Rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh thông qua các bài toán về tiếp tuyến của đường hypebol

Giáo viên cần định hướng cho học sinh, học và nghiên cứu môn toán một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổn

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do lựa chọn đề tài

Muốn học tốt môn Toán, học sinh phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh, học và nghiên cứu môn toán một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải

Hàm số, tiếp tuyến là một trong những vấn đề chính của chương trình Giải tích lớp 12 Đây là các khái niệm cơ bản và rất quan trọng của giải tích có nhiều ứng dụng trong giải toán Trong những năm gần đây, các bài toán về tiếp tuyến của đường hypebol vẫn thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, Trung học phổ thông quốc gia và thi chọn học sinh giỏi Trên thực tế, đứng trước một bài toán về tiếp tuyến của đường hypebol, nhiều học sinh còn bối rối trong việc lựa chọn phương pháp phù hợp và chưa nhìn thấy được mối liên hệ hữu cơ giữa các lớp bài toán, chưa sáng tạo trong phát hiện và giải quyết

vấn đề Do đó, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này nhằm: Rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh thông qua các bài toán về tiếp tuyến của đường Hypebol.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu sáng kiến này nhằm giúp học sinh thấy được mối liên hệ hữu

cơ giữa các bài toán về tiếp tuyến của đường hypebol, từ đó có cái nhìn tổng quát, tự tin, sáng tạo hơn trong giải các bài toán liên quan

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Trong phạm vi sáng kiến này, tôi tiến hành nghiên cứu, tổng kết một số dạng toán về tiếp tuyến của đường hypebol

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình giảng dạy nhiều năm và quá trình theo dõi các đề thi tốt nghiệp phổ thông và tuyển sinh vào đại học, cao đẳng, trung học phổ thông quốc gia, học sinh gặp nhiều bài toán về tiếp tuyến của đường hypebol mà các bài toán này là các trường hợp đặc biệt hóa của bài toán tổng quát nào đó Muốn giải các bài này học sinh cần biết phương pháp giải các bài tổng quát Vì lý do

đã nêu để giúp học sinh nhanh chóng nắm bắt được một số dạng toán liên quan đến tiếp tuyến của đường hypebol và nắm chắc phương pháp giải các dạng toán này Tôi đưa ra tiến trình thực hiện:

1 Chọn các bài toán về tiếp tuyến của hypebol trong các đề thi và các tài liệu tham khảo Sau đó phân loại các bài toán ấy và tìm các phương pháp để giải các bài toán Tiếp theo tôi nghiên cứu các hướng đặc biệt hóa bài toán tổng quát

để được các bài toán cụ thể có đặc trưng riêng biệt

2 Khi luyện tập cho học sinh kỹ năng giải các bài toán tiếp tuyến của đường hypebol Tôi lại đi theo quá trình ngược lại là cung cấp cho học sinh các bài toán tổng quát, các phương pháp giải các hướng đặc biệt hóa bài toán từ đó cung cấp cho học sinh một lớp bài toán hay một dạng toán tiếp tuyến có nguồn gốc từ một bài toán Tất nhiên có phương pháp giải chung Với cách dạng này học sinh dễ tiếp thu nắm chắc phương pháp giải nhiều bài toán cùng dạng Mặt khác, thời gian đầu tư cho một dạng toán là ít nhất và hiệu quả tương đối cao Tạo nên cho học sinh hứng thú và tự tin trong quá trình học tập, chủ động tiếp nhận và tìm tòi các kiến thức mới

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận

2.2.1 Vị trí của môn Toán trong nhà trường

Môn toán cũng như những môn học khác cung cấp những tri thức khoa học, những nhận thức về thế giới xung quanh nhằm phát triển năng lực nhận thức, hoạt động tư duy và bồi dưỡng tình cảm đạo đức tốt đẹp của con người

Môn toán ở trường THPT là một môn độc lập, chiếm phần lớn thời gian trong chương trình học của học sinh

Môn toán có tầm quan trọng to lớn Nó là bộ môn khoa học nghiên cứu có

hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên của con người

Môn toán có khả năng giáo dục rất lớn trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận lôgíc, thao tác tư duy cần thiết để con người phát triển toàn diện, hình thành nhân cách tốt đẹp cho con người lao động trong thời đại mới

2.2.2 Đặc điểm tâm sinh lý của học sinh THPT

- Ở lứa tuổi THPT cơ thể của các em đang trong thời kỳ phát triển hay nói

cụ thể là các hệ cơ quan gần như hoàn thiện, vì thế sức dẻo dai của cơ thể rất cao nên các em rất hiếu động, thích hoạt động để chứng tỏ mình

- Học sinh THPT nghe giảng rất dễ hiểu nhưng cũng sẽ quên ngay khi chúng không tập trung cao độ Vì vậy người giáo viên phải tạo ra hứng thú trong học tập và phải thường xuyên được luyện tập

- Học sinh THPT rất dễ xúc động và thích tiếp xúc với một sự vật, hiện tượng xung quanh nhất là những việc mà các em có thể trực tiếp thực hiện

- Hiếu động, ham hiểu biết cái mới, thích tự mình tìm tòi, sáng tạo nên trong dạy học giáo viên phải chắc lọc từng đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu cho học sinh

2.3.3 Nhu cầu về đổi mới phương pháp dạy học :

Học sinh THPT có trí thông minh khá nhạy bén sắc sảo, có óc tưởng tượng phong phú Đó là tiền đề tốt cho việc phát triển tư duy toán học nhưng rất

dễ bị phân tán, rối trí nếu bị áp đặt, căng thẳng, quá tài Chính vì thế nội dung chương trình, phương pháp giảng dạy, hình thức chuyển tải, nghệ thuật truyền đạt của người giáo viên phải phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi là điều không thể xem nhẹ Đặc biệt đối với học sinh lớp 12, lớp mà các em vừa mới vượt qua những mới mẻ ban đầu để trở thành người lớn, chuyển từ hoạt động vui chơi là chủ đạo sang hoạt động học tập là chủ đạo Lên đến lớp 10, 11 thì yêu cầu đó đặt

ra là thường xuyên đối với các em ở tất cả các môn học Như vậy nói về cách học, về yêu cầu học thì học sinh THPT gặp phải một sự thay đổi đột ngột mà đến cuối năm lớp 10 và sang lớp 11, 12 các em mới quen dần với cách học đó Do vậy giờ học sẽ trở nên nặng nề, không duy trì được khả năng chú ý của các em nếu người giáo viên chỉ cho các em nghe và làm theo những gì đã có trong sách giáo khoa

Muốn giờ học có hiệu quả thì đòi hỏi người giáo viên phải đổi mới

phương pháp dạy học tức là kiểu dạy học “Lấy học sinh làm trung tâm” hướng

tập trung vào học sinh, trên cơ sở hoạt động của các em Kiểu dạy này người giáo viên phải thật sự là một người “đạo diễn” đầy nghệ thuật, đó là người định hướng, tổ chức ra những tình huống học tập nó kích thích óc tò mò và tư duy độc lập, phải biết thiết kế bài giảng sao cho hợp lý, gọn nhẹ Muốn các em học được thì trước hết giáo viên phải nắm chắc nội dung của mỗi bài và lựa chọn, vận dụng các phương pháp sao cho phù hợp

Hiển nhiên, một người giáo viên muốn dạy giỏi phải trãi qua quá trình tự rèn luyện, phấn đấu không ngừng mới có được Tuy nhiên, việc đúc kết kinh nghiệm của bản thân mỗi người qua từng tiết dạy, những ngày tháng miệt mài cũng không kém quan trọng, nó vừa giúp cho mình càng có kinh nghiệm vững vàng hơn, vừa giúp cho những thế hệ giáo viên sau này có cơ sở để học tập, học tập nâng cao tay nghề, góp phần vào sự nghiệp giáo dục của nước nhà

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy nhiều học sinh khi gặp các bài toán

về tiếp tuyến của đường hypebol trong chương trình giải tích lớp 12, các em học sinh lúng túng, không phân loại được các dạng toán, chưa định hướng được cách giải, nhưng chương trình giải tích 12 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, bên cạnh đó thời lượng dành cho tiết luyện tập là rất ít Qua việc khảo sát định kỳ nhận thấy nhiều học sinh trình bày lời giải chưa lôgic hoặc không làm được bài tập liên quan đến các tiếp tuyến củ đường hypebol

2.3 Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề

Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực

hiện một số giải pháp như sau:

2.3.1 Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt

- Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó

- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí

- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống

và khác nhau giữa chúng

- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải

2.3.2 Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp

- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh,

- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề

- Phương pháp: phương pháp giải toán

2.3.3 Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )

- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế

- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh

- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán Chẳng hạn

sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu để học sinh thấy được hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng (ví dụ như ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình thang cong)

2.3.4 Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá

- Kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan với 6 mức độ nhận thức: nhận biết - thông hiểu - vận dụng - phân tích - tổng hợp - đánh giá

- Giáo viên đánh giá học sinh

- Học sinh đánh giá học sinh

2.3.5 Phân dạng bài tập và phương pháp giải

(d1)

x (d2) I

A B O

M0 (e)

B (T)

(d2)

(d1)

- Hệ thống kiến thức cơ bản

- Phân dạng bài tập và phương pháp giải

- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao

- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả

mới, bài toán mới Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo

2.3.6 Minh họa

I Một số kí hiệu:

+ Gọi (H) là đồ thị của 2 hàm số

+ (d1) là tiệm cận đứng; (d2) là tiệm cận ngang (xiên) của (H)

+ Gọi M x y 0 ( , ) (H) 0 0

+ Gọi (T) là tiếp tuyến của (H) tại M0

+ Gọi:

x d d

+ Gọi: P là chu vi AIB

S là diện tích của AIB

II Hướng dẫn học sinh chứng minh một số tính chất đặc trưng của (H)

1 Bài toán 1: Cho (H): y ax b k

cx d

 và điểm M0  ( )H tiếp tuyến của (H) tại điểm M, cắt 2 đường tiệm cận đứng và xiên của (H) tại A và B Chứng minh M

là trung điểm của A, B

Ta hướng dẫn học sinh:

+ Lập phương trình tiếp tuyến của (H) tại 0 0

0

M x ax b

cx d

 

 + Tìm giao của tiếp tuyến (T) với tiệm cận đứng (d1): y d

c

 và tiệm cận xiên (d2): y ax b 

+ Do A, M, B thẳng hàng mà x Ax B  2x0

=> M là trung điểm của AB => M M0 là giao điểm của phân giác của góc tạo bởi 2 đường tiệm cận với (H)

Đặc biệt nếu M0 là giao của phân giác của góc tạo bởi (d1) và (d2) thì AIB

cân (IA = IB)

2 Bài toán 2:

Tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên (H) đến hai đường tiệm cận

là số không đổi

+ Xét (H): y ax b k

cx d

 có 2 đường tiệm cận là (d1): y d

c

 và (d2):

y ax b 

+ Gọi M x ax( , 0 0 b k )

cx d

 

 khi đó khoảng cách 0

d M

c



0

k

d

cx d a



  => 1 2

k

d d

c a



 không đổi

3 Bài toán 3:

Nếu tiếp tuyến với (H) tại điểm M bất kỳ cắt 2 tiệm cận tại A và B thì

AIB

 có diện tích không đổi (không phụ thuộc vào vị trí điểm M)

Hướng dẫn học sinh tìm tòi và trình bày lời giải

+ Do M ( )H nên 0 0

0

M x ax b

cx d

 

 + PT tiếp tuyến của (H) tại M:

2

+ Giao của tiếp tuyến với tiệm cận đứng là:

2 0



+ Giao điểm của 2 tiệm cận là: I( d;b ad)

ck c cb ad d

c

Đối với Hypebol y ax b

cx d





 (với c 0) có 2 tiệm cận vuông góc việc chứng minh 3 tính chất đặc trưng nêu trên dễ dàng hơn

Từ 3 bài toán cơ bản nêu trên ta hướng dẫn học sinh rút ra các tính chất khác của Hypebol

* Từ bài toán cơ bản thứ 2 ta đặt vấn đề để học trò giải quyết:

Bài toán 4:

Tìm điểm M trên (H) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận nhỏ nhất

Gọi hình chiếu của M lên 2 đường tiệm cận lần lượt là M1 và M2 theo bài toán 2 ta có:

MM1; MM2 là số không đổi do đó để tổng MM1 + MM2 nhỏ nhất 

MM1=MM2  M M0 (là giao điểm của đường phân giác của góc tạo bởi 2 tiệm cận với Hypebol)

* Từ bài toán cơ bản thứ 3 ta hướng dẫn học sinh đến bài toán sau:

Bài toán 5: Tìm điểm M trên (H) sao cho tiếp tuyến của (H) tại M cắt 2

đường tiệm cận tại 2 điểm AB sao cho độ dài của đoạn thẳng AB nhỏ nhất

* Hướng dẫn học sinh xét IAB để được :

 

AB IA IB  IA IB cos AIB  cos AIB IA IB

Theo kết quả của bài toán 3 ta có 1 . 

2

AIB

S  IA IB sinAIB không đổi mà góc

AIB khổng đổi nên tích IA.IB không đổi.

Vậy AB nhỏ nhất khi dấu đẳng thức xảy ra IA IB  M M0

Cũng tương tự với cách suy luận trên ta lại đưa ra bài toán:

Bài toán 6: Xác định điểm M trên (H) để tiếp tuyến của (H) tại M tại với 2

đường tiệm cận IAB có chu vi nhỏ nhất

+ Hướng dẫn học sinh tính chu vi của tam giác:



P IA IB AB    IA IB  cos AIB IA IB

Dấu bằng xảy ra IA IB  M M0

+ Vậy P nhỏ nhất M M0

Ta lại áp dụng kết quả 2 bài toán vừa nêu để giải các bài toán sau:

Bài toán 7: Xác định điểm M trên (H) sao cho khoảng cách từ giao điểm I

của 2 đường tiệm cận đến tiếp tuyến của (H) tại M là lớn nhất

+ Gọi h là khoảng cách từ I đến tiếp tuyến (T)

+ Diện tích của IABlà 1 .

2

S  AB h

Do S không đổi, vậy h lớn nhất  AB nhỏ nhất M M0

Bài toán 8: Xác định điểm M trên (H) sao cho tiếp tuyến của (H) tại M cắt

2 tiệm cận tại A, B sao cho đường tròn nội tiếp IABcó diện tích lớn nhất

* Hướng dẫn học sinh giải bài toán:

+ Gọi bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là r khi đó diện tích hình tròn

2

.

htr

S   r Do đó S htr lớn nhất khi r lớn nhất

+ Mặt khác 1 .

2

AIB

S  p r không đổi Vậy r lớn nhất

 p nhỏ nhất M M0

Trên đây tôi đã đưa ra 3 bài toán cơ bản về tính chất đặc trưng của (H), học sinh chứng minh 3 tính chất đó của (H) Từ 3 bài toán đó ta lại hướng dẫn

O

F E M

I

x ()

học sinh suy luận, tìm tòi để phát hiện và chứng minh thêm nhiều bài toán khác

về tiếp tuyến của (H) Các bài toán đó trong các kỳ thi nhiều đề đã đề cập đến

Để cung cấp và rèn luyện thêm cho học sinh tính tư duy, sáng tạo, tôi chọn

ra một hệ thống bài tập để học sinh tự tìm tòi lời giải, tự bổ sung vào vốn kiến thức về Hypebol của bản thân

* Xét bài toán tổng quát của bài toán cơ bản số 1:

Bài tập 1: Nếu một cát tuyến

 bất kỳ cắt Hypebol tại 2 điểm C,

D và cắt 2 tiệm cận tại 2 điểm A, B

thì AC=BD (hay AB và CD có cùng

trung điểm)

* Nếu đặc biệt hóa: Khi

(H) tại M thì M là trung điểm của

AB Đây là bài số 1

Bài tập 2: Cho Hypebol (H),

M là điểm bất kỳ trên (H) Từ M kẻ

2 đường thẳng song song với 2 tiệm

cận lần lượt cắt 2 tiệm cận tại E và

F

1 Chứng minh hình bình hành MEIF có diện tích không đổi (không phụ thuộc vào vị trí của M)

2 Xác định vị trí của M trên (H) sao cho hình bình hành MEIF có chu vi nhỏ nhất

Bài tập 3: Cho Hypebol (H), M là điểm bất kỳ trên (H), gọi M 1 , M 2 là hình chiếu của M lên 2 đường tiệm cận Xác định M để M1M2 nhỏ nhất

(Xét MM M1 2 có:

M M MM MM  MM MM cosM   cosM MM MM không đổi

Vậy M 1 M 2 nhỏ nhất  MM1 MM2 M M0)

Bài tập 4: Cho Hypebôn (H), M là điểm trên (H), gọi M 1 , M 2 là hình chiếu của M lên 2 đường tiệm cận Hãy xác định M sao cho MM M1 2 có chu vi nhỏ nhất

(+ Gợi ý để học sinh tìm tòi lời giải

p MM MM M M  MM MM   cosM MM MM

không đổi

=> p nhỏ nhất  MM1 MM2  M M0 )

Bài tập 5: Cho Hypebôn (H), M là điểm trên (H), tiếp tuyến của (H) tại M

cắt 2 đường tiệm cận tại A và B Xác định điểm M trên (H) sao cho IABcó diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác nhỏ nhất

(+S htr   r2  S n2  R nhỏ nhất

+ Xét IABcó: AB 2R

sinAIB  mà AIB không đổi

Vậy R nhỏ nhất  AB nhỏ nhất M M0)

Bài tập 6: Cho Hypebol (H), M là điểm trên (H), gọi M 1 , M 2 là hình chiếu của M lên các đường tiệm cận của (H) Xác định M để hình tròn ngoại tiếp

MM M

 có diện tích nhỏ nhất

Bài tập 7: Cho Hypebol (H), M là điểm trên (H), gọi M 1 , M 2 là hình chiếu của M trên 2 đường tiệm cận Xác định M để tổng các khoảng cách

MM 1 +MM 2 +IM nhỏ nhất.

Ta cho học sinh làm một số bài tập cụ thể sau:

Bài 1: Cho hàm số 2 2

1

x x y

x

 



 Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại đó vuông góc với IM (I là giao điểm của 2 đường tiệm cận)

Bài 2: Cho hàm số 2 3 4

x x y

x



 có đồ thị (H) và điểm M thuộc đồ thị Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận tiếp tuyến của đồ thị tại M cắt 2 đường tiệm cận tại A và B