Các bài toán về tiếp tuyến và tương giao THPT DTNT vĩnh phúc file word có lời giải chi tiết image marked

Trang 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời Trong quá trình dạy học ôn thi tốt nghiệp, ôn thi đại học hay bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm tại trường, tôi

Trang 1

Trang 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời

Họ và tên: Đặng Thị Kim Chung

Chức vụ: Tổ trưởng tổ Toán-Lý -Tin

Đơn vị: Trường THPT DTNT tỉnh Vĩnh Phúc

Trang 2

Trong quá trình dạy học ôn thi tốt nghiệp, ôn thi đại học hay bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm tại trường, tôi nhận thấy học sinh trường tôi còn gặp nhiều khó khăn khi giải quyết các bài toán về tiếp tuyến và tương giao Học sinh chỉ giải quyết được các bài tập cơ bản Các bài tập ở mức độ vận dụng hoặc nâng cao đều không định hướng được phương pháp giải Do đó cần đưa ra cho học sinh phương pháp chung và các ví dụ cụ thể minh họa để học sinh có thể vận dụng một cách linh hoạt và thông minh Vì vậy, tôi viết chuyên đề: " Các bài toán về tiếp tuyến và tương giao" để hệ thống cho các em các dạng toán cơ bản và phương pháp của các bài toán này

2 Mục đích của đề tài

Chuyên đề giúp cho học sinh có cái nhìn tổng quan hơn, nắm được các dạng bài toán và phương pháp giải về tiếp tuyến và tương giao đồng thời rèn luyện được các kỹ năng cho học sinh giải các dạng toán này một cách tốt hơn

Mặt khác, chuyên đề cũng là tài liệu để các thầy cô giáo có thể tham khảo và áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 12

3 Đối tượng nghiên cứu:

Nghiên cứu về các bài toán về tiếp tuyến và tương giao với các phương pháp giải bài tập vận dụng để giúp học sinh có thể học tốt hơn và hình thành những kiến thức, kĩ năng mới, vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán cũng như trong cuộc sống Trong khuôn khổ thời gian có hạn, tôi chỉ áp dụng đối với học sinh lớp 12a1 trường THPT DTNT Vĩnh Phúc trong năm học 2016-2017

4 Thời gian triển khai chuyên đề:

- Thực hiện dạy chuyên đề cho học sinh trong thời gian 10 tiết

Trang 3

giải

B PHẦN NỘI DUNG

1 Chủ đề 1: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN

1.1 Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm M( ,x y0 0)( ) :C y= f x( )

1.1.1 Cách giải: * Tính y' = f x'( ) ; tính k= f x'( )0 (hệ số góc của tiếp tuyến)

* Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f x( ) tại điểm M x y( 0; 0)có phương trình

b) Tại điểm có hoành độ x = 2

c) Tại điểm có tung độ y =5

Ta có y’(0) = -3

Do đó phương trình tiếp tuyến là: y− = −5 3(x− hay y = -3x +5 0)

Trang 4

Do đó phương trình tiếp tuyến là: y− =5 6(x+ 3) hay y=6x+6 3 5+

+) Tương tự phương trình tiếp tuyến của (C) tại (− 3;5) là: y=6x−6 3 5+

Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) của hàm số 3 2

y= x − x + x− a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = 0

Giải:

Ta có y'=3x2−4x+ Gọi 2 M x y là tiếp điểm thì tiếp tuyến có phương trình: ( 0; 0)

y−y = y x x−x  =y y x x−x +y

a) Khi M =( )C Ox thì y0 = 0 và x0 là nghiệm phương trình:

x3−2x2+2x− =  = ; y’(2) = 6, thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình 4 0 x 2tiếp tuyến: y=6(x− 2)

b) Khi M =( )C Oy thì x0 = 0 y0 = y(0)= − và 4 y x'( )0 = y'(0)= , thay các giá trị đã 2biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: y=2x− 4

c) Khi x0 là nghiệm phương trình y”= 0 Ta có: y” = 6x – 4

Trang 5

+ Tại tiếp điểm M1(0; -2) thì y’(0) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y= − − 3x 2

+ Tại tiếp điểm M2(2; 4) thì y’(2) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y= − +3x 10

Tóm lại có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y= − − và 3x 2 y= − +3x 10

* Nhận xét:

- Trong ví dụ 1: Phần a) là dạng toán cơ bản cho trước tiếp điểm, còn phần b) và c) cho một

trong các yếu tố của tiếp điểm (hoành độ hoặc tiếp điểm) và cần tìm thêm các yếu tố còn lại

- Trong ví dụ 2, 3: Mức độ cao hơn, tiếp điểm được ẩn qua các giả thiết khác (giao điểm, hay

là nghiệm của PT) và chúng ta phải tìm các yếu tố của tiếp điểm

0 0 0

Trang 6

Khi đó tiếp tuyến tại M có hệ số góc k =0 y x'( )0 = y'(2)= − 1

Vậy tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm 2;2

Trang 7

Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại

các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3

+ Gọi M x y là tiếp điểm, giải phương trình ( ,0 0) f x'( )0 =  = , k x x0 y0 = f x( )0

+ Đến đây trở về dạng 1,ta dễ dàng lập được tiếp tuyến của đồ thị: y=k x( −x0)+ y0

Trang 8

*) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b Khi đó hệ số góc k = a

*) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): y = ax + b ka 1 k 1

y=x − x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc

của tiếp tuyến k = -3

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y= −3(x− −  = − + 1) 2 y 3x 1

Ví dụ 9: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x3−3x2+ (C) Biết tiếp tuyến đó 1

song song với đường thẳng y = 9x + 6

Trang 9

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(3;1) là: y=9(x− +  =3) 1 y 9x−26

Ví dụ 10: Cho hàm số 3

y=x − x+ (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến

đó vuông góc với đường thẳng 1

9

y= − x

Giải:

Ta có y'=3x2− Do tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng 31

y= x + x , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x+5y−2010= 0

Trang 10

+

=+ (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc bằng 450

Vì tiếp tuyến tạo với Ox một góc 450 nên hệ số góc là: k =  1

Khi đó gọi M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) ta có ( 0; 0) y x'( )0 =  1

0 2

0 0

21

1

x x x

Với x = − thì 0 2 y = − lúc đó tiếp tuyến có dạng 0 4 y= − − x 2

Vậy tiếp tuyến cần tìm là y= − và x y= − − x 2

Ví dụ 13: Cho hàm số y = 2 1

1

x x

−

− có đồ thị (C)

Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại

các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB

Giải

Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M x y( ;0 0)( )C cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho OA=4OB

4

OB A OA

= =  Hệ số góc của d bằng 1

4 hoặc

14

−

Trang 11

1.3 Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểm

Cho đồ thị (C): y = f(x) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm ( ; )

A 

1.3.1 Cách giải:

+ Tiếp tuyến có phương trình dạng: y− f x( )0 = f x'( )(0 x−x0), (với x0 là hoành độ tiếp điểm)

+ Tiếp tuyến qua ( ; )A  nên  − f x( )0 = f x'( )(0 −x0) (*)

+ Giải phương trình (*) để tìm x0 rồi suy ra phương trình tiếp tuyến

1.3.2 Các ví dụ:

Ví dụ 14: Cho đồ thị (C): 3

y=x − x+ , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp

tuyến đi qua điểm A(-2; -1)

Trang 12

giải

1.4 Dạng 4 Các dạng bài tập khác về tiếp tuyến

Ví dụ 15: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: 3

y=x − x+ sao cho tiếp

tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2

Giải:

A a a − a+ B b b − b+ a là hai điểm phân biệt trên (C) b

Ta có: y'=3x2− nên các tiếp tuyến với (C) tại A và B có hệ số góc lần lượt là: 3

Tóm lại cặp điểm A, B cần tìm có tọa độ là: ( 2; 0) à (2; 4)− v

Ví dụ 16: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: 2 1

1

x y x

−

=+ sao cho tiếp tuyến

của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 2 10

Trang 13

    là cặp điểm trên đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với điều kiện: ab a,  −1,b − 1

Trang 14

m m

−

=+ , biết rằng khoảng cách từ điểm I(-1; 2) đến tiếp tuyến là lớn nhất

Trang 15

+

=+ Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung tương ứng tại các điểm A, B thỏa mãn  OAB

vuông cân tại gốc tọa độ O

0 2

x = − không là nghiệm phương trình)

+ Tại điểm M1(0; 1) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x + 1: thỏa mãn song song với d

+ Tại điểm M2(-1; ) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x - 1: thỏa mãn song song với d

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y= − +x 1; y= − − x 1

Trang 16

giải

Ví dụ 20: Cho hàm số 3

1

x y x

+

=

− a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Cho điểm M x y thuộc đồ thị (C) Tiếp tuyến của (C) tại M o( ;o o) 0 cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B Chứng minh Mo là trung điểm của đoạn thẳng AB

+

=

− (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tam

giác có diện tích không đổi

+

 , B a −(2 1;1) 6

=

− ; IB (2a 2;0)

→

= − IB=2a− 1

Trang 17

−

=

−

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại

A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại

tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất

2

0 0

1

22

x

x x

-

0 0

−+

11

3

x x

−

=+ Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm ( 1; 2)I − tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất

Giải

Trang 18

2 0

0

0 2 0

+

=+ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp

tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(−4; −2)

Giải

Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm (x  − ) 0 1

0 2

Chú ý: Bài toán này có thể giải bằng cách sau: Tiếp tuyến cách đều A, B nên có 2 khả năng: Tiếp

tuyến song song (trùng) AB hoặc tiếp tuyến đi qua trung điểm của AB

Trang 19

M cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1

( 1)

y x

=+Tiếp tuyến tại M có dạng:

00

Trang 20

−

=+ (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3

Ba ̀i 5 Cho hàm số 4 2

6

y= − −x x + Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến

đó vuông góc với đường thẳng d: 1 1

+

=+ Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; 3)

Ba ̀i 7 Cho hàm số: y = 2

2

x x

−

=

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)

b) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại

A, B sao cho AB ngắn nhất

Ba ̀i 10 Cho hàm số: 1

1

x y x

Trang 21

y=x + −m x+ ( )C m Tìm m để tiếp tuyến của (C m) tại giao điểm của

nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8

Ba ̀i 12 Cho hàm số: 1

x y x

−

=+a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0

2 Chủ đề 2: BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO

2.1 Kiến thức cơ bản

2.1.1 Bài toán tương giao tổng quát:

Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và y = g(x,m) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình : f(x, m) = g(x,m) (1)

* Nhận xét: Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số

Sau đó lập phương trình tương giao của d và (C)

2.1.2 Bài toán cơ bản:

Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và d: y =ax+b

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình f(x,m) = ax+b (1)

Chú ý:

Trang 22

+ Nếu (1) dẫn đến một phương trình bâ ̣c hai, ta có thể sử dụng định lý Viet

* Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ

Chuyển phương trình hoành độ tương giao về: g(x) = m

Khi đó số nghiệm chính là số giao điểm của đồ thị y = g(x) và đường thẳng y = m

2.2 Các ví dụ:

Vi ́ dụ 1 Cho hàm số 3 2

y= − +x x − a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên

b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3−3x2+ = m 0

Giải

a) Học sinh tự làm

Đồ thị: CĐ(2; 3), CT(0; -1)

b) Phương trình x3- 3x2+ m = 0Û - x3 + 3x2- 1= m- 1

Trang 23

giải

• Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số 3 2

y= − +x x − với đường thẳng y = m – 1

Vậy: m−    : Phương trình có 1 nghiệm 1 3 m 4

+

=

− + có đồ thị (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1

1

x

m x

+

=

− +Lập luận để suy từ đồ thị (C) sang đồ thị 1 ( )

' 1

Trang 24

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình x4−3x2+ = có 4 nghiệm phân biệt m 0

• Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y=m+1

• Dựa vào đồ thị, phương trình có 4 nghiệm phân biệt 1 1 13 0 9

Trang 25

giải

Vi ́ dụ 4: Cho hàm số 2 1

2

x y x

−

=

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

Trang 26

Với điều kiện: (*) thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C.Với A(-1;0), do đó B,C có hoành độ

là hai nghiệm của phương trình g(x) = 0

Gọi B x y( 1; 1) (;C x y2; 2)với x x là hai nghiệm của phương trình: 1; 2 x2−4x+ − = Còn 4 k 0

k

=+Vậy theo giả thiết:

3 2

Chứng tỏ với mọi m d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B

Gọi A x( 1; 2− x1+m B x) (; 2; 2− x2+m) Với: x x là hai nghiệm của phương trình (1) 1, 2

Trang 27

- Theo giả thiết: S = 4  x2−x1 = 4; 2  = ' 4; m2− − = m 2 4 m2− − = m 6 0

Kết luận: với m thỏa mãn: m= −  =  = (chọn) 2 m 3 m 3

Ví dụ 8: Gọi ( )C m là đồ thị của hàm số 4 ( ) 2

y=x − m+ x + m+ Tìm mđể đường thẳng 1

y = cắt ( )C m tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D sao cho OA OB+ +OC+OD= +4 2 2

Giải

Trang 28

Trang 29

m m

0

m m

Trang 30

giải

Bài 1 Cho hàm số y=x3+3(m−1)x2−3mx+ và đường thẳng :2 d y=5x − Tìm m để đường 1

thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

a) có hoành độ dương

b) có hoành độ lớn hơn 2

c) có hoành độ x x x thỏa mãn 1; 2; 3 x12+x22+x32 =21

Bài 2 Cho hàm số y= x3−3mx2−3x+3m+ và đường thẳng :2 d y=5x − Tìm m để đường 1

thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

a) có hoành độ lớn hơn –1

b) có hoành độ x x x thỏa mãn 1; 2; 3 x12 +x22+x32 15

Bài 3 Cho hàm số y=x3−3mx2+(m−1)x+ + và đường thẳng :m 1 d y=2x m − − Tìm m để 1

đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1

Bài 4 Cho hàm số y=x3−3mx2+3(m2−1)x−(m2− 1)

Tìm m để đồ thị (C) cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương

Bài 5 Cho hàm số y = 2x3 – 3x2– 1, có đồ thị là (C) Gọi (d k ) là đường thẳng đi qua A(0; –1) và có

hệ số góc bằng k Tìm k để đường thẳng d k cắt (C) tại

a) 3 điểm phân biệt

b) 3 điểm phân biệt, trong đó hai điểm có hoành độ dương

Bài 6 Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4, có đồ thị (Cm)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

b) Cho d là đường thẳng có phương trình y = x + 4 và điểm K(1 ; 3) Tìm m để d cắt (Cm)

tại ba điểm phân biệt A(0 ; 4), B, Csao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2

Bài 7 Cho hàm số y=x3+2mx2+3(m−1)x+ (1), m là tham số thực 2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0

b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng :y= − + tại 3 điểm phân biệt (0;2)x 2 A ; B;

C sao cho tam giác MBC có diện tích 2 2 , với M(3;1)

Định dạng
Số trang	36
Dung lượng	1 MB