Xây dựng và sử dụng kiểu bài toán của Pisa vào dạy học môn toán ở trường THPT theo định hướng tăng cường các bài toán thực tiễn

PHAN THỊ THÙY TRANG XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG KIỂU BÀI TOÁN CỦA PISA VÀO DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO ĐỊNH HƯỚNG TĂNG CƯỜNG CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN LUẬN VĂN THẠC SỸ G

PHAN THỊ THÙY TRANG

XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG KIỂU BÀI TOÁN CỦA PISA VÀO DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO ĐỊNH HƯỚNG TĂNG CƯỜNG

CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN

LUẬN VĂN THẠC SỸ GIÁO DỤC HỌC

NGHỆ AN - 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN THỊ THÙY TRANG

XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG KIỂU BÀI TOÁN CỦA PISA VÀO DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO ĐỊNH HƯỚNG TĂNG CƯỜNG

CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN

LUẬN VĂN THẠC SỸ GIÁO DỤC HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Xuân Chung

NGHỆ AN - 2013

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60 14 10

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành bản luận văn thạc sỹ này, với tình cảm chân thành chophép tôi được tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến:

- BGH nhà trường, Phòng Sau đại học, khoa Toán trường Đại học Vinh

đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được học tập, nghiên cứu hoàn thành cácchuyên đề của bậc đào tạo Sau đại học

- Nhà giáo: TS Phạm Xuân Chung - Người hướng dẫn khoa học đãtận tình giúp đỡ, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu vàhoàn thành luận văn

- Các thầy giáo, cô giáo, các nhà khoa học đã giảng dạy và giúp đỡ tôitrong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Có được thành quả này, tôi vô cùng biết ơn đến gia đình, bạn bè, ngườithân, đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập vànghiên cứu

Bản thân còn nhiều hạn chế, do vậy, luận văn không tránh khỏi nhữngkhiếm khuyết, tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo,các nhà khoa học, bạn bè và đồng nghiệp

Vinh, tháng 9 năm 2013

Tác giả

Phan Thị Thùy Trang

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 3

3 KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 4

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC. 4

5 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU. 4

6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. 4

7 ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI VÀ NHỮNG LUẬN ĐIỂM BẢO VỆ 5

8 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN : 6

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 7

1.1 LỊCH SỬ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU. 7

1.2 VẤN ĐỀ VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN TRONG TÌNH HÌNH MỚI 9

1.2.1 Về mục tiêu giáo dục THPT và mục tiêu bộ môn Toán trong tình hình mới 9

1.2.2 Vận dụng toán học vào thực tiễn đáp ứng các yêu cầu của mục tiêu môn Toán 10

1.2.3 Vận dụng toán học vào thực tiễn góp phần phát triển các năng lực trí tuệ 11

1.2.4 Vận dụng toán học vào thực tiễn góp phần rèn luyện các phẩm chất, tính cách, thái độ làm việc khoa học. 12

1.3 CHƯƠNG TRÌNH ĐÁNH GIÁ HỌC SINH QUỐC TẾ 12

1.3.1 PISA là gì?. 12

1.3.2 Mục đích của PISA. 13

1.3.3 Nội dung đánh giá của PISA. 13

1.3.4 Các phương pháp đánh giá của PISA. 14

1.3.5 Sản phẩm của chương trình đánh giá PISA. 14

1.3.6 Vài nét sơ bộ về kết quả của dự án PISA qua các kì và tác động của nó đến giáo dục các nước 14

1.4 MỘT VÀI NÉT CHÍNH VỀ LĨNH VỰC TOÁN HỌC CỦA PISA 19

1.4.1 Định nghĩa và các cấp độ của năng lực toán học phổ thông 19

1.4.2 Khung đánh giá của PISA đối với lĩnh vực toán học phổ thông 20

1.4.3 Câu hỏi sử dụng trong lĩnh vực Toán học của PISA. 28

1.5 VỀ VAI TRÒ, CHỨC NĂNG CỦA CÂU HỎI, HỆ THỐNG CÂU HỎI VÀ BÀI TOÁN TRONG DẠY HỌC TOÁN 38

1.5.1 Khái niệm câu hỏi, hệ thống câu hỏi, bài toán và bài toán thực tiễn. 38

1.5.2 Chức năng và ý nghĩa của câu hỏi, bài toán trong dạy học toán. 41

1.5.3 Cơ sở xây dựng và sử dụng câu hỏi và bài toán trong dạy học toán THPT 42

1.5.4 Những nguyên tắc cơ bản khi xây dựng và sử dụng câu hỏi, bài toán trong dạy học toán 44 1.6 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 46

CHƯƠNG 2: THỰC TRẠNG SỬ DỤNG KIỂU BÀI TOÁN CỦA PISA VÀO DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG THPT 47

2.1 KHÁI QUÁT VỀ QUÁ TRÌNH KHẢO SÁT THỰC TRẠNG. 47

2.1.1 Mục đích, nội dung, phương pháp khảo sát. 47

2.1.2 Địa bàn - đối tượng - thời gian khảo sát 48

2.2 THỰC TRẠNG SỬ DỤNG KIỂU BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN, KIỂU BÀI TOÁN CỦA PISA TRONG HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC HIỆN NAY. 48

2.2.1 Các vấn đề về thể chế giáo dục phổ thông. 48

2.2.2 Các vấn đề về phương pháp dạy học. 48

2.2.3 Các vấn đề về phong cách học tập của học sinh. 49

2.2.4 Chương trình sách giáo khoa môn toán THPT với các bài toán thực tiễn .49

2.2.5 Thực trạng nhận thức của CBQL và GV về việc sử dụng các bài toán thực tiễn, kiểu bài toán PISA trong hoạt động dạy học 53

2.3 NGUYÊN NHÂN CỦA THỰC TRẠNG. 58

2.3.1 Nguyên nhân khách quan. 58

2.3.2 Nguyên nhân chủ quan 60

2.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 61

CHƯƠNG 3: XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG KIỂU BÀI TOÁN PISA TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG THPT THEO ĐỊNH HƯỚNG TĂNG

CƯỜNG CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN 62

3.1 ĐỊNH HƯỚNG XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG 62

3.1.1 Định hướng 1: Đảm bảo sự tôn trọng và kế thừa chương trình, sách giáo khoa và kế hoạch dạy học 62

3.1.2 Định hướng 2: Tăng cường đưa những tình huống trong cuộc sống vào dạy học môn toán ở bậc phổ thông, rèn luyện cho học sinh khả năng và ý thức ứng dụng toán học vào thực tiễn 65

3.1.3 Định hướng 3: Tăng cường các hoạt động thực hành nhằm rèn luyện các kĩ năng thực hành toán học gần gũi thực tiễn. 66

3.2 XÂY DỰNG KIỂU BÀI TOÁN PISA. 67

3.2.1 Hai con đường xây dựng kiểu bài toán PISA 67

3.2.2 Một số gợi ý xây dựng kiểu bài toán PISA 77

3.3 MỘT SỐ GỢI Ý SỬ DỤNG KIỂU BÀI TOÁN PISA TRONG QUÁ TRÌNH DẠY HỌC. 101

3.3.1 Sử dụng trong bài lên lớp. 101

3.3.2 Sử dụng khi tự học ở nhà. 119

3.3.3 Sử dụng trong các hoạt động ngoại khóa Toán học 121

3.3.4 Sử dụng trong kiểm tra 128

3.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 132

CHƯƠNG 4: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 133

4.1 MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ THỰC NGHIỆM 133

4.1.1 Mục đích thực nghiệm 133

4.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 133

4.2 KẾ HOẠCH VÀ NỘI DUNG THỰC NGHIỆM 133

4.2.1 Kế hoạch và đối tượng thực nghiệm 133

4.2.2 Nội dung thực nghiệm 134

4.3 PHƯƠNG PHÁP THỰC NGHIỆM 137

4.4 KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM 137

4.4.1 Phân tích kết quả thực nghiệm 137

4.4.2 Kết luận 138

4.5 KẾT LUẬN CHƯƠNG 4 139

KẾT LUẬN CHUNG 140

TÀI LIỆU THAM KHẢO 143

PHỤ LỤC 147

CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt Viết đầy đủ

BTTT Bài toán thực tiễn

trình đánh giá học sinh quốc tếPPDH Phương pháp dạy học

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.1 Toán học có thể ứng dụng vào rất nhiều ngành khoa học, nhiều lĩnh

vực khác nhau của đời sống thực tiễn Thực tiễn là nguồn gốc, động lực, vừa

là nơi kiểm nghiệm tính chân lý của mọi khoa học nói chung và toán học nóiriêng Toán học phát triển được là nhờ có mối liên hệ mật thiết với thực tiễn,thông qua đó để bộc lộ sức mạnh lý thuyết vốn có của nó Mối quan hệ giữatoán học và thực tiễn có tính chất phổ dụng, toàn bộ và nhiều tầng Vận dụngToán học vào thực tiễn luôn là một yêu cầu quan trọng trong dạy họcToán ở trường phổ thông góp phần thực hiện: nhiệm vụ môn toán trong

đó có nhiệm vụ “Truyền thụ tri thức kĩ năng toán học và kĩ năng vậndụng Toán học vào thực tiễn”, nguyên tắc dạy học Toán “kết hợp lí luậnvới thực tiễn”, nguyên lý giáo dục, làm rõ thêm mối quan hệ biện chứnggiữa toán học vào thực tiễn, phát triển văn hóa Toán học cho học sinh

Đảng và Nhà nước ta đã rất quan tâm, chú trọng tới vấn đề này Nghị quyếtcủa Quốc hội năm 2000 về đổi mới chương trình giáo dục phổ thông trongphần mục tiêu của đổi mới có nêu yêu cầu: “ …tăng cường tính thực tiễn, kĩnăng thực hành, năng lực tự học…” Mặc dù, việc vận dụng Toán học vàothực tiễn luôn được xác định là có vai trò quan trọng nhưng vì nhiều lí dokhác nhau, trong một thời gian dài trước đây và cho tới nay vấn đề rèn luyệncho học sinh vận dụng Toán học vào thực tiễn chưa được thể hiện đúng mức,chưa đáp ứng được những yêu cầu của mục tiêu giáo dục toán học

1.2 Học sinh Trung học phổ thông là những người đang trưởng thành,

chuẩn bị tham gia trực tiếp vào lao động sản xuất, phát triển xã hội, tương laicác em phải đối mặt với cuộc sống hiện đại đa chiều, đầy biến động Do đó,việc trang bị cho học sinh những năng lực thích ứng với thực tiễn khi cònngồi trên ghế nhà trường là hết sức cần thiết Để bồi dưỡng và nâng cao nănglực đó đặc biệt là năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn thì một trong

những biện pháp quan trọng là cần tăng cường các bài toán thực tiễn trongdạy học toán và biết cách xây dựng, sử dụng những bài toán ấy như thế nàocho hiệu quả

1.3 Hội đồng quốc tế về giáo dục cho thế kỷ XXI của UNESCO cũng

đã xác định việc học là suốt đời và hai trong bốn “trụ cột” của việc học là:

Học để biết; Học để làm Học để làm được coi là “Không chỉ liên quan đến

việc nắm những kỹ năng mà còn đến việc ứng dụng kiến thức” Hầu hết cácnước trên thế giới, trong giảng dạy Toán đều chủ trương giản lược lý thuyếthàn lâm, tăng cường thực hành và không ngừng vận dụng toán học Nhiềunước đã dùng bài toán có nội dung thực tiễn vào trong các kì thi ở bậc phổthông, điển hình là Pháp, Nga, Đức,… Đặc biệt, trong những năm đầu của thế

kỷ XXI, các nước trong tổ chức OECD (Organization for EconomicCooperation and Development) đã đưa ra chương trình đánh giá quốc tế PISA(Programme for International Student Accessment) cho học sinh phổ thông ởlứa tuổi 15 PISA không kiểm tra nội dung cụ thể chương trình học trong nhàtrường phổ thông, mà tập trung đánh giá năng lực vận dụng tri thức vào việcgiải quyết các tình huống đặt ra trong thực tiễn Một trong các lĩnh vực đượcOECD/PISA lựa chọn để đánh giá là hiểu biết toán “Hiểu biết toán” được xácđịnh như là năng lực của học sinh để xác định vai trò của toán học trong cuộcsống, để đưa ra những phán xét có cơ sở, để sử dụng và gắn kết với toán họctheo các cách đáp ứng nhu cầu của cuộc sống Hệ thống câu hỏi và bài toán

mà chương trình sử dụng có nhiều tác dụng tích cực cho phép đánh giá toàndiện, chính xác và khách quan về năng lực “hiểu biết Toán của học sinh”, chỉ

ra được điểm mạnh, điểm yếu của hệ thống giáo dục của các quốc gia thamgia khảo sát để không ngừng cải thiện chất lượng giáo dục Điều này đượcnhiều quốc gia trên thế giới thừa nhận và ủng hộ Công cụ đánh giá của PISAđược xem là có giá trị quốc tế Việt Nam đang trên con đường hội nhập vớicác quốc gia khác trên thế giới, giáo dục nước nhà cũng nằm trong xu hướngtham dự PISA vào năm 2012 Chúng ta đã có những sự chuẩn bị, những tập

dượt cần thiết cho sự kiện này Một trong những con đường chuẩn bị đó làhọc sinh cần được làm quen với kiểu bài toán của PISA nhiều hơn Mặc dùchương trình đánh giá của PISA chỉ áp dụng cho học sinh ở lứa tuổi 15 nhưng

có thể vận dụng tinh thần của nó cho mọi cấp học vì việc bồi dưỡng năng lựcvận dụng toán học vào thực tiễn là việc làm phải được tiến hành thườngxuyên, liên tục

1.4 Chương trình sách giáo khoa bộ môn Toán ở trường Trung học phổ

thông hiện hành, kế thừa và phát huy truyền thống dạy học Toán ở Việt Nam,tiếp cận trình độ giáo dục toán học phổ thông của các nước phát triển trongkhu vực và trên thế giới Nội dung được biên soạn theo tinh thần lựa chọnnhững kiến thức toán học cơ bản, thiết thực, có hệ thống, trình bày tinh giản;thể hiện tính liên môn và tích hợp các nội dung dạy học; thể hiện vai trò công

cụ của môn Toán đồng thời tăng cường thực hành và vận dụng, thực hiện dạyhọc toán gắn liền với thực tiễn

1.5 Đã có một số công trình nghiên cứu về mạch ứng dụng toán học

trong dạy học toán ở trường phổ thông Điển hình là công trình “Tăng cường

khai thác nội dung thực tế trong dạy số học và đại số nhằm nâng cao năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh Trung học cơ sở” của tác

giả Bùi Huy Ngọc hay “Góp phần phát triển năng lực toán học hóa tình

huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ thông qua dạy học Đại số và Giải tích” của tác giả Phan Anh…Tuy nhiên, đi sâu về vấn đề khai thác và

vận dụng kiểu bài toán của PISA vào dạy học môn toán thì vẫn là một vấn đề

khá mới mẻ Chính vì vậy, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Xây dựng và

sử dụng kiểu bài toán của PISA vào dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông theo định hướng tăng cường các bài toán thực tiễn”

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục đích nghiên cứu của đề tài là khai thác để xây dựng kiểu bài toáncủa PISA phù hợp với chương trình và phương pháp sử dụng chúng trong quá

trình dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông theo định hướng tăngcường các bài toán thực tiễn.

3 KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 3.1 Khách thể nghiên cứu

Quá trình dạy học môn toán ở trường THPT

3.2 Đối tượng nghiên cứu

Cách xây dựng và phương pháp sử dụng kiểu bài toán của PISA vàodạy học môn toán ở trường trung học phổ thông theo định hướng tăng cườngcác bài toán thực tiễn

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Trong quá trình dạy học, nếu xây dựng được và sử dụng hợp lý kiểu bàitoán của PISA vào dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông theo địnhhướng tăng cường các bài toán thực tiễn thì có thể nâng cao được chất lượngdạy học góp phần thực hiện mục tiêu giáo dục Toán học ở trường phổ thông

5 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Làm rõ vai trò của việc vận dụng Toán học vào thực tiễn trong dạyhọc Toán đáp ứng yêu cầu của giáo dục trước tình hình mới

- Tìm hiểu về chương trình PISA, lĩnh vực hiểu biết toán và các bàitoán của PISA

- Cách thức xây dựng và phương pháp sử dụng kiểu bài toán của PISAvào dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông theo định hướng tăngcường các bài toán thực tiễn

- Thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của một

số phương pháp đã đề xuất

6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu lí luận

Tìm hiểu nghiên cứu các tài liệu về các vấn đề liên quan đến đề tài luậnvăn: Tài liệu về tâm lí học, giáo dục học môn Toán, lí luận dạy học mônToán, tài liệu về chương trình PISA, một số bộ câu hỏi và bài tập, nghiên cứuchương trình SGK toán THPT.

- Điều tra thực tếĐiều tra một số khía cạnh về tình hình vận dụng Toán học vào thực tiễntrong thực tế dạy học nước ta hiện nay

Về mặt thực tiễn

Cung cấp tài liệu tham khảo về chương trình PISA và bài toán PISAcho giáo viên, sinh viên, học sinh

Những luận điểm được đưa ra bảo vệ

- Sự cần thiết phải tăng cường rèn luyện vận dụng Toán học vào thựctiễn cho học sinh trong tình hình hiện nay

- Vai trò, chức năng và những đặc trưng cơ bản của bài toán thực tiễn,bài toán của PISA

- Con đường xây dựng và sử dụng kiểu bài toán PISA trong dạy họcmôn toán ở trường trung học phổ thông theo định hướng tăng cường các bàitoán thực tiễn

- Tính khả thi và hiệu quả bước đầu của những biện pháp trên

8 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Ngoài phần phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn còn có những nộidung chính sau:

Phần mở đầu

Chương 1: Cơ sở lí luận

Chương 2: Thực trạng sử dụng kiểu bài toán PISA vào dạy học môn

toán ở trường trung học phổ thông

Chương 3: Xây dựng và sử dụng kiểu bài toán PISA vào dạy học môn

toán ở trường trung học phổ thông theo định hướng tăng cường các bài toánthực tiễn

Chương 4: Thực nghiệm sư phạm

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Phụ lục

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu

1.1.1 Ứng dụng của toán học trong thực tiễn

Có nhiều tài liệu viết về các ứng dụng thực tiễn của toán học từ đối

tượng đọc là các em thiếu nhi và các độc giả yêu toán như: Con số trong đời

sống quanh ta của Trương Quang Đệ (2004), Niềm vui toán học: Khám phá toán học quanh ta của Theoni Pappas (2010), các tạp chí về toán học… đến

tích hợp trong các tài liệu phục vụ cho công tác chuyên môn như: Giáo trình

Phương pháp dạy học các nội dung môn Toán của Phạm Gia Đức (Chủ biên),

Bùi Huy Ngọc, Phạm Đức Quang (2008), Cẩm nang dạy và học môn Toán

THCS của Vũ Hữu Bình (2007)…

1.1.2 Những nghiên cứu về chương trình PISA

Chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA với những ưu điểm nổibật đã thu hút được sự quan tâm, nghiên cứu của nhiều người Các nhà nghiêncứu giáo dục nước ta đã nhanh chóng tiếp cận PISA để đưa ra các chiến lượcdạy học phù hợp với học sinh Việt Nam, đó cũng đang là xu hướng mới trongnhiều nghiên cứu về khoa học giáo dục và dạy học hiện nay Hiện đã có một

số bài báo khoa học về PISA đăng trên một số tạp chí chuyên ngành hoặc Kỷyếu Hội thảo Quốc gia cụ thể là:

- Giới thiệu về PISA: “Chương trình đánh giá HS quốc tế (PISA) (Mục

đích, tiến trình thực hiện, các kết quả chính” của Nguyễn Thị Phương Hoa

trên Tạp chí Khoa học Đại học Quốc gia Hà Nội số 25/2000; “Góp phần tìm

hiểu về chương trình đánh giá HS quốc tế (PISA)” của Nguyễn Ngọc Sơn trên

Tập san Giáo dục - Đào tạo số 3/2010; “Chương trình đánh giá HS quốc tế

PISA” của Đỗ Tiến Đạt trên Kỷ yếu Hội thảo Quốc gia về giáo dục Toán học

phổ thông năm 2011…

- Khai thác tiêu chuẩn của PISA nhằm rèn luyện khả năng toán học hóa

(“Rèn luyện HS trung học phổ thông khả năng toán học hóa theo tiêu chuẩn

của PISA” của Nguyễn Sơn Hà trên Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Hà

Nội số 4/2010) hay để nâng cao hiểu biết toán học cho HS (“Sử dụng toán

học hóa để nâng cao hiểu biết định lượng cho HS trung học phổ thông” của

Trần Vui trên Tạp chí Khoa học Giáo dục số 43/2009)…

- Hiện chưa có công trình nghiên cứu nào về xây dựng và sử dụng kiểubài toán của PISA vào dạy học môn Toán ở bậc Trung học theo hướng tăngcường các bài toán thực tiễn

1.1.3 Khai thác ứng dụng thực tiễn trong dạy học môn Toán bậc Trung học

Qua tìm hiểu, chúng tôi nhận thấy có một số đề tài, bài báo nghiên cứu

về chủ đề này Từ đó, chúng tôi nhận thấy có một số cách khai thác ứng dụngthực tiễn của môn Toán vào dạy học như sau:

- Nghiên cứu khai thác ứng dụng nội dung cụ thể trong chương trìnhdạy học môn Toán ở bậc Trung học để giải các bài toán liên môn và thực tiễnnhằm rèn luyện ý thức và nâng cao khả năng ứng dụng toán học vào thực tiễn

cho HS (Luận án “Khai thác ứng dụng của phép tính vi phân (Phần Đạo

hàm) để giải các bài toán cực trị có nội dung liên môn và thực tế trong dạy

học Toán lớp 12 Trung học phổ thông” của Nguyễn Ngọc Anh năm 2000)

- Nghiên cứu định hướng và các biện pháp khai thác bài toán thực tiễnvào dạy học môn Toán nhằm nâng cao năng lực vận dụng toán học vào thực

tiễn (Luận án “Tăng cường khai thác nội dung thực tế trong dạy học số học

và đại số nhằm nâng cao năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho HS THCS” của Bùi Huy Ngọc năm 2003, “Một số định hướng về việc dạy học vận dụng toán học vào đời sống thực tiễn trong nhà trường phổ thông hiện nay” và “Hướng dẫn HS biến đổi mô hình một số bài toán có nội dung thực tiễn điển hình theo dụng ý sư phạm trong dạy học Toán” của Phan Anh trên

Kỷ yếu Hội thảo Quốc gia về giáo dục Toán học phổ thông năm 2011)

Trong đó những định hướng chính được đưa ra là :

- Việc xây dựng và đưa vào giảng dạy hệ thống bài toán có nội dung thực tiễnphải góp phần giúp HS nắm vững kiến thức cơ bản của chương trình, rèn luyện ýthức và khả năng ứng dụng toán học đặc biệt là khả năng toán học hóa, thói quen và

ý thức tối ưu trong suy nghĩ cũng như trong việc làm Tăng cường đưa những tìnhhuống trong cuộc sống thực tiễn vào chương trình giảng dạy ở nhà trường phổ thông,chú ý giáo dục kỹ thuật tổng hợp đồng thời quán triệt tinh thần tích hợp liên môntrong dạy học

- Các biện pháp rèn luyện cho HS khả năng vận dụng toán học vào thựctiễn phải được tiến hành trong các khâu khác nhau của quá trình dạy học và

đa dạng về hình thức tổ chức dạy học, kết hợp thực hiện trong các hoạt độngthực hành, rèn luyện kĩ năng

Những biện pháp chính được được đề cập là: khai thác các ví dụ và tìnhhuống thực tiễn trong xây dựng và củng cố kiến thức, tăng cường rèn luyệncác kỹ năng thực hành toán học gần gũi với đời sống thực tế, thực hiện cáchoạt động ngoại khóa toán học có nội dung liên quan đến vận dụng toán họcvào thực tiễn …Theo chúng tôi đây là những định hướng mà chúng ta có thể

sử dụng để tiếp tục nghiên cứu để xây dựng và sử dụng kiểu bài toán củaPISA vào dạy học môn Toán ở bậc phổ thông

Như vậy, những đề tài nghiên cứu về bài toán của PISA chưa nhiều đặcbiệt chưa có công trình nào về con đường xây dựng và sử dụng kiểu bài toánnày trong dạy học toán ở trường THPT

1.2 Vấn đề vận dụng toán học vào thực tiễn trong tình hình mới

1.2.1 Về mục tiêu giáo dục THPT và mục tiêu bộ môn toán trong tình hình mới

Như chúng ta đã xác định, thế giới đang bước vào kỷ nguyên mới với

hai đặc điểm kinh tế tri thức và toàn cầu hóa Với nước ta, hiện đang tồn tại

cả ba nền kinh tế: kinh tế lao động, kinh tế tài nguyên, kinh tế tri thức Tuynhiên, chúng ta cũng đang từng bước tiến tới một xã hội lao động hiện đại mà

kinh tế tri thức sẽ chiếm ưu thế Trong một xã hội như vậy, để luôn có đượcviệc làm, người lao động không những phải làm việc với năng suất cao hơn

mà có khi phải nhiều lần chuyển đổi nghề nghiệp, các công việc cụ thể trongmột nghề cũng có thể thay đổi nhanh chóng Người lao động buộc phải chủđộng, dám nghĩ dám làm, linh hoạt trong lao động, hòa nhập với cộng đồng

xã hội, đặc biệt là luôn phải học tập, học để có thể hành và qua hành để lại dần phát hiện được những điều cần thiết phải học tiếp

Bộ môn toán cũng như các bộ môn khác ở THPT, phải góp phần thựchiện mục tiêu giáo dục THPT Ngoài ra, tình hình mới của nền kinh tế, xã hộicũng đặt riêng cho giáo dục toán học những yêu cầu mới Về vấn đề này, giáo

sư Hoàng Tụy có ý kiến cho rằng: “Xã hội công nghệ ngày nay đòi hỏi mộtlực lượng lao động có trình độ suy luận, biết so sánh phân tích, ước lượng tínhtoán, hiểu và vận dụng được những mối quan hệ định lượng hoặc lôgic, xâydựng và kiểm nghiệm các giả thuyết và mô hình có tính lôgic” [39, tr 5-6].Những yêu cầu đối với giáo dục toán học đó cũng được phản ánh trong mụctiêu giáo dục bộ môn toán của chương trình mới: đối với yêu cầu về pháttriển, ngoài những yêu cầu về phát triển năng lực trí tuệ (như rèn luyện cáchoạt động trí tuệ cơ bản, phát triển trí tưởng tượng không gian, rèn luyện tưduy lôgic và ngôn ngữ chính xác, rèn luyện phẩm chất của tư duy như linhhoạt, độc lập, sáng tạo), còn yêu cầu “bước đầu có năng lực thích ứng, nănglực thực hành, hình thành năng lực giao tiếp toán học” [3, tr 6]

1.2.2 Vận dụng toán học vào thực tiễn đáp ứng các yêu cầu của mục tiêu bộ môn toán

+ Vận dụng toán học vào thực tiễn đồng thời góp phần thực hiện tốt hơnnhiệm vụ kiến tạo tri thức

Trong dạy học toán, để học sinh tiếp thu tốt, phải tiến hành các hoạtđộng gợi động cơ (gợi động cơ mở đầu, gợi động cơ trung gian, gợi động cơkết thúc) Với gợi động cơ mở đầu và cả gợi động cơ kết thúc, nhiều trườnghợp có thể gợi động cơ xuất phát từ thực tế [19, tr 82] Đối với hoạt động

củng cố kiến thức cũng có hình thức củng cố bằng ứng dụng, trong đó gồm cảứng dụng kiến thức vào tình huống thực tế [19, tr 108] Những hoạt động gợiđộng cơ và củng cố đó vừa có tác dụng rèn luyện năng lực vận dụng toán họcvào thực tiễn, vừa giúp học sinh thực hiện tốt hơn nhiệm vụ kiến tạo tri thức.+ Vận dụng toán học vào thực tiễn góp phần củng cố các kĩ năng toán học.Nhiều kĩ năng toán học như kĩ năng tính nhanh, tính nhẩm, kĩ năng đọc

và dựng biểu đồ v.v có thể được củng cố tốt hơn qua hoạt động rèn luyệnvận dụng vào thực tiễn Chính qua các hoạt động như vậy, học sinh sẽ thấycác kĩ năng đó thiết thực hơn, hấp dẫn hơn và các em sẽ tích cực hơn trongrèn luyện các kĩ năng này

1.2.3 Vận dụng toán học vào thực tiễn góp phần phát triển các năng lực trí tuệ

Các hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quáthóa, trừu tượng hóa, cụ thể hóa…được phát triển trong hoạt động rèn luyệnvận dụng toán học vào thực tiễn Chẳng hạn, trong hoạt động giải toán bằngcách lập phương trình, nhiều thao tác như phân tích, tổng hợp, so sánh…sẽđược rèn luyện trong bước lập phương trình

Các phẩm chất trí tuệ như tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo cũngđược hình thành và phát triển qua các hoạt động vận dụng toán học vào thựctiễn như các hoạt động cần lựa chọn cách tính nhanh, tính nhẩm, lựa chọn cácdạng biểu đồ để biểu diễn số liệu thực tế hay trong hoạt động giải các bài toánthực tiễn

Khả năng tư duy lôgic và sử dụng ngôn ngữ chính xác cũng được pháttriển trong các hoạt động như giải toán bằng cách lập phương trình, giải toáncực trị, giải toán rời rạc, trong vận dụng toán học vào các bộ môn khác

Một số phương thức tư duy khác như tư duy biện chứng, tư duy thuậtgiải, tư duy thống kê…cũng được phát triển qua việc rèn luyện vận dụng toánhọc vào thực tiễn như giải toán cực trị, giải toán rời rạc, thu thập và xử lí sốliệu…

Việc giải bài toán có nội dung thực tiễn, trong đó có các bài toán thựctiễn dạng mở, việc tìm tòi vận dụng các kĩ năng toán học vào các tình huốngthực tiễn khác nhau cũng sẽ góp phần phát triển năng lực tự học, tự tìm hiểu,năng lực thích ứng với những thay đổi trong thực tiễn cho học sinh.

1.2.4 Vận dụng toán học vào thực tiễn góp phần rèn luyện các phẩm chất tính cách, thái độ làm việc khoa học

Vận dụng toán học vào thực tiễn góp phần rèn luyện các phẩm chất tínhcách, thái độ làm việc khoa học như: tính cẩn thận, chính xác (như qua hoạtđộng tính toán thực hành); thái độ phê phán, thói quen làm việc có kiểm tra(như qua bước nhận định kết quả trong giải toán bằng cách lập phương trình);thói quen làm việc theo qui trình (như qua giải một số dạng toán rời rạc); ýthức tối ưu hóa trong lao động (như trong giải toán cực trị) v.v

Tóm lại, tình hình kinh tế xã hội trong nước và thế giới đang có nhữngchuyển biến lớn Giáo dục cũng phải có những bước thay đổi tương ứng đápứng tình hình Những thay đổi như vậy đã được phản ánh trong chương trìnhgiáo dục đổi mới Tăng cường vận dụng toán học vào thực tiễn sẽ góp phầnđáp ứng yêu cầu của mục tiêu bộ môn toán cũng như yêu cầu của chươngtrình giáo dục mới Điều đó khẳng định tăng cường vận dụng toán học vàothực tiễn góp phần thực hiện mục tiêu giáo dục toàn diện và cũng khẳng địnhtrong tình hình giáo dục mới vận dụng toán học vào thực tiễn càng có vai tròquan trọng hơn trước

1.3 Chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA

Phần này được trình bày chủ yếu dựa vào các tài liệu [4], [13], [41]

1.3.1 PISA là gì?

PISA là viết tắt của "The Programme for International StudentAssessment", là chương trình đánh giá học sinh quốc do Tổ chức hợp tác vàphát triển kinh tế OECD khởi xướng và chỉ đạo PISA khảo sát với chu kì banăm một lần để theo dõi tiến bộ của mỗi quốc gia Cho tới nay, PISA là cuộc

khảo sát giáo dục duy nhất nhằm đánh giá kiến thức và kĩ năng của học sinh ở

độ tuổi 15, độ tuổi kết thúc giáo dục bắt buộc ở hầu hết các quốc gia OECD.Chương trình PISA có định hướng trọng tâm về chính sách quốc gia, đượcthiết kế sử dụng các phương pháp cần thiết để giúp chính phủ các nước thamgia PISA rút ra bài học về chính sách đối với giáo dục phổ thông

PISA chính thức được triển khai vào năm 1997 và 05 đợt khảo sát liêntiếp đã được thực hiện vào các năm 2000, 2003, 20006, 2009, 2012 Kế hoạchsắp tới là vào năm 2015 và những năm tiếp theo

Chương trình PISA nổi bật so với những chương trình đánh giá quốc tếkhác nhờ qui mô toàn cầu và tính chu kì Năm 2009 có 67 quốc gia được niêmyết kết quả và có hơn 70 quốc gia tham gia khảo sát vào năm 2012

1.3.2 Mục đích của PISA

Mục tiêu của chương trình PISA nhằm kiểm tra xem khi đến độ tuổi kếtthúc phần giáo dục bắt buộc, học sinh đã được chuẩn bị để đáp ứng các tháchthức của cuộc sống sau này ở mức độ nào

Nội dung đánh giá của PISA hoàn toàn được xác định dựa trên các kiếnthức, kĩ năng cần thiết cho cuộc sống tương lai, không dựa vào nội dung giáodục của các quốc gia Đây chính là điều mà PISA gọi là “năng lực phổthông”

PISA thu thập và cung cấp thông tin cho các quốc gia các dữ liệu có thể

so sánh được ở tầm quốc tế cũng như xu hướng của dữ liệu quốc gia về trình

độ đọc, toán học và khoa học của học sinh độ tuổi 15

1.3.3 Nội dung đánh giá của PISA

Việc đánh giá được thực hiện ở 04 lĩnh vực kiến thức chính là Đọc hiểu,Toán học, Khoa học và Giải quyết vấn đề

Mỗi kì đánh giá sẽ có một lĩnh vực kiến thức được lựa chọn để đánh giásâu hơn Lần đầu tiên năm 2000, điều tra đặt trọng tâm vào môn đọc hiểu; lầnthứ hai năm 2003 đặt trọng tâm vào hiểu biết toán; lần thứ ba năm 2006 đặt

trọng tâm là vào hiểu biết khoa học; lần thứ tư năm 2009 đặt trọng tâm là vàođọc hiểu và lần gần đây nhất là năm 2012 đặt trọng tâm là vào toán học.

1.3.4 Các phương pháp đánh giá của PISA

Các bài kiểm tra bằng giấy bút được sử dụng, với những đánh giá kéodài tổng cộng hai giờ cho mỗi học sinh Các câu hỏi của bài kiểm tra là một

sự hỗn hợp các câu hỏi nhiều lựa chọn và các câu hỏi đòi hỏi học sinh xâydựng các câu trả lời của mình Các câu hỏi được tổ chức theo các nhóm dựatrên một sự chuyển tải từ một tình huống thực tiễn Tổng cộng khoảng chừngbảy giờ của các câu hỏi kiểm tra được tổ chức, với những học sinh khác nhaunhận các tổ hợp các câu hỏi kiểm tra khác nhau Các học sinh trả lời một bảnhỏi về bản thân trong 30 phút, cung cấp thông tin về bản thân và gia đình các

em Các hiệu trưởng trả lời một bản hỏi 20 phút về nhà trường của mình

1.3.5 Sản phẩm của chương trình đánh giá của PISA

Đánh giá PISA đưa ra ba loại kết quả chính:

- Các chỉ số cơ bản cung cấp một hiện trạng cơ bản về kiến thức và kỹnăng của học sinh;

- Các chỉ số tình huống chỉ các kỹ năng như vậy liên quan đến các biến

số nhân khẩu học, xã hội, kinh tế và giáo dục;

- Các chỉ số về các xu hướng nổi trội lên từ bản chất không ngừng củaviệc thu thập dữ liệu và điều đó chỉ ra các thay đổi trong các mức độ đầu ra vàcác phân bố, và trong mối quan hệ giữa các biến số và kết quả cơ bản về mức

độ học sinh và mức độ nhà trường

Mặc dù các chỉ số là phương tiện thỏa đáng để thu hút chú ý đến các vấn

đề quan trọng, nhưng chúng thường không có khả năng cung cấp các câu trảlời cho các câu hỏi chiến lược Vì thế, PISA cũng đã phát triển một kế hoạchphân tích định hướng chiến lược sẽ đi xa hơn việc báo cáo các chỉ số

1.3.6 Vài nét sơ bộ về kết quả của dự án PISA qua các kì và tác động của nó đến giáo dục các nước

1.3.6.1 Vài nét sơ bộ về kết quả của dự án PISA qua các kì

Bảng 1.1, 1.2, 1.3 là bảng kết quả của các nước đứng đầu về ba môn:Khoa học, Đọc hiểu, Toán qua các kì đánh giá của PISA từ 2000 - 2006

Bảng 1.1: Các nước đứng đầu về Khoa học từ 2000-2006

1 Hàn Quốc 552 Phần Lan, Nhật Bản 548 Phần Lan 563

2 Nhật Bản 550 Hồng Kông* 539 Hồng Kông* 542

4 Anh 532 Úc, Liechtenstein, Ma Cao

1 Phần Lan 546 Phần Lan 543 Hàn Quốc 556

4 Úc 528 Úc, Liechtenstein 528 Canađa 527

5 Ai len 527 Niu Di Lân 522 Niu Di Lân 521

Bảng 1.3: Các nước đứng đầu về Toán từ 2000-2006

1 Nhật 557 Hồng Kông* 550 Đài Loan 549

2 Hàn Quốc 547 Phần Lan 544 Phần Lan 548

3 Niu Di Lân 537 Hàn Quốc 542 Hồng Kông, Hàn Quốc

547

4 Phần Lan 536 Hà Lan 538 Hà Lan 531

5 Úc, Canađa 533 Liechtenstein 536 Thụy Sĩ 530

*Những quốc gia tham gia lần đầu 1.3.6.2 Phân tích kết quả của một số nước tham gia

* Phần Lan

- Khảo sát qua 3 kì PISA cho thấy HS Phần Lan đứng đầu tuyệt đối về

kĩ năng đọc hiểu và trong tốp đứng đầu về Toán và Khoa học tự nhiên Ngoàithành tích xếp hạng, kết quả khảo sát còn cho thấy tính ưu việt của giáo dụcPhần Lan, thể hiện ở chỗ:

- Trình độ HS không chỉ đạt ở mức cao nhất mà còn đồng đều nhất(mức độ chênh lệch giữa thành tích cao nhất và thấp nhất của HS là thấp nhất).

- Chênh lệch giữa các vùng miền và giữa các trường là không đáng kể

- Các nhóm ngôn ngữ và các điều kiện xã hội, kinh tế gia đình ảnhhưởng không lớn đến thành tích HS như một số nước khác

- Số giờ HS Phần Lan phải học trong tuần ít hơn so với nước OECDkhác và chi phí giáo dục lại chỉ ở mức trung bình so với các nước này Trungbình, HS Phần Lan ở độ tuổi 15 học 30 giờ một tuần (kể cả giờ học trên lớp

và ngoại khóa), trong khi mức trung bình của các nước OECD là 35 giờ và ởHàn Quốc là 50 giờ

* Hồng Kông Bảng 1.4: Kết quả của Hồng Kông qua các kì PISA

328, 329, 325 Điều này cho thấy giáo dục Hồng Kông đồng đều với tất cảcác đối tượng

- HS 15 tuổi Hồng Kông có kết quả tốt hơn nhiều so với các nước khác

có cùng điều kiện kinh tế, chính trị Chênh lệch điểm giữa HS có các điềukiện khác nhau cũng không lớn Nghề nghiệp và trình độ học vấn của cha mẹ

ít có ảnh hưởng đến kết quả học tập của học tập

- Ở kì PISA 2006, Hồng Kông đạt kết quả rất cao khi lọt vào tốp 3trong cả 3 kĩ năng kiểm tra là Khoa học tự nhiên, Toán và Đọc hiểu

* Mỹ

Nước Mỹ là một ví dụ điển hình cho thấy mức độ đầu tư nhiều cho giáodục không phải bao giờ cũng mang lại hiệu quả tương xứng Mỹ là nước đầu

tư cho giáo dục có thể nói là cao nhất thế giới (chỉ thua Thụy Sĩ) nhưng kếtquả đánh giá lại chỉ ở mức thấp (chỉ hơn Na Uy, Bồ Đào Nha, Hi Lạp, ThổNhĩ Kì và Mê xi cô) Theo số liệu điều tra, Mỹ không chỉ là một trong nhữngnước dẫn đầu về thu nhập bình quân đầu người (khoảng 36 000 USD - theo sốliệu điều tra năm 2003) mà còn là quốc gia dẫn đầu về chi phí cho giáo dụctính theo đầu HS (gần 8000 USD), tuy nhiên kết quả của HS Mỹ trong PISAkhông cao Cụ thể là:

- Kết quả PISA năm 2003, Mỹ xếp thứ 26 về môn Toán (có sự tiến bộrất ít so với năm 2000) và thứ 20 ở môn Khoa học trên tổng số 32 nước thamgia

- Kết quả năm 2006 cho thấy HS Mỹ đạt điểm tương đối thấp ở mônToán và Khoa học (xếp thứ 25 ở môn Toán và thứ 21 trong 30 nước thànhviên OECD)

* Đức

Kết quả khảo sát PISA năm 2000 đã chỉ rõ những hạn chế của giáo dụcĐức Ở môn Toán, kết quả của HS Đức dưới mức trung bình của các nướcOECD Kết quả này phần nào lộ ra những yếu kém của HS Đức Đức xếphạng ở mức trung bình kém, chỉ có 1,3% số HS Đức có khả năng tính toánđộc lập Một phần tư số HS 15 tuổi chỉ làm được những bài tập toán ở mức độ

sơ đẳng Những HS này được coi là ở mức báo động về trình độ toán

- Ở PISA 2003, Đức có tiến bộ hơn năm 2000 nhưng không cải thiện đáng kể

- Đến PISA 2006, nước Đức đạt được những thành công lớn đó là đã lọtvào top 10 các nước đứng đầu về khoa học Tuy môn Đọc hiểu và Toánkhông thành công như môn Khoa học nhưng xét một cách tổng quan HS Đức

đã vượt lên đứng thứ 14 trong tổng số 30 nước OECD Điều này chứng tỏĐức đã có những tác động đúng hướng nhằm cải thiện đáng kể và nhanhchóng nền giáo dục của nước mình

1.3.6.3 Tác động của PISA đến giáo dục các nước

Đối với hầu hết các nước trên thế giới, kết quả điều tra PISA lần đầu tiênsau khi được công bố là một sự “cảnh tỉnh thô bạo” về thực trạng nền giáodục của các nước OECD và các nước tham gia PISA Trước PISA, chưa từng

có cuộc điều tra nào so sánh trình độ HS giữa các nước Thực tế là các nước,đặc biệt là các cường quốc lớn như Đức, Anh, Pháp, Mỹ đều “tự hào” và chorằng nền giáo dục của mình là ưu việt nhất, là cái nôi sản sinh ra những thiêntài, triết gia và các nhà bác học Đặc biệt, nền giáo dục Đức - từng được xem

là niềm tự hào của châu Âu, nơi sản sinh ra một số vĩ nhân của nhiều thời đại,nhưng kết quả yếu kém sau hai lần điều tra (đứng dưới mức trung bình củaOECD) đã khiến toàn xã hội đứng trước tình trạng “tự vấn” Nhận thức đượcthực trạng hệ thống giáo dục đã “lỗi thời”, nước Đức đã “mổ xẻ” những yếuđiểm trong hệ thống giáo dục của mình và đưa ra những sửa đổi căn bản hệthống giáo dục quốc gia theo mô hình của Phần Lan Nước Đức là một trườnghợp điển hình cho sự tác động tích cực của chương trình PISA đối với sự cải

tổ, nâng cao chất lượng giáo dục

Bên cạnh đó, Phần Lan trở thành tâm điểm chú ý của cả thế giới.Chuyên gia giáo dục Phần Lan được mời đi hầu hết các nước OECD và ngoàiOECD để thuyết trình về mô hình giáo dục của mình Hàng trăm đoàn quanchức và chuyên gia giáo dục từ các nước OECD, đặc biệt là Đức và Anh, đổ

về Henlsinki để khám phá triết lý của một nền giáo dục vốn xa lạ với thế giới

1.4 Một vài nét chính về lĩnh vực Toán học của PISA

Phần này được trình bày chủ yếu dựa vào [41]

1.4.1 Định nghĩa và các cấp độ của năng lực Toán học phổ thông

Trong khuôn khổ của PISA, OECD (1999) định nghĩa: “Năng lực Toán

học phổ thông (Mathematical literacy) là năng lực của một cá nhân có thể nhận biết vai trò, ý nghĩa của kiến thức Toán học trong cuộc sống; là khả

năng lập luận và giải toán; biết học toán, vận dụng toán theo cách nhằm đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt” [41, tr 9]

Người ta xem xét 3 cấp độ của năng lực Toán học:

Cấp độ 1: Ghi nhớ, tái hiệnCấp độ 2: Kết nối và tích hợpCấp độ 3: Khái quát hóa, Toán học hóa

Ba cấp độ này được mô tả cụ thể trong bảng 1.5 dưới đây

Bảng 1.5: Mô tả ba cấp độ năng lực theo chuẩn của PISA

- Thực hiện một cách làm quen thuộc

- Áp dụng một thuật toán tiêu chuẩn

- Tạo một kết nối trong các cách biểu đạt khác nhau

- Đọc và giải thích được các ký hiệu và ngôn ngữ hình thức (Toán học) và hiểu mối quan hệ của chúng với ngôn ngữ tự nhiên

- Sử dụng kiến thức Toán học để giải quyết vấn đề

- Biết phân tích, lập luận, chứng minh toán học, khái quát hóa

1.4.2 Khung đánh giá của PISA đối với lĩnh vực toán học

Khác với đánh giá truyền thống, việc đánh giá trong PISA không chỉquan tâm đến nội dung kiến thức HS đã tiếp thu được mà còn chú ý đánh giánhững năng lực, những kỹ năng tiến trình đã hình thành cho HS

1.4.2.1 Toán học hóa ( Dựa theo [41, tr 21]

OECD/PISA kiểm tra các năng lực của học sinh để phân tích, suy luận

và giao tiếp các ý tưởng toán học một cách hiệu quả khi các em đặt, thiết lập,

giải và lý giải các vấn đề toán trong nhiều bối cảnh Giải quyết vấn đề nhưvậy đòi hỏi học sinh sử dụng các kỹ năng và năng lực các em đã đạt được quacác kinh nghiệm học đường và cuộc sống Trong OECD/PISA, một quá trình

cơ bản mà các học sinh dùng để giải quyết các vấn đề thực tế được đề cập là

“toán học hóa”

Thảo luận trước đây về cơ sở lý thuyết của khuôn khổ toán họcOECD/PISA được thể hiện bằng sự mô tả 5 bước của toán học hóa Nhữngbước này được chỉ ra ở Hình 1.1

Hình 1.1: Quy trình toán học hóa

(1) Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế;

(2) Tổ chức nó theo các khái niệm toán học và xác định toán học phù hợp;(3) Không ngừng cắt tỉa thực tế thông qua các quá trình như đặt giả thuyết,tổng quát và hình thức hóa, chúng khuyến khích những khía cạnh toánhọc của vấn đề và chuyển thể vấn đề thực tế thành một bài toán mà đạidiện trung thực cho bối cảnh thực tế;

(4) Giải quyết bài toán;

(5) Làm cho lời giải toán có ý nghĩa theo nghĩa của bối cảnh thực tế, baogồm việc xác định những hạn chế của lời giải.

Như sơ đồ ở Hình 1.1 đề xuất, 5 khía cạnh sẽ được thảo luận theo 3 giaiđoạn Toán học hóa trước hết liên quan đến việc chuyển thể vấn đề từ thực tếsang toán học Quá trình này bao gồm các hoạt động như:

- Xác định toán học phù hợp tương với một vấn đề được đặt ra trongthực tế;

- Biểu diễn vấn đề theo một cách khác; bao gồm việc tổ chức nó theo cáckhái niệm toán học và đặt những giả thiết phù hợp;

- Hiểu các mối quan hệ giữa ngôn ngữ của vấn đề và ngôn ngữ ký hiệu vàhình thức cần thiết để hiểu vấn đề một cách toán học;

- Tìm những quy luật, mối quan hệ và những bất biến;

- Nhận ra các khía cạnh tương đồng với các vấn đề đã biết;

- Chuyển thể vấn đề thành toán học chẳng hạn như thành một mô hìnhtoán

Một khi học sinh đã chuyển thể được vấn đề thành một dạng toán, toàn

bộ quá trình có thể tiếp tục trong toán học Học sinh sẽ đặt những câu hỏinhư: “Liệu có… không?”, “Nếu như vậy, thì có bao nhiêu?”, “Làm thế nào tôi

có thể tìm…?”, bằng cách dùng các kỹ năng và khái niệm toán học đã biết.Các em sẽ nỗ lực làm việc trên mô hình của mình về bối cảnh vấn đề, để điềuchỉnh nó, để thiết lập các quy tắc, để xác định các nối kết và để sáng tạo nênmột lập luận toán học đúng đắn Phần này của quá trình toán học hóa đượcgọi chung là phần suy diễn của quy trình mô hình hóa Tuy nhiên, những quátrình khác với suy diễn có thể tham gia vào giai đoạn này Phần này của quátrình toán học hóa bao gồm:

- Dùng và di chuyển giữa các biểu diễn khác nhau;

- Dùng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán;

- Hoàn thiện và điều chỉnh các mô hình toán; kết hợp và tích hợp các môhình;

- Lập luận;

- Tổng quát hóa

Bước (hay những bước) cuối cùng trong việc giải quyết một vấn đề liênquan đến việc phản ánh về toàn bộ quá trình toán học hóa và các kết quả Ở đây,học sinh phải giải thích các kết quả với một thái độ nghiêm túc và công nhậntoàn bộ quá trình Phản ánh như vậy xảy ra ở tất cả các giai đoạn của quá trình,nhưng nó đặc biệt quan trọng ở giai đoạn kết luận Những khía cạnh của quátrình phản ánh và công nhận này là:

- Hiểu lĩnh vực và các hạn chế của các khái niệm toán học;

- Phản ánh về các lập luận toán học, giải thích và kiểm tra các kết quả;

- Giao tiếp quá trình đó và lời giải;

- Phê phán mô hình và các hạn chế của nó

Giai đoạn này được chỉ ra ở hai chỗ trong Hình 1.1 bằng số (5), ở đó quátrình toán học hóa chuyển từ lời giải toán học thành lời giải thực tế, và ở đó lờigiải được liên hệ ngược trở lại với vấn đề thực tế gốc

Ví dụ 1.1: Đèn đường [41, tr 11]

Hội đồng thành phố quyết định dựng một cây đèn đường trong một côngviên nhỏ hình tam giác sao cho nó chiếu sáng toàn bộ công viên Người ta nênđặt nó ở đâu?

Vấn đề mang tính xã hội này có thể được giải quyết bằng phương ánchung được sử dụng bởi các nhà toán học sau đây, mà cơ sở toán học sẽ xem

như là toán học hóa.

Toán học hóa có thể được đặc trưng qua năm khía cạnh sau đây:

- Bắt đầu bằng một vấn đề có tình huống thực tế:

Đặt cây đèn đường ở chỗ nào trong công viên

- Tổ chức vấn đề theo các khái niệm toán học:

Công viên có thể được thể hiện như là một tam giác, và việc chiếu sáng

từ một cây đèn như là một hình tròn mà cây đèn là tâm của nó

- Không ngừng cắt tỉa để thoát dần ra khỏi thực tế thông qua các quátrình như đặt giả thiết về các yếu tố quan trọng của vấn đề, tổng quát hóa vàhình thức hóa (nó coi trọng các yếu tố toán học của tình huống và chuyển thểvấn đề thực tế sang bài toán đại diện trung thực cho tình huống):

Vấn đề được chuyển thành việc xác định tâm của đường tròn ngoại tiếptam giác

- Giải quyết bài toán:

Dùng kiến thức tâm của một đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểmcác đường trung trực của các cạnh tam giác, dựng hai đường trung trực củahai cạnh tam giác Giao điểm của hai đường trung trực là tâm của đường tròn

- Làm cho lời giải của bài toán là có ý nghĩa đối với tình huống thực tế:Liên hệ kết quả này với công viên thực tế Phản ánh về lời giải và nhận

ra, ví dụ, nếu một trong ba góc của công viên là tù, thì lời giải này sẽ khônghợp lý vì cây đèn sẽ nằm ra ngoài công viên Nhận ra rằng vị trí, và kíchthước của các cây trong công viên là những yếu tố khác ảnh hưởng đến tínhhữu ích của lời giải toán học

1.4.2.2 Các năng lực

PISA đánh giá 8 năng lực đặc trưng của toán học đó là:

- Tư duy và suy luận (Thinking and reasoning): liên quan đến năng lực

đặt ra những câu hỏi đặc trưng của toán học (“Có không?”, “Bao nhiêu?”,

“Làm thế nào…?”) và trả lời cho các loại câu hỏi đó, sự hiểu biết và xử lý vấn

đề trong phạm vi và giới hạn của toán học

- Lập luận (Argumentation): liên quan đến năng lực hiểu biết về các

cách chứng minh và lập luận toán học, khả năng đánh giá một chuỗi các lậpluận toán học khác nhau (có hay không thể xảy ra, lý do tại sao…), năng lựcsuy luận

- Giao tiếp (Communication): khả năng hiểu và diễn đạt vấn đề với nội

dung toán học bằng nhiều cách khác nhau (bằng lời cũng như bằng văn bản)

- Mô hình hóa (Modelling): liên quan đến khả năng toán học hóa những

vấn đề thực tế (xây dựng, giải thích, làm việc, phản ánh, phân tích mô hìnhtoán học và kết quả của nó …)

- Đặt vấn đề và giải (Problem posing and solving): liên quan đến khả

năng xác định các vấn đề và giải quyết chúng theo nhiều cách khác nhau

- Biểu diễn (Representation): liên quan đến khả năng mã hóa và giải

mã, dịch và phiên dịch, biểu diễn mối tương quan giữa các đối tượng trongcác tình huống khác nhau của toán học, lựa chọn và chuyển đổi hình thức biểudiễn dựa theo tình hình và mục đích

- Sử dụng kí hiệu, thuật ngữ chuyên môn và các phép toán hình thức

(Using symbolic, formal and technical language and operations)

- Sử dụng phương tiện và công cụ tính toán (Using of aids and

tools)

1.4.2.3 Các cụm năng lực

PISA chọn các hoạt động nhận thức để mô tả các năng lực này theo ba

cụm năng lực: cụm tái tạo, cụm các liên kết và cụm phản ánh Trong những

phần sau đây ba cụm này sẽ được trình bày và các cách mà các năng lực riêng

lẻ thể hiện sẽ được trình bày

+ Cụm tái tạo

Những năng lực trong cụm này liên quan chủ yếu đến sự tái tạo của kiếnthức đã được thực hành Chúng bao gồm những điều thường hay được dùngnhiều nhất trong các đánh giá chuẩn hóa và kiểm tra ở lớp

- Sự thể hiện các quy trình quen thuộc

- Áp dụng các thuật toán tiêu chuẩn và kỹ năng có tính kỹ thuật

- Thao tác với các biểu thức chứa ký hiệu và công thức theo dạng chuẩn

- Tiến hành các tính toán Các câu hỏi đánh giá các năng lực thuộc cụm tái tạo có thể được mô tảvới những chỉ số mô tả chính sau đây: tái tạo lại tài liệu và thể hiện các phéptoán quen thuộc

+ Cụm các liên kết

Các năng lực cụm các liên kết xây dựng trên các năng lực cụm tái tạobằng cách đưa giải quyết vấn đề vào các bối cảnh không hoàn toàn quenthuộc nhưng vẫn có liên quan đến cấu trúc gần như quen thuộc

Những câu hỏi kết hợp với cụm này thường đòi hỏi một vài chứng cứ

về sự tích hợp và liên kết tài liệu từ nhiều ý tưởng bao quát, hay từ mạch kiếnthức, chương trình khác nhau hay sự liên kết giữa các biểu diễn khác nhau củamột vấn đề Các câu hỏi đánh giá các năng lực trong cụm liên kết có thể được

mô tả bởi các chỉ số sau: tích hợp, liên kết và mở rộng khiêm tốn các tài liệu

đã thực hành

+ Cụm phản ánh

Những năng lực trong cụm này liên quan chủ yếu đến khả năng giảiquyết các vấn đề của học sinh trong những tình huống có cài đặt nhiều yếu tốkhông quen thuộc hơn so với trong cụm kết nối

Các câu hỏi đánh giá các năng lực cụm phản ánh có thể được mô tả bởicác chỉ số mô tả sau: suy luận, lập luận ở mức độ cao, trừu tượng hóa, kháiquát hóa và mô hình hóa áp dụng cho các bối cảnh mới

+ Những khác biệt giữa các cụm năng lực

HIỂU BIẾT TOÁN

Cụm tái tạo Cụm liên kết Cụm phản ánh

 Những biểu diễn và

định nghĩa tiêuchuẩn

Mô hình hóa  Đặt và giải quyết các

vấn đề phức tạp

 Các tính toán quen

thuộc

Dịch chuyển và giảithích, giải quyết vấn đềtiêu chuẩn

 Phản ánh và sâu sắc

 Các quy trình quen

thuộc

Các phương pháp đượcxác định tốt bội

 Tiếp cận toán họcnguyên bản

 Giải quyết vấn đề

quen thuộc

 Các phương phápphức tạp bội

 Tổng quát hóa

Hình 1.2: Biểu diễn các cụm năng lực

Hình 1.2 đưa ra một biểu diễn các cụm năng lực và các tóm tắt vềnhững khác biệt giữa chúng

Người ta có thể dùng các mô tả năng lực trong các trang ở trên để phânloại các câu hỏi toán và do đó để sắp xếp chúng vào một trong các cụm nănglực Một cách để làm điều đó là phân tích các yêu cầu của câu hỏi, rồi đánhgiá từng năng lực trong tám năng lực cho câu hỏi này, trong ba cụm này thìcụm nào cung cấp mô tả phù hợp nhất về các yêu cầu của câu hỏi trong mốiliên quan với năng lực đó Nếu một năng lực được đánh giá là phù hợp với

mô tả cho cụm phản ánh, thì câu hỏi đó sẽ được xếp vào cụm năng lực phảnánh Nếu không, nhưng một hay nhiều năng lực được đánh giá là phù hợp với

mô tả về cụm các kết nối thì câu hỏi sẽ được xếp vào cụm đó Còn nếu không,câu hỏi sẽ được xếp vào cụm tái tạo, bởi vì tất cả các năng lực được đánh giá

là phù hợp các mô tả năng lực cho cụm này

1.4.2.4 Nội dung đánh giá

Những nội dung được xem xét khi xây dựng khung đánh giá bao gồm:

- Sự thay đổi và các mối quan hệ (Change and relationships)

Liên quan đến :+ Biểu diễn sự thay đổi về các cấp độ năng lực toán học ở các dạngnhận thức được (Bảng 1.5), những dạng thay đổi cơ bản và áp dụng nhữngdạng thay đổi vào thực tiễn

+ Suy luận về các mối quan hệ: Các mối quan hệ có thể biểu diễn dướidạng khác nhau (kí hiệu, đại số, đồ thị, bảng và hình học) Các biểu diễn nàynhằm vào các mục đích khác nhau và có tính chất khác nhau Việc dịch chuyểngiữa các biểu diễn này thường liên quan đến nhiệm vụ và tình huống cần giảiquyết

- Hình phẳng và hình khối (Space and shape): liên quan đến sự hiểubiết về hình học và không gian; mối quan hệ giữa chúng

- Số lượng (Quantity): liên quan đến hiểu biết về ý nghĩa của các con số

và mối quan hệ về định lượng và số lượng

- Sự không chắc chắn (Uncertainty): liên quan đến xác suất và thống kêcũng như mối quan hệ mật thiết giữa chúng trong xã hội thông tin ngày nay

1.4.3 Câu hỏi sử dụng trong lĩnh vực Toán học của PISA

1.4.3.1 Đặc điểm các bài toán của PISA

Tham khảo mẫu bài tập của PISA, chúng tôi được biết cơ cấu mỗi bàitập gồm có hai phần: Phần thứ nhất nêu nội dung toán học (có thể trình bàydưới dạng văn bản, bảng biểu, biểu đồ, đồ thị,…); phần thứ hai là câu hỏi

Phần thứ nhất mô tả các tình huống thực tiễn, đó là những tình huống

có tính thời sự trong thời điểm hiện tại Trong phần này cũng có thể chứađựng cả những thông tin không liên quan đến câu hỏi ở phần thứ hai, buộchọc sinh phải so sánh, lựa chọn Ở phần thứ hai, là phần câu hỏi Thông

thường sẽ có nhiều câu hỏi ứng với một tình huống được đưa ra Có thể hìnhdung kết cấu bài toán của PISA theo hình cây sau đây:

Hình 1.3: Mô tả đặc điểm bài toán PISA

Trong đó thân cây là các nội dung toán học được tích hợp trong mộttình huống cụ thể, mỗi một chiếc cành mang một câu hỏi mà người học cónhu cầu cần giải đáp Như vậy, xét về mặt cấu trúc nói chung thì nó giống với

mô hình bài toán có nội dung thực tiễn Các câu hỏi được bố trí phức tạp dầntheo các cấp độ: ghi nhớ và tái hiện; kết nối và tích hợp; khái quát hóa, toánhọc hóa Mỗi câu kiểm tra một cấp độ năng lực Với cấu trúc và nội dung nhưvậy, các bài kiểm tra của PISA có thể kiểm tra năng lực toán học thuần túycủa học sinh vừa có tác dụng nhất định trong việc phát triển năng lực toán họchóa tình huống thực tiễn

Nội dung toán trong các bài toán của PISA không thuộc chuyên đề toánhọc rõ ràng nào (Đại số, Giải tích, hình học,…) mà tích hợp chúng trong mộtbài toán; Các nội dung tích hợp đó ẩn trong các nhiệm vụ (câu hỏi) của bàitoán chứ không nêu một cách tường minh như các bài toán truyền thống; Vềmặt toán học, các tri thức toán ẩn trong các bài toán PISA cũng khá đơn giảnchứ không phức tạp, hàn lâm như những bài toán trong SGK của chúng ta Do

đó, để giải được các bài toán này, không đòi hỏi học sinh có nhiều tri thứctoán, mà đòi hỏi học sinh cần có năng lực ghi nhớ, vận dụng và khái quát mới

có thể làm được

1.4.3.2 Các loại câu hỏi

OECD/PISA sẽ đánh giá hiểu biết toán thông qua một sự kết hợp cácloại câu hỏi:

- Câu hỏi trắc nghiệm truyền thống (Traditional multiple- choice): HS

phải lựa chọn câu trả lời đúng từ một số các đáp án cho trước

- Câu hỏi trắc nghiệm phức hợp (Complex multiple - choice): HS phải

lựa chọn câu trả lời đúng từ một số đáp án cho trước

- Câu hỏi có câu trả lời đóng (Closed -contructed reponse): Câu trả lời

có dạng là số hoặc dạng khác, đáp án trả lời là duy nhất

- Câu hỏi có câu trả lời ngắn (Short - reponse): HS trả lời tóm tắt mỗi

câu hỏi đưa ra Không giống như dạng câu hỏi đóng, có thể có nhiều đáp ánđúng cho dạng câu hỏi này

- Câu hỏi có câu trả lời mở (Open - contructed reponse): HS phải trả

lời dài hơn dưới dạng viết Thường có nhiều khả năng trả lời đúng có thể đưa

ra Không giống như những dạng câu hỏi khác, điểm của những câu hỏi loạinày đòi hỏi đánh giá cụ thể của người chấm

Ví dụ 1.2: Tỉ giá (Dịch theo [45, tr 51])

Mei – Ling từ Singapore đang chuẩn bị đến Nam Phi theo chương trìnhtrao đổi sinh viên Cô ấy cần đổi một số đô la Singapore (SGD) thành đồngrand Nam Phi (ZAR)

Câu hỏi 1: Mei – Ling biết rằng tỉ giá giữa đô la Singapore và đồng

rand Nam Phi là: 1SGD = 4,2 ZAR Mei - Ling muốn đổi 3000 đô laSingapore thành đồng rand Nam Phi với tỉ giá trên Mei - Ling đổi được baonhiêu đồng rand Nam Phi?

Kiểu câu hỏi : Câu hỏi có câu trả lời đóngĐáp án : 3 000 x 4,2 = 12 600 (ZAR)

Câu hỏi 2: Quay trở lại Singapore sau 3 tháng, Mei - Ling còn 3900

ZAR Cô ấy muốn đổi thành đô la Singapore và tỉ giá lúc này là: 1SGD = 4ZAR Mei - Ling đổi được bao nhiêu đô la Singapore?

Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời đóng

Đáp án: 975 SGD

Câu hỏi 3: Trong 3 tháng, tỉ giá đã thay đổi từ 4,2 xuống 4 ZAR cho mỗi

SGD Mei - Ling có lợi không khi cô đổi đồng rand Nam Phi thành đô laSingapore? Hãy đưa ra lời giải thích cho câu trả lời của bạn

Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời mở

Đáp án: Có thể có nhiều cách lập luận như

- Có lợi vì cô ấy nhận 4,2 ZAR cho 1 SGD nhưng chỉ phải trả 4 ZARcho 1 SGD

- Có, bởi tỷ giá hối đoái thấp hơn, Mei - Ling sẽ nhận được nhiều đô laSingapore hơn với số tiền đang có

- Có, bởi vì mỗi SGD rẻ hơn được 0,2 ZAR

- Có, bởi vì khi bạn chia cho 4,2 kết quả sẽ nhỏ hơn so với khi bạn chia cho 4

- Có, có lợi cho mình bởi nếu nó không xuống thì cô ấy sẽ nhận ít hơnkhoảng 50 SGD

Hai câu hỏi đầu tiên của bài tập thuộc về năng lực tái hiện Cả hai đềuyêu cầu HS liên kết các thông tin cung cấp theo yêu cầu tính toán tuy nhiêncâu 2 khó hơn vì nó yêu cầu đảo ngược suy nghĩ Câu 3 có mức độ khó caohơn yêu cầu HS trước hết là xác định các dữ kiện toán học có liên quan, sosánh cả hai câu trả lời và kết luận và đồng thời giải thích kết luận đưa ra Ở kìđánh giá 2003 có 79,7 % HS thuộc khối OECD trả lời đúng câu hỏi 1; 73,9%trả lời đúng câu hỏi 2 và 40,3% trả lời đúng câu hỏi 3

Ví dụ 1.3: Trò chuyện qua Internet (Dịch theo [45, tr 49])

Mark (từ Sydney, Australia) và Hans (từ Berlin, Đức) thường xuyên traođổi với nhau bằng cách sử dụng “Chat” trên Internet Để có thể trò chuyện, họphải đăng nhập cùng một lúc vào mạng Để tìm thời điểm thích hợp, Mark tìm

ở bảng múi giờ quốc tế (Hình 1.4) và thấy như sau:

Greenwich 12: 00 tối Berlin 1:00 sáng Sydney 10:00 sáng

Hình 1.4: Sơ đồ về thời gian quốc tế

Câu hỏi 1: Khi ở Sydney là 7 giờ chiều thì ở Berlin là mấy giờ?

Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời đóng

Đáp án: 10 giờ sáng

Câu hỏi 2: Mark và Hans không thể liên lạc với nhau vào khoảng thời

gian từ 9 giờ sáng đến 4 giờ 30 phút buổi chiều (giờ địa phương) vì họ phải

đi học Ngoài ra, từ 11 giờ tối đến 7: 00 sáng (giờ địa phương) họ cũng khôngthể trò chuyện vì đó là giờ đi ngủ

Khi nào là thời gian thuận lợi nhất để Mark và Hans có thể trò chuyệnvới nhau? Hãy viết giờ địa phương vào bảng 1.6 dưới đây:

Bảng 1.6: Bảng ghi câu trả lời

SydneyBerlinKiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời ngắnĐáp án: HS sẽ trả lời đúng nếu đưa ra được bất kì thời gian nào phù hợpvới điều kiện đã cho và chênh lệch về thời gian là 9 giờ Đáp án có thể đượclấy từ một trong những khoảng thời gian sau đây

Sydney: 4: 30 chiều – 6: 00 chiều; Berlin: 7: 30 tối – 9: 00 sángSydney: 7:00 sáng – 8: 00 sáng; Berlin: 10: 00 tối – 11: 00 tốiMặc dù các dữ kiện đưa ra ít và có vẻ đơn giản nhưng đây là một câu hỏikhá phức tạp HS cần hiểu được rằng thời gian ngủ và thời gian ở trường hạnchế thời gian thích hợp hai người có thể trò chuyện với nhau Đầu tiên cần

phải xác định thời gian rỗi của mỗi người theo giờ địa phương sau đó so sánh

để tìm thời gian mà cả hai có thể thực hiện chúng cùng một lúc Theo báo cáocủa PISA năm 2003, chỉ có 29% HS các nước trong khối OECD trả lời thànhcông câu hỏi này

1.4.3.3 Một số bài toán minh họa

Ví dụ 1.4: Hải đăng [41, tr 40]

Các ngọn hải đăng là những tháp với một đèn hiệu

sáng ở trên đỉnh tháp Các ngọn hải đăng trợ giúp các tàu biển tìm đường đi trong đêm tối khi đang đi sát với bờ biển

Một đèn hiệu hải đăng phát ra những chớp nháy theo

một quy luật cố định thường xuyên Mỗi ngọn hải đăng có quy luật riêng của nó

Trong sơ đồ dưới đây bạn thấy một quy luật của

một ngọn hải đăng Các chớp sáng luân phiên với

giai đoạn tối

Nó là một quy luật đều đặn Sau một khoảng thời gian, quy luật sẽ tựlặp lại Thời gian xảy ra hoàn toàn một chu trình của quy luật, trước khi nóbắt đầu để lặp lại được gọi là một chu kỳ Khi bạn tìm chu kỳ cho một quyluật, sẽ dễ hơn khi bạn mở rộng sơ đồ cho những giây hay phút hay thậm chí

là những giờ tiếp theo