Đặt vấn đề ---I - Lý do chọn đề tài Nh chúng ta đã biết phơng trình bậc hai là một nội dung quan trọng của chơng trình đại số lớp 9, các bài toán liên quan đến phơng trình bậc hai
Trang 1Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
A Đặt vấn đề
-I - Lý do chọn đề tài
Nh chúng ta đã biết phơng trình bậc hai là một nội dung quan trọng của chơng trình đại số lớp 9, các bài toán liên quan đến phơng trình bậc hai là vô cùng phong phú Do vậy khả năng gặp phơng trình bậc hai trong các kì thi tuyển sinh vào THPT, vào các trờng chuyên, lớp chọn là rất cao Mà đặc biệt là các bài toán liên quan đến
định lý Viet
Tuy nhiên phân phối chơng trình cho phần định lý Viet là rất ít (1 tiết lý thuyết,
1 tiết bài tập), vì thế đại đa số học sinh thờng lúng túng khi đứng trớc các bài toán có liên quan đến định lý Viet và ứng dụng một số ứng dụng của định lí này Trớc thực tế
đó, nhằm giúp các em nắm đợc một cách có hệ thống và có khả năng giải quyết đợc các bài tập về phần này một cách thành thạo, nhằm phát huy khả năng suy luận, óc phán đoán, tính linh hoạt của học sinh, chúng tôi đã nghiên cứu và viết chuyên đề:
“Một số ứng dụng của định lý Viet”
II Mục đích nghiên cứu
- Thứ nhất: Xuất phát từ nhu cầu thực tế vận dụng của học sinh, trớc những thiên
h-ớng tốt, cha tốt mà tôi thấy rất cần phân loại và một số phơng pháp giải cho các em
- Thứ hai: Bản thân ngời thầy cũng rầt cần trau dồi tự học và tham khảo làm chủ kiến
thức
III Phơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu những vấn đề lý thuyết về phuơng trình bậc hai, định lý Viet trong
ch-ơng trình đại số lớp 9
- Nghiên cứu qua những tài liệu tham khảo, những chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi
- Qua thực tế giảng dạy đặc biệt là từ kinh nghiệm bồi dựỡng học sinh giỏi, ôn tập cho học sinh thi vào THPT.
- Qua trao đổi , học hỏi kinh nghiệm của bạn bè đồng nghiệp, những đồng chí có nhiều năm công tác, có bề dày kinh nghiệm
IV Nhiệm vụ của đề tài
Đề cập tới một số ứng dụnh của định lý Viet Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng dạng , cách giải quyết từng dạng Từ đó dần hình thành khả năng tổng hợp, khái quát và các năng lực t duy khác cho học sinh.
V Giới hạn nghiên cứu
- Chuyên đề này áp dụng đợc với mọi đối tợng học sinh Tuy nhiên với mỗi đối tợng thì giáo viên cần lựa chọn hệ thống bài tập với mức độ khó, dễ phù hợp.
- Chuyên đề này áp dụng tốt nhất trong việc ôn luyện học sinh giỏi, hớng dẫn học sinh ôn thi vào THPT, đặc biệt là ôn thi vào các trờng chuyên, lớp chọn.
2
Trang 2-Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
b giải quyết vấn đề
-I – cở sở của lý thuyết
1 Điều kiện về nghiệm của phơng bậc hai một ẩn
Phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (*)
ac
a) Nếu < 0 thì (*) vô nghiệm
b) Nếu = 0 thì (*) có nghiệm kép:
a
b x x
2
2 1
c) Nếu > 0 thì (*) có 2 nghiệm phân biệt
a
b x
2
1
a
b x
2
2
* Nếu (*) có nghiệm, gọi nghiệm đó là x1, x2 thì:
a c x x P
a b x
x S
2 1
2 1
(Viet)
Phần I Một số ứng dụng của định lí viét
Dạng 1:
ứng dụng của định lí Viét
vào việc nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0, a 0
I Phơng pháp giải
Xét phơng trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) (*)
1 Nếu a + b + c = 0 thì (*) có 2 nghiệm
a
c x
x1 1 ; 2
2 Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 2 nghiệm
a
c x
x1 1 ; 2
3 Nếu x1x2 mn; x1.x2 m.n và 0 thì phơng trình có nghiệm:
n
x
m
x1 ; 2 hoặc x2 m;x1 n
II Một số ví dụ
VD1: Giải phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
Trang 3Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
a 2 ( 3 5 ) 15 0
x (1)
b 1 2 2 13 (2 2 )( 5 3) 0
m x
n
x
m (Với m2; m 3, x là ẩn) (2)
c (m -3)x2 – (m +1)x – 2m + 2 = 0 ( m là tham số, x là ẩn) (3)
H
ớng dẫn:
a ở phần này HS dễ nhận thấy a + b + c 0, a - b + c 0, nhng có a.c = 15 < 0 Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 x2 áp dụng hệ thức Viét có:
5 3 15
.
5 3
2
1
2
1
x
x
x
x
Vậy phơng trình có 2 nghiệm là: 3 và 5
) 3 )(
2 (
5 2 3
1 2
1
m m
m m
m
(Với m 2; m 3) Nên phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
m
m x
x
3
5 2
;
1 2
1
c ở phơng trình này không ít HS sai lầm và vội vàng kết luận ngay:
a – b + c = m – 3 + m + 1 – 2m + 2 = 0 Nên x1 1; x2 2m 2mà không thấy đợc phơng trình đã cho cha phải là phơng trình bậc hai
Vì vậy ta cần xét m – 3 = 0; m – 3 0, rồi nhẩm nghiệm
Giải:
+ Nếu m – 3 = 0 m = 3 thì phơng trình (3) trở thành -4x – 4 = 0 x = -1
+ Nếu m – 3 0 m 3 phơng trình (3) có a – b + c = 0, nên có 2 nghiệm
3
2 2
;
1 2
1
m
m x
Kết luận:
Nh vậy, khi ta phải nhẩm nghiệm của PT dạng: ax2 + bx + c = 0 ( a 0) (*) thì ta cần
+ Xét a = 0 sau đó nhẩm nghiệm
+ Xét a 0 kiểm tra sau đó nhẩm nghiệm
Trong thực tế HS có thể phải nhẩm nghiệm của PT bậc ba hoặc bậc 4 (dạng đặc biệt) Để giải quyết đợc tốt các định lí, khi đó phải đa các PT ấy về dạng PT bậc 2 nhẩm đợc nghiệm
VD2: Nhẩm nghiệm của phơng trình 5 3 2 5 1 0
x x
H
ớng dẫn
PT (4) có tổng các hệ số là: 5 + 1 – 5 – 1 = 0, nên PT (4) có nghiệm x = 1
Khi đó ta đa PT (4) về dạng: (x -1)(5x2 + 6x + 1) = 0, nhẩm tiếp nghiệm: 5x2 + 6x + 1 = 0 Kết quả phơng trình (4) có 3 nghiệm: x1 = 1; x 2 = -1; x3 =
5
1
VD3:
Giải phơng trình : x4 (x +1)(5x2 - 6x - 6 ) = 0
H
ớng dẫn : Phơng trình trên có dạng x4 5x2 (x +1) – 6 ( x+ 1)2 = 0 (5)
Nhận thấy x = -1 không phải là nghiệm của phơng trình (5) nên ta chia 2 vế cho ( x +1)2 ta
đợc:
2
2
1
x
x
+ 5
1
2
x
x
- 6 = 0
Đặt
1
2
x
x
ta đợc X2+ 5X – 6 = 0
Dễ dàng nhận đợc X1 = 1 ; X2 = -6
Sau đó giải tiếp tìm đợc x
4
Trang 4-Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
Dạng 2:
Tính giá trị của một biểu thức
giữa các nghiệm của phơng trình bậc hai
I Phơng pháp giải
Đối với bất phơng trình giữa các nghiệm của một phơng trình
ở dạng này biểu thức ta có thể gặp là biểu thức đối xứng hoặc không đối xứng giữa các nghiệm
Với biểu thức đối xứng ta có thể biểu thị biểu thức đó theo S = x1 + x2 và P = x1 x2 nhờ đó có thể tính đợc giá trị của biểu thức mà không phải giải phơng trình
II Một số ví dụ
VD1: Giả sử x1 và x2 là các nghiệm của phơng trình bậc hai 3x2 – cx + 2c -1 = 0 Tính theo c giá trị của biểu thức A = 3
1
1
x + 3 2
1
x
Giải: Theo định lý viét ta có:
3 1 2
3 6
2 1
2 1
c x
x
x x
S = 3
1
1
x + 3
2
1
x = 3
2
3 1
3 1
3 2
.x
x
x
x
3 2
3 1
2 1 2 1
3 2 1
3
x x
x x x x x
x
3
3
1 2
3
3
1 2 3
3
c
c c c
2
2
1 2
9 18
c
c c
c
Với biểu thức không đối xứng 2 nghiệm trớc hết ta cũng phải tính S = x1 + x2 ; P = x1 x2 Sau
đó cần kéo biến đổi biểu thức đó nhiều xuất hiện S và P từ đó ta tính đợc giá trị của biểu thức
VD2: Không giải phơng trình , hãy tính hiệu các lập phơng của các nghiệm lớn và nhỏ
của phơng trình bậc hai : x2 - 0
16
5 1 4
85
H
ớng dẫn : Phơng trình (*) có
16
1 16
21 4 16
85
0 Phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 Không mất tính tổng quát Giả sử x1 x2
áp dụng định lý viét, ta có S = x1 + x2 =
4
85 và P = x1 x2 =
16 21
ta có 3
2
3
1 x
x = (x1 - x2 )x12 x22 x1x2 = (x1 - x2 ) 1 2
2 2
1 x x x
Do x1 x2 nên
x1 - x2 = x 1 x22= 2 1 2
2 2
1 x 2 x x
2 2
1 x 4 x x
x
2
3
1 x
x = s2 4p.s2 p =
16
21 16
85 16
84 16
85
= 16
64 4
1
= 1
VD3:
a Giả sử x1 , x2 là các nghiệm của phơng trình 2 1
ax
Tính S = 7
2
7
1 x
x theo a
b Tìm một đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận 7 7
3
5 5
3
H
ớng dẫn:
a ở đây 7
2
7
1 x
x không biẻu diễn trực tiếp đợc dới dạng x1 + x2 và x1 x2 Tuy nhiên ta có thể biểu diễn S = 7
2
7
1 x
x = x14 x24.x13 x23 x13x23.x1x2
Trang 5Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
Nh vậy ta phải tính 4
2
4
1 x
x ; 3
2
3
1 x
x theo a
Thật vậy kí hiệu n n
n x x
S 1 2 Theo Viét ta có:
1 2 1 2 1
x x
a x x
2 1
2 2 1
2 2
2
1
2 x x x x x x a
S
2
2 1 2 2 2
2 1
4 2
4
1
4 x x x x x x a
a a
x x x x x x a a x
x
2 1 2 1
3 2 1
3 2
3
1
Vậy S a4 4a2 2 .a3 3a a a7 7a5 14a3 7a
b Để tìm một đa thức bậc 7 nhận làm nghiệm nghĩa là ta phải tìm một đa thức bậc 7 mà khi thay vào thế giá trị của đa thức bằng 0: Theo phần a có:
7
2
7
1 x
x = a7 7a5 14a3 7a
a7 7a5 14a3 7a
2
7
1 x
Nh vậy trớc hết ta phải lập 1 phơng trình bậc 2 có là hệ số:
Đặt x1
5
3
7 ; x2
3
5
7 ta có:
x1 + x2 = 7 7 a
3
5 5
3 ; x
1 x2 = 1
3
5 5
3 7
Do đó x1, x2 là các nghiệm của phơng trình x2 x 1 0
3
5 5
3 7 14
7 5 3
15 7 105 5 210 3 105 34 0
Vậy đa thức cần tìm là 15x7 105x5 210x3 105x 34
Với biểu thức cần tính là biểu thức mà không đối xứng giữa các nghiệm trớc hết ta tách S
=x1 + x2 ; P= x1 x2 sau đó cần có sự nhìn nhận một cách linh hoạt khéo léo để biến đổi biểu thức đã cho nhằm x hiệu S; P từ đó tính đợc giá trị của biểu thức
VD4: Cho phơng trình 2 5 3 0
x
x Gọi 2 nghiệm của phơng trình là x1, x2
Tính giá trị của biểu thức A = x1 2 x2 1
H
ớng dẫn : ở đây biểu thức A không phải là biểu thức đối xứng giữa 2 vế nghiệm x1 ,
x2 Nh vậy nếu để ý kỹ ta thấy 2
1
1 2 x 2
x
(Đề thi vào lớp 10 THPT Nguyễn Trãi năm học 2005-2006)
Có x1 + x2 = 5; x1 x2 = 3 x1 0, x2 0
Vì x1 là nghiệm của phơng trình x2 5x 3 0 nên 2 5 1 3 0
1 x
x
2 4 1 4 1 1
1 x x
x
x1 22 x1 1
2
1 2
x = x1 1
x1 1= x1 2
Khi đó A = x1 1 x2 1
2 1 2 2 2 1 2 1 2 1
x x x x x x
A
A2= 5+2 - 2 5 3 1 1
A = 1 ( vì A 0
* ở VD7 sau không có mặt S4P3nhng vội vằng bình phơng 2 vế ngay khi đó gặp bế tắc Thế nhng nếu học sinh khéo thay thế x1 2 bởi x1 1nh trên với bình phơng 2 vế thì giá trị của biểu thức A tính đớc 1 cách dễ dàng Với những biểu thức mà có chứa luỹ thừa bậc cao thì việc biểu diễn luỹ thừa bậc cao của 1 nghiệm qua luỹ thừa thấp hơn của nghiệm đó cũng là 1 phơng án đôi khi giúp cho việc tính toán thuận lợi hơn nhiều Với phơng trình a
0
2 bxc
x có 2 nghiệm x1 , x2 và S = x1 + x2 ; P = x1 x2 Khi đó :
6
Trang 6-Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
x12 1 2 1 1 2 1
3
1
x = 2 1
1 1
1
2
1
1.x x Sx P Sx Px
1 1
Sx P Px S x SP Px
S
= S2 Px1 SP
x
x
x14 1 13 3 2 1 2
VD 5: Cho phơng trình 2 2 1 0
x
x , có 2 nghiệm x1 , x2 ( x2 0 thì giá trị của các biểu thức :
1
3
2
4
1 x x x
x
2 1
2 1
5
2
3 1
H
ớng dẫn: Theo định lí Viét có S = 2; P = - 1 áp dụng các hệ thức trên ta có:
1
2 1
2
1 x
x ; 2 2 2 1
2 x
x
3
2 x x
x
4
x
5
12 2
4
2 x
x
1 1
1
4
1
1
5
1 x x x 12x 5 12x 5x
= 122x1 15x1 29x1 12
Ta có :
1
3
2
4
1 x x x
x
40 4 ) (
18
4 18
18
8 8 3 6 4 10 5
12
8 8 ) 1 2 ( 3 ) 2 5 ( 2 5
12
2
1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
x
x
x
x
x x
x x
x x
x x
2 1
2
1
5
2
3 1
2 2 1
2 1 1
2
2
3 1 3
5
12x x x x x x
2
3 1 6
2 1
2
1 x x x
x
2
3 1
3x1 x2
Vì phơng trình có ac = -1 0 nên x1, x2trái dấu mà x2 0 x1 0Khi đó
2
3
1 x
x
2
1
3 2
3 1
1 x x x
x
= 3.2 -
0
11 2
1
* Đối với biểu thức giữa các nghiệm của hai phơng trình Trong thực tế nhiều khi ta phải tính biểu thức giữa các nghiệm của hai phơng trình Để làm đợc các bài tập kiểu này ta phải tìm S,P trong từng phơng trình rồi xem xét, thay thế 1 cách hợp lý ( thờng thì phải thay thế nhiều lần ) ta sẽ tách đợc giá trị của biểu thức đó
VD2: Giả sử x1, x2là hai nghiệm của phơng trình 2 1 0
ax
x và x3, x4là nghiệm của
ph-ơng trình 2 1 0
bx
x Tính giá trị của biểu thức:
M = x1 x3 . x2 x3 . x1 x4 .x2 x4 theo a và b
Hớng dẫn: Theo hệ thức Viét ta có:
Trang 7Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
1
2
1
2
1
x
x
a x
x
và
1 4 3 4 3
x x
b x
x
Do đó x1 x3 . x2 x4x1x2 x1x4 x2x3 x3x4
= 1 + x1x4 x2x3 1
= x1x4 x2x3
và x2 x3 . x1 x4x1x2 x2x4 x1x3 x3x4
= 1 + x2x4 x1x3 1
= x2x4 x1x3 M = x1x4 x2x3 .x2x4 x1x3
3 2 1 4 3
2 2 4 3
2 1
2 4 2
1x x x x x x x x x x x
M = x24 x12 x22 x32
2
2 1
2 4
2
x
2 2 1 4 3
2 4
3 x 2x x x x 2x x
M= b2 2 a2 2b2 a2
VD 6: Gọi a,b là hai nghiệm của phơng trình : 2 1 0
px x
b,c là hai nghiệm của phơng trình : 2 2 0
qx x
Chứng minh hệ thức b a .b cpq 6
H
ớng dẫn : Vì a,b là hai nghiệm của phơng trình : 2 1 0
px x
b,c là hai nghiệm của phơng trình : 2 2 0
qx
x nên theo định lý Viét ta
có :
1
ab
p b
a
;
2
bc
q c
b
Ta có b a .b c= b2 ab bcac
= b2 abbcac 2abbc
= babcab 2abbc
= abbc 2abbc
= p q 21 2pq 6 ( Điều phải chứng minh)
Bài tập áp dụng :
BT1 Cho phơng trình : 2 2 2 0
x
x Không tính nghiệm của phơng trình hãy tính:
2
3
1 x
x
b x 1 x2
c
1
1 1
2 2 2
2
1
x
x x
x
d x1 x2 x2 x1
e x 1 x2
BT2 Cho phơng trình : 5 2 3 1 0
x
x Không tính nghiệm của phơng trình , hãy tìm giá trị của mỗi biểu thức:
2 1
3 2 2
2 1
3
2x x x x x x
B =
1
2 1
2 2
1 2
1
x
x x
x x
x x
x
2 1
1 1
x x
C 2x1 x2 2x2 x1
BT3 Cho phơng trình 2 7 0
mx m
x Không tính nghiệm x1và x2theo m, hãy tính
2
2
1 x
x
B =
1
1 1
2 2 2
2 1
x
x x
x
2 1 2
2 1
2 2 2 1
2
4
x x x x
x x x x
4 Cho phơng trình ax2 bxc 0 a 0 có 2 nghiệm x1; x2 Tính theo a,b,c các biểu thức
8
Trang 8-Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
A= 5x1 3x25x2 3x1
B=
2 1
2 1
2
1
3
3 x x
x x
x
x
5 cho phơng trình x2 5x 1 0gọi x1; x2là các nghiệm của phơng trình trên Tính :
A= 4 1 2 4 2 1
2 1
2
1 x x x
x
B = 5 2 5 2 2
2
3 2
2 1
3
1 x x x
x
6 Cho phơng trình 2 4 2 3 3 0
a x a a
x gọi x1; x2là 2 nghiệm của phơng trình Tìm giá trị của a để
9
8 1
2 2 1
2
1
ax x
ax
( thi học sinh giỏi năm 2002 -2003)
7 Cho phơng trình 2 1 0
x
x có 2 nghiệm x1; x2 hãy tính giá trị của biểu thức
A = x 1 3x2
B= x18 x26 13x2
8 Cho phơng trình x2 x 1 0gọi x1là nghiệm âm của phơng trình Tính giá trị của biểu
1 10x 13 x
9 Cho phơng trình 2 0 0
bx c a
ax có 2 nghiệm x1; x2.thoả mãn 2
2
1 x
x
CMR : b3 a2c ac2 3abc
10 Giả sử phơng trình x2 axb 0 có nghiệm x1; x2và phơng trình x2 cxd 0 có nghiệm x3 ,x4
CMR 2x1x3x1x4x2 x3x2x4 2b d2 a2 c2 b d ac 2 bd
Dạng 3: ứng dụng địng lý Viét vào việc tìm 2 số biết tổng và tích của chúng.
Nếu hai số v và V có tổng v + V = S và tích u.v =p thì v và V là nghiệm của phơng
Sx P
x (*) Điều kiện để phơng trình (*) có nghiệm là 2 4 0
P
Đó chính là điều kiện tồn tại hai số v và V mà tổng v + V = S và v V =P Nh vậy khi biết tổng hai số thì ta sẽ tìm đợc hai số đó thông qua tích giải phơng trình bậc hai
VD2: Tính hai cạnh của 1 hình chữ nhật cho biết chu vi bằng 4a và diện tích bằng b2 ( a,b
0 cho trớc)
H
ớng dẫn: Gọi x,y là độ dài của 2 cạnh hình chữ nhật ( 0 x 2;ya)
Theo giả thiết ta có x+y= 2a
x.y= b2
Do đó x,y là nghiệm của phơng trình
0
2 aX b
Có a2 b2 a b .ab
Vì a,b 0 a+b 0
* Nếu a b 0 Phơng trình (1) có nghiệm là :
2 2
1 a a b
X
2 2
Vì P 0 S 0 0X 2X1 Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là:
2 2 2 2
b a
a
y
b a
a
x
hoặc
2 2 2 2
b a a y
b a a x
Nếu a=b =0 (1) có nghiệm kép là x1 x2 a Khi đó hình chữ nhật là vuông cạnh a Nếu a b 0 (1) vô nghiệm khi đó không có hình chữ nhật thoả mãn đầu bài VD1: Tìm 2 số a,b biết
a a+b = 10 và ab = 32
b a+b = 5 và a2 +b2 = 13
c a –b = 2 và ab = 80
d a2 +b2 = 29 và ab = 10
Các số a,b cần tìm ( nếu có) là nghiệm của phơng trình x2-10x+ 32 = 0 có S2 4P
Trang 9Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
( hay 0)
Hớng dẫn: ở VD này dễ dàng phát hiện ra để tìm a và b trớc hết ta phải xác định đợc a.b ( phần a) ; a+b ( ở phần b;c)
a Có a b2 a2 b2 2ab
ab
2
13
5 2
2ab = 12 ab =6
Nên a,b là nghiệm của phơng trình : x2 5x 6 0
Giải phơng trình này ta đợc x1 3 ;x2 2 Vậy a= 3 và b = 2 hoặc a= 2 và b= 3
b có a- b = 2 a+ (-b) = 2
a.b =80 a.(-b) = -80
a và -b là nghiệm của phơng trình x2 2x 80 0 Giải phơng trình đợc x1 10 ;x2 8 vậy a= 10 và b= 8 hoặc a = -8 và b = -10
c Có
10 29
2 2
ab
b a
10
10 2
) ( 2
ab
ab b
a
10
49 )
ab
b
a
a+b = 7 và ab = 10 hoặc a+b =-7 và ab = 10
* Nếu a+b = 7 và ab = 10 a,b là 2 nghiệm của phơng trình
0 10 7
2
x
x giải phơng trình đợc x1 2 ;x2 5
a= -2 và b = -5 hoặc a= -5 và b = -2
VD3: Giải các hệ phơng trình sau:
a
7 5
2
2 y xy
x
xy
y
x
b
14 7 6
2 2
x
zx yz
xy
z y x
Nhận xét : Để giải hệ phơng trình trên ( phần a) ta biến đổi để tìm đợc x+y và xy sau đó đa
về phơng trình bậc 2 đã biết cách giải
a
7 5
2
2 y xy
x
xy
y
x
7 5
2 xy y
x
xy y x
0 12 ) ( 5
2 x y y
x xy y x
(I) Đặt
xy p
y x S
(I)
0 12 5
2
S S P S
4
; 3 5
S S P S
5 4 5 3
P S P S
) 2 ( 9 4 ) 1 ( 2
P S P S
Giải (1) : Theo định lý Viét, x,y là nghiệm của phơng trình
0 2 3
2
t
Vậy (1) có 2 nghiệm (1;2) ; (2;1)
Giải (2): Theo định lý Viét, x,y là nghiệm của phơng trình
0 9 4
2
t
t vì phơng trình 2 4 9 0
t
t có 0 nên trờng hợp này vô nghiệm Vậy các nghiệm của hệ phơng trình đã cho là ( x;y) = ( 2;1) và (1;2)
14 7 6
2 2
x
zx yz
xy
z y x
14 ) (
2 6
2 xy yz xz
z
y
x
zx
yz
xy
z
y
x
) 3 ( 9 )
(
) 2 ( 7 ) 1 ( 6
z x
y
zx yz
xy
z y
x
) 3 ( 9 )
(
) 2 ( 7 ) 1 ( 6 )
(
z x
y
z x yz
x y
y z
x
Từ (1) và (3) theo định lí Viét y và x+z là các nghiệm của phơng trình
0 9 6
2 t
từ (1) (2) và (3)
) 6 ( 2
) 5 ( ) 4 ( 3
z x
z x
Từ (5) và (6) Theo định lí Viet x và z là các nghiệm của phơng trình
0 2 3
2 t
Vậy hệ phơng trình đã cho có các nghiệm ( x,y,z) = ( 1;3;2) ; (2;3;1)
Nhận xét : Vậy từ bài toán giải hệ 3 phơng trình ba ẩn bằng cách biến dổi thích hợp ta đã đa bài toán về dạng tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng ( với số thứ nhất là x+z) , số thứ là
y và ta giải đợc hệ nhờ định lí Viet
Bài tập áp dụng:
1.Tìm 2 số biết :
a Tổng là 18 và tích là 45
b Tổng là 4 và tích là -12
c Tổng là -10 và tích là 16
10
Trang 10-Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
d.Tổng là 2+ 3 và tích là 2 3
e.Tổng là 4 7 và tích là -17
2 Tìm 2 số x,y biết:
a x – y = 9 và x.y = 90
b 2 2 625
y
c 2 2 164
y
d 2 2 208
y
y xy
3 Tìm 2 số x,y biết:
a 2 2 34
y
b 2 2 10
y
c 2 2 2
y
d x-y = 5 và xy = 66
e 3 3 177
y
Dạng 4:
ứng dụng định lí Viét vào việc xét dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai
Xét phơng trình bậc hai: 2 0
bx c
ax (a 0 )
Có b2 4ac
P=
a
c x
x1 2
S =
a
b x
x1 2 Trong nhiều trờng hợp ta cần so sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số cho trớc hoặc xét dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai mà không cần giải phơng trình đó, ta
có thể ứng dụng định lí Viét
1.phơng trình có 2 nghiệm dơng
0 0
S P
2.Phơng trình có 2 nghiệm âm
0 0 0
S P
3 Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu: P 0
Nhiều bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phơng trình bậc 2 có ít nhất 1 nghiệm không
âm Thờng có 2 cách giải:
Cách 1: Có P 0 ( Trờng hợp này có 1 nghiệm dơng 1 nghiệm không âm)
Hoặc P = 0 Trờng hợp này tồn tại 1 nghiệm bằng 0
0 0 0
S P
Thì hai nghiệm đều dơng
Cách 2: Trớc hết phải có 0khi đó phơng trình có ít nhất 1 nghiệm không âm nếu :
0
S ( Trờng hợp này tồn tại nghiệm dơng)
Hoặc S=0 ( Trờng hợp này tồn tại nghiệm không âm)
Hoặc S ,0 P 0 ( Trờng hợp này có 1 nghiệm không âm 1 nghiệm âm)
Tuỳ theo đầu bài mà chọn cách xét biểu thức P hay S
VD1: Tìm giá trị của m để phơng trình sau có 2 nghiệm cùng dấu Khi đó 2 nghiệm mang
dấu gì ?
a x2 2mx 5m 4 0 (1)
b mx2 mx 3 0 (2)
H
ớng dẫn:
a Phơng trình (1) có 2 nghiệm x1, x2cùng dấu khi và chỉ khi