CHUYEÂN ẹEÀ 16 – BAÁT ẹAÚNG THệÙC
Ngaứy soaùn: 27 – 3 - 2010
Phần I : các kiến thức cần lu ý
0
2-tính chất
+ A>B B A
+ A>B và B >C A > C
+ A>B A + C >B + C
+ A>B và C > D A +C > B + D
+ A>B và C > 0 A.C > B.C
+ A>B và C < 0 A.C < B.C
+ 0 < A < B và 0 < C < D 0 < A.C < B.D
+ A > B > 0 An > Bn n
+ A > B An > Bn với n lẻ + A > B An > Bn với n chẵn + m > n > 0 và A > 1 Am > An + m > n > 0 và 0 <A < 1 Am < An
+A < B và A.B > 0
B A
1 1
3 - một số hằng bất đẳng thức
+ A2 0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ An 0 vớiA ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ A 0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ - A < A = A
+ A B A B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)
+ A B A B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)
Phần II : một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
1) Phơng pháp 1: dùng định nghĩa
Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta chứng minh A – B > 0
Lu ý dùng hằng bất đẳng thức M2 0 với M
Ví dụ 1 x, y, z chứng minh rằng :
a) x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx
b) x2 + y2 + z2 2xy – 2xz + 2yz
Giải:
a) Ta xét hiệu : x2 + y2 + z2 - xy – yz – zx =
2
1 2 ( x2 + y2 + z2- xy – yz – zx)
=
2
1 (x y ) 2 (x z ) 2 (y z ) 2 0 đúng với mọi x;y;zR
Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x = y
(x- z)2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x = z
(y- z)2 0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z = y
Vậy x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
b)Ta xét hiệu:
x2 + y2 + z2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x2 + y2 + z2 - 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z)
2 0
đúng với mọi x;y;zR
Vậy x2 + y2 + z2 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;zR
Dấu bằng xảy ra khi x + y = z
Ví dụ 2: chứng minh rằng :
a)
2 2
2
2
b a b
2 2
2 2
3
b c a b c
a c) Hãy tổng quát bài toán giải
Trang 2a) Ta xét hiệu
2 2
2
2
b a b
4
2 4
2a2 b2 a2 abb2
= 2a 2b a b 2ab
4
4
b a
Vậy
2 2
2
2
b a b
a Dấu bằng xảy ra khi a = b b)Ta xét hiệu:
2 2
2 2
3
b c a b c
9
a
Vậy
2 2
2 2
3
b c a b c
a Dấu bằng xảy ra khi a = b =c c)Tổng quát:
2 2
1 2 2
2 2
n
a a
a n
a a
* Tóm lại các bớc để chứng minh AB theo định nghĩa
Bớc 1: Ta xét hiệu H = A - B
Bớc 2:Biến đổi H = (C+D)2hoặc H=(C+D)2 +….+(E+F).+(E+F)2
Bớc 3: Kết luận A B
2) phơng pháp 2 : Dùng phép biến đổi tơng đơng
L
u ý:
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất
đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng
Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng
a) a b ab
4
2
2 b)a2 b2 1 abab c)a2b2 c2d2 e2 abcde
Giải:
a) a b ab
4
2
a a b 2a b2 0 (Bđt này luôn đúng) Vậya b ab
4
2
2 (dấu bằng xảy ra khi 2a = b)
b) a2 b2 1 abab 2 (a2 b2 1 2 (abab)
0 1 2 1
2
a b a b (luôn đúng) Vậy a2 b2 1 ababDấu bằng xảy ra khi a = b = 1
c) a2 b2 c2 d2 e2 abcde 4 a2 b2 c2 d2 e2 4abcde a2 4ab 4b2 a2 4ac 4c2 a2 4ad 4d2 a2 4ac 4c2 0
2 2 2 2 2 2 2 2 0
a
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a10 b10a2 b2 a8 b8a4 b4
Giải:
a10 b10a2 b2 a8 b8a4 b4 a12 a10b2 a2b10 b12 a12 a8b4 a4b8 b12
b a b b a a
b
a a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0
Ví dụ 4: cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:
z y x z y x
z y x
1 1
Chứng minh rằng : có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1) = xyz + (xy + yz + zx) + x + y + z - 1
= (xyz - 1) + (x + y + z) - xyz(1x 1y1z) = x + y + z - (111) 0
z y x
Trang 3(vì1x 1y 1z< x+y+z theo gt) 2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1
là dơng
Nếủ trờng hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z =1 bắt buộc phải xảy ra trờng hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1
3) Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc
A) một số bất đẳng thức hay dùng
1) Các bất đẳng thức phụ:
a) x2 y2 2xy
b) x2 y2 xy dấu( = ) khi x = y = 0
c) xy2 4xy d) 2
a
b b a
2)Bất đẳng thức Cô sy: n n a a a a n
n
a a
a a
3 2 1 3
2 1
Với a i 0 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski
2 2 11 2 2
2
2 1 2 2 2
2
2 a a n.x x n xa xa xa n
a 4) Bất đẳng thức Trê-b - sép:
Nếu
C B A
c b a
3
3 3
C B A c b a cC bB
Nếu
C B A
c b a
3
3 3
C B A c b a cC bB
Dấu bằng xảy ra khi
C B A
c b a
B) các ví dụ
ví dụ 1
Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng (a+b) (b+c)(c+a) 8abc
Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: xy2 4xy
Tacó a b2 4ab
; b c2 4bc
; c a2 4ac
b
a 2
c
b 2
a
c 64a2b2c2 8abc2 (a + b)(b + c)(c + a) 8abc Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
ví dụ 2: Cho a > b > c > 0 và a2 b2 c2 1 chứng minh rằng 3 3 3 1
2
b c a c a b
Do a,b,c đối xứng , giả sử a b c
b a
c c a
b c b
2 2 2
áp dụng BĐT Trê- b-sép ta có
c c a
b c b
a c b a b a
c c c a
b b c b
a
3
.
2 2 2 2
2
2
3 3
1
= 2 1
Vậy
2
1
3 3 3
c c a
b c b
a Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =
3 1
ví dụ 3: Cho a,b,c,d > 0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :
2 2 2 2
b c d a b c b c d d c a a
Ta có a2 b2 2ab
; c2 d2 2cd
Do abcd =1 nên cd =
ab
1 (dùng
2
1 1
x
Ta có 2 2 2 2 ( ) 2 ( 1 ) 4
ab ab cd
ab c
b
a (1)
Trang 4Mặt khác: abcbcddca = (ab + cd) + (ac + bd) + (bc + ad)
bc
bc ac
ac ab
b c d a b c b c d d c a a
ví dụ 4: Chứng minh rằng : a2b2c2 abbcac
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 ) (
1 1
1 a b c a b c
3a2 b2 c2a2 b2 c2 2abbcac a2b2c2abbcac (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
4) Phơng pháp 4: dùng tính chất của tỷ số
A Kiến thức
1) Cho a, b ,c là các số dơng thì
a – Nếu 1
b
a
thì
c b
c a b
a
b – Nếu 1
b
a
thì
c b
c a b
a
2) Nếu b,d >0 thì từ
d
c d b
c a b
a d
c b
a
B Các ví dụ:
ví dụ 1: Cho a,b,c,d > 0 Chứng minh rằng :1 2
b a d
d a d c
c d c b
b c b a a
Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có
d c b a
d a c b a
a c
b a
a
Mặt khác :
d c b a
a c
b a
a
(2)
Từ (1) và (2) ta có
d c b a
a
<
c b a
a
<
d c b a
d a
(3) Tơng tự ta có :
d c b a
a b d c b
b d c b a
b
d c b a
c b a d c
c d
c
b
a
c
d c b a
c d b a d
d d
c b a
d
cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có
2
b a d
d a d c
c d c b
b c
b
a
a
(đpcm)
ví dụ 2 : Cho:
b
a
<
d
c
và b,d > 0 Chứng minh rằng
b
a
<
d
c d b
cd ab
2 2
Giải: Từ
b
a
<
d
c
2
2 d
cd b
ab
d
c d
cd d b
cd ab b
ab
2 2 2
b
a
<
d
c d b
cd ab
2
ví dụ 3 : Cho a;b;c;d là các số nguyên dơng thỏa mãn : a + b = c+d =1000
tìm giá trị lớn nhất của
d
b c
a
giải : Không mất tính tổng quát ta giả sử :
c
a d
b
d
b d c
b a c
a
c
a
vì a + b = c +
d
a, Nếu: b 998 thì
d
b
998
d
b c
a
999
b, Nếu: b = 998 thì a =1
d
b c
a
d c
999 1
Đạt giá trị lớn nhất khi d = 1; c = 999
Trang 5Vậy: giá trị lớn nhất của
d
b c
a
= 999 +
999
1 khi a = d = 1; c = b = 999
Ví dụ 4 : Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng :
4
3 1
2
1 1
1 2
1
n n n
n
Ta có
n n n k
1 1 1
với k = 1,2,3,….+(E+F),n-1
Do đó:
2
1 2 2
1
2
1 2
1
2
1 1
1
n n n
n n
n
1
4
1 3
1 2
1 1
n
với n ≥ 2 không là số tự nhiên HD: 2 2
1 1 1 1
; ;
2 1.2 3 2.3
Ví dụ 6: Cho a ,b ,c ,d > 0 Chứng minh rằng :
2 a b b c c d d a 3
a b c b c d c d a d a b
Giải :
Vì a ,b ,c ,d > 0 nên ta có: a b a b a b d
a b c d a b c a b c d
b c b c b c a
a b c d b c d a b c d
d a d a d a c
a b c d d a b a b c d
Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có :
2 a b b c c d d a 3
a b c b c d c d a d a b
5 Phơng pháp 5:Dùng bất đẳng thức trong tam giác
L
u ý: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a; b; c > 0
Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a
Ví dụ1:
Cho a; b; clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng
a, a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac)
b, abc > (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
Giải
a)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có
b a c
c a b
c b a
0 0
0
) (
) (
) (
2 2 2
b a c c
c a b b
c b a a
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac)
b) Ta có a > b-c a2 a2 (b c) 2> 0
b > a-c b2 b2 (c a) 2> 0
c > a-b 2 2 ( ) 2 0
c a b c
Nhân vế các bất đẳng thức ta đợc: a b c2 2 2 a2 b c 2 b2 c a 2 c2 a b 2
a b c2 2 2 a b c 2 b c a 2 c a b 2 abca b c . b c a . c a b
Ví dụ2: (đổi biến số)
Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng
2
3
c a c
b c b a
(1)
Trang 6Đặt x= b + c ; y= c + a ;z = a + b ta có a =
2
x z
y
; b =
2
y x
z
; c =
2
z y
x
ta có (1) y2z x xz2x y yx2y z z
2
3
1 1 1 3
z
y z
x y
z y
x x
z x y
( ) ( ) ( ) 6
z
y y
z z
x x
z y
x x
y
là Bđt đúng?
Ví dụ 3: (đổi biến số)
Cho a, b, c > 0 và a + b + c <1 Chứng minh rằng : 9
2
1 2
1 2
1
2 2
bc b ac c ab
Giải: Đặt x = a2 2bc
; y = b2 2ac
; z = c2 2ab
Ta có 2 1
y z a b c
(1) 111 9
z y
x Với x + y + z < 1 và x ,y,z > 0
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
y z
z y x
1 1 1
3 .3 1
z y x z y x
6) phơng pháp làm trội :
Chứng minh BĐT sau :
a) 1 1 1 1
1.3 3.5 (2n 1).(2n 1) 2 b) 1 1 1
1.2 1.2.3 1.2.3 n
Giải :
a) Ta có :
.
2 1 2 1 2 (2 1).(2 1) 2 2 1 2 1
Cho n chạy từ 1 đến k Sau đó cộng lại ta có
1.3 3.5 (2n 1).(2n 1) 2 2n 1 2
b) Ta có :
1.2 1.2.3 1.2.3 n 1.2 1.2.3 n 1 n
Bài tập về nhà:
1) Chứng minh rằng: x2 + y2 + z2+3 2 (x + y + z)
HD: Ta xét hiệu: x2 + y2 + z2 +3 – 2( x+ y +z ) = x2- 2x + 1 + y2 -2y +1 + z2 -2z +1
2) Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác Chứng minh rằng : 1 a b c 2
b c c a a b
b c a b c a b c
b c a b c )
n + 1 n + 2 2n + 1 3n 3n + 1 < 2
áp dụng phơng pháp làm trội
4) Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng bc ac ab
a b c a + b + c
Trang 7HD: bc ac
a b = c
b a
a b
2c; ac ab
b c ? ;
bc ab
a c ?
Phần iii : các bài tập nâng cao
I/Dùng định nghĩa
1) Cho abc = 1 và 3 36
a Chứng minh rằng
3
2
a b2+c2> ab+bc+ac Giải
Ta có hiệu:
3
2
a b2+c2- ab- bc – ac =
4
2
a
12
2
a b2+c2- ab- bc – ac
= (
4
2
a b2+c2- ab– ac+ 2bc) +
12
2
a 3bc =(
2
a
-b- c)2 +
a
abc a
12
36
3
=(
2
a
-b- c)2 +
a
abc a
12
36
3
>0 (vì abc=1 và a3 > 36 nên a >0 )
Vậy :
3
2
a b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh
2) Chứng minh rằng
a) 4 4 2 1 2 ( 2 1 )
x
b) với mọi số thực a , b, c ta có : 2 5 2 4 2 6 3 0
a
c) a2 2b2 2ab2a 4b20
Giải :
a) Xét hiệu :
H = x4 y4 z2 1 2x2y2 2x2 2xz 2x
1
x
H0 ta có điều phải chứng minh
b) Vế trái có thể viết
H = 2 12 12 1
a
H > 0 ta có điều phải chứng minh
c) vế trái có thể viết
H = a b 12 b 12
H 0 ta có điều phải chứng minh
II / Dùng biến đổi t ơng đ ơng
1) Cho x > y và xy =1 Chứng minh rằng :
2 2 2
y x
y x
Giải :
Ta có 2 2 2 2 2 2
2 22 4 4 2 4
x
Do đó BĐT cần chứng minh tơng đơng với
x y4 4x y2 4 8 x y2 4 4 2 4 0
x x y 2 2 2 0
BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh
2) Cho xy 1 Chứng minh rằng :
xy y
x
2 1
1 1
1
2 2
Giải :
Trang 8Ta có
xy y
x
2 1
1 1
1
2
1
1 1
1 1
1 1
1
2 2
2 2
2
xy y
y xy xy
x
x xy
) ( 1
1
) (
2
xy y
y x y xy
x
x y x
1 2 2
2
xy y
x
xy x y
BĐT cuối này đúng do xy > 1 Vậy ta có điều phải chứng minh
III / Dùng bất đẳng thức phụ
1) Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1
Chứng minh rằng
3
1
2 2
2 b c
a
Giải :
áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c)
Ta có 2 2 2 2
1 1 1
1 1
1a b c a b c
abc2 3 a2 b2 c2
3
1
2 2
2 b c
a (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) Cho a,b,c là các số dơng
Chứng minh rằng . 1 1 1 9
c b a c b
Giải :
(1) 1 1 1 9
a
c a
c c
b a
b c
a b
a
b
c c
b a
c c
a a
b b a
áp dụng BĐT phụ 2
x
y y
x
Với x,y > 0
Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng
Vậy . 1 1 1 9
c b a c b
IV / Dùng ph ơng pháp bắc cầu
1) Cho 0 < a, b,c <1 Chứng minh rằng :
2a3 2b3 2c3 3 a2bb2cc2a
Giải :
Do a <1 a2<1 và b <1 Nên 1 2 1 2 0 1 2 2 0
Hay 1 a2ba2b (1)
Mặt khác 0 <a,b <1 a 2 a3 ; b b3 1 a2 a3 b3
Vậy a3 b3 1a2b
Tơng tự ta có :
a c c
a
c b c
b
2 3
3
2 3
3
1
1
2a3 2b3 2c3 3 a2bb2cc2a (đpcm)
2) So sánh 3111 và 1714
Giải :
Ta thấy 31 11 < 32 11 2 5 11 2 55 2 56
Mặt khác 2 56 2 4.14 2 4 14 16 14 17 14
Vởy 3111 < 1714 (đpcm)
Trang 9V/ Dùng tính chất tỉ số
ví dụ 4: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ, chứng minh rằng:
(ac) 2 (bd) 2 a2 b2 c2 d2
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
ta có ac + bd a2 b2 c2 d2
mà 2 2 2 2 2 2
2ac bd c d b
a d b c
a a2 b2 2 a2 b2 c2 d2 c2 d2
(ac) 2 (bd) 2 a2 b2 c2 d2