chuyen de bdt vecto

lý do chọn đề tài.Trong hoạt động dạy và học ở trờng phổ thông việc rèn luyện kỹ năng và định h-ớng t duy cho học sinh trớc một bài toán là rất quan trọng, việc giải đợc các bài toán về

A lý do chọn đề tài.

Trong hoạt động dạy và học ở trờng phổ thông việc rèn luyện kỹ năng và định h-ớng t duy cho học sinh trớc một bài toán là rất quan trọng, việc giải đợc các bài toán

về giải phơng trình, bất phơng trình và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có chứa

căn thức đã là khó với học sinh và còn khó khăn hơn nếu nh ta không áp dụng đợc

phơng pháp biến đổi tơng đơng để đa về bài toán đơn giản Nhiều học sinh và đa số

học sinh khi bắt gặp bài toán đó trong các đề kiểm tra hoặc đề thi thờng bỏ qua“bỏ qua” ” hoặc không giải đợc Nhiều em học sinh có phản ánh lại là để giải đợc những dạng toán đó cần phải có sự thông minh… Sau một số năm giảng dạy và nghiên cứu tôi Sau một số năm giảng dạy và nghiên cứu tôi xin mạnh dạn trao đổi với các bạn đồng nghiệp về một vài kinh nghiệm nhỏ của mình giúp học sinh cảm thấy bớt khó khăn hơn khi giải những dạng bài toán trên

Đó là sử dụng khéo léo các tính chất về độ dài của vectơ để giải một số dạng toán trên

Để học sinh tiếp cận đợc vần để này, giáo viên cần giúp học sinh nắm đợc:

+ Tầm quan trọng của các bài toán giải phơng trình, bất phơng trình và tìm giá

trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có chứa căn thức trong chơng trình toán THPT.

+ Nắm đợc các tính chất về độ dài của vectơ, các phép toán cộng, trừ vectơ đợc cho dới dạng toạ độ, sử dụng tích vô hớng và bình phơng vô hớng

Bài viết dới đây xin trao đổi về phơng pháp giảng dạy một dạng bài tập giải

ph-ơng trình, bất phph-ơng trình và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có chứa căn thức

b nội dung

I Cơ sở lý thuyết.

1 Độ dài véctơ.

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, véctơ x( ; )x y1 1 có độ dài là

| |x  x  y

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, véctơ x( ; ; )x y z1 1 1 có độ dài

| |x  x  y z

2 Các phép toán véctơ biểu thị qua tọa độ.

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, hai véctơ u( ; );x y v1 1 ( ; )x y2 2

Khi đó ta có

1 1

1 2 1 2

| | | | cos( , )

ku kx ky k

u v u v u v

u v x x y y



 

 





 

Chú ý: Trong không gian các phép toán giữa các véctơ tơng tự nh trong mặt

phẳng

3 Bất đẳng thức véctơ.

Cho hai véctơ a b , (Trong mặt phẳng hoặc không gian) Khi đó ta có

|a b | | | | | (1)a  b

Dấu “bỏ qua”=” xảy ra  a  b  k *:a kb  hoặc một trong hai véctơ bằng 0

  

|a b  | | | | | (2)a  b



Dấu “bỏ qua”=” xảy ra  a  b  k * :a kb  hoặc một trong hai véctơ bằng 0

| | | |u v u v u | |.| | (3)v

    

2

Dấu “bỏ qua”=” thứ nhất xảy ra  a  b  k * :a kb  hoặc một trong hai véctơ bằng 0 Dấu “bỏ qua”=” thứ hai xảy ra  a  b  k *:a kb  hoặc một trong hai véctơ bằng 0

II ứng dụng của bất đẳng thức véctơ.

1 ứng dụng để giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình.

1.1.Phơng pháp: Ta biến đổi phơng trình đã cho sau đó xét các véctơ có tọa

độ thích hợp rồi áp dụng một trong ba BĐT véctơ trên và xét trờng hợp dấu bằng xảy ra để đa ra nghiệm của phơng trình đã cho

1.2 Ví dụ.

Ví dụ 1: Giải phơng trình sau

2

x x   x  x  

Giải

ĐK:   1 x 3

Khi đó ta có (1.1) x x 1 3 x 2 x2 1

xét hai véctơ u( ;1);x v( x1; 3 x)

Ta có u v x x    1 3 x; | | | | 2u v x2 1

Mà theo BĐT (3 ) ta có u v   | | | |u v x x 1 3 x 2 x2 1

Vì cả hai véctơ đều khác véctơ 0 nên dấu “bỏ qua”=” xảy ra

2

0

0 1

0

x

x

x

x











 







 

Cả hai nghiệm trên đều thoả mãn phơng trình đã cho Vậy phơng trình (1.1) có hai nghiệm phân biệt x 1; 1 2.

Ví dụ 2: Giải phơng trình sau

Phơng trình đã cho xác định với mọi x

Ta có (1.2) (x 1)2 4 (x1)2 9  29

xét hai véctơ u(x 1;2);v ( x 1;3)

Khi đó u v   ( 2;5);| |u  x2  2x5;| |v  x2 2x10;|u v  | 29

Mà theo BĐT (1 ) ta có |u v  | | | | |u  v x2 2x 5 x22x10  29 Vì hai véctơ ta xét đều khác véctơ 0 nên dấu “bỏ qua”=” xảy ra

x

x



 

 

5

x  thoả mãn phơng trình đã cho Vậy phơng trình (1.2) có một nghiệm

5

x 

Ví dụ 3: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm

x   x m

Giải

ĐK: 2 x 4

Xét hai véctơ u( x 2; 4 x v);(1;1)

Ta có | |u  2;| |v 2; u v  x 2 4 x

Mà theo BĐT (3) ta có u v u  | | | | v x 2 4 x 2 từ đây và phơng trình đã cho ta suy ra phơng trình (1.3) có nghiệm  0m2

4

Ví dụ 4: Giải hệ phơng trình sau 2 2 2

3

3 (1.4) 3

x y z











Giải

Ta xét hai véctơ u( ; ; );x y z v(1;1;1)

Khi đó ta có | |u  x2 y2 z2  3;| |v  3; u v x y z    3

x y z

u v u  v u  v     x y z   Kết hợp với hệ đã cho ta có nghiệm duy nhất của hệ (1.4) là x =y =z=1

Ví dụ 5: Giải bất phơng trình sau

2

x  x  x  x

Giải

ĐK: x 1

Xét hai véctơ u(x 3; x 1);v(1;1)

Khi đó ta có | |u  (x 3)2  x 1;| |v 2; u v  x 1 x 3

Từ trên và bất phơng trình (1.5) ta thấy u v u  | | | | (*) v

Mà theo BĐT (3) ta có u v u  | | | | (2*) v

Từ (*) và (2*) suy ra

3

x





  (Vì hai véctơ ta xét đều khác véctơ 0)

Vậy x =5 là nghiệm duy nhất của bất phơng trình (1.5)

1.3 Bài tập tự luyện.

Bài 1 Giải phơng trình sau

x  x  x  x  x  x

Bài 2 Giải phơng trình sau

cosx 2 cos x cosx 2 cos x 3

Bài 3 Giải bất phơng trình sau

x  x   x 

Bài 4 Giải bất phơng trình sau

5 4 x  5 4 x 4

Bài 5 Giải hệ phơng trình sau

2

2

2 1

x y

x y











Bài 6 Chứng minh rằng hệ phơng trình sau vô nghiệm

1







Bài 7 Giải hệ phơng trình sau

2009 2009 2009

3 3

3

x y z









Bài 8 Giải hệ phơng trình sau

2009

2008 2007

2008











2 ứng dụng trong bài toán chứng minh bất đẳng thức.

2.1 Phơng pháp: Ta biến đổi BĐT đã cho sau đó xét các véctơ có tọa độ

thích hợp rồi áp dụng một trong ba BĐT véctơ trên và xét trờng hợp dấu bằng xảy ra

để chứng minh BĐT đã cho

6

2.2 Ví dụ.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng x y,   ta có

4cos xcos ysin (x y )  4sin xsin ysin (x y ) 2 (2.1)

Giải

Xét hai véctơ u(2cos cos ;sin(x y x y u ));(2sin sin ;sin(x y x y ))

Khi đó ta có | |u  4cos2 xcos2 ysin (2 x y v );| | 4sin2xsin2 ysin (2 x y )

u v   x y x y u v  

Mà theo BĐT (1) ta có

| | || |u   u v | 4cos xcos ysin (x y )  4sin xsin ysin (x y ) 2

Vậy BĐT (2.1) đợc chứng minh

Ví dụ 2: Chứng minh rằng x y z, ,   ta có

x xy y  x xz z  y  yz z

Giải

ux y y v   x z z

Khi đó ta có | | u  x2 xy y 2;| | v  x2 xz z 2

u v  y z y  z u v  y  yz z

Mà theo BĐT (1) ta có

| | | | |u  v u v | x xy y  x xz z  y  yz z

Vậy BĐT (2.2) đợc chứng minh

Ví dụ 3: Cho các số thực dơng a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = abc

Chứng minh rằng

3

Giải

Ta có

Khi đó ta có

2

1

ab bc ca abc

a b c

Mà theo BĐT (1) ta có

Vì ba véctơ ta xét đều khác véctơ 0 nên dấu “bỏ qua”=” xảy ra

      

Vậy BĐT (2.3) đợc chứng minh và dấu “bỏ qua”=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =3

8

Một số bài tập về bất đẳng thức lợng giác chứng minh bằng phơng pháp vectơ Phơng pháp:

+ Sử dụng tích chất của tích vô hớng hai vectơ u v  u v  cos , u v  u v . Dấu “bỏ qua”=” xảy ra khi u v , cùng phơng

+ Sử dụng tích chất của bình phơng vô hớng các vectơ: 0 ( u v  ) 2 u2v2 2 u v  Dấu “bỏ qua”=” xảy ra khi u v   0 hoặc u v  0

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có: 3

2

A B C

Giải: Chọn ba vectơ đơn vị x y z     , ,

lần lợt cùng phơng với   AB BC CA, ,

0            x y z                                  x               y               z               2               x y .cos( , )                             x y                            y z cos( , )                            y z                            z x cos( , )                            z x

Ngoài ra ta có thể chọn các vectơ x y z  , , theo cách khác nh sau: x y z  , , lần lợt là các vectơ đơn vị và vuông góc với các cạnh của tam giác.

Từ Ví dụ 1 ta suy ra các bất đẳng thức sau:

sin sin sin



2

A B C

Giải: Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Ta có: 0 OA OB OC  2 OA2 OB2 OC2  2(OA OB OB OC OC OA   )

 3R2  2R2cos 2A cos 2B cos 2C dpcm

Từ Ví dụ 2 ta có thể suy ra các bất đẳng thức sau:

4

4

A B C

VÝ dô 3: (ĐH khối A 2004)

Cho tam giác ABC không tù, thoả mãn điều kiện: cos2A 2 2 cosB 2 2 cosC 3

.Tính ba góc của tam giác ABC

Từ điểm O bất kì thuộc ABC vẽ các véc

tơ đơn vị e e e  1 , , 2 3 theo thứ tự vuông góc với

cạnh BC, AC, AB và hướng ra ngoài ABC,

1 2 3 1

e                  e           e 

0 (2  e  2e  2 )e

B

A

O

 

1 , 2 os 1 , 2 cos

e e    C c e e  C

Tương tự có



 



1 3

3 2





 

 

Ta được 0 4 2 2 4 2 cos     C 4 2 cosB 4cosA

 

Theo giả thiết 0

2

A 

  nên cos 2A cosA

Suy ra cos2A 2 osc 2A  1 2cosA 1

Bởi vậy từ (1) kéo theo cos2A 2 2 cosB 2 2 cosC 3

Dấu đẳng thức xảy ra

2



 



0

0

0

90

1

2 6 4 2 cos

2

A

B





10

VÝ dô 4:

Cho tam gi¸c ABC tho¶ m·n 3 cosA 2cosB 2 3 cosC 4 TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC

Gi¶i: Từ điểm O bất kì thuộc ABC vẽ các véc tơ đơn vị e e e  1 , , 2 3 theo thứ tự vuông góc với cạnh BC, AC, AB và hướng ra ngoài ABC, e1 e2 e3  1

0 (2           e     3              e                e )               4  e                3e               e  2 2 3                             e e                             3 e e                             2 e e

  8 2( 3 cosA 2cosB 2 3 cos )C

Vậy 3 cosA 2cosB 2 3 cosC 4

2 2

2

3













0 0 0

90 3

cos

60 2

A C

B



2.3 Bµi tËp tù luyÖn.

Bµi 1 Chøng minh r»ng x y z, ,   ta cã *

x xy y  x xz z  y yz z  x y z 

Bµi 2 Chøng minh r»ng a b c d, , ,   ta cã

(a c ) (b d )  a b  c d

Bµi 3 Chøng minh r»ng x y,   ta cã

x y xy



Bµi 4 Chøng minh r»ng a b c x y z, , , , ,   ta cã

a) |ax by cz  | a2 b2 c2 x2 y2 z2

b) a2 b2 c2  x2  y2 z2  (a x )2(b y )2 (c z )2

c) a2  a 1 a2  3a 1 2

Bµi 5 Chøng minh r»ng x y z, , 0, x y z   ta cã1

2 2 2

82

(Đề thi ĐH năm 2003)

Bài 6 Cho ba số thực x y z, , đôi một khác nhau Chứng minh rằng

Bài 7 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta luôn có

a) a2 b2  2a 2b37 a2 b26a 6b18 5

b) a2 4 a2  2a b 2  1 b2  6b10 5

Bài 8 Chứng minh rằng a b c, ,   ta có

Bài 9 Chứng minh rằng a b c, , ,abc1 ta có

3 2

a b a c b c b a   c a c b 

(Đề thi ĐH NNI_2000)

Bài 10 Cho x y u v, , , :u2 v2 x2 y2 1 Chứng minh rằng

| (u x y )v x y(  ) | 2

Bài 11 Chứng minh rằng x y,   ta có

a) cos4xcos4 y sin2xsin2 y 2

b) | sinx 2 sin 2x sinx 2 sin 2 x| 3

Bài 12 Chứng minh rằng a b c,  0 ta có

c a c  c b c  ab

Bài 13 Chứng minh rằng a b c, ,   ta có

a) a2 b2 c2 abc a b c(   )

b) a2 b2 c2 ab bc ca 

Bài 14 Chứng minh rằng

3

16

x xy y

x y z

y yz z





12

Bµi 15 Cho 2 n ; , , , , , , ,a a1 2 a b b n 1 2 b n Chøng minh r»ng

2 2

Bµi 16 * Chøng minh r»ng  x 0;1 ta cã

x   x  x   x  

Bµi 17 * Chøng minh r»ng a b c, ,   ta cã

Bµi 18 * Cho n sè thùc a a1, , ,2 a Chøng minh r»ng n

(1 a)  1 (a  a )  1  (a n  a n)  1 (n 2 a n)  1 (n1) 2

Bµi 19: Chøng minh r»ng víi mäi tam gi¸c ABC vµ víi ba sè thùc bÊt kú x, y, z ta

cã: x2 y2 z2  2 cosxy C 2 cosxz B 2 cosyz A

Bµi 20 Chøng minh r»ng víi mäi tam gi¸c ABC vµ víi sè thùc x bÊt kú ta cã:

2

1

3 ứng dụng trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

3.1 Phơng pháp: Phơng pháp chủ yếu là ta xét các véctơ có tọa độ thích

hởpoif sử dụng một trong ba BĐT véctơ trên để tìm giá trị lớn nhất, giái trị nhỏ nhất của hàm số đã cho

3.2 Ví dụ.

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau đây

f x  x  x  x  x

Giải

TXĐ: 

Ta có

2

( )

f x   x     x   

u  x v x Khi đó ta có | |u  x2  x1;| |v x2  x 1;u v  (1; 3);|u v  | 2

Mà theo BĐT (1) ta có | | | | |u  v u v | f x( ) 2

Dấu “bỏ qua”=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) đã cho là 2 đạt đợc tại x = 0

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giải

Xét hai véctơ u (1 cos ;2);x v(2 cos ;2) x

Khi đó ta có

| |u  cos x 2cosx5;| |v  cos x4cosx8;u v  (3;4);|u v  | 5

Mà theo BĐT (1) ta có | | | | |u  v u v | f x( ) 5

Dấu “bỏ qua”=” xảy khi và chỉ khi 2

3

3

x  l   

14

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) đã cho là 5 đạt đợc tại 2

3

x  k  k 

3

x  l   

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất trên khoảng 2000 ;2002  của hàm số 

Giải

Xét hai véctơ u(3 cos ;1); x v(cosx1;1)

Khi đó ta có | |u  cos2x 6cosx10;| |v cos2x2cosx2;|u v  | 20

Mà theo BĐT (1) ta có | | | | |u  v u v | f x( ) 20

Dấu “bỏ qua”=” xảy ra khi và chỉ khi x k 2 ( k )

Xét trên đoạn 2000 ;2002  ta có k = 1000; 1001 tơng ứng với

2000 ;2002

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) đã cho trên đoạn 2000 ;2002  là  20 đạt

đợc tại x2000 ;2002 

Ví dụ 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x2  2px 2p2  x2  2qx 2q2 (

,

p q R )

Ta có: f x( )  (x p ) 2 p2  (x q ) 2 q2

Xét hai vectơ u (x p p v ;  ), (q x q ; ) và u  x2 2px 2p v2,  x2 2qx 2q2

u v   q p q p  ,u v   (p q )2 (p q )2

ta có | | | | |u  v u v | f x( ) 2(q p )

q x p p x q x

q p

 (p q )

Ví dụ 5 Cho phơng trình: x2   x 1 x2  x  1 m Với giá trị nào của m thì phơng trình có nghiệm?

Chọn A 1

2

( ;0)

3

2

M x

AM  x 

BM  x 



1

AB 

Ta có

1

m AM BM AB

Vậy với m 1 thì phơng trình đã cho có nghiệm

Ví dụ 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( )  a2 x2  a2  (c x ) 2

Chọn u ( ; ),a x v ( ;a c x u v ),   (2 ; )a c Ta có

4a c  u v u v  a x  a  (c x )

Dấu ‘=’ xảy ra khi

2

c

c x x   x

3.3.Bài tập tự luyện.

Bài 1 Cho hàm số f x( )Asinx B cos (x A2 B2 0)

a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

b) Dùng câu a chứng minh rằng

2

,

x a x

Bài 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Af x y  x  y  x y  x  y  x y

Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau

f x  x   x 

Bài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau

y  x  px p  x  qx q p q

Bài 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau

y  a x  a  c x

16

c kết quả

Sau một thời gian sử dụng phơng pháp này trong việc giảng dạy tôi thấy

ph-ơng pháp trên rất có hiệu quả Học sinh thấy dễ hiểu và sử dụng tph-ơng đối thành thạo phơng pháp trên để giải quyết một số bài toán, thậm chí giải đợc những bài toán khó Nh vậy học sinh có niềm tin vào môn toán hơn và trở nên yêu thích môn toán hơn tạo hứng thú cho các em mỗi khi học toán Kết quả thu đợc

+ Học sinh trên lớp ( lớp chọn ban khoa học tự nhiên) sử dụng thành thạo

ph-ơng pháp và giải quyết một số bài toán tph-ơng đối gọn gàng

+ Năm vừa rồi tôi có tham gia bồi dỡng học sinh giỏi khối 12 và các em đạt

đợc thành tích là một giải nhì và một giải khuyến khích

d kết luận

Toán học nói chung và bộ môn Đại số nói riêng thật là muôn màu muôn vẻ, nhìn bề ngoài một bài toán thì ta thấy thật là phức tạp rắc rối, tuy nhiên lại có một cách giải thật đẹp nhìn dới góc độ hình học thì bài toán lại trở nên đơn giản dễ hiểu

và vận dụng

Để học sinh vận dụng tốt phơng pháp này, giáo viên cần giúp học sinh thấy

đợc tầm quan trọng, lý thuyết cơ bản, các bớc tiến hành cho từng dạng bài tập và cho học sinh thực hành nhiều bài tập Trong quá trình giảng bài, bớc đầu giáo viên nên giúp học sinh nhận biết dạng bài tập

Mặc dù đã cố gắng song do năng lực và thời gian còn hạn chế nên bài viết rất khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong các đồng nghiệp góp ý kiết và giúp

đỡ để bài viết về kinh nghiệm ít ỏi của tôi có một chút giá trị trong việc nâng cao chất lợng dạy và học Xin chân thành cảm ơn!

Duy Tiên, ngày 20 tháng 4 năm 2010

Ngời viết

Lê Khắc Cờng

E Tài liệu tham khảo.

1 Bộ đề thi tuyển sinh Đại học – Nhà XBGD năm 1996

2 Các bài toán về phơng pháp vectơ – Nguyễn Mộng Hy - Nhà XBGD năm 2000

3 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ

4 Diễn đàn toán học www.diendantoanhoc.net