tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm trong dạy học toán ở lớp 11

[…] Như vậy, mối liên hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine cũng được thiết lập tường minh: “hàm s ố ???? có đạo hàm tại ?? thì có thể xấp xỉ ???? bằng một hàm affine và đó chính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Dương Thanh Huyền

TIẾP TUYẾN VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI ĐẠO HÀM

TRONG DẠY HỌC TOÁN

Ở LỚP 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Dương Thanh Huyền

TIẾP TUYẾN VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI ĐẠO HÀM

TRONG DẠY HỌC TOÁN

Ở LỚP 11

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số : 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

Đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến PGS.TS Lê Thị Hoài Châu Bởi cô dù rất bận nhưng vẫn cố gắng hướng dẫn, giúp đỡ tôi ngay từ những ngày đầu làm luận văn Cô giúp tôi xác định hướng đi và cho tôi những góp ý quý báu để luận văn được hoàn thiện

Tôi xin cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS.Vũ Như Thư Hương, TS.Nguyễn Thị Nga, TS.Trần Lương Công Khanh, TS.Lê Thái Bảo Thiên Trung vì những giờ dạy về Didactic Toán, Lịch sử toán học, Tin học thú vị và bổ ích

Tôi cũng xin cảm ơn phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm thành phố

Hồ Chí Minh đã hết sức tạo điều kiện thuận lợi cho học viên chúng tôi hoàn thành 2 năm học

Xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường Trung học phổ thông Võ Minh Đức, tỉnh Bình Dương cũng như các thầy cô trong tổ bộ môn Toán của trường và tập thể học sinh lớp 11A2 năm học 2013 – 2014 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi hoàn thành thực nghiệm

Tôi cũng xin cảm ơn tập thể lớp Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán khóa 23, đặc biệt là bạn Huỳnh Thị Kim Huệ đã động viên và giúp đỡ tôi

về mặt tinh thần trong quá trình làm luận văn

Cuối cùng, tôi xin gửi tới mẹ và chị tôi sự biết ơn sâu sắc vì đã luôn bên tôi trong suốt quãng thời gian vừa qua Xin cảm ơn mẹ và chị vì đã luôn ủng hộ tôi

vô điều kiện, giúp đỡ tôi hết sức có thể trong quá trình tôi làm luận văn

Một lần nữa xin chân thành cảm ơn tất cả quý thầy cô, bạn bè, người thân đã bên cạnh tôi những lúc khó khăn trong suốt hai năm vừa qua

Dương Thanh Huyền

M ỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục viết tắt

Danh mục các bảng

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 MỘT VÀI QUAN ĐIỂM VỀ TIẾP TUYẾN VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI ĐẠO HÀM 9

1.1 Những quan điểm khác nhau về tiếp tuyến 9

1.2 Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm 13

1.3 Kết luận chương 1 15

Chương 2 TIẾP TUYẾN VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI ĐẠO HÀM TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN LỚP 11 17

2.1 Tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm trong sách toán của Mỹ 17

2.2 Tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm trong sách giáo khoa toán 11 Việt Nam 30

2.3 Kết luận chương 2 40

Chương 3 THỰC NGHIỆM 42

3.1 Mục đích của đồ án didactic 42

3.2 Đối tượng, nội dung của thực nghiệm 42

3.3 Kịch bản dạy học 43

3.4 Phân tích tiên nghiệm 45

3.5 Phân tích hậu nghiệm 53

KẾT LUẬN 65

TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 PHỤ LỤC

M: Sách Precalculus with limits

M 1 : Sách Đại số và Giải tích 11 ban cơ bản

M 2 : Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 ban cơ bản

Nxb: Nhà xuất bản

SGK CL : Sách giáo khoa chỉnh lí và hợp nhất năm 2000

DANH M ỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1 Tóm tắt các kiểu nhiệm vụ trong M 23

Bảng 2.2 Thống kê số lượng bài tập liên quan đến tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm trong M 30

Bảng 2.3 Tóm tắt các kiểu nhiệm vụ trong M1 và E 36

Bảng 2.4 Thống kê số lượng bài tập liên quan đến tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm trong M1 và E 40

Bảng 3.1 Thống kê câu trả lời của học sinh về bài toán 3 thực nghiệm 1 53

Bảng 3.2 Thống kê chiến lược giải của các nhóm trong bài toán 1 thực nghiệm 2 54

Bảng 3.3 Thống kê câu trả lời của học sinh của bài toán 4 thực nghiệm 1 55

Bảng 3.4 Thống kê các chiến lược giải của các nhóm trong bài toán 2 thực nghiệm 2 57

Bảng 3.5 Các chiến lược giải của các nhóm ở bài toán 3 thực nghiệm 2 59

Bảng 3.6 Các chiến lược giải của học sinh ở bài toán 4 thực nghiệm 2 61

M Ở ĐẦU

1 Lý do ch ọn đề tài và câu hỏi xuất phát

Trong luận văn tốt nghiệp đại học “Khái niệm tiếp tuyến – Một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm” tác giả Trần Vũ Đức đã chỉ ra rằng:

“Cách tổ chức các kiến thức liên quan tới khái niệm tiếp tuyến ở THPT không những khó cho phép học sinh điều chỉnh quan niệm về tiếp tuyến đã có ở bậc THCS, mà còn góp phần củng cố thêm những biểu tượng sai lệch về tiếp tuyến với đường cong tổng quát Cụ thể hơn, những kiến thức về tiếp tuyến của đường tròn vẫn có một ảnh hưởng sâu sắc đến quan niệm sau này của học sinh về tiếp tuyến của các đường cong tổng quát, ngay cả khi khái niệm tiếp tuyến đã chính thức được giảng dạy”

(Trần Vũ Đức (2004), tr.53)

Nghiên cứu của tác giả Trần Vũ Đức đã được đặt trong thể chế là Sách giáo khoa chỉnh lí và hợp nhất năm 2000 Với sự thay đổi sách vào năm 2008, chúng tôi tò mò liệu sự thay đổi sách giáo khoa này có giúp học sinh nhận thấy sự khác nhau giữa quan niệm về tiếp tuyến ở bậc trung học cơ sở và quan niệm về tiếp tuyến mà học sinh được học ở bậc trung học phổ thông hay không? Chính sự tò mò ấy đã thôi thúc chúng tôi tiến hành một nghiên cứu ban đầu bằng cách đặt câu hỏi “Theo em, tiếp tuyến là gì?” cho học sinh lớp 12 Nhưng câu trả lời mà chúng tôi nhận được vẫn không thay đổi so

với kết quả được tác giả TrầnVũ Đức ghi nhận năm 2004: Tiếp tuyến là một đường

thẳng “tiếp xúc” với đường cong, đường tròn hay đồ thị tại “một điểm duy nhất”

Chúng tôi tự hỏi, với sự thay đổi sách vào năm 2008, tại sao học sinh vẫn chỉ biết đến khái niệm tiếp tuyến theo quan điểm của Descartes Liệu có hay không một sự thay đổi trong cách giới thiệu về khái niệm tiếp tuyến cho học sinh trung học phổ thông ở sách giáo khoa hiện nay so với sách giáo khoa năm 2000? Và liệu cách giới

thiệu mới này, nếu có, có giúp học sinh thay đổi quan niệm: “Tiếp tuyến là một đường thẳng chỉ tiếp xúc đường tròn tại một điểm duy nhất” đã được tiếp thu ở bậc trung học

cơ sở không?

Trong luận văn này, chúng tôi dùng cách nói “tiếp tuyến theo quan điểm của Descartes” để nhắc đến “tiếp tuyến là đường thẳng chỉ tiếp xúc với đường cong tại một điểm duy nhất”, và “tiếp tuyến theo quan điểm của Fermat” để đề cập đến “tiếp tuyến

là vị trí giới hạn của cát tuyến”, cuối cùng “tiếp tuyến theo quan điểm của Barrow” để chỉ “tiếp tuyến là đường thẳng “xấp xỉ” với đường cong trong lân cận của tiếp điểm” Bên cạnh đó, nhắc đến khái niệm tiếp tuyến, không thể không nhắc đến khái niệm đạo hàm, như trong luận văn thạc sĩ “Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm – một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm” năm 2007 tác giả Bùi Thị Thu Hiền đã từng nói:

“Trong phạm vi Giải tích, việc nghiên cứu khái niệm tiếp tuyến luôn gắn với khái niệm đạo hàm”

(Bùi Thị Thu Hiền (2007), tr.1)

Từ đó, các câu hỏi khác được đặt ra:

Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm đã được sách giáo khoa hiện hành trình bày như thế nào? Sách giáo khoa khai thác ra sao về mối quan hệ này?

Chính những lí do trên đã thôi thúc chúng tôi chọn nghiên cứu, tìm hiểu về đề tài:“Tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm trong dạy học toán ở lớp 11”

2 Tổng quan các công trình nghiên cứu và hướng nghiên cứu mới

2.1 Các quan điểm về khái niệm tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm

Tác giả Trần Vũ Đức (2004) đã tổng hợp 4 quan điểm khác nhau về khái niệm tiếp tuyến

+ Tiếp tuyến là đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại một điểm duy nhất + Phương chuyển động của điểm vạch nên đường cong là tiếp tuyến của đường cong tại mỗi vị trí của điểm đó

+ Tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến

+ Tiếp tuyến là đường thẳng xấp xỉ với đường cong trong lân cận của tiếp điểm

Chúng tôi sẽ trình bày chi tiết hơn 4 quan điểm này trong chương 1 Về mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm đã được tác giả Bùi Thị Thu Hiền (2007) nghiên cứu và kết luận như sau:

“Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm xuất hiện tường minh Đặc trưng của mối quan

hệ này là: “hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm” […]

Như vậy, mối liên hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine cũng được thiết lập tường minh: “hàm s ố 𝑓𝑓(𝑥𝑥) có đạo hàm tại 𝑎𝑎 thì có thể xấp xỉ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) bằng một hàm affine và đó chính

là ti ếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 𝑎𝑎”.”

(Bùi Thị Thu Hiền (2007), tr.18)

2.2 Các kết quả nghiên cứu về thể chế dạy học

Chúng tôi xin tóm tắt lại các kết quả nghiên cứu thể chế dạy học về khái niệm tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm của các tác giả:

1 Ngô Minh Đức (2013), Khái niệm đạo hàm trong dạy học toán và vật lý ở

trường phổ thông, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Đại học Sư phạm thành

phố Hồ Chí Minh

2 Trần Vũ Đức (2004), Khái niệm tiếp tuyến – Một nghiên cứu khoa học luận và

sư phạm, Luận văn tốt nghiệp, Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh

3 Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ tiếp tuyến và đạo hàm – Một nghiên cứu

khoa học luận và sư phạm, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Đại học Sư phạm

thành phố Hồ Chí Minh

 Giai đoạn sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000

Theo tác giả Trần Vũ Đức (2004) thì SGKCL đã lựa chọn 2 quan điểm để trình bày

về khái niệm tiếp tuyến:

+ Tiếp tuyến là đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại một điểm duy nhất + Tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến

Cụ thể, khái niệm tiếp tuyến được SGKCL trình bày thông qua tiếp tuyến với đường tròn, sau đó là với đường parabol, cuối cùng là với đường cong tổng quát Về các kiểu nhiệm vụ, tác giả Trần Vũ Đức kết luận rằng:

“[…], các đặc trưng “tiếp xúc tại một điểm” và “có hệ số góc bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm” được nhấn mạnh hơn, đặc trưng “là vị trí giới hạn của cát tuyến” không còn xuất hiện một cách tường minh

[…]

Trong phần bài tập SGK không bao giờ yêu cầu học sinh vẽ tiếp tuyến Người ta chỉ xoay quanh các vấn đề bản chất đại số liên quan tới phương trình của nó (tìm hệ số góc, viết phương trình,…”

(Bùi thị Thu Hiền (2007), tr.56)

+ Sách giáo khoa đã xây dựng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm:

“Đặc trưng của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm cũng được thiết lập: “hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm”.”

(Bùi Thị Thu Hiền (2007), tr.45)

 Giai đoạn sách giáo khoa hiện hành

Tác giả Ngô Minh Đức (2013) khi tiến hành nghiên cứu về đạo hàm trong dạy học toán và vật lí đã chỉ ra rằng:

“Ý nghĩa hình học của đạo hàm như là hệ số góc của tiếp tuyến lại được trình bày tách rời với đặc trưng xấp xỉ của nó Công thức (*) 1 để tính gần đúng không được xây dựng qua con đường xấp xỉ hình học mà lại đi từ định nghĩa đạo hàm theo giới hạn.”

(Ngô Minh Đức (2013), tr.55)

Tuy nhiên tác giả Trần Vũ Đức phân tích chỉ dựa trên bộ sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000 Tác giả Trần Vũ Đức tập trung chủ yếu vào các quan điểm về khái niệm tiếp tuyến Mối quan giữa tiếp tuyến và đạo hàm chưa được tác giả quan tâm sâu sắc

1

Công th ức (*): 𝑓𝑓(𝑥𝑥 0 + ∆𝑥𝑥) ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥 0 ) + 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥 0 )∆𝑥𝑥

Tác giả Bùi Thị Thu Hiền cũng sử dụng bộ sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm

2000 và thêm sách thí điểm bộ 2 ban khoa học tự nhiên Nhưng tác giả chưa làm rõ được ở các kiểu nhiệm vụ quan điểm nào của khái niệm tiếp tuyến được quan tâm Tác giả chỉ tập trung vào mối quan hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine

Tác giả Ngô Minh Đức khi tiến hành phân tích đã sử dụng bộ sách hiện hành nhưng đối tượng nghiên cứu của tác giả Ngô Minh Đức là đạo hàm Do đó, cách trình bày của tác giả chưa giúp chúng ta thấy rõ được: Những quan điểm nào về tiếp tuyến được lựa chọn để đưa vào sách giáo khoa? Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm được sách giáo khoa khai thác ra sao? Các kiểu nhiệm vụ được sách giáo khoa quan tâm đến là những kiểu nhiệm vụ nào?

Vì vậy, khi tiến hành nghiên cứu thể chế, trong khuôn khổ luận văn của mình, chúng tôi sẽ cố gắng tìm kiếm các yếu tố để trả lời cho những câu hỏi trên Khi phân tích sách giáo khoa, chúng tôi sẽ tiến hành so sánh thêm với một quyển sách Toán của

Mỹ Việc so sánh này giúp thấy rõ hơn sự lựa chọn của thể chế trong việc đưa vào các quan điểm về tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm

2.3 Các đồ án dạy học về khái niệm tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm

 Thực nghiệm trong luận văn của tác giả Trần Vũ Đức (2004) và Bùi Thị Thu Hiền (2007)

Tác giả Trần Vũ Đức và Bùi Thị Thu Hiền khi tiến hành thực nghiệm đều xây dựng bộ câu hỏi nhằm kiểm chứng các giả thuyết đã đưa ra Hai tác giả không xây dựng đồ án giúp học sinh tiếp cận các quan điểm về khái niệm tiếp tuyến mà học sinh chưa nắm được Cũng như các tác giả chưa giúp học sinh điều chỉnh lại sự sai lệch của mình về khái niệm tiếp tuyến

Tác giả Trần Vũ Đức (2004) đã xây dựng bộ câu hỏi nhằm kiểm chứng giả thuyết:

“Cách tổ chức các kiến thức liên quan tới khái niệm tiếp tuyến ở THPT không những khó cho phép học sinh điều chỉnh quan niệm về tiếp tuyến đã có ở bậc THCS, mà còn góp phần củng cố thêm những biểu tượng sai lệch về tiếp tuyến với đường cong tổng quát Cụ thể hơn, những kiến thức về tiếp tuyến của đường tròn vẫn có một ảnh hưởng sâu sắc đến quan niệm sau này của học sinh về tiếp tuyến của các đường cong tổng quát, ngay cả khi khái niệm tiếp tuyến đã chính thức được giảng dạy”

(Trần Vũ Đức (2004), tr.53)

Tác giả Bùi Thị Thu Hiền xây dựng bộ câu hỏi nhằm kiểm chứng giả thuyết:

“Học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, giữa đạo hàm và xấp

xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong mối quan

hệ cá nhân của họ”

(Bùi Thị Thu Hiền (2007), tr.56)

Tác giả Trần Vũ Đức và Bùi Thị Thu Hiền đều khẳng định đúng đắn của giả thuyết nghiên cứu sau khi tiến hành thực nghiệm

 Đồ án trong luận văn của tác giả Ngô Minh Đức (2013)

Như đã nói ở trên, tác giả Ngô Minh Đức nghiên cứu đối tượng chính là đạo hàm trong dạy học toán và vật lí Do đó, việc xây dựng đồ án mục đích chính của tác giả là

bổ sung đặc trưng tốc độ biến thiên và đặc trưng xấp xỉ của khái niệm đạo hàm cho học sinh Hai bài toán 5 và 6 trong đồ án của tác giả là để hình thành nghĩa “xấp xỉ”:

“Bài toán 5 Cho hàm s ố 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 có đồ thị (𝐶𝐶)

a Hãy vi ết phương trình tiếp tuyến ∆ của (𝐶𝐶) tại điểm có hoành độ 𝑥𝑥0= 1

b Vẽ đồ thị (𝐶𝐶) và tiếp tuyến ∆ trên cùng một hệ trục tọa độ

c N ếu chỉ xét một lân cận rất nhỏ xung quanh điểm M, hãy nhận xét về đồ thị (𝐶𝐶) và tiếp tuy ến ∆ của nó Nếu gọi phương trình tiếp tuyến là 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥) và xét một điểm 𝑥𝑥1 nằm rất gần

𝑥𝑥0= 1 Hãy nhận xét về hai giá trị: 𝑓𝑓(𝑥𝑥1)và 𝑔𝑔(𝑥𝑥1)?

d Cho giá trị 𝑥𝑥1= 1,0001 (là một điểm nằm rất gần 𝑥𝑥0= 1) Không sử dụng máy tính

b ỏ túi (đặc biệt là không dùng công cụ tính căn bậc hai), hãy tìm cách tính gần đúng giá trị

𝑓𝑓(𝑥𝑥1)

Bài t ập 6: Cho hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) có đạo hàm tại một điểm 𝑥𝑥0 ∆𝑥𝑥 là một lượng rất bé

(nghĩa là có thể coi 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥0+ ∆𝑥𝑥nằm rất gần 𝑥𝑥0)

a Hãy thi ết lập một công thức để tính gần đúng giá trị 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 0+ ∆𝑥𝑥)?

b Hàm s ố 𝑓𝑓(𝑥𝑥) phải có điều kiện gì thì mới có thể thiết lập được biểu thức tính gần đúng này?”

(Ngô Minh Đức (2013), tr.71-72)

Như vậy, chưa có một nghiên cứu đồ án dạy học quan tâm việc xây dựng các quan điểm của tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm còn thiếu cho học sinh Hay giúp học sinh nhận ra rằng tiếp tuyến có thể có nhiều điểm chung với đường cong tổng quát Vì vậy chúng tôi lựa chọn hướng nghiên cứu cho mình là xây dựng một đồ án dạy học liên quan đến tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm Cụ thể, mục đích của đồ án sẽ được nêu rõ ở chương 3

3 Khung lý thuy ết tham chiếu

Hiện tượng học sinh xem tiếp tuyến là đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại một điểm duy nhất chỉ là kết quả quan sát ban đầu Để có kết luận chính xác hơn về cách hiểu khái niệm tiếp tuyến ở học sinh trung học phổ thông đòi hỏi một nghiên cứu

kĩ càng và sâu sắc hơn

Để làm được điều đó cũng như tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi ban đầu đã đặt

ra, trước tiên chúng tôi sẽ tiến hành phân tích sách giáo khoa hiện hành nhằm làm rõ tri thức O – khái niệm tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm – xuất hiện ra sao trong thể chế Toán Đại số và Giải tích lớp 11 ban cơ bản: Khái niệm tiếp tuyến được đưa vào sách giáo khoa Toán Đại số và Giải tích lớp 11 ban cơ bản như thế nào? Dưới góc nhìn của bao nhiêu quan điểm? Và được đặt trong mối quan hệ với đạo hàm như thế nào?

Liệu cách trình bày của sách giáo khoa hiện nay có giúp học sinh nhận thấy sự khác nhau khi chuyển từ quan điểm về tiếp tuyến của Descartes sang quan điểm của Fermat và Barrow hay không? Học sinh khai thác được những gì từ cách giới thiệu của sách giáo khoa về mối liên hệ giữa khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm: Cụ thể, các em có vận dụng được đạo hàm để khẳng định sự tồn tại của tiếp tuyến không?

Để trả lời các câu hỏi vừa đặt ra, chúng tôi sẽ đặt nghiên cứu của mình trong phạm

vi của lý thuyết Didactic Toán Cụ thể, chúng tôi sử dụng lý thuyết nhân học (Quan hệ thể chế R(I,O), quan hệ cá nhân R(X,O)) và đồ án Didactic, nếu cần thiết

4 Mục đích nghiên cứu – câu hỏi nghiên cứu

Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, các câu hỏi ban đầu được cụ thể hóa như sau:

Q 1 : Trong lịch sử phát triển của Toán học, có những quan điểm nào về tiếp tuyến? Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm được thể hiện ra sao trong các quan điểm ấy?

Q 2 : Đặc trưng mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm trong thể chế sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 ban cơ bản hiện hành là gì?

Q 3 : Mối quan hệ cá nhân của học sinh với đối tượng tri thức tiếp tuyến và mối liên

hệ với đạo hàm có những đặc trưng nào?

Tìm kiếm câu trả lời cho những câu hỏi trên là trọng tâm nghiên cứu của luận văn này

5 Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

Để trả lời cho câu hỏi Q 1 chúng tôi sẽ tóm tắt các kết quả nghiên cứu đã có về một vài quan điểm về khái niệm tiếp tuyến và mối liên hệ giữa tiếp tuyến với đạo hàm Đây chính là nội dung chương 1

Sang chương 2, trên cơ sở các kết quả thu được ở chương 1, chúng tôi tiến hành

phân tích sách giáo khoa Toán lớp 11 ban cơ bản nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi Q 2

Để thấy rõ hơn đặc trưng và những ràng buộc của thể chế Việt Nam, chúng tôi sẽ đặt

sự phân tích này trong sự so sánh với một quyển sách của Mỹ Như vậy, trước khi tiến hành phân tích sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 ban cơ bản, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích một quyển sách Toán của Mỹ

Từ đây, chúng tôi sẽ đưa ra giả thuyết về mối quan hệ cá nhân của học sinh với khái niệm tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm

Chương 3, chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng hay bác bỏ giả thuyết đã đặt ra ở chương 2 Đồng thời, nếu cần thiết, chúng tôi sẽ xây dựng một đồ án Didactic nhằm điều chỉnh lại mối quan hệ của cá nhân học sinh với khái niệm tiếp tuyến và mối liên với đạo hàm

Phần kết luận dành cho việc trình bày tóm tắt lại những kết quả nghiên cứu đã đạt được của luận văn và những hướng nghiên cứu mới có thể mở ra

Chương 1 MỘT VÀI QUAN ĐIỂM VỀ TIẾP TUYẾN

VÀ M ỐI LIÊN HỆ VỚI ĐẠO HÀM

Để làm tham chiếu cho việc phân tích thể chế ở chương 2, trong chương 1 chúng tôi sẽ tiến hành tổng hợp các kết quả nghiên cứu trước đây về:

– Những quan điểm khác nhau về tiếp tuyến trong lịch sử toán học

– Một vài đặc điểm về mối liên hệ giữa tiếp tuyến với đạo hàm

Tài liệu chúng tôi dùng để tham khảo chính trong chương này là:

1 Ngô Minh Đức (2013), Khái niệm đạo hàm trong dạy học toán và vật lý ở

trường phổ thông, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Đại học Sư phạm thành

phố Hồ Chí Minh

2 Trần Vũ Đức (2004), Khái niệm tiếp tuyến – Một nghiên cứu khoa học luận và

sư phạm, Luận văn tốt nghiệp, Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh

3 Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ tiếp tuyến và đạo hàm – Một nghiên cứu

khoa học luận và sư phạm, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Đại học Sư phạm

1.1 Nh ững quan điểm khác nhau về tiếp tuyến

1.1.1.Quan điểm của Euclide, Archimede, Apollonius và Decartes về tiếp tuyến

Luận văn tốt nghiệp của tác giả Trần Vũ Đức và bài báo The story of tangents của J.L.Coolidge đã cho thấy xuất hiện sớm nhất là quan điểm của Euclidevề khái niệm tiếp tuyến Quan điểm này xuất hiện khoảng 300 năm trước công nguyên:

“Một đường thẳng “chạm” vào một đường tròn và khi được kéo dài ra mà không cắt đường tròn đó thì được gọi là tiếp xúc với đường tròn đó”

(Trần Vũ Đức (2004), tr.9)

Định nghĩa được tác giả Trần Vũ Đức trích dẫn từ quyển Prenons la tangente avant

de dériver của Perrin Patrick (1992) Patrick đã tìm thấy quan điểm này từ quyển thứ 3 trong bộ “Cơ bản” gồm 13 quyển của Euclide

Tương tự, Archimedes và Apollonius cùng chia sẻ quan điểm tiếp tuyến là đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại một điểm duy nhất với Euclide Nhưng khác với Euclide, trong phát biểu về tiếp tuyến Archimedes sử dụng đường xoắn ốc; Apollonius

“Descaster quan niệm tiếp tuyến tại một điểm của đường cong là tiếp tuyến của đường tròn tiếp xúc với đường cong tại điểm đó

1.1.2 Quan điểm của Roberval về tiếp tuyến

Xuất hiện sau quan điểm tiếp tuyến là đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại một

điểm duy nhất là quan điểm của Roberval Quan điểm của Roberval “dựa trên nguyên

tắc về sự phối hợp của các chuyển động” (Trần Vũ Đức (2004), tr.14)

“Tiên đề hay nguyên lí phát minh (Axiome ou principe d’invention):

Phương chuyển động của điểm vạch nên đường cong là tiếp tuyến của đường cong tại mỗi vị trí của điểm đó”

(Trần Vũ Đức (2004), tr.14)

Quan điểm trên được tác giả Trần Vũ Đức trích từ nghiên cứu của Francois De

Gandt (1980), De la vitesse de Galilée aux Fluxions de Newton – Mathématiques et

“Observations sur la composition des mouvements et le moyen de trouver les touchantes aux lignes courbes” của Roberval

Nếu quan điểm của Descartes chỉ thuần túy thuộc phạm vi của hình học sơ cấp, thì sang đến Roberval đã có một sự phát triển trong quan điểm về khái niệm tiếp tuyến Quan điểm của Roberval đã thể hiện ý tưởng về giới hạn:

“Trong định nghĩa về tiếp tuyến, Roberval đã đề cập đến khái niệm phương chuyển động

của điểm vạch nên đường cong, nói cách khác là phương tức thời của chuyển động Đây là ý

tưởng mới có liên quan đến vấn đề giới hạn 2

– vấn đề mấu chốt đánh dấu sự phát triển của phạm vi giải tích”

(Trần Vũ Đức, tr.15)

1.1.3 Quan điểm của Fermat về tiếp tuyến

Theo tác giả Trần Vũ Đức, trong tác phẩm “Cơ sở giải tích toán học tập 1”, G.M.Fichtengôn đã đưa ra một quy tắc để dựng tiếp tuyến tại một điểm của Fermat Qua quy tắc này chúng ta thấy thêm một quan điểm hoàn toàn mới so với các quan điểm trước đây về khái niệm tiếp tuyến Cần lưu ý rằng, quy tắc của Fermat không có một cơ sở lí thuyết vững chắc nào làm nền tảng

“Fermat xem tiếp tuyến của đường cong như là vị trí giới hạn của cát tuyến”

“Phương pháp của Fermat gắn liền với tư tưởng giới hạn, phần vô cùng nhỏ, hầu như dừng lại trong quá trình biến thiên,…

[…]

Phương pháp của ông thực chất là phương pháp vi phân”

(Trần Vũ Đức (2004), tr.18)

Như vậy cùng với sự ra đời của những quan điểm mới về tiếp tuyến là sự phát triển

về giải tích Nhiều khái niệm mới lần lượt được hình thành về mặt ý tưởng: giới hạn, đại lượng vô cùng bé… dẫn đường cho sự ra đời của khái niệm đạo hàm trong nửa cuối thế kỉ XVII

Sau quan điểm mới về tiếp tuyến của Fermat, Barrow cũng cho ra đời một góc nhìn khác về khái niệm này Tương tự Fermat, phương pháp tìm tiếp tuyến của Barrow chưa có một cơ sở lí thuyết để giải thích rõ ràng

1.1.4 Quan điểm của Barrow về tiếp tuyến

“Như vậy phương pháp xác định tiếp tuyến của Barrow (còn gọi là phương pháp tam giác vi phân) dựa vào ý tưởng xem tiếp tuyến tại một điểm của đường cong như là đường thẳng trùng với một phần vô cùng nhỏ của đường cong tại điểm đó”

(Trần Vũ Đức (2004), tr.20)

Phương pháp xác định tiếp tuyến của Barrow được tác giả Trần Vũ Đức rút ra từ Perrin Patrick (1992), Prenons la tangente avant de dériver, Histoire d’infini, commission inter-IREM

Barrow xem tiếp tuyến và đường cong gần trùng nhau trong lân cận của tiếp điểm Quan điểm về tiếp tuyến của Barrow cũng thể hiện ý tưởng mới về các khái niệm của giải tích

1.1.5 Quan điểm của Newton, Leibniz về tiếp tuyến

Theo tác giả Trần Vũ Đức, tương tự Fermat và Barrow, Newton và Leibniz cũng xem tiếp tuyến là “vị trí giới hạn của cát tuyến” và là “đường thẳng xấp xỉ với đường cong trong lân cận của tiếp điểm” Nhưng khác với quan điểm của Fermat và Barrow, quan điểm về tiếp tuyến cũng như phương pháp dựng tiếp tuyến của Newton và Leibniz dựa trên lập luận chặt chẽ, cơ sở lí thuyết rõ ràng hơn

“Tóm lại, về bản chất thì các phương pháp của Newton và Lebniz là tổng hợp lại các phương pháp của Fermat và Barrow, nhưng chặt chẽ hơn và có hệ thống hơn, bằng cách đưa vào các khái niệm vi phân, đạo hàm.”

(Trần Vũ Đức (2004), tr.22)

Như vậy, đến quan điểm về tiếp tuyến của Newton, Leibniz thì khái niệm đạo hàm,

vi phân đã có định nghĩa đầu tiên Các định nghĩa này là cơ sở cho lập luận về phương pháp dựng tiếp tuyến của Newton, Leibniz, giúp cho quan điểm của hai ông về tiếp tuyến có được cơ sở vững chắc hơn của Fermat và Barrow

Tuy nhiên, về bản chất, Newton cũng như Fermat, xem tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến Leibniz và Barrow đều có quan điểm giống nhau đối với khái niệm tiếp tuyến Vì thế khi muốn đề cập đến quan điểm tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến, chúng tôi sẽ gọi tắt là “quan điểm của Fermat” Và khi muốn đề cập đến tiếp tuyến là đường thẳng gần trùng với đường cong trong lân cận của tiếp điểm, chúng tôi sẽ gọi tắt

là “quan điểm của Barrow”

1.2 Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm

Tác giả Bùi Thị Thu Hiền đã có tìm hiểu và trình bày về mối liên hệ giữa khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm, chúng tôi xin phép tóm tắt lại bằng sơ đồ sau:

Trong quan điểm

của Robelval

• Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong quan điểm của Roberval có thể hiểu như sau: hệ số góc của tiếp tuyến bằng 𝑑𝑑𝑦𝑦/𝑑𝑑𝑥𝑥

Trong quan điểm

của Descartes

• Mối liên hệ giữa tiếp tuyến với đạo hàm chưa được hình thành vì khái niệm tiếp tuyến vẫn trong phạm vi hình học sơ cấp và khái niệm đạo hàm chưa ra đời

Sau Newton, Leibniz, từ đầu thế kỉ XIX đến nay, phân ngành giải tích nói chung và phép tính vi tích phân nói riêng ngày càng phát triển và được hoàn thiện Cơ sở lí thuyết của phép tính vi phân ngày càng được xây dựng chặt chẽ Mối liên hệ tường minh giữa tiếp tuyến và đạo hàm đã được xác định rõ:

“H ệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm

[…]

Hàm s ố 𝑓𝑓(𝑥𝑥) có đạo hàm tại 𝑎𝑎 thì có thể xấp xỉ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) bằng một hàm affine và đó chính là

ti ếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 𝑎𝑎”

(Bùi Thị Thu Hiền (2007), tr.18)

Trong quan điểm

của Barrow

• Hệ số góc của tiếp tuyến bằng tỉ số hai vi phân 𝑑𝑑𝑦𝑦/𝑑𝑑𝑥𝑥

• Khái niệm vi phân xuất hiện ngầm ẩn với vai trò công cụ giải quyết bài toán, chưa phải đối tượng nghiên cứu

Trong quan điểm

• Đạo hàm, vi phân được định nghĩa lần đầu tiên, nhưng các vấn đề liên quan đến giới hạn vẫn chưa được làm rõ

Với sự phát triển mạnh mẽ của giải tích, mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm càng được mở rộng và nghiên cứu sâu hơn:

“Định lí 2 Nếu 𝑓𝑓′(𝑎𝑎) tồn tại, thì 𝑓𝑓 có ít nhất một đường biên địa phương 3

(local bounding line) đi qua điểm 𝑃𝑃 = (𝑎𝑎, 𝑓𝑓(𝑎𝑎)) và đường thẳng ấy chính là tiếp tuyến với đồ thị

+ Quan điểm của Fermat: Tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến

+ Quan điểm của Barrow: Tiếp tuyến xấp xỉ với đường cong trong lân cận của tiếp điểm

Vì đối tượng nghiên cứu của chúng tôi là tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm nên ba quan điểm mà chúng tôi đặc biệt quan tâm là quan điểm của Descartes, Fermat

và Barrow

Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm ngày càng được nghiên cứu sâu, rộng hơn Cho đến ngày nay mối liên hệ trên đã được thể hiện rất rõ:

+ Nếu đạo hàm tại hoành độ của điểm 𝐴𝐴 tồn tại thì sẽ tồn tại tiếp tuyến tại 𝐴𝐴

3Định nghĩa Một đường thẳng 𝐿𝐿 đi qua điểm 𝑃𝑃 = 𝑎𝑎, 𝑓𝑓(𝑎𝑎)) trên đồ thị của hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) được gọi là

đường biên tại 𝑃𝑃 nếu toàn bộ đồ thị của 𝑓𝑓 nằm về một phía đối với đường thẳng 𝐿𝐿 Đường thẳng 𝐿𝐿 được gọi là biên địa phương tại 𝑃𝑃 nếu tồn tại một khoảng mở 𝐼𝐼 xung quang điểm 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 sao cho 𝐿𝐿 là một đường biên của 𝑓𝑓 khi h ạn chế trên 𝐼𝐼 (Irl C Bivens (1987), tr.140)

+ Nếu tiếp tuyến tại 𝐴𝐴 tồn tại thì đạo hàm tại hoành độ của điểm 𝐴𝐴 sẽ bằng hệ

số góc của tiếp tuyến tại 𝐴𝐴

Từ các kết luận trên chúng tôi xin cụ thể hóa câu hỏi nghiên cứu Q 2 Chúng tôi

sẽ tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi sau trong khi phân tích sách giáo khoa ở

chương 2:

+ Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 ban cơ bản chọn cách tiếp cận nào để

đưa vào khái niệm tiếp tuyến?

+ Những quan điểm nào về tiếp tuyến được sách giáo khoa lựa chọn giới thiệu

đến học sinh? Sự khác biệt giữa các quan điểm ấy có được nhắc đến hay không?

+ Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm được sách giáo khoa khai thác ra sao?

Có thể hiện đủ hai chiều tác động của khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm?

Chương 2 TIẾP TUYẾN VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI ĐẠO HÀM

TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN L ỚP 11

Mục tiêu chương 2 là tìm kiếm câu trả lời cho Q 2: Đặc trưng mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm trong thể chế sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 ban cơ bản hiện hành là gì?

Xin nhắc lại, cách nói “tiếp tuyến theo quan điểm của Descartes” được dùng để nhắc đến “tiếp tuyến là đường thẳng chỉ tiếp xúc với đường cong tại một điểm duy

nhất”, cách nói“tiếp tuyến theo quan điểm của Fermat” để đề cập đến “tiếp tuyến là

vị trí giới hạn của cát tuyến”, và cuối cùng, cách nói“tiếp tuyến theo quan điểm của

của tiếp điểm”

Như đã nói ở Phần Mở đầu, trước khi tiến hành phân tích sách giáo khoa Việt Nam, chúng tôi sẽ tiến hành nghiên cứu một quyển sách Toán của Mỹ có trình bày về khái niệm tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm, lấy đó làm cơ sở so sánh để nổi rõ những đặc trưng của thể chế Đại số và Giải tích 11 ban cơ bản Ở đây, chúng tôi chọn

quyển Precalculus with limits của Ron Larson và David C Falvo để phân tích

2.1 Ti ếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm trong sách toán của Mỹ

Quyển Precalculus with limits (kí hiệu M) gồm 12 chương:

Chương 1 Hàm số Đồ thị của hàm số

Chương 2 Hàm đa thức và phân thức hữu tỉ

Chương 3 Hàm mũ Hàm logarit

Chương 4 Lượng giác (Trigonometry)

Chương 5 Lượng giác giải tích (Analytic Trigonometry)

Chương 6 Đọc thêm về lượng giác (Additional Topics in Trigonometry)

Chương 7 Hệ phương trình Hệ bất phương trình

Chương 8 Ma trận Định thức

Chương 9 Dãy Chuỗi Xác suất

Chương 10 Hình học giải tích

Chương 11 Hình học giải tích trong không gian 3 chiều

Chương 12 Giới hạn

Khái niệm tiếp tuyến, đạo hàm và mối liên hệ giữa chúng được trình bày trong bài

3, chương 12 Do đó, chúng tôi sẽ tập trung phân tích, nghiên cứu Bài 3 chương 12 – Bài toán tiếp tuyến (the tangent line problem)

2.1.1 Sự khác nhau giữa quan điểm của Descartes và Fermat, Barrow về tiếp tuyến

Trong quyển sách mà chúng tôi lựa chọn nghiên cứu, trước khi giới thiệu về quan điểm tiếp tuyến của Fermat và Barrow, khái niệm tiếp tuyến theo quan điểm của Descartes mà học sinh đã học ở lớp dưới được nhắc lại:

“Trong hình học, ta đã biết một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn nếu chỉ cắt đường tròn tại một điểm duy nhất”

(M, tr.871)

Đồng thời, cũng ngay phần đầu của Bài 3 –Bài toán tiếp tuyến, trước khi làm quen

với quan niệm tiếp tuyến của Fermat và Barrow, M đã đề cập đến điểm khác biệt giữa quan điểm của Descartes với quan điểm của Fermat và Barrow sau khi giúp học sinh nhớ lại quan niệm tiếp tuyến của Descartes:

“Trong hình học, ta đã biết một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn nếu chỉ cắt

đường tròn tại một điểm duy nhất Tuy nhiên, những tiếp tuyến với các đường cong không phải đường tròn, có thể cắt đường cong hơn một điểm.” 4

(M, tr.871)

Tiếp theo, M đưa vào các hình ảnh minh họa cho tiếp tuyến với đường cong không phải đường tròn trong các trường hợp tiếp tuyến cắt đường cong tại một hay nhiều điểm

4 Chúng tôi tự in đậm để làm nổi bật sự khác nhau giữa quan điểm của Descartes và quan điểm của Fermat, Barrow về tiếp tuyến

M cũng đưa ra những bài tập liên quan đến sự khác biệt giữa các quan điểm về tiếp tuyến:

“Bài 75–76 Hãy cho biết khẳng định sau là đúng hay sai Giải thích tại sao?

76 Tiếp tuyến với đường cong chỉ có thể cắt đường cong tại một điểm duy nhất.”

(M, tr.880)

Như vậy, M đã trình bày một cách tường minh điểm khác nhau khi chuẩn bị chuyển từ quan điểm của Descartes về tiếp tuyến sang quan điểm của Fermat, Barrow Đồng thời M cũng có bài tập để nhắc lại điểm khác biệt này cho học sinh

2.1.2 Cách ti ếp cận khái niệm tiếp tuyến của Precalculus with limits

M giới thiệu đến học sinh cả hai quan điểm về tiếp tuyến: Quan điểm của Fermat

và quan điểm của Barrow Quan điểm của Fermat được đưa vào một cách tường minh Quan điểm của Barrow được thể hiện ngầm ẩn trong cách trình bày của M

Quan điểm của Barrow xem tiếp tuyến là đường thẳng gần trùng với đường cong trong lân cận của tiếp điểm Quan điểm này được M ngầm giới thiệu đến học sinh ngay phần đầu của bài học:

“Ví dụ, trong hình 12.20, parabol tại điểm (𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) đi lên nhanh hơn so với đồ thị tại

điểm (𝑥𝑥 2 , 𝑦𝑦2) Tại đỉnh parabol đồ thị không thay đổi, và tại điểm (𝑥𝑥4, 𝑦𝑦4) đồ thị đi xuống

Để xác định độ dốc của đồ thị tại 1 điểm, bạn có thể tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm

đó Nói đơn giản, tiếp tuyến tại một điểm là đường thẳng xấp xỉ tốt nhất độ dốc của đồ thị tại

điểm đó

(M, tr.871)

Quan điểm “tiếp tuyến gần trùng với đường cong trong lân cận của tiếp điểm” được thể hiện qua việc xem hệ số góc của tiếp tuyến là xấp xỉ tốt nhất cho độ dốc của đường cong tại tiếp điểm Với việc xem hệ số góc của tiếp tuyến là xấp xỉ tốt nhất cho

độ dốc của đường cong, M đã ngầm xem tiếp tuyến với đường cong là một trong phạm

vi xung quanh tiếp điểm:

“Vì hệ số góc của tiếp tuyến xấp xỉ với độ dốc của đường cong tại tiếp điểm, nên bài toán tìm độ dốc của đường cong tại một điểm cũng chính là bài toán tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó

[…]

Định nghĩa độ dốc của đường cong

Độ dốc 𝒎𝒎 của đồ thị hàm số 𝑓𝑓 tại điểm (𝑥𝑥, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)) bằng chính hệ số góc của tiếp tuyến của

đồ thị tại điểm (𝑥𝑥, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)) […]”

(M, tr 873)

Sau khi ngầm đưa vào quan điểm của Barrow về tiếp tuyến, M giới thiệu tiếp quan điểm của Fermat Thông qua việc tính hệ số góc của tiếp tuyến dựa trên hệ số góc của cát tuyến, M đã đưa vào quan điểm “tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến”

“Một phương pháp chính xác hơn để tính gần đúng hệ số góc của tiếp tuyến là dùng đường cát tuyến – đường thẳng đi qua tiếp điểm và một điểm bất kì nằm trên đồ thị, như hình 12.24

N ếu (𝑥𝑥, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)) là tiếp điểm, điểm (𝑥𝑥 + ℎ, 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ℎ)) là điểm bất kì thuộc đồ thị của hàm 𝑓𝑓,

độ nghiêng của đường cát tuyến qua hai điểm đã cho là:

𝑚𝑚𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 =change in change in 𝑦𝑦 𝑥𝑥 =𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥)ℎ

𝑓𝑓(𝑥𝑥+ℎ)−𝑓𝑓(𝑥𝑥)

ℎ được gọi là tỷ sai phân (diference quotient) Mẫu số là sự thay đổi của 𝑥𝑥, tử

s ố là sự thay đổi của 𝑦𝑦 tương ứng với sự thay đổi của 𝑥𝑥 Hệ số góc của tiếp tuyến sẽ càng chính xác nếu chọn điểm thứ hai càng gần tiếp điểm, như hình 12.25

L ấy giới hạn vế phải, ta tìm được chính xáchệ số góc của tiếp tuyến tại(𝑥𝑥, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)).”

(M, tr.873)

Với minh họa bằng hình ảnh rõ ràng (hình 12.25), quan điểm tiếp tuyến là vị trí

giới hạn của cát tuyến của Fermat chính thức được đưa vào:

“Khi ℎ dần về 0, cát tuyến dần tới vị trí tiếp tuyến”

(M, tr.873)

Như vậy, M bằng cách xét cát tuyến đi qua hai điểm (𝑥𝑥, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)), ((𝑥𝑥 + ℎ), 𝑓𝑓(𝑥𝑥 +ℎ)) và tính hệ số góc của cát tuyến bằng công thức:

𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 =𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥)ℎ

Sau đó, chọn ℎ càng gần 0, tức điểm ((𝑥𝑥 + ℎ), 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ℎ)) càng gần điểm (𝑥𝑥, 𝑓𝑓(𝑥𝑥))

ta sẽ có hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm (𝑥𝑥, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)) xấp xỉ với hệ số góc của cát tuyến và:

“Hệ số góc của tiếp tuyến sẽ càng chính xác nếu chọn điểm thứ hai càng gần tiếp điểm” (M, tr.873)

Nếu ta lấy giới hạn của 𝑓𝑓(𝑥𝑥+ℎ)−𝑓𝑓(𝑥𝑥)ℎ khi ℎ dần về 0, thì sẽ tính được chính xác hệ số góc của tiếp tuyến Hay nói cách khác, ta xem tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến:

2.1.3 Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm

Thông qua định nghĩa về độ dốc của đường cong, định nghĩa đạo hàm và bài toán tìm hệ số góc của tiếp tuyến hay độ dốc của đường cong tại một điểm, mối liên hệ giữa

khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm – hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số

tại hoành độ tiếp điểm – cũng được đưa vào một cách ngầm ẩn:

“N ếu (𝑥𝑥, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)) là tiếp điểm, điểm (𝑥𝑥 + ℎ, 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ℎ)) là điểm bất kì thuộc đồ thị của hàm

𝑓𝑓, […] hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị tại điểm (𝑥𝑥, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)), và bằng:

Tuy mối liên hệ nếu tiếp tuyến tại 𝐴𝐴 tồn tại thì đạo hàm tại hoành độ của điểm 𝐴𝐴 sẽ

t ại hoành độ của điểm 𝐴𝐴 tồn tại thì sẽ tồn tại tiếp tuyến tại 𝐴𝐴 lại bị M bỏ qua

2.1.4 Các tổ chức toán học liên quan đến khái niệm tiếp tuyến và mối liên hệ

v ới đạo hàm

Nhận xét đầu tiên của chúng tôi khi nhìn sơ lược các bài tập trong quyển

Precalculus with limits là:

+ Dạng bài tập đa dạng: có bài thể hiện vai trò công cụ của đạo hàm; có bài lại xem đạo hàm như một đối tượng nghiên cứu (yêu cầu tính đạo hàm của hàm số) Trong hệ thống bài tập của M còn bao gồm những bài thể hiện mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm: “hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm tại hoành độ của tiếp điểm”…

+ Đặc biệt, có những bài tập đòi hỏi học sinh phải sử dụng các phần mềm hỗ trợ

vẽ đồ thị, hình học động…

Trong sách Precalculus with limits của Mỹ, chúng tôi thấy xuất hiện đa dạng hình thức bài tập: tính toán, đúng – sai, ghép cặp,… với gồm các kiểu nhiệm vụ có thể tóm tắt như sau:

Bảng 2.1 Tóm tắt các kiểu nhiệm vụ trong M

- Thể hiện ngầm ẩn quan điểm của Barrow về tiếp tuyến

T 4 Tìm phương trình tiếp tuyến biết

tọa độ tiếp điểm

- Đưa vào một cách ngầm ẩn quan điểm của Barrow về tiếp tuyến

T 5 Tìm phương trình tiếp tuyến biết

hệ số góc

- Củng cố cho đặc điểm: “hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm tại hoành độ của tiếp điểm”

T 6

So sánh đạo hàm cấp một và độ dốc của đồ thị hàm số

T 7

Tìm điểm trên đồ thị hàm số tại

đó tiếp tuyến song song trục hoành

Trong các kiểu nhiệm vụ trên, kiểu nhiệm vụ T1 yêu cầu học sinh khi giải quyết cần phải vận dụng nhận xét “hệ số góc của tiếp tuyến là xấp xỉ tốt nhất cho độ dốc của đường cong tại tiếp điểm” Do vậy, kiểu nhiệm vụ T1 chính là kiểu nhiệm vụ thể hiện ngầm quan điểm của Barrow về tiếp tuyến

Với kiểu nhiệm vụ T2, việc giải quyết đòi hỏi tìm hệ số góc của cát tuyến sau đó lấy giới hạn cho biểu thức 𝑓𝑓(𝑥𝑥+ℎ)−𝑓𝑓(𝑥𝑥)ℎ Quan điểm của Fermat được nhắc lại thông qua kiểu nhiệm vụ T2

Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm được M nhắc lại thông qua ba kiểu nhiệm

vụ T5, T6 và T7 Sau đây chúng tôi xin phép trình bày kĩ hơn về các kiểu nhiệm vụ T1,

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này là:

+ Đường cong được cho sẵn bằng hình vẽ

+ Phải sử dụng hình vẽ để giải quyết bài toán

+ Tọa độ các điểm (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) không bắt buộc là các số nguyên

Lời giải:

“D ựa vào đồ thị, ta thấy tương ứng khi 𝑥𝑥 thay đổi 1 đơn vị tiếp tuyến tại điểm (1; 1) sẽ đi lên xấp xỉ 2 đơn vị Do đó, ta có thể tính gần đúng hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm (1,1) khoảng:

Hệ số góc của tiếp tuyến =𝑐𝑐ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝑔𝑔𝑎𝑎 𝑙𝑙𝑎𝑎 𝑦𝑦𝑐𝑐ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝑔𝑔𝑎𝑎 𝑙𝑙𝑎𝑎 𝑥𝑥

Từ cách giải của M, rút ra được kĩ thuật 𝜏𝜏1 tương ứng với kiểu nhiệm vụ T1 như sau:

Kĩ thuật 𝝉𝝉𝟏𝟏:

+ Tính sự thay đổi của 𝑦𝑦 tương ứng với sự thay đổi của 𝑥𝑥 (khi 𝑥𝑥 thay đổi 𝑎𝑎 đơn

vị thì tiếp tuyến sẽ đi lên hay đi xuống bao nhiêu đơn vị)

+ Tính 𝑠𝑠ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑖𝑖𝑎𝑎 𝑦𝑦

𝑠𝑠ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑖𝑖𝑎𝑎 𝑥𝑥 + Kết luận về hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm (𝑥𝑥, 𝑦𝑦)

+ Kết luận độ dốc của đường cong tại điểm (𝑥𝑥, 𝑦𝑦)

Công nghệ 𝜽𝜽𝟏𝟏:

“Vì hệ số góc của tiếp tuyến xấp xỉ với độ dốc của đường cong tại tiếp điểm, nên bài toán tìm độ dốc của đường cong tại một điểm cũng chính là bài toán tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó […]

Độ dốc = 𝑠𝑠ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑖𝑖𝑎𝑎 𝑦𝑦𝑠𝑠ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑖𝑖𝑎𝑎 𝑥𝑥”

(M, tr.872)

Học sinh khi giải quyết kiểu nhiệm vụ T1, cần phải vận dụng nhận xét “hệ số góc

của tiếp tuyến là xấp xỉ tốt nhất cho độ dốc của đường cong tại tiếp điểm” Nói cách

khác, trong một lân cận của tiếp điểm xem tiếp tuyến với đường cong là trùng nhau Điều đó cho phép ta tìm độ dốc của đường cong thông qua việc tìm hệ số góc của tiếp tuyến Do vậy, kiểu nhiệm vụ T1 thể hiện ngầm ẩn quan điểm của Barrow về tiếp tuyến

 Ki ểu nhiệm vụ T 2 : “Tìm độ dốc của đồ thị hàm số 𝒇𝒇(𝒙𝒙) cho bằng công thức”

“Ví d ụ 3 Tìm độ dốc của đồ thị của hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2tại điểm (−2,4).”

(M, tr.874)

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này là:

+ Hàm số luôn được cho dưới dạng công thức

+ Phải sử dụng phương pháp lấy giới hạn để tìm chính xác độ dốc của đường cong

Lời giải

“Tìm biểu thức đại diện cho hệ số góc của một cát tuyến tại điểm (−2,4):

=(−2+ℎ)ℎ2−(−2)2 Thay vào bi ểu thức 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2

Và định nghĩa độ dốc của đồ thị tại một điểm:

“Độ dốc 𝒎𝒎 của đồ thị hàm số 𝑓𝑓 tại điểm (𝑥𝑥, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)) bằng chính hệ số góc của tiếp tuyến

c ủa đồ thị tại điểm (𝑥𝑥, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)), và bằng:

Kĩ thuật M đưa ra cho kiểu nhiệm vụ T2 là thông qua tìm hệ số góc của cát tuyến:

Sau đó tính hệ số góc của tiếp tuyến, rồi kết luận về độ dốc của đường cong Tức

ta lấy giới hạn cho biểu thức 𝑓𝑓(𝑥𝑥+ℎ)−𝑓𝑓(𝑥𝑥)ℎ :

𝑚𝑚 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚ℎ→0𝑚𝑚𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚ℎ→0𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥)ℎ

Như vậy, ta đã xem tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến Quan điểm của Fermat được nhắc lại thông qua kiểu nhiệm vụ T2

 Ki ểu nhiệm vụ T4: “Tìm phương trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm”

“Bài 43– 50 (a) Tìm độ dốc của đồ thị của hàm số 𝑓𝑓 tại điểm cho trước, (b) sử dụng kết quả của câu (a) viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm đã cho, (c) vẽ đồ thị hàm số

và tiếp tuyến vừa tìm được

43 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2− 1, (2, 3)”

(M, tr.87)

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này là:

+ Trước khi viết phương trình tiếp tuyến luôn tìm độ dốc của đường cong trước + Hàm số luôn được cho dưới dạng công thức

+ Sử dụng đến nhận xét hệ số góc của tiếp tuyến xấp xỉ với độ dốc của đường

cong tại tiếp điểm

+ Kết luận độ dốc của đồ thị hàm số đã cho

+Vì hệ số góc của tiếp tuyến xấp xỉ với độ dốc của đường cong tại tiếp điểm Suy ra, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm (𝑥𝑥0, 𝑦𝑦0)

+ Từ hệ số góc của tiếp tuyến và điểm (𝑥𝑥0, 𝑦𝑦0) lập phương trình của tiếp tuyến

Công nghệ 𝜽𝜽𝟒𝟒: phương trình đường thẳng qua (𝑥𝑥0, 𝑦𝑦0) và biết hệ số góc tương ứng, nhận xét hệ số góc của tiếp tuyến xấp xỉ với độ dốc của đường cong tại tiếp điểm

Nhận xét

Kiểu nhiệm vụ T4 yêu cầu học sinh phải tính độ dốc của đường cong trước khi viết phương trình tiếp tuyến, nên kiểu nhiệm vụ T4 nhằm mục đích củng cố tính chất hệ số góc của tiếp tuyến xấp xỉ với độ dốc của đường cong tại tiếp điểm Do đó quan

điểm xem tiếp tuyến xấp xỉ với đường cong trong lân cận của tiếp điểm cũng được đề

cập lại thông qua kiểu nhiệm vụ này Trước đó, quan điểm của Barrow đã xuất hiện ở kiểu nhiệm vụ T1

Vậy bên cạnh việc rèn luyện cho học sinh cách viết phương trình tiếp tuyến, kiểu nhiệm vụ T4 còn ngầm ẩn nhắc lại quan điểm của Barrow về tiếp tuyến

 Ki ểu nhiệm vụ T 5 : “Tìm phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc”

“Bài 55– 58 Tìm phương trình đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 𝑓𝑓 và song song với đường thẳng đã cho

56 Cho hàm s ố 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2+ 1 và đường thẳng 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 0” (M, tr.879)

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này là:

+ Sử dụng chú ý đạo hàm 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) chính là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số 𝑓𝑓 tại điểm (𝑥𝑥, 𝑓𝑓(𝑥𝑥))

+ Hàm số luôn được cho dưới dạng công thức

+ Dùng nhận xét hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số góc bằng nhau

Kĩ thuật 𝝉𝝉𝟓𝟓:

Gọi tiếp điểm là điểm có tọa độ (𝑥𝑥0, 𝑦𝑦0)

+ Tính hệ số góc 𝑚𝑚 của tiếp tuyến

Phương trình đường thẳng qua (𝑥𝑥0, 𝑦𝑦0) và biết hệ số góc tương ứng, nhận xét về hệ

số góc của hai đường thẳng song song

 Ki ểu nhiệm vụ T 6 : “So sánh đạo hàm cấp một và độ dốc của đồ thị hàm số”

“Bài 51–54 S ử dụng phần mềm hỗ trợ, vẽ đồ thị hàm số 𝑓𝑓 trên đoạn [−2, 2] và hoàn thành bảng sau So sánh giá trị của đạo hàm cấp một với độ dốc của đồ thị

63 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 4 − 2𝑥𝑥 2 , 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥 3− 4𝑥𝑥”

(M, tr.879)

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này là:

+ Hàm số luôn được cho dưới dạng công thức

+ Dùng phần mềm hỗ trợ để kiểm tra kết quả

Kĩ thuật 𝝉𝝉𝟕𝟕:

+ Giải phương trình 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0

+ Thay giá trị 𝑥𝑥 vừa tìm được vào 𝑓𝑓(𝑥𝑥) để tính 𝑦𝑦

Do đó, thông qua kiểu nhiệm vụ T5, T6 và T7 mối liên hệ giữa khái niệm tiếp tuyến và

khái niệm đạo hàm: hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ

tiếp điểm được thể hiện rõ nét hơn cả

Bảng 2.2 Thống kê số lượng bài tập liên quan đến tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm trong M

Kiểu nhiệm vụ Số lượng

2.2 Ti ếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm trong sách giáo khoa toán 11 Việt Nam

Dựa trên tham chiếu là các phân tích ở chương 1 và những điểm quan trọng rút ra sau khi nghiên cứu quyển sách Toán ở Mỹ, trong phần này chúng tôi sẽ phân tích sách

giáo khoa Đại số và giải tích 11 ban cơ bản (kí hiệu M 1) Đồng thời, chúng tôi sẽ so sánh đối chiếu với bộ sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000 (SGKCL) mà tác giả Bùi Thị Thu Hiền đã nghiên cứu

Mục đích của chúng tôi là làm rõ: Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 ban cơ

bản chọn cách tiếp cận nào để đưa vào khái niệm tiếp tuyến? Những quan điểm nào về tiếp tuyến được sách giáo khoa lựa chọn giới thiệu đến học sinh? Sự khác biệt giữa các quan điểm ấy có được nhắc đến hay không? Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm được sách giáo khoa khai thác ra sao? Có thể hiện đủ hai chiều tác động của khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm?

Tài liệu chúng tôi sử dụng:

1 Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến và Vũ Viết Yên (2007),

Đại số và giải tích 11, NXB Giáo dục

2 Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến và Vũ Viết Yên (2007),

Đại số và giải tích 11 Sách giáo viên, NXB Giáo dục

3 Vũ Tuấn, Trần Văn Hạo, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến và Vũ Viết Yên (2011),

Bài tập Đại số và giải tích 11, NXB Giáo dục Việt Nam

Chương trình Đại số và giải tích lớp 11 ban cơ bản gồm 5 chương:

- Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

- Chương 2: Tổ hợp – Xác suất

- Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân

- Chương 4: Giới hạn

- Chương 5: Đạo hàm

Khái niệm tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm nằm ở Chương 5: Đạo hàm –

sau khi học sinh đã được học về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân, khái niệm giới hạn

2.2.1 Cách ti ếp cận khái niệm tiếp tuyến của sách giáo khoa Đại số và giải tích

11 ban cơ bản

Quan điểm của Descartes về tiếp tuyến được Bộ Giáo dục và Đào tạo lựa chọn giới thiệu đầu tiên đến học sinh:

“Khi đường thẳng 𝑎𝑎 và đường tròn (𝑂𝑂) chỉ có một điểm chung 𝐶𝐶, ta nói đường thẳng 𝑎𝑎

và đường tròn (𝑂𝑂) tiếp xúc nhau Ta còn nói đường thẳng 𝑎𝑎 là tiếp tuyến của đường tròn

(𝑂𝑂) Điểm 𝐶𝐶 gọi là tiếp điểm”

(Toán 9 – tập 1, tr.108)

Sang đến lớp 11, bắt đầu xuất hiện quan điểm mới về tiếp tuyến:

“[…] Giả sử cát tuyến 𝑀𝑀0𝑀𝑀 có vị trí giới hạn, kí hiệu là 𝑀𝑀0𝑇𝑇 thì 𝑀𝑀0𝑇𝑇 được gọi là tiếp tuy ến của (𝐶𝐶) tại 𝑀𝑀0 Điểm 𝑀𝑀0 được gọi là tiếp điểm”

(M 1 , tr.151)

Như vậy, ban đầu học sinh được tiếp xúc với khái niệm tiếp tuyến thông qua định nghĩa tiếp tuyến với đường tròn Sau đó khái niệm được mở rộng thành tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến và là đường thẳng xấp xỉ với đường cong trong lân cận của tiếp điểm

Nhưng điểm khác biệt giữa Đại số và Giải tích lớp 11 ban cơ bản với sách Precalculus with limits của Mỹ đó là M1 không chỉ ra điểm khác biệt giữa định nghĩa tiếp tuyến theo quan điểm của Descartes so với quan điểm của Fermat, Barrow:

“Trong hình học, ta đã biết một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn nếu chỉ cắt đường tròn tại một điểm duy nhất Tuy nhiên, những tiếp tuyến với các đường cong không phải đường tròn, có thể cắt đường cong hơn một điểm.”

(M, tr.871)

Để giới thiệu về khái niệm đạo hàm, sách giáo khoa đã đưa vào các bài toán Vật lý

về vận tốc tức thời và cường độ tức thời Đây cũng là điểm khác biệt với chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000 Sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất năm 2000 không có bất

kì một hoạt động nào để dẫn dắt học sinh vào khái niệm đạo hàm mà đã đi thẳng vào định nghĩa một cách máy móc

Sau khi định nghĩa xong khái niệm đạo hàm, M1 đưa vào mối liên hệ giữa tiếp

tuyến và đạo hàm cũng như quan điểm mới về tiếp tuyến trong mục 5 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

“5 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

[…]

a) Tiếp tuyến của đường cong phẳng

Trên m ặt phẳng tọa độ 𝑂𝑂𝑥𝑥𝑦𝑦 cho đường cong (𝐶𝐶) Giả sử (𝐶𝐶) là đồ thị của hàm số

𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) và 𝑀𝑀0�𝑥𝑥0; 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)� ∈ (𝐶𝐶) Kí hiệu 𝑀𝑀(𝑥𝑥; 𝑓𝑓(𝑥𝑥)) là một điểm di chuyển trên (𝐶𝐶)

Đường thẳng 𝑀𝑀0𝑀𝑀 là một cát tuyến của (𝐶𝐶) (h.63)

Nhận xét rằng khi 𝑥𝑥 → 𝑥𝑥0 thì 𝑀𝑀(𝑥𝑥; 𝑓𝑓(𝑥𝑥)) di chuyển trên (𝐶𝐶) tới điểm 𝑀𝑀0 �𝑥𝑥 0 ; 𝑓𝑓(𝑥𝑥 0)� và

ngược lại Giả sử cát tuyến 𝑀𝑀0𝑀𝑀 có vị trí giới hạn, kí hiệu là 𝑀𝑀0𝑇𝑇 thì 𝑀𝑀0𝑇𝑇 được gọi là tiếp tuy ến của (𝐶𝐶) tại 𝑀𝑀0 Điểm 𝑀𝑀0 được gọi là tiếp điểm”

(M 1 , tr.151)

Theo sách giáo viên Đại số và giải tích lớp 11 ban cơ bản (kí hiệu M 2) nhận định:

“Rất khó đưa ra định nghĩa chính xác về tiếp tuyến nên ở đây, ta chỉ cung cấp cho học sinh khái niệm này bằng cách mô tả trực quan Vì vậy, khác với SGK trước đây, ta chỉ đưa ra hình ảnh trực quan về tiếp tuyến với một đường cong mà không nêu thành định nghĩa” (M 2 , tr.159)

Đây là một điểm khác nhau nữa với sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000 SGKCL không mô tả trực quan, mà định nghĩa một cách tường minh khái niệm tiếp tuyến:

“ Định nghĩa Nếu cát tuyến 𝑀𝑀0𝑀𝑀 có vị trí giới hạn 𝑀𝑀0𝑇𝑇 khi điểm 𝑀𝑀 di chuyển trên (𝐶𝐶)

và dần tới điểm 𝑀𝑀0thì đường thẳng 𝑀𝑀0𝑇𝑇 được gọi là tiếp tuyến của đường cong (𝐶𝐶) tại 𝑀𝑀0.”

(SGK CL – Giải tích 12, tr.8)

M1 đã đưa vào quan điểm của Fermat về tiếp tuyến thông qua hình ảnh cát tuyến

𝑀𝑀0𝑀𝑀 Với cát tuyến 𝑀𝑀0𝑀𝑀, M1 cho học sinh nhận xét trên đồ thị (𝐶𝐶), khi 𝑥𝑥 dần tới 𝑥𝑥0,

𝑀𝑀 di chuyển tới điểm 𝑀𝑀0 Và khi đó ta thấy được cát tuyến 𝑀𝑀0𝑀𝑀 tiến đến vị trí của tiếp tuyến 𝑀𝑀0𝑇𝑇 Nói cách khác, tiếp tuyến được xem là vị trí giới hạn của cát tuyến Như vậy, quan điểm của Fermat về tiếp tuyến được M1 đưa vào ngay bài đầu tiên của chương 5 Quan điểm của Fermat được M1 đề cập rõ ràng và tường minh:

“Giả sử cát tuyến 𝑀𝑀0𝑀𝑀 có vị trí giới hạn, kí hiệu là 𝑀𝑀0𝑇𝑇 thì 𝑀𝑀0𝑇𝑇 được gọi là tiếp tuyến

c ủa (𝐶𝐶) tại 𝑀𝑀0.”

(M 1 , tr.151)

Nhưng đến Bài 4, chương 5 Vi phân quan điểm của Barrow về tiếp tuyến mới

được M1 giới thiệu như sau:

“Theo định nghĩa của đạo hàm, ta có

Bản chất của công thức trên là:

“Đường thẳng xấp xỉ của đường cong trong lân cận của tiếp điểm Rõ ràng, về mặt toán

h ọc, nếu 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) là một hàm số xác định trên khoảng I chứa 𝑥𝑥0 thì hai mệnh đề sau là tương đương:

a) 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→𝑥𝑥0𝑓𝑓(𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑥𝑥0 )

𝑥𝑥−𝑥𝑥 0 = 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥0)

b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 0 ) + 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥 0 )(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 0 ) + (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 0)𝜀𝜀(𝑥𝑥) với 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→𝑥𝑥0𝜀𝜀(𝑥𝑥) = 0

Nói cách khác, hàm s ố 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) có đạo hàm tại điểm 𝑥𝑥0∈ 𝐼𝐼 khi và chỉ khi, trong lân cận

của 𝑥𝑥0, có th ể xấp xỉ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) bởi một hàm số affine có đồ thị qua điểm 𝑀𝑀0(𝑥𝑥0, 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)):

Với việc xem tiếp tuyến và đường cong là một trong lân cận của tiếp điểm Để tính

gần đúng 𝑓𝑓(𝑥𝑥0+ ∆𝑥𝑥), thay vì sử dụng biểu thức giải tích của đường cong, M1 đã sử dụng phương trình tiếp tuyến tại điểm (𝑥𝑥0, 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)) để thay thế Vậy, quan điểm của Barrow được M1 ngầm nhắc đến thông qua ứng dụng của vi phân vào công thức tính gần đúng Tuy nhiên cách trình bày như trên có làm học sinh nhận ra được quan điểm Barrow hay không? Hay chỉ thấy được để tính giá trị gần đúng của một điểm gần 𝑥𝑥0, ta

có thể sử dụng công thức 𝑓𝑓(𝑥𝑥0+ ∆𝑥𝑥) ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) + 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0)∆𝑥𝑥?

2.2.2 Mối liên hệ giữa tiếp tuyến với đạo hàm

Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm: “Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm

của hàm số tại hoành độ tiếp điểm” được thể hiện tường minh thông qua định lí 2