dấu trên đoạn [a ; b] Hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục
hoành và hai đường thẳng x = a ; x = b
được gọi là hình thang cong (H47a,
SGK, trang 102)”
Gv giới thiệu cho Hs vd 1 (SGK,
trang 102, 103, 104) để Hs hiểu rõ việc
tính diện tích hình thang cong
2 Định nghĩa tích phân :
Hoạt động 2 :
Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên
đoạn [a ; b], F(x) và G(x) là hai nguyên
hàm của f(x) Chứng minh rằng F(b) –
F(a) = G(b) – G(a) (tức là hiệu số F(b) –
F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên
hàm)
Gv giới thiệu với Hs nội dung định
nghĩa sau :
“Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;
b] Giả sử F(x) là một nguyên hàm của
f(x) trên đoạn [a; b] Hiệu số
F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến
b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;
b]) của hàm số f(x), ký hiệu:
( )
b
a
f x dx
Ta còn ký hiệu: ( )F x b a F b( ) F a( )
Vậy: ( ) ( ) ( ) ( )
b
b a a
f x dx F x F b F a
Qui ước: nếu a = b hoặc a > b: ta qui
ước :
f x dx f x dx f x dx
Gv giới thiệu cho Hs vd 2 (SGK,
trang 105) để Hs hiểu rõ định nghĩa vừa
nêu
[1; 5]
+ Chứng minh S(t) là một nguyên hàm của
f(t) = 2t + 1, t
[1; 5] và diện tích S = S(5) – S(1)
Thảo luận nhóm để chứng minh F(b) – F(a) = G(b) – G(a)
2 Định nghĩa tích phân :
“Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b] Hiệu số
F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến
b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), ký hiệu:
( )
b
a
f x dx
Ta còn ký hiệu: ( )F x b a F b( ) F a( )
Vậy: ( ) ( ) ( ) ( )
b
b a a
f x dx F x F b F a
Nhận xét:
+ Tích phân của hàm số f từ a đến b có
b
a
f x dx
b
a
f t dt
phân đó chỉ phụ thuộc vào hàm f, các cận
a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay
Trang 3II CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH
PHÂN
Hoạt động 3 :
Hãy chứng minh các tính chất 1, 2
Gv giới thiệu cho Hs vd 3, 4 (SGK,
trang 106, 107) để Hs hiểu rõ các tính
chất vừa nêu
III PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH
PHÂN
1 Phương pháp đổi biến số:
Hoạt động 4 :
Cho tích phân I =
1
2
0
(2x1) dx
a/ Hãy tính I bằng cách khai triển (2x +
1)2
b/ Đặt u = 2x + 1 Biến đổi (2x + 1)2dx
thành g(u)du
c/ Tính:
(1)
(0)
( )
u
u
g u du
quả ở câu a
Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý
sau:
“Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;
b] Giả sử hàm số
x = (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn
[; ] sao cho () = a; () = b và a
(t) b với mọi t thuộc [; ] Khi đó:”
'
( ) ( ( )) ( )
b
a
f x dx f t t dt
Gv giới thiệu cho Hs vd 5 (SGK,
trang 108) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu
Thảo luận nhóm để chứng minh các tính chất
1, 2
+ Nếu hàm số f(x) liên tục và không
âm trên đoạn [a; b] thì
( )
b
a
f x dx
hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = b (H 47 a, trang 102)
b
a
f x dx
II CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN + Tính chất 1:
kf x dx k f x dx
+ Tính chất 2:
f x g x dx f x dx g x dx
+ Tính chất 3:
f x dx f x dx f x dx a c b
III PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1 Phương pháp đổi biến số:
“Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử hàm số
x = (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [;
] sao cho () = a; () = b và a (t)
b với mọi t thuộc [; ] Khi đó:”
'
( ) ( ( )) ( )
b
a
f x dx f t t dt
Chú ý:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;
b
a
f x dx
u(x) làm biến mới, với u(x) liên tục trên [a; b] và u(x) thuộc [; ] Ta biến đổi f(x)
= g(u(x)).u’(x)
Khi đó ta có:
( )
b
a
f x dx
( )
( )
( )
u b
u a
g u du
Trang 4Chú ý:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;
b
a
f x dx
u(x) làm biến mới, với u(x) liên tục trên
[a; b] và u(x) thuộc [; ] Ta biến đổi
f(x) = g(u(x)).u’(x)
Khi đó ta có:
( )
b
a
f x dx
( )
( )
( )
u b
u a
g u du
Gv giới thiệu cho Hs vd 6, 7 (SGK,
trang 108) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu
2 Phương pháp tính tích phân từng phần:
Hoạt động 5 :
x e dx
pháp nguyên hàm từng phần
b/ Từ đó, hãy tính:
1
0
(x1)e dx x
Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý
sau:
“Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số
có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì
( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )
b a
u x v x dxu x v x u x v x dx
Hay
b a
u dv uv v du
Gv giới thiệu cho Hs vd 8, 9 (SGK,
trang 110, 111) để Hs hiểu rõ định lý vừa
nêu
Thảo luận nhóm để:
+ Tính
(x1)e dx x
bằng phương pháp nguyên hàm từng phần + Tính:
1
0
( 1) x
x e dx
2 Phương pháp tính tích phân từng phần:
“Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì
( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )
b a
u x v x dx u x v x u x v x dx
Hay
b a
u dv uv v du
V Củng cố:
+ Gv nhắc lại các khái niệm và quy tắc trong bài để Hs khắc sâu kiến thức
+ Dặn BTVN: 1 6 SGK, trang 112, 113
Trang 5TIẾT 54,55: BÀI TẬP TÍCH PHÂN
I.MỤC TIÊU BÀI HỌC
Qua bài học,học sinh cần nắm được:
1.Về kiến thức
- Hiểu và nhớ công thức đổi biến số và công thức tích phân từng phần
- Biết 2 phương pháp tính tích phân cơ bản đó là phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần
2.Về k ĩ năng
- Vận dụng thành thạo và linh hoạt 2 phương pháp này để giải các bài toán tính tích phân
- Nhận dạng bài toán tính tích phân,từ đó có thể tổng quát hoá dạng toán tương ứng
3Về tư duy, thái độ
- Tích cực, chủ động,độc lập, sáng tạo
- Biết quy lạ về quen
- Biết nhận xét đánh giá bài làm của bạn
- Tư duy lôgic và làm việc có hệ thống
II.CHUẨN BỊ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC
1.Chuẩn bị của giáo viên
Giáo án,phấn bảng,đồ dùng dạy học cần thiết khác
2.Chuẩn bị của học sinh
Ngoài đồ dùng học tập cần thiết,cần có:
- Kiến thức cũ về nguyên hàm,địng nghĩa tích phân,và hai phương pháp tính tích phân
- Giấy nháp và MTBT,các đồ dùng học tập khác
III.PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY
Chủ yếu là vấn đáp gợi mở,kết hợp với các hoạt động tư duy của học sinh
IV.TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1.Ổn định tổ chức lớp,kiểm tra sĩ số
2.Kiểm tra bài cũ
Câu 1: Hãy trình bày phương pháp đổi biến số
Câu 2: Hãy nêu công thức tính tích phân từng phần
Giáo viên:
- Cho HS nhận xét câu trả lời của bạn,chỉnh sửa,bổ sung(nếu cần thiết)
- Nhận xét câu trả lời của học sinh,đánh giá và cho điểm
- Mục tiêu của bài học mới
3.Bài mới
Bài tập tích phân HĐ1:Luyện tập về công thức đổi biến số
Tính các tích phân sau:
a) I =
3
0
1
x dx
b) J = 6
0
(1 cos x3 )sin 3xdx
c) K =
2
2
0
4 x dx
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Trang 6-Giao nhiệm vụ cho học sinh
-Theo dõi học sinh làm việc,gợi y cho HS nếu
cần thiết
-Cho HS nhận dạng và nêu cách giải quyết
cho từng câu
- Nêu cách giải khác (nếu có)
- Nêu dạng tổng quát và cách giải
-Nhận nhiệm vụ, suy nghĩ và làm viẹc trên giấy nháp
-Trả lời câu hỏi của GV:
a)Đặt u(x) = x+1 u(0) = 1, u(3) = 4
Khi đó
I =
4
1
(8 1)
udu u du u u u
b)Đặt u(x) = 1 – cos3x (0) 0, ( ) 1
6
u u Khi đó J =
1
1
u u
du
c)Đặt u(x) = 2sint, ,
2 2
t
Khi đó
K =
2
2 0 0
2 (1 2 ) (2 sin 2 )
t tdt tdt cos t dt t t
HĐ2: Luyện tập tính tích phân từng phần
Tính các tích phân sau
1 I1= 2
0
(2x 1) cosxdx
2 I2= 2
1
ln
e
x xdx
1 2
0
x
x e dx
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Ghi lại công thức tính tích phân từng phần
mà hs đã trả lời ở trên
b a
udv uv vdu
-Giao nhiệm vụ cho học sinh
-Cho học sinh nhận dạng bài toán trên và
nêu cách giải tương ứng
-Gọi học sinh giải trên bảng
Theo dõi các học sinh khác làm việc,định
hướng,gợi ý khi cần thiết
-Nhận xét bài giải của học sinh,chỉnh sửa và
đưa ra bài giải đúng
-Nêu cách giải tổng quát cho các bài toán
trên
-Nhận nhiệm vụ và suy nghĩ tìm ra cách giải quyết bài toán
u x du dx
dv xdx v x
0
(2x 1)sin 2x 2 sinxdx 1 2cosx 3
3
dx du
dv x dx x
v
Khi đó
I2=
2
1
ln
x x dx 3.Đặt
x x
du xdx
u x
v e
dv e dx
Khi đó
I3=
1 1 2
x e xe dx e J với
1
x
J xe dx
Trang 7(Tính J tương tự như I3)
HĐ3: Củng cố bài
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
- Từ bài toán 1,đưa ra cách giải chung nhất
cho bài toán tích phân dùng phép đổi biến
Kiểu 1: Đặt t = u(x), với tích phân có dạng
( ( )) '( )
b
a
f u x u x dx
Kiểu 2: Đặt x = u(t) với tích phân có dạng
b
a
f x m x dx
1
b
a
f x dx
x m
,v.v
- Từ bài toán 2,đưa ra một số dạng tổng quát
có thể trực tiếp dùng tích phân tưng phần
1 ( )sin
b
a
f x kxdx
b
a
f x kxdx
2 ( )
b
kx
a
f x e dx
3 ( ) ln
b
k
a
f x xdx
-Lĩnh hôi kiến thức,và ghi bài
-Đưa ra cách đổi biến, đổi cận
-Đặt x= msint, ,
2 2
t
x=mtant, ,
2 2
t
u f x u f x
hay
dv kxdx dv kxdx
Đặt u f x( )kx
dv e dx
Đặt ln
( )
k
u x
dv f x dx
V.HƯỚNG DẪN HỌC Ở NHÀ VÀ BÀI TẬP VỀ NHÀ
1.Xem lai cách giải các bài toán đã giải,cách giải tổng quát và làm các bài tập còn lại trong SGK 2.Tính các tích phân sau:
1
1
2
0
ln(1 )
x x dx
1
2
0
ln 1 x dx
1
sin(ln )
e
x dx
2
4
0
sin
x xdx
5
3
7 4
0
x
e dx
ln 2
0
1
x
e dx
2
1
4
x x dx