BAT DANG THUC SVACXO VA UNG DUNG
Bất đăng thức Svacxơ được phát biểu như sau: Cho hai dãy số thực 381;32;=ss 3n và Đ1,ba, Đn( bị>0, = 1,2) ;21) thi ta co:
a? 32 , @rtagt +a,)? 1
5 tbat +2 > 2 pbb tb, ))
sé chung minh BĐT (1) bằng BĐT Bunhiacôpxki: Thật vậy, áp dụng bất đăng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số
an
Te 0 vba, và Vb1,Vbạ, 5VĐnta được BĐT (1)
đi 42
Đẳng thức xảy ra khi bi b2
ov ”
Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho sự tiện lợi của BĐT Svacxơ trong việc chứng minh BĐT
(Ở đây chỉ là những hướng dẫn cơ bản đề các bạn có thể chứng minh BĐT, còn phân đăng thức xảy ra thì các ban có thê dê dàng tìm ra nên không trình bày )
Ví dụ I:Chứng minh rằng với các số duong a,b,c ta đều có :
Lạ
(š+š+)@&+b+)>9
1,1,1 9
Lời giải: Ycbt (yêu cầu bài toán) °? 3 Tb Tế a+b+c
Áp dụng BĐT (1) được: tp tÊ> a+b+c_ — a+b+c suy ra ĐPCM
Ví dụ 2: chứng minh răng với các số dương a,b,c thoả mãn a2+b2+c2< lta có:
1 1 1 9
22+bc Tb2+ca Lc2+ab > 2
Lời giải: Áp dụng BĐT (1) được
(1+1+1)?
a2-'b2+c2+ab+bc+ca
VT>
VT> ——_—_—_ 3 > ~ g
Ta có BĐT quen thuộc ä2+b2-+c2>ab+bc-+ca,suyra “2(42+b2+c2)“2(yị a2+b2-+c2<1(ĐPCM)
a2 + b2 c2 _ 3(ab+bc+ca)
Ví dụ 3: chứng minh rằng với các số đương a,b,c thì P†€c `c€+2 'a+b= 2a+b+d)
Lời giải : Áp dụng BĐT (1) ta suy ra
(at+b+c)?
VT > 2G 4b+0
Trang 22 2
Mà ta có BĐT quen thuộc a2+b*+c2>ab+bc+ca + (atbt+c)* > 3(ab+bc+ca) thay vao bén trén ta suy ra
DPCM
3
Ví dụ 4: Cho các sô đương a,b,c thoả mãn abc = 1 CMR 1+bB ' l+c 'l1+a“~ 2
Lời giải : Áp dụng BĐT Svacxơ được:
(atbt+c)?
VT? 3yatbtO
——— 3
Theo BĐT côsi ta có 1= #b€ SÉ——#——) >a-+tb+c >3
(at+b+c)? _ a+b+c „3
Từ đó suy ra “2a+b+9Q 2 “2
(ĐPCM)
Ví dụ 5:Cho a,b,c là các số dương và thoả mãn a+b+c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
T= 22+8bcb2+8ca Ì c2+Bab
Lời giải: Tacó a3†Babcb3+Babc c3+Babc“~ a3+b3+c3+24abc
Ta lại có &+b-+tc)Ÿ= a3+b3-+c3+3@+b+c)@b+bc+ca)—3abc >
3
a3-Lb3-Lc+27abc (abc)2—3abc — a3-LbỶ-Lc3-L24abc
1
Từ đó suy ra 2 2atbt+e >! —h_—-._Ì
- đạt được tại P=C=3
Vi du 6:Cho a,b,c > 0 va thoa man atb+c =1 Tim gia tri nhỏ nhất của
— 1, 1
Q= 22b2+c2 Tabc
Lời giải: Áp dụng BĐT côsi có 1= a-+b-c > 3Ÿabc và ab-+bc+ca > 3/@bc)2 > 9fabcV (@bc)2= 9abc
Tu do Q> 32+1b2+c2 Tab+bc+ca _— (say placa tabbbepca) tabpbetea
Áp dụng BĐT Svacxơ được 22+bˆ++c2 2bbcca abdbctca“-a2+b2+c2+†2(btbctca) (@tbtc)* |
Mặt khác ta lại oot = &+b+c) 2 3(ab+bc+ca) 4 ab+bc+ca ~ 2 7.3= 21
29+21= 30, suy ra minQ = 30, dat duoc tại 2—Ð=c=ä