CÁC bài TOÁN về TIẾP TUYẾN

Một bài toán về chủ đề hàm số không chỉ đơn thuần là tìm tập xác định, xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số mà còn đề cập đến những vấn đề khác như: Viết phương trình tiếp tuyến, c

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - TIN HỌC Năm học: 2017- 2018

Tiểu luận CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN

Môn: Đại số sơ cấp Giảng viên: Tạ Thị Nguyệt Nga Nhóm: HTT1

TPHCM, ngày tháng năm 2018

MỤC LỤC

A LỜI MỞ

B PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

I Khái quát về tuyến tiếp……… 4

1 Lịch sử hình thành……….4

2 Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm 5

3 Các dạng trình tiếp tuyến 7

II Ứng dụng của phương trình tiếp tuyến 14

1 Vào toán học 14

a Phương pháp tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức 14

b Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để tìm giới hạn vô định 𝟎 𝟎 17

c Phương pháp tiếp tuyến 18

2 Ứng dụng vào thực tế 21

a Trong y học:……….……… 21

b Trong sản xuất:……….21

III Áp dụng tiếp tuyến bằng yếu tố công nghệ 22

1 Cách tìm phương trình tiếp tuyến bằng máy tính cầm tay………22

2 Cách vẽ phương trình tiếp tuyến bằng phần mềm GeoGebra……… 22

Lời mở đầu

Chủ đề hàm số là một trong những nội dung cơ bản của chương trình toán THPT Một bài toán về chủ đề hàm số không chỉ đơn thuần là tìm tập xác định, xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số mà còn đề cập đến những vấn

đề khác như: Viết phương trình tiếp tuyến, chứng minh tính chất của tiếp tuyến, tìm tập hợp điểm mà từ đó kẻ được các tiếp tuyến đến đồ thị hàm số,…

“Các bài toán về phương trình tiếp tuyến” là một trong những nội dung

quan trọng và thường gặp trong các kỳ thi Bài toán viết phương trình tiếp tuyến có nhiều dạng khác nhau và chúng ta có thể ứng dụng phương trình tiếp tuyến để giải bất đẳng thức, tìm giới hạn vô định 00, dùng phương pháp tiếp tiếp để ước lượng sai số Ngoài ra nó còn đóng vài trò quan trọng dùng

để ứng dụng trong y học và trong sản xuất

Vì những lý do trên nhóm chúng em xin chọn đề tài “ Các bài toán về tiếp tuyến ” để làm đề tài tiểu luận Mong rằng nó có thể hữu ích cho

người đọc

Tuy nhiên trong suốt quá trình tìm hiểu và nghiên cứu dù đã rất nỗ lực

nhưng khó tránh những sai sót Hy vọng nhận được góp ý của Cô và các bạn

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

I Khái quát về tiếp tuyến:

1 Lịch sử hình thành:

Euclid vài lần nói đến tiếp tuyến của một đường tròn trong quyển III

của Elements (khoảng 300 TCN) Trong tác phẩm Conics (khoảng năm 225

TCN), Apollonius định nghĩa một đường tiếp tuyến như một đường thẳng sao cho

không có đường thẳng nào khác có thể đứng giữa nó và đường cong

Archimedes (khoảng 287 - 212 TCN) đã tìm ra tiếp tuyến với đường xoắn ốc

Archimedes bằng cách xem xét đường đi của một điểm di chuyển dọc theo đường

cong

Trong thập niên 1630 Fermat phát triển kỹ thuật adequality để tính tiếp tuyến và các

vấn đề khác trong vi phân và sử dụng cách tính này để tính toán tiếp tuyến cho hình parabol Kỹ thuật adequality tương tự như tính sự khác biệt giữa 𝑓(𝑥 + ℎ) và 𝑓(𝑥) chia

nó cho h Độc lập với Fermat, Descartes cũng sử dụng phương pháp chuẩn hóa dựa

trên quan sát rằng bán kính của một vòng tròn luôn luôn chuẩn hóa với đường tròn Những phương pháp này dẫn đến sự phát triển của vi phân trong thế kỷ 17 Nhiều người

đã đóng góp, và Roberval phát hiện ra một phương pháp tổng quát cho việc vẽ tiếp

tuyến, bằng cách xem xét một đường cong như một điểm di chuyển mà chuyển động

của nó là kết quả của một số chuyển động đơn giản René-François de

Sluse và Johannes Hudde đã tìm ra thuật toán đại số để tìm ra các đường tiếp

tuyến Những phát triển sau đó bao gồm những thành tựu của John Wallis và Isaac

Barrow, đã dẫn đến lý thuyết của Isaac Newton và Gottfried Leibniz

Một định nghĩa năm 1828 của tiếp tuyến là "đường thẳng chạm vào đường cong, nhưng không cắt nó" Định nghĩa cũ này làm cho điểm uốn của đường cong không có tiếp tuyến Định nghĩa này đã bị loại bỏ và định nghĩa hiện đại tương đương với định nghĩa

của Leibniz, người đã xác định tiếp tuyến như một đường thẳng nối một cặp điểm gần

nhau vô hạn trên đường cong

2 Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm:

Công thức để xác định tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại một điểm M(x0;y0) được xác

định như sau: 𝑦 = 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑦0

Trong công thức trên, ta thấy rằng đạo hàm bậc nhất của hàm số tại hoành độ của

điểm, 𝑓′(𝑥0) chính là hệ số góc của tiếp tuyến Tại sao trong công thức tiếp tuyến lại xuất hiện đạo hàm bậc nhất? Hay cụ thể hơn tại sao hệ số góc của tiếp tuyến lại là

𝑓′(𝑥0)?

Bây giờ ta xét một cát tuyến bất kỳ của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) đi qua điểm

𝑀(𝑥0; 𝑓(𝑥0)) 𝑣à 𝑁(𝑥0+ ℎ; 𝑓(𝑥0+ ℎ)) Khi ấy 2 giao điểm của cát tuyến với đồ thị hàm số sẽ có hoành độ cách nhau một khoảng h (từ x0 đến x0+h)

Ta giả sử phương trình cát tuyến của nó có dạng: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 (𝑑)

Do (d) đi qua M và N nên:

𝑓(𝑥0) = 𝑎𝑥0+ 𝑏 𝑓(𝑥0+ ℎ) = 𝑎(𝑥0+ ℎ) + 𝑏 Tiếp tục, lấy vế trừ vế, ta suy ra hệ số góc của đường (d) khi ấy sẽ được tính thông

𝑎 =𝑓(𝑥0 +ℎ)−𝑓(𝑥0)

(𝑥0+ℎ)−𝑥0 = 𝑓(𝑥0 +ℎ)−𝑓(𝑥0)

ℎ (1) Thử tưởng tượng cát tuyến của chúng ta bị đóng 1 cây đinh ngay tại điểm M, đầu còn lại của cát tuyến là có thể di chuyển được và bạn dùng tay của mình cầm 1 đầu kéo cát tuyến lên hoặc xuống nhưng vẫn đảm bảo là không ra ngoài đồ thị hàm số Khi ấy

khoảng cách giữa 2 giao điểm không còn là h nữa mà là h’, h’’

lim

ℎ=>0

𝑓(𝑥0+ ℎ) − 𝑓(𝑥0)

Và đây cũng là công thức của đạo hàm f’(x0)

II Các dạng phương trình tiếp tuyến:

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc (C)

Bước 1: Gọi M (x0;y0) là tiếp điểm, M ⋲ (C)

Bước 2: Tính f’(x)

Bước 3: Tính hệ số góc của tiếp tuyến: f’(x0)

Bước 4: Phương trình tiếp tuyến là: y = f’(x0)(x – x0) + y0

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥3− 2𝑥 + 1 tại điểm 𝑀(2; 5)

Ta có: 𝑦′(𝑥) = 3𝑥2+ 4𝑥

𝑘 = 𝑦′(1) = 7

Phương trình tiếp tuyến tại 𝑀(1; 3) là (d): 𝑦 = 𝑦′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) = 7x – 4

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến qua 1 điểm cho trước

Bước 1: Gọi k là hệ số góc của ∆ có phương trình dạng là (∆) : 𝑦 = 𝑘(𝑥 − 𝑥𝑎) 𝑦𝑎

Bước 2: Giải hệ {𝑓(𝑥) = 𝑘(𝑥 − 𝑥𝑎) 𝑦𝑎

𝑓′(𝑥) = 𝑘 Nghiệm của hệ là tọa độ của tiếp điểm

Bước 3: Thay 𝑘 tìm được ở bước 2 vào phương trình ∆ có được ở bước 1

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): 𝑓(𝑥) = 2𝑥−1

𝑥−2 đi qua 𝐴(5; −1)

−3 (𝑥−2)2 = 𝑘 (2)

𝑥 = 3Với 𝑥 = −1  𝑦 = 1 ta được tiếp điểm M1( 1;1)  , hệ số góc 𝑘1 = −1

3 và tiếp tuyến (∆1): 𝑦 = −1

Thay (2) vào (1) ta được

𝑥3− 3 + 1 = (3𝑥2− 3)(𝑥 − 1) − 1  − 2𝑥3+ 3𝑥2− 1 = 0 [𝑥 =

−12

Gọi (∆’) y = k2x + m2 là đường thẳng cho trước

Bước 2: Ta có: (∆) tạo với (∆’) một góc a thì |𝑘1−𝑘2

1+𝑘1𝑘2| = tan (𝑎) Giải phương trình tìm được k1 Thay vào phương trình: f’(x) = k1 để tìm x

3

d y x

2𝑥 − 2 = 2x = 2y = −1

Phương trình tiếp tuyến tại 𝑀(2; −1) là 𝑦 = 2(𝑥 − 2) − 1  y = 2x − 5

Nếu là tiếp tuyến của đường tròn

Bước 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn (∁)

Giải phương trình ta tìm được

Bước 3: (∆) tiếp xúc với

Giải phương trình ta tìm được ∁

Bước 4: Viết phương trình của (∆)

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): 𝑦 =3𝑥−1

Tiếp tuyến (Δ): y=kx+b ⇔ kx−y+b=0 có vectơ pháp tuyến 𝑛⃗ = (k;−1)

(d) có vectơ pháp tuyến 𝑛⃗ 𝑑 = (1;3)

Theo đề bài cos(d,Δ) = cos 45𝑜 ⇔ |cos ( 𝑛,⃗⃗⃗ 𝑛⃗ 𝑑)|=√2

2

2 2

2 (phương trình vô nghiệm)

III Ứng dụng của tiếp tuyến:

1 Trong toán học:

a Phương pháp tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức:

Tháng 12/2005 và tháng 1/2006 TS Kin – Yin Li – Trường Đại học khoa học và công nghệ Hồng Kông đã đề cập đến việc sử dụng phương trình tiếp tuyến để chứng minh một số bất đẳng thức trên tạp chí toán học quốc tế Mathematical Excalibur Từ đó đến nay, một số tài liệu bất đẳng thức trong nước cũng có đề cập đến vấn đề này thông qua một số bài toán rời rạc

Ý tưởng chính của phương pháp, ta sử dụng công thức phương trình tiếp tuyến của một

đồ thị hàm số để tìm một biểu thức trung gian trong các đánh giá bất đẳng thức

Đối với một số hàm số, tiếp tuyến tại một điểm nào đó của đồ thị hàm số luôn nằm trên hay nằm dưới đồ thị hàm số Dựa vào tính chất này, ta thiết lập được một phương pháp thú vị để chứng minh bất đẳng thức, đó là phương pháp tiếp tuyến

Cơ sở lý thuyết:

Nếu 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm 𝐴(𝑥0, 𝑓(𝑥0 ) ) (A không phải

là điểm uốn), khi đó tồn tại (𝛼, 𝛽) chứa 𝑥0 sao cho 𝑓(𝑥) ≥ 𝑎𝑥 + 𝑏, ∀𝑥 ∈ (𝛼, 𝛽) hoặc 𝑓(𝑥) ≤ 𝑎𝑥 + 𝑏, ∀𝑥 ∈ (𝛼, 𝛽) Đẳng thức xảy ra khi 𝑥 = 𝑥0 Từ đây ta có:

𝛼 Sau đó thực hiện các bước sau:

 Xét xem dấu “=” xảy ra khi nào và điều mong ước là 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑛 = 𝑥0

 Dựa vào hình thức bất đẳng thức, xét hàm số 𝑓(𝑥), viết phương trình tiếp tuyến

đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) thại điểm có hoàn độ 𝑥0, giả sử phương trình tiếp tuyến

Ví dụ 1: (Đề thi giữa kì Đại số 2017-2018)

4

𝑏2+1 − 36𝑏+3

50 = −(3𝑏−1)

2 (4𝑏+3) 50(𝑏2+1) ≥ 0,∀b ≥−3

(𝑀, 𝑀0 thuộc đồ thị (C)) Và vì ta có thể thấy rằng khi 𝑥 → 𝑥0 thì 𝑓(𝑥) và 𝑓′(𝑥0)(𝑥 −

𝑥0) + 𝑓(𝑥0) là hai lượng “vô cùng bé tương đương”

Các bước thực hiện:

 Giả sử giới hạn lim𝑥→𝑥0 √𝑙(𝑥)

𝑚

− √ℎ(𝑥)𝑛(𝑥−𝑥0) 𝑘 được viết lại là lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)

(𝑥−𝑥0) 𝑘 (𝑦 =𝑓(𝑥) và 𝑦 = 𝑔(𝑥) có đạo hàm tại 𝑥0) Khi đó ta thực hiện theo các bước sau:

 Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) hoặc 𝑦 = 𝑔(𝑥) tại 𝑥0 , giả

sử được 𝑦 = 𝑡(𝑥)

 Tính lim𝑥→𝑥0 √𝑙(𝑥)

𝑚 − √ℎ(𝑥)𝑛(𝑥−𝑥0)𝑘 = lim

𝑥→𝑥0[ √𝑙(𝑥)

𝑚

−𝑡(𝑥) (𝑥−𝑥0) 𝑘 +𝑡(𝑥)− √ℎ(𝑥)

T = lim𝑥→0[√8𝑥3+𝑥2+6𝑥+9 −(𝑥+3)

𝑥3 +(𝑥+3)− √9𝑥2+27𝑥+27

3

(𝑥2−4𝑥+6)+ −2

(1+√1+2𝑥2) [(1−𝑥)3+(1−𝑥) 2 𝑔(𝑥)+(1−𝑥)(𝑔(𝑥))2+(𝑔(𝑥)) 3 ]

= −3

2 +5

4 = −1

4

c Phương pháp tiếp tuyến:

* Định nghĩa Điểm Fourier:

Điểm x0 gọilà điểm Fourier của f nếu:

f(x0).f"(x0)>0

* Định lý (điều kiện hội tụ theo Fourier_Điều kiện đủ)

Giả sử [a,b] là khoảng nghiệm của phương trình f(x)=0 Đạo hàm f’(x), f’’(x) liên tục, không đổi dấu, không tiêu diệt trên [a,b] Khi đó ta chọn xấp xỉ nghiệm ban đầu x0 thuộc[a,b] sao cho f(x0).f’’(x0) > 0 thì quá trình lặp sẽ hội tụ đến nghiệm

* Ý tưởng:

Ở bước lặp thứ k ta thay hàm f(x) bởi tiếp tuyến đồ thị tại điểm xk Nghiệm xấp xỉ tiếp theo là giao điểm của các tiếp tuyến với trục hoành

Xấp xỉ ban đầu x0 được chọn là một điểm Fourier thuộc [a,b] kể cả a và b

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị y  f x ( )tại x k là:

'( )(xk k) f( )k

y  f x  x  x (1)

*Ước lượng sai số:

Giả sử x* là nghiệm của (1)

Đặt mmin f x'( ) ,x a b,  Ta có ước lượng sau:

Ví dụ 2: Giải phương trình: x3   x 5 0 bằng phương pháp tiếp tuyến

f x  x    x

Phương trình trên có 1 nghiệm duy nhất f(1) f(2) = (-3).5 < 0

Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất x thuộc (1, 2)

- Chính xác hoá nghiệm: f’’(x) = 6x > 0 mọi x thuộc (1, 2)

Chọn x0 = 0 thỏa điều kiện Fourier

Kết quả tính toán theo công thức lặp Newton cho ta bảng sau:

2 Trong vào thực tế:

a Trong y học:

Chụp X-quang sọ gồm: phim chụp thẳng nghiêng, đặc biệt là chụp tiếp tuyến có giá trị

chẩn đoán vỡ lún xương sọ, dị vật cắm vào vùng xoang tĩnh mạch, khí nội sọ…

b.Trong sản xuất:

Trong công nghiệp, người ta sản xuất thép không gỉ với tiếp tuyến

IV Áp dụng tiếp tuyến bằng yếu tố công nghệ:

1 Cách tìm phương trình tiếp tuyến bằng máy tính cầm tay:

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị f(x)=x 2 -3x+1 tại x=3

- Bước 1: Chọn trên máy tính Màn hình hiện ra

- Bước 2:Nhập đồ thị f(x) và điểm cắt như hình dưới

- Bước 3: Ghi nhớ kết quả trên và tiếp tục dùng hàm đó nhân với -x+f(x)

- Bước 4: Nhấn nút , nhập tiếp điểm vào, nhấn và ra kết quả

Kết luận: Vậy phương trình tiếp tuyến là y=3x-8

2 Cách vẽ phương trình tiếp tuyến bằng phần mềm GeoGebra

Ví dụ: Vẽ tiếp tuyến của đồ thị f(x)=sin(x)-1

- Bước 1: Nhập các yếu tố sau vào khung Input

a=5 (có thể thay đổi dài ngắn tùy thích)

t=Tangents[a,f]

- Bước 2: Kéo chuột cho a chạy thì sẽ nhìn được tiếp tuyến chạy trên đồ thị

Link tài liệu tham khảo:

gi-3/

http://voer.edu.vn/m/phuong-phap-tiep-tuyen/f48d8370