Chứng minh rằng:.
Trang 1khai thác bài toán từ một bất đẳng thức đơn giản
Xuất phát từ hằng đẳng thức:
2
2 2
2 2
3 3
a b
Từ đó ta có bài toán:
Bài toán 1: Cho a, b > 0 Chứng minh rằng:
3 3
( ) (*)
Từ bài toán (*), tôi tiếp tục những hớng khai thác khác và đã thu đợc một vài kết quả sau:
*Hớng thứ nhất:
3
(*)
)
( ) (
a
a
ab b b
ab a b b
b a
a
Tơng tự với a, b, c > 0 thì:
Từ đó ta có bài toán:
Bài toán 2: Cho a, b > 0 Chứng minh rằng:
3 3 3
ab bc ca
*Hớng thứ hai:
Từ (*)
3 3
a b ab
Tơng tự với a, b, c > 0 thì:
;
Do đó ta có bài toán:
Bài toán 3: Cho a, b > 0 Chứng minh rằng:
a b c
*Hớng thứ ba:
Từ (*)
3 3
Tơng tự với a, b, c > 0 thì: 3 3 3 3 3 3
4(b c ) ( b c ) ; 4(c a ) ( c a )
Ta đề xuất đợc bài toán:
Bài toán 4: Cho a, b > 0 Chứng minh rằng:
8(a b c ) ( a b ) ( b c ) (c a )
*Hớng thứ t:
Trang 2Mặt khác từ (*)
3 3 3 3
3
3
2
a
a b
Tơng tự với a, b, c > 0 thì:
Ta đề xuất đợc bài toán:
Bài toán 5: Cho a, b > 0 Chứng minh rằng:
3
*Hớng thứ năm:
Từ (*)
3 3
3 3
3 3
2
(4 )( 5 ) 19
19
4 5
b a
Tơng tự với a, b, c > 0 thì:
Ta đề xuất đợc bài toán:
Bài toán 6: Cho a, b > 0 Chứng minh rằng:
a b c
*Hớng thứ sáu:
Cũng từ (*) ta có:
3 3
a b abc ab a b abc
3 3
3 3
Tơng tự với a, b, c > 0 thì:
2
Trang 33 3 3 3
;
Ta đề xuất đợc bài toán:
Bài toán 7: Cho a, b > 0 Chứng minh rằng:
*Hớng thứ bẩy:
Nếu ta bổ sung điều kiện abc = 1 thì:
Ta có bài toán:
Bài toán 8: Cho a, b > 0 Chứng minh rằng:
1
*Hớng thứ tám:
Mặt khác từ (*)
5 2 3 3 2 5 4 3 2 2 3 4
1 1
ab
Tơng tự với a, b, c > 0 thì:
;
Ta có bài toán:
Bài toán 9: Cho a, b > 0 Chứng minh rằng:
5 ab5 5 bc5 5 ca5 1
*Hớng thứ chín:
Mặt khác từ (*)
Tơng tự với a, b, c > 0 thì:
;
3 3 3 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )
Mặt : áp dụng bất đẳng thức: a b 2 ab cho hai số không âm, ta có:
3
a
Tơng tự với a, b, c > 0 thì:
Trang 4Ta có bài toán:
Bài toán 10: Cho a, b > 0 Chứng minh rằng:
2
b c c a a b
*Hớng thứ mời:
Mặt khác: Với a, b, c > 0 tơng tự (*) ta có:
3 3 3
áp dụng bất đẳng thức: a b 2 ab cho hai số không âm, ta có:
2
Ta có bài toán:
Bài toán 11: Cho a, b > 0 Chứng minh rằng:
*Hớng thứ mời một:
;
1 4
Ta có bài toán:
Bài toán 12: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
1 4
*Hớng thứ mời hai:
Mặt khác: Với a, b, c > 0 Ta có:
4
Trang 5
3 3 3
3 3 3 3 3 3
3
2
1
2
a
3 2
áp dụng bất đẳng thức: a b 2
b a cho hai số không âm, ta có:
6
3 2
3 8
Ta có bài toán:
Bài toán 13: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
3 8
* Đề nghị các bạn áp dụng bất đẳng thức (*) để tiếp tục chứng minh các bài toán sau:
Bài toán 1: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
a b c
Bài toán 2: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
a b c
Bài toán 3: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
a b c
Bài toán 4: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
2 2 2
Bài toán 5: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
Trang 63 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2
2 2 2
HD:
Bµi to¸n 1:Chøng minh:
a b c
Bµi to¸n 2:Chøng minh:
3 3
2
41
6
7
a b
Bµi to¸n 3:Chøng minh:
3 3
2
29
5
6
a b
Bµi to¸n 4:Chøng minh:
3 3
2 2
2
Bµi to¸n 5:Chøng minh:
2 2
4 3
a b
6